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A hipérbole equilátera
Seja a função real f(x)=1/x definida para todo x diferente de zero. O gráfico desta função é a curva plana denominada hipérbole equilátera, sendo que um ramo da hipérbole está no primeiro quadrante e o outro está localizado no terceiro quadrante.
Esta curva tem importantes aplicações em Ótica e construções de óculos, lentes, telescópios, estudos de química, estudos em economia, etc.
Definição de Logaritmo
O logaritmo natural (ou neperiano) de u, muitas vezes, denotado por Ln(u), pode ser definido do ponto de vista geométrico, como a área da região plana localizada sob o gráfico da curva y=1/x, acima do eixo y=0, entre as retas x=1 e x=u, que está no desenho colorido de vermelho.
A área em vermelho representa o logaritmo natural de u, denotado por Ln(u). Em função do gráfico, em anexo, usaremos a definição:
Ln(u)=área(1,u)
Se u>1, a região possuirá uma área bem definida, mas tomando u=1, a região se reduzirá a uma linha vertical (que não posssui área ou seja, possui área nula) e neste caso tomaremos Ln(1)=área(1,1). Assim:
Ln(1)=0
Quando aumentamos os valores de u, esta função também aumenta os seus valores, o que significa que esta função é crescente para valores de u>0.
O conceito de Integral de uma função real, normalmente estudado na disciplina Cálculo Diferencial e Integral, justifica a forma como apresentamos o Logaritmo natural de um número real.
Propriedades gerais dos logaritmos
Com o uso deste conceito fundamental da Matemática, é possível demonstrar várias propriedades dos Logaritmos naturais (o que não será feito aqui), para números reais positivos x e y e para qualquer número real k, desde que tenham sentido as expressões matemáticas:
Propriedades básicas dos logaritmos naturais
Ln(1)=0
Ln(x.y)=Ln(x)+Ln(y)
Ln(xk)=k.Ln(x)
Ln(x/y)=Ln(x)-Ln(y)
Algumas simplificações matemáticas
As propriedades dos Logaritmos podem ser usadas para simplificar expressões matemáticas.
Exemplos:
Ln(5)+4.Ln(3)=Ln(5)+Ln(34=Ln(5.34)=Ln(405)
(1/2)Ln(4t²)-Ln(t)=Ln[(4t²)½]-Ln(t)=Ln(2), se t>0
Ln(a)+L(b)-Ln(c)+Ln(10)=Ln(10a.b/c)
Exercício: Qual dos números é o menor: 2.Ln(3) ou 3.Ln(2)? Observamos que:
2 Ln(3) = Ln(3²) = Ln(9)
3 Ln(2) = Ln(2³) = Ln(8)
e como a função Ln é crescente, então:
3 Ln(2) = Ln(8) Existe um importante número real e=2,71828… (atribuído a Euler) tal que Ln(e) = 1 A partir da observação anterior, o número e representa a base para os logaritmos naturais e poderemos escrever: Ln(u) = Loge(u) que lemos como “logaritmo do número real u na base e”. A partir do exposto acima, temos uma propriedade que possibilita a mudança logarítmica de uma base positiva para outra base positiva, sendo que ambas devem ser diferentes de 1. Loga(b) = Ln(b) / Ln(a) Exercício: Você saberia a razão pela qual não é possível definir logaritmo de um número na base 1? No âmbito do Ensino Médio, usa-se bastante a base 10, uma vez que neste ambiente a base decimal recebe as preferências para o trabalho com o nosso sistema de numeração, mas devemos observar que em contextos mais avançados, a base decimal tem pouca utilidade. Quando escrevermos Log a partir daqui neste trabalho, entenderemos o Logaritmo na base decimal e escrevemos: y = Log(x) para entender que y é o Logaritmo de x na base 10 e nesta base 10, temos algumas características interessantes com os logaritmos das potências de 10 Log(1)=0 Log(0) não tem sentido Log(10)=Log(101)=1 Log(1/10)=Log(10-1)=-1 Log(100)=Log(10²)=2 Log(1/100)=Log(10-2)=-2 Log(1000)=Log(10³)=3 Log(1/1000)=Log(10-3)=-3 Log(10n)=n Log(10-n)=-n