Logaritmo

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A hipérbole equilátera

Seja a função real f(x)=1/x definida para todo x diferente de zero. O gráfico desta função é a curva plana denominada hipérbole equilátera, sendo que um ramo da hipérbole está no primeiro quadrante e o outro está localizado no terceiro quadrante.

Esta curva tem importantes aplicações em Ótica e construções de óculos, lentes, telescópios, estudos de química, estudos em economia, etc.

Definição de Logaritmo

O logaritmo natural (ou neperiano) de u, muitas vezes, denotado por Ln(u), pode ser definido do ponto de vista geométrico, como a área da região plana localizada sob o gráfico da curva y=1/x, acima do eixo y=0, entre as retas x=1 e x=u, que está no desenho colorido de vermelho.

A área em vermelho representa o logaritmo natural de u, denotado por Ln(u). Em função do gráfico, em anexo, usaremos a definição:

Ln(u)=área(1,u)

Se u>1, a região possuirá uma área bem definida, mas tomando u=1, a região se reduzirá a uma linha vertical (que não posssui área ou seja, possui área nula) e neste caso tomaremos Ln(1)=área(1,1). Assim:

Ln(1)=0

Quando aumentamos os valores de u, esta função também aumenta os seus valores, o que significa que esta função é crescente para valores de u>0.

O conceito de Integral de uma função real, normalmente estudado na disciplina Cálculo Diferencial e Integral, justifica a forma como apresentamos o Logaritmo natural de um número real.

Propriedades gerais dos logaritmos

Com o uso deste conceito fundamental da Matemática, é possível demonstrar várias propriedades dos Logaritmos naturais (o que não será feito aqui), para números reais positivos x e y e para qualquer número real k, desde que tenham sentido as expressões matemáticas:

Propriedades básicas dos logaritmos naturais

1. Ln(1)=0

2. Ln(x.y)=Ln(x)+Ln(y)

3. Ln(x^k)=k.Ln(x)

4. Ln(x/y)=Ln(x)-Ln(y)

Algumas simplificações matemáticas

As propriedades dos Logaritmos podem ser usadas para simplificar expressões matemáticas.

Exemplos:

1. Ln(5)+4.Ln(3)=Ln(5)+Ln(3⁴=Ln(5.3⁴)=Ln(405)

2. (1/2)Ln(4t²)-Ln(t)=Ln[(4t²)^½]-Ln(t)=Ln(2), se t>0

3. Ln(a)+L(b)-Ln(c)+Ln(10)=Ln(10a.b/c)

Exercício: Qual dos números é o menor: 2.Ln(3) ou 3.Ln(2)? Observamos que:

2 Ln(3) = Ln(3²) = Ln(9)
3 Ln(2) = Ln(2³) = Ln(8)

e como a função Ln é crescente, então:

3 Ln(2) = Ln(8)

Base para um logaritmo

Existe um importante número real e=2,71828… (atribuído a Euler) tal que

Ln(e) = 1

A partir da observação anterior, o número e representa a base para os logaritmos naturais e poderemos escrever:

Ln(u) = Log_e(u)

que lemos como “logaritmo do número real u na base e”.

A partir do exposto acima, temos uma propriedade que possibilita a mudança logarítmica de uma base positiva para outra base positiva, sendo que ambas devem ser diferentes de 1.

Log_a(b) = Ln(b) / Ln(a)

Exercício: Você saberia a razão pela qual não é possível definir logaritmo de um número na base 1?

