Gráficos de Velocidade x Tempo

O Significado da Forma em um Gráfico v-t

Nosso estudo de cinemática uni-dimensional se preocupou até agora com os múltiplos meios pelos quais o movimento dos objetos pode ser representado. Tais meios incluem o uso de palavras, o uso de diagramas, o uso de números, o uso de equações, e o uso de gráficos. Nesta aula estudaremos o uso de gráficos de velocidade X tempo para descrever um movimento. A primeira parte desta aula envolve um estudo da relação entre a forma de um gráfico v-t e o movimento do objeto.

Considere um carro que se move com uma velocidade constante, à direita , sentido(+), com intensidade de +10 m/s. Como você já aprendeu em uma aula anterior, um carro que se move com uma velocidade constante é um carro com aceleração nula.

Se os dados de velocidade-tempo para o carro fossem colocadas em um gráfico, então o resultado se pareceria com o gráfico à direita. Note que o movimento foi descrito com uma velocidade constante, positiva resultando em uma reta com inclinação nula (uma reta horizontal tem inclinação nula) quando apresentada em um gráfico de velocidade-tempo. Além disso, os valores da velocidade são somente positivos e correspondem a um movimento com velocidade positiva.

Agora considere um carro que se move no sentido (+), com velocidade variável – quer dizer, um carro que está se movendo para a direita, mas está acelerando ou desacelerando. Considerando que o carro está partindo do repouso e está acelerando, dizemos que o carro tem uma aceleração positiva.

Se os dados de velocidade-tempo para este carro fossem postos em um gráfico,, então o resultado se pareceria com o gráfico à direita. Note que o movimento foi descrito com uma velocidade positiva e variável, resultando em uma reta inclinada quando apresentada como um gráfico de velocidade-tempo. A inclinação da reta é positiva e corresponde à aceleração positiva. Além disso, valores da velocidade são somente positivos e correspondem a um movimento com velocidade positiva.

Os gráficos de velocidade x tempo para estes dois tipos de movimento – velocidade constante e velocidade variável (aceleração) – podem ser resumido como segue.

Velocidade positivaAceleração Nula	Velocidade positivaAceleração positiva

As formas dos gráficos v-t para estes dois tipos básicos de movimento – movimento com velocidade constante e movimento acelerado (isto é: velocidade variável) – revelam um princípio importante. O princípio é que a inclinação da reta em um gráfico de velocidade-tempo nos fornece uma informação útil sobre a aceleração do objeto. Se a aceleração é zero, então a inclinação é zero (isto é: uma reta horizontal). Se a aceleração é positiva, então a inclinação é positiva (isto é: uma reta inclinanda para cima). Se a aceleração é negativa, então a inclinação é negativa (isto é: uma reta inclinanda para baixo). Este mesmo princípio pode ser estendido a qualquer movimento concebível, desde que consideremos sempre a inclinação da reta tangente à curva V-T.

A inclinação de um gráfico de velocidade-tempo nos fornece uma informação sobre a aceleração do objeto. Mas como podemos saber se o objeto está se movimentando no sentido positivo (isto é: velocidade positiva) ou no sentido negativo (isto é: velocidade negativa)? E como podemos saber se o objeto está acelerando ou está reduzindo a velocidade?

As respostas para estas perguntas são respondidas pela sua capacidade de ler um gráfico. Considerando que em um gráfico de velocidade-tempo, a velocidade será positiva sempre que a reta estiver na região positiva (sobre o eixo-x) do gráfico. Semelhantemente, a velocidade será negativa sempre que a reta estiver na região negativa (abaixo do eixo-x) do gráfico. Como você já aprendeu, uma velocidade positiva significa que o objeto está se movendo no sentido positivo; e uma velocidade negativa significa o objeto está se movendo no sentido negativo. Assim a pessoa sabe que um objeto está se movendo no sentido positivo se a reta está localizada na região positiva do gráfico (indiferentemente se está inclinada para cima ou está inclinanda para baixo). E sabemos que um objeto está se movendo no sentido negativo se a reta está localizada na região negativa do gráfico (indiferentemente se está inclinanda para cima ou se está inclinanda para baixo). E finalmente, se uma reta atravessa o eixo-x, da região positiva para a região negativa do gráfico (ou vice-versa), então o objeto mudou o sentido do movimento.