A partir da propriedade Log 10n=n temos que o Logaritmo de 10n na base 10 é o expoente n, o que nos faz pensar que para todo x real positivo vale a relação: Log(10x) = x A última expressão mostrada acima é correta e existe uma outra relação muito mais geral do que esta, pois o Logaritmo de um número real positivo x na base b é igual ao número e se, e somente se, x pode ser escrito como a potência b elevada ao expoente e, isto é: Logb(x) = e se, e somente se, x = be Em livros de Matemática elementar, esta é tomada como a definição de Logaritmo de um número em uma certa base, o que é estranho pois tal definição é cíclica: Define-se o logarítmo em função da exponencial; Define-se a exponencial em função do logaritmo. Com a definição estranha é possível obter o um valor aproximado para o Log(2). Consideremos que y=Log(2) e 10y=2. Inicialmente, temos que Log(2) é positivo e menor do que 1, pois 1<2<10 assim 0 É interessante obter dois números que sejam potências de 2 e que estejam muito próximos de potências de 10. Por exemplo: 1000<1024=210 logo 1000<1024<8192<10000, assim, aplicando o logaritmo de base 10, teremos: 3<10 Log(2)<13 Log(2)<4 então 0,300=3/10 e a média aritmética entre 0,300 e 0,308 é 0,304, que é uma boa estimativa para Log(2), isto é: Log(2)=0,304 O ideal é encontrar outras potências de 10 que estejam próximas de potências de 2, o que não é fácil para alguém que não tenha uma calculadora que opere com muitos decimais, o que pode ser visualizado através da tabela mostrando algumas de tais potências: Em Cálculo Diferencial e Integral, podemos desenvolver a função Ln através de uma série de potências de x para calcular logaritmos de números reais positivos com -1 Ln(1+x) = x – (1/2) x² + (1/3) x³ – (1/4) x4 + (1/5) x5 + … Uma outra série mais eficiente, permite obter o valor de Ln(y) para qualquer y real desde que se saiba o valor de x para o qual y=(1+x)/(1-x). Ln(y) = 2 [ x + (1/3) x³ + (1/5) x5 + (1/7) x7 + … ] Por exemplo, para obter Ln(3), tomamos y=3 e deveremos ter x=1/2 para satisfazer à relação y=(1+x)/(1-x). Voltando ao estudo básico, Log(2)=0,3010299956639812… e com este valor, podemos obter os logaritmos das potências de 2, como por exemplo: Log(4)=Log(2²)=2Log(2)=0,60206 Log(8)=Log(2³)=3Log(2)=0,90309 Log(16)=Log(24)=4Log(2)=1,20412 Log(32)=Log(25)=5Log(2)=1,50515 Log(2n)=n.Log(2) Log(1/2)=Log(2-1)=(-1)Log(2)=-0,30103 Log(1/4)=Log(2-2)=(-2)Log(2)=-0,60206 Log(1/8)=Log(2-3)=(-3)Log(2)=-0,90309 Log(1/16)=Log(2-4)=(-4)Log(2)=-1,20412 Log(1/32)=Log(2-5)=(-5)Log(2)=-1,50515 Log(2-n)=(-n).Log(2) Temos também que Log(3)=0,47712, o que nos permite realizar uma grande quantidade de cálculos com logaritmos. Com Log(2) e Log3, não é possível calcular os logaritmos dos números primos maiores do que 5, mas é possível obter uma grande quantidade de logaritmos de números naturais. Exemplo: Usaremos Log(2)=0,301 e Log(3)=0,477, para calcular alguns logaritmos. Log(5)=Log(10/2)=Log(10)-Log(2)=1-0,301=0,699 Log(6)=Log(2.3)=Log(2)+Log(3)=0,301+0,477=0,778 Log(8)=Log(2³)=3 Log(2)=0,903 Log(9)=Log(3²)=2 Log(3)=0,954 Uma estimativa razoável para Log(7)=0,8451 pode ser obtida com a média aritmética entre Log(6) e Log(8), isto é: Log(7)=0,840 Se um número está entre duas potências consecutivas de 10, o expoente da menor delas é a característica do logaritmo deste número e a diferença entre o logaritmo do número e a característica é a mantissa que é a parte decimal do logaritmo. Observação: Na tabela abaixo aparece o sinal negativo para o logaritmo apenas para o número que está antes da vírgula. Esta notação simplifica