Logaritmo decimal

No âmbito do Ensino Médio, usa-se bastante a base 10, uma vez que neste ambiente a base decimal recebe as preferências para o trabalho com o nosso sistema de numeração, mas devemos observar que em contextos mais avançados, a base decimal tem pouca utilidade. Quando escrevermos Log a partir daqui neste trabalho, entenderemos o Logaritmo na base decimal e escrevemos:

y = Log(x)

para entender que y é o Logaritmo de x na base 10 e nesta base 10, temos algumas características interessantes com os logaritmos das potências de 10

1. Log(1)=0

2. Log(0) não tem sentido

3. Log(10)=Log(10¹)=1

4. Log(1/10)=Log(10^-1)=-1

5. Log(100)=Log(10²)=2

6. Log(1/100)=Log(10^-2)=-2

7. Log(1000)=Log(10³)=3

8. Log(1/1000)=Log(10^-3)=-3

9. Log(10ⁿ)=n

10. Log(10^-n)=-n

A partir da propriedade

Log 10ⁿ=n

temos que o Logaritmo de 10ⁿ na base 10 é o expoente n, o que nos faz pensar que para todo x real positivo vale a relação:

Log(10^x) = x

Definição estranha de logaritmo

A última expressão mostrada acima é correta e existe uma outra relação muito mais geral do que esta, pois o Logaritmo de um número real positivo x na base b é igual ao número e se, e somente se, x pode ser escrito como a potência b elevada ao expoente e, isto é:

Log_b(x) = e   se, e somente se,   x = b^e

Em livros de Matemática elementar, esta é tomada como a definição de Logaritmo de um número em uma certa base, o que é estranho pois tal definição é cíclica:

• Define-se o logarítmo em função da exponencial;

• Define-se a exponencial em função do logaritmo.

Cálculos de logaritmos de alguns números

Com a definição estranha é possível obter o um valor aproximado para o Log(2). Consideremos que y=Log(2) e 10^y=2. Inicialmente, temos que Log(2) é positivo e menor do que 1, pois 1<2<10 assim

0

É interessante obter dois números que sejam potências de 2 e que estejam muito próximos de potências de 10.

Por exemplo:

1000<1024=2¹⁰
8192=2¹³<10000,

logo 1000<1024<8192<10000, assim, aplicando o logaritmo de base 10, teremos:

3<10 Log(2)<13 Log(2)<4

então

0,300=3/10

e a média aritmética entre 0,300 e 0,308 é 0,304, que é uma boa estimativa para Log(2), isto é:

Log(2)=0,304

O ideal é encontrar outras potências de 10 que estejam próximas de potências de 2, o que não é fácil para alguém que não tenha uma calculadora que opere com muitos decimais, o que pode ser visualizado através da tabela mostrando algumas de tais potências:

Em Cálculo Diferencial e Integral, podemos desenvolver a função Ln através de uma série de potências de x para calcular logaritmos de números reais positivos com -1

Ln(1+x) = x – (1/2) x² + (1/3) x³ – (1/4) x⁴ + (1/5) x⁵ + …

Uma outra série mais eficiente, permite obter o valor de Ln(y) para qualquer y real desde que se saiba o valor de x para o qual y=(1+x)/(1-x).

Ln(y) = 2 [ x + (1/3) x³ + (1/5) x⁵ + (1/7) x⁷ + … ]

Por exemplo, para obter Ln(3), tomamos y=3 e deveremos ter x=1/2 para satisfazer à relação y=(1+x)/(1-x).

Voltando ao estudo básico, Log(2)=0,3010299956639812… e com este valor, podemos obter os logaritmos das potências de 2, como por exemplo:

1. Log(4)=Log(2²)=2Log(2)=0,60206

2. Log(8)=Log(2³)=3Log(2)=0,90309

3. Log(16)=Log(2⁴)=4Log(2)=1,20412

4. Log(32)=Log(2⁵)=5Log(2)=1,50515

5. Log(2ⁿ)=n.Log(2)

6. Log(1/2)=Log(2^-1)=(-1)Log(2)=-0,30103

7. Log(1/4)=Log(2^-2)=(-2)Log(2)=-0,60206

8. Log(1/8)=Log(2^-3)=(-3)Log(2)=-0,90309

9. Log(1/16)=Log(2^-4)=(-4)Log(2)=-1,20412

10. Log(1/32)=Log(2^-5)=(-5)Log(2)=-1,50515

11. Log(2^-n)=(-n).Log(2)

Temos também que Log(3)=0,47712, o que nos permite realizar uma grande quantidade de cálculos com logaritmos.