Agora, como podemos dizer se o objeto está acelerando ou está reduzindo a velocidade? Por exemplo, um objeto com uma velocidade que muda de +3 m/s para + 9 m/s está acelerando. Semelhantemente, um objeto com uma velocidade que muda de -3 m/s para -9 m/s também está acelerando. Em cada caso, a intensidade da velocidade (o próprio número, não o sinal ou sentido) está aumentando; a velocidade está se tornando maior. Dado este fato, podemos afirmar que um objeto está acelerando se a reta em um gráfico de velocidade-tempo está se afastando do eixo-x. Quer dizer, se a reta está se movendo para longe do eixo-x, então o objeto está acelerando. E reciprocamente, se a reta está se movendo para o eixo-x, então o objeto está reduzindo a velocidade.

 

1. Considere o gráfico à direita. O objeto cujo movimento é representado por este gráfico está…

1. se movendo no sentido positivo.
2. se movendo com uma velocidade constante.
3. se movendo com uma velocidade negativa.
4. reduzindo a velocidade.
5. se movendo em sentidos variáveis.
6. acelerando.
7. se movendo com uma aceleração positiva.
8. se movendo com uma aceleração constante.

O Significado da inclinação em um Gráfico v-t

Nesta parte da aula, examinaremos como o valor da rampa de qualquer reta em um gráfico de velocidade-tempo é igual a aceleração do objeto.

Considere um carro que se move com uma velocidade constante de +10 m/s. Um carro que move com uma velocidade constante tem uma aceleração de 0 m/s/s.

Os dados de velocidade-tempo e o gráfico são apresentados abaixo. Note que a reta no gráfico é horizontal. Isso é, a inclinação é 0 m/s/s. É óbvio que neste caso a inclinação da reta (0 m/s/s) é igual a aceleração (0 m/s/s) do carro.

Tempo(s) Velocidade(m/s) 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10

Agora examinaremos alguns gráficos para ver se este é um princípio que é verdadeiro para todo o gráfico v-t.

Considere um carro que se move com uma velocidade variável. Um carro com uma velocidade variável terá uma aceleração.

Os dados de espaço-tempo para este movimento indicam que ele tem uma aceleração de 10 m/s/s (não se preocupe ainda em como calcular este valor). O gráfico representativo destes dados está apresentado abaixo. Note que a reta no gráfico é diagonal – quer dizer, tem uma rampa não nula. A inclinação da reta pode ser calculada como 10 m/s/s. É mais uma vez óbvio que a inclinação da reta (10 m/s/s) é igual a aceleração (10 m/s/s) do carro.

Tempo(s) Velocidade(m/s) 0 0 1 10 2 20 3 30 4 40 5 50

Em ambos os casos, a inclinação da reta é igual a aceleração. Como uma última ilustração deste princípio, nós examinaremos um caso mais complexo. Considere o movimento de um carro que primeiro viaja com uma velocidade constante (a=0 m/s/s) de 2 m/s durante quatro segundos e então acelera a uma taxa de +2 m/s/s durante quatro segundos. Quer dizer, nos primeiros quatro segundos, o carro não está mudando sua velocidade (a velocidade permanece em 2 m/s) e então o carro aumenta sua velocidade em 2 m/s por segundo durante os próximos quatro segundos. Os dados de velocidade-tempo e gráfico são exibidos abaixo. Observe a relação entre a inclinação da reta durante cada intervalo de quatro-segundos e o valor de aceleração correspondente.

Tempo(s) Velocidade(m/s) 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 4 6 6 7 8 8 10
De 0 s para 4 s: rampa = 0 m/s/s De 4 s para 8 s: rampa = 2 m/s/s

Um movimento como o acima, ilustra um princípio importante: a inclinação da reta em um gráfico de velocidade-tempo é igual à aceleração do objeto. Este princípio pode ser usado em todos os gráficos de velocidade-tempo para determinar o valor numérico da aceleração.
 

O gráfico de velocidade-tempo para um foguete de dois-estágios é mostrado abaixo. Use o gráfico e seus conhecimentos de cálculos de rampas para determinar a aceleração do foguete durante os intervalos de tempo indicados.

1. t = 0 – 1 segundo
2. t = 1 – 4 segundo
3. t = 4 – 12 segundo
   

Respostas:

1.  Clique aqui para ver a resposta      A aceleração é +40 m/s/s. A aceleração é obtida por      um cálculo de rampa. A reta sobe +40 m/s durante todo 1º      segundo de corrida.

    

2.       Clique aqui para ver a resposta. A      aceleração é +20 m/s/s. A aceleração é obtida por um      cálculo de rampa. A reta subiu +60 m/s durante 3 segundos      de corrida. O relação é +20 m/s/s.

    

3.       Clique aqui para ver a resposta A      aceleração é -20 m/s/s. A aceleração é obtida por um      cálculo de rampa. A reta desceu -160 m/s durante 8 segundos      de corrida. A relação é -20 m/s/s.