operações com logaritmos, visando mostrar que, se a divisão de dois números é um múltiplo de 10, basta mudar a característica e preservar a mantissa do logaritmo. ¯3,30103 significa que apenas a característica é negativa, valendo -3 e ela deve ser somada à mantissa que é um número positivo 0,30103 e isto significa que o resultado deve ser um número com um sinal negativo, isto é, -2,69897. A FUNÇÃO LOGARÍTIMICA Considere a função y = ax , denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1, definida para todo x real. Observe que nestas condições, ax é um número positivo, para todo x Î R, onde R é o conjunto dos números reais. Denotando o conjunto dos números reais positivos por R+* , poderemos escrever a função exponencial como segue: Esta função é bijetora, pois: Assim sendo, a função exponencial é BIJETORA e, portanto, é uma função inversível, OU SEJA, admite uma função inversa. Vamos determinar a função inversa da função y = ax , onde 0 < a ¹ 1. Portanto, a função logarítmica é então: Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial ( y = ax ) e logarítmica Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que: 1 – para a > 1, as funções exponencial e logarítmica são CRESCENTES. Vamos agora, resolver os seguintes exercícios sobre logaritmos: 1 – Se S é a soma das raízes da equação log2 x – logx – 2 = 0 , então calcule o valor SOLUÇÃO: Como a base é igual a 10, teremos: As raízes procuradas são, então, 100 e 1/10. Logo, o valor de 1073 – 10S será: 2 – Calcule o valor de y = 6x onde x = log32 . log63 . SOLUÇÃO: 3 – UEFS – Sendo log 2 = 0,301, o número de algarismos de 520 é: SOLUÇÃO: Para calcular o valor do logaritmo decimal de 5, ou seja, log5, basta lembrar que podemos escrever: Portanto, log n = 20 . 0,699 = 13,9800 4 – UFBA – Considere a equação 10x + 0,4658 = 368. Sabendo-se que SOLUÇÃO: Logo, log 368 – log 100 = 0,5658 log 368 – 2 = 0,5658 , já que Então, x = log 368 – 0,4658 = 2,5658 – 0,4658 = 2,1 5 – Se log N = 2 + log 2 – log 3 – 2log 5 , calcule o valor de 30N. SOLUÇÃO: Logo, concluímos que N = 200/75 Agora, resolva estes: 1 – UFBA – Sendo log2 = 0,301 e x = 53 . 2 – UEFS – O produto das raízes da equação log(x2 -7x + 14) = 2log2 é: 3 – UCSal – Se 12n+1 = 3n+1 . 8 , então log2 n é igual a: 4 – UEFS – O domínio da função y = log [(2x-3)/(4-x)] é: 5 – UFBA – Determine o valor de x que satisfaz à equação log2 (x-3) + log2 (x-2) = 1. 6 – UFBA – Existe um número x diferente de 10, tal que o dobro do seu logaritmo decimal excede de duas unidades o logaritmo decimal de x-9. Determine x. 7 – PUC-SP – O logaritmo, em uma base x, do número y = 5 + x/2 é 2. Então x é igual a: 8 – PUC-SP – Se x+y = 20 e x – y = 5 , então log(x2 – y2 ) é igual a: Base para um logaritmo
Logaritmo decimal
Definição estranha de logaritmo
Cálculos de logaritmos de alguns números
8192=213<10000,Intervalo Valores Média 1<2 <10 0 0,500 1<2²<10 0 0,250 10<24<10² 1/4 0,375 10<25<10² 1/5 0,300 10<26<10² 1/6 0,250 10²<28<10³ 2/8 0,313 10³<210<104 3/10 0,350 10³<211<104 3/11 0,318 10³<212<104 3/12 0,292 10³<213<104 3/13 0,269 104<214<105 4/14 0,321 104<215<105 4/15 0,300 104<216<105 4/16 0,282 105<217<106 5/17 0,393 105<218<106 5/18 0,306 105<219<106 5/19 0,289 106<220<107 6/20 0,325 Característica e mantissa de um logaritmo na base 10
Número Logaritmo Característica Mantissa 0,002 ¯3,30103 -3 0,30103 0,02 ¯2,30103 -2 0,30103 0,2 ¯1,30103 -1 0,30103 2 0,30103 0 0,30103 20 1,30103 1 0,30103 200 2,30103 2 0,30103 2000 3,30103 3 0,30103
f: R ® R+* ; y = ax , 0 < a ¹ 1
a) é injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.