Com Log(2) e Log3, não é possível calcular os logaritmos dos números primos maiores do que 5, mas é possível obter uma grande quantidade de logaritmos de números naturais.

Exemplo: Usaremos Log(2)=0,301 e Log(3)=0,477, para calcular alguns logaritmos.

1. Log(5)=Log(10/2)=Log(10)-Log(2)=1-0,301=0,699

2. Log(6)=Log(2.3)=Log(2)+Log(3)=0,301+0,477=0,778

3. Log(8)=Log(2³)=3 Log(2)=0,903

4. Log(9)=Log(3²)=2 Log(3)=0,954

Uma estimativa razoável para Log(7)=0,8451 pode ser obtida com a média aritmética entre Log(6) e Log(8), isto é:

Log(7)=0,840

Característica e mantissa de um logaritmo na base 10

Se um número está entre duas potências consecutivas de 10, o expoente da menor delas é a característica do logaritmo deste número e a diferença entre o logaritmo do número e a característica é a mantissa que é a parte decimal do logaritmo.

Observação: Na tabela abaixo aparece o sinal negativo para o logaritmo apenas para o número que está antes da vírgula.

Esta notação simplifica operações com logaritmos, visando mostrar que, se a divisão de dois números é um múltiplo de 10, basta mudar a característica e preservar a mantissa do logaritmo. 

¯3,30103 significa que apenas a característica é negativa, valendo -3 e ela deve ser somada à mantissa que é um número positivo 0,30103 e isto significa que o resultado deve ser um número com um sinal negativo, isto é, -2,69897.

 A FUNÇÃO LOGARÍTIMICA

Considere a função y = a^x , denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1, definida para todo x real.

Observe que nestas condições, a^x é um número positivo, para todo x Î R, onde R é o conjunto dos números reais.

Denotando o conjunto dos números reais positivos por R₊^* , poderemos escrever a função exponencial como segue:
f: R ® R₊^* ; y = a^x , 0 < a ¹ 1

Esta função é bijetora, pois:
a) é injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.
b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio.

Assim sendo, a função exponencial é BIJETORA e, portanto, é uma função inversível, OU SEJA, admite uma função inversa.

Vamos determinar a função inversa da função y = a^x , onde 0 < a ¹ 1.
Permutando x por y, vem:
x = a^y  y = log_ax

Portanto, a função logarítmica é então:
f: R₊^* ® R ; y = log_ax , 0 < a ¹ 1.

Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial ( y = a^x ) e logarítmica
( y = log_ax ), para os casos a > 1 e 0 < a ¹ 1. Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x.

Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que:

1 – para a > 1, as funções exponencial e logarítmica são CRESCENTES.
2 – para 0 < a ¹ 1, elas são DECRESCENTES.
3 – o domínio da função y = log_ax é o conjunto R₊^* .
4 – o conjunto imagem da função y = log_ax é o conjunto R dos números reais.
5 – o domínio da função y = a^x é o conjunto R dos números reais.
6 – o conjunto imagem da função y = a^x é o conjunto R₊^* .
7 – observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto imagem da função logarítmica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto imagem da função exponencial. Isto ocorre porque as funções são inversas entre si.

Vamos agora, resolver os seguintes exercícios sobre logaritmos:

1 – Se S é a soma das raízes da equação log² x – logx – 2 = 0 , então calcule o valor
de 1073 – 10S.

SOLUÇÃO:
Façamos logx = y; vem:
y² – y – 2 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima, encontramos: y = 2 ou y = -1.
Portanto,
logx = 2 OU logx = -1

Como a base é igual a 10, teremos:
log₁₀x = 2  x = 10² = 100
log₁₀x = -1  x = 10^-1 = 1/10

As raízes procuradas são, então, 100 e 1/10.
Conforme enunciado do problema, teremos:
S = 100 + 1/10 = 1000/10 + 1/10 = 1001/10

Logo, o valor de 1073 – 10S será:
1073 – 10(1001/10) = 1073 – 1001 = 72
Resp: 72

2 – Calcule o valor de y = 6^x onde x = log₃2 . log₆3 .

SOLUÇÃO:
Substituindo o valor de x, vem:
y = 6^log₃^{2 . log}₆³ = (6^log₆³)^log₃² = 3^log₃² = 2
Na solução acima, empregamos a propriedade b^log_b^M = M , vista anteriormente.
Resp: 2

3 – UEFS – Sendo log 2 = 0,301, o número de algarismos de 5²⁰ é:
a) 13
b) 14
c) 19
d) 20
e) 27

SOLUÇÃO:
Seja n = 5²⁰ . Podemos escrever, usando logaritmo decimal:
log n = log 5²⁰ = 20.log5

Para calcular o valor do logaritmo decimal de 5, ou seja, log5, basta lembrar que podemos escrever:
log 5 = log (10/2) = log 10 – log 2 = 1 – 0,301 = 0,699

Portanto, log n = 20 . 0,699 = 13,9800
Da teoria vista acima, sabemos que se log n = 13,9800, isto significa que a característica do log decimal vale 13 e, portanto, o número n possui 13 + 1 , ou seja 14 algarismos.
Portanto, a resposta correta é a letra B.

4 – UFBA – Considere a equação 10^{x + 0,4658} = 368. Sabendo-se que
log 3,68 = 0,5658 , calcule 10x.

SOLUÇÃO:
Temos: 10^{x + 0,4658} = 368
Daí, podemos escrever:
log 368 = x + 0,4658  x = log 368 – 0,4658
Ora, é dado que: log 3,68 = 0,5658, ou seja:
log(368/100) = 0,5658

Logo, log 368 – log 100 = 0,5658  log 368 – 2 = 0,5658 , já que
log 100 = 2 (pois 10² = 100).
Daí, vem então:
log 368 = 2,5658

Então, x = log 368 – 0,4658 = 2,5658 – 0,4658 = 2,1
Como o problema pede o valor de 10x, vem: 10.2,1 = 21
Resp: 21

5 – Se log N = 2 + log 2 – log 3 – 2log 5 , calcule o valor de 30N.

SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
logN = 2 + log2 – log3 – log5²
logN = 2 + log2 – log3 – log25
logN = 2 + log2 – (log3 + log25)
Como 2 = log100, fica:
logN = (log100 + log2) – (log3 + log25)
logN = log(100.2) – log(3.25)
logN = log200 – log75
logN = log(200/75)

Logo, concluímos que N = 200/75
Simplificando, fica:
N = 40/15 = 8/3
Logo, 30N = 30(8/3) = 80
Resp: 30N = 80

Agora, resolva estes:

1 – UFBA – Sendo log2 = 0,301 e x = 5³ . , então o logx é:
*a) 2,997
b) 3,398
c) 3,633
d) 4,398
e) 5,097

2 – UEFS – O produto das raízes da equação log(x² -7x + 14) = 2log2 é:
01) 5
02) 7
*03) 10
04) 14
05) 35

3 – UCSal – Se 12ⁿ⁺¹ = 3ⁿ⁺¹ . 8 , então log₂ n é igual a:
a) -2
*b) -1
c) 1/2
d) 1
e) 2

4 – UEFS – O domínio da função y = log [(2x-3)/(4-x)] é:
a) (-3/2,4)
b) (-4,3/2)
c) (-4,2)
*d) (3/2,4)
e) (3/2,10)

5 – UFBA – Determine o valor de x que satisfaz à equação log₂ (x-3) + log₂ (x-2) = 1.
Resp: 4

6 – UFBA – Existe um número x diferente de 10, tal que o dobro do seu logaritmo decimal excede de duas unidades o logaritmo decimal de x-9. Determine x.
Resp: 90

7 – PUC-SP – O logaritmo, em uma base x, do número y = 5 + x/2 é 2. Então x é igual a:
a) 3/2
b) 4/3
c) 2
d)5
*e) 5/2

8 – PUC-SP – Se x+y = 20 e x – y = 5 , então log(x² – y² ) é igual a:
a) 100
*b) 2
c) 25
d) 12,5
e) 1000
Sugestão: observe que x² – y² = (x – y) (x + y)