b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio.
Permutando x por y, vem:
x = ay y = logax
f: R+* ® R ; y = logax , 0 < a ¹ 1.
( y = logax ), para os casos a > 1 e 0 < a ¹ 1. Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x.
2 – para 0 < a ¹ 1, elas são DECRESCENTES.
3 – o domínio da função y = logax é o conjunto R+* .
4 – o conjunto imagem da função y = logax é o conjunto R dos números reais.
5 – o domínio da função y = ax é o conjunto R dos números reais.
6 – o conjunto imagem da função y = ax é o conjunto R+* .
7 – observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto imagem da função logarítmica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto imagem da função exponencial. Isto ocorre porque as funções são inversas entre si.
de 1073 – 10S.
Façamos logx = y; vem:
y2 – y – 2 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima, encontramos: y = 2 ou y = -1.
Portanto,
logx = 2 OU logx = -1
log10x = 2 x = 102 = 100
log10x = -1 x = 10-1 = 1/10
Conforme enunciado do problema, teremos:
S = 100 + 1/10 = 1000/10 + 1/10 = 1001/10
1073 – 10(1001/10) = 1073 – 1001 = 72
Resp: 72
Substituindo o valor de x, vem:
y = 6log32 . log63 = (6log63)log32 = 3log32 = 2
Na solução acima, empregamos a propriedade blogbM = M , vista anteriormente.
Resp: 2
a) 13
b) 14
c) 19
d) 20
e) 27
Seja n = 520 . Podemos escrever, usando logaritmo decimal:
log n = log 520 = 20.log5
log 5 = log (10/2) = log 10 – log 2 = 1 – 0,301 = 0,699
Da teoria vista acima, sabemos que se log n = 13,9800, isto significa que a característica do log decimal vale 13 e, portanto, o número n possui 13 + 1 , ou seja 14 algarismos.
Portanto, a resposta correta é a letra B.
log 3,68 = 0,5658 , calcule 10x.
Temos: 10x + 0,4658 = 368
Daí, podemos escrever:
log 368 = x + 0,4658 x = log 368 – 0,4658
Ora, é dado que: log 3,68 = 0,5658, ou seja:
log(368/100) = 0,5658
log 100 = 2 (pois 102 = 100).
Daí, vem então:
log 368 = 2,5658
Como o problema pede o valor de 10x, vem: 10.2,1 = 21
Resp: 21
Podemos escrever:
logN = 2 + log2 – log3 – log52
logN = 2 + log2 – log3 – log25
logN = 2 + log2 – (log3 + log25)
Como 2 = log100, fica:
logN = (log100 + log2) – (log3 + log25)
logN = log(100.2) – log(3.25)
logN = log200 – log75
logN = log(200/75)
Simplificando, fica:
N = 40/15 = 8/3
Logo, 30N = 30(8/3) = 80
Resp: 30N = 80, então o logx é:
*a) 2,997
b) 3,398
c) 3,633
d) 4,398
e) 5,097
01) 5
02) 7
*03) 10
04) 14
05) 35
a) -2
*b) -1
c) 1/2
d) 1
e) 2
a) (-3/2,4)
b) (-4,3/2)
c) (-4,2)
*d) (3/2,4)
e) (3/2,10)
Resp: 4
Resp: 90
a) 3/2
b) 4/3
c) 2
d)5
*e) 5/2
a) 100
*b) 2
c) 25
d) 12,5
e) 1000
Sugestão: observe que x2 – y2 = (x – y) (x + y)