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SALA DE ESTUDOS

Polinômios

Entenda polinômios

1 – Definição : Seja C o conjunto dos números complexos ( números da forma a + bi , onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária tal que i2 = -1) . Entende-se por polinômio em C à função:

P(x) = aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an , onde os números complexos ao , a1 , … , an são os coeficientes , n é um número natural denominado grau do polinômio e x é a variável do polinômio.

Exemplo: P(x) = x5 + 3x2 – 7x + 6 (ao = 1 , a= 0 , a2 = 0 , a3 = 3 , a4 = -7 e a5 = 6 ). – Nesse caso, o grau de P(x) é igual a 5.

Atenção! Os polinômios recebem nomes particulares a saber:

Binômios: possuem dois termos. Exemplo: r(x) = 3x + 1 (grau 1).
Trinômios: possuem 3 termos. Exemplo: q(x) = 4x2 + x – 1 ( grau 2).

1.1 – Valor numérico do polinômio

Sendo m um número complexo (lembre-se que todo número real é também um número complexo) , denominamos valor numérico de um polinômio P(x) para x = m , ao valor P(m) ou seja o valor que obtemos substituindo x por m .

Exemplo: Qual o valor numérico do polinômio p(x) = x3 – 5x + 2 para x = -1?
Teremos, substituindo a variável x por x = -1 Þ p(-1) = (-1)3 – 5(-1) + 2 = -1 + 5 + 2 = 6  p(-1) = 6.

1.2 – Raiz (ou zero) de um polinômio

O número complexo m é raiz ou zero do polinômio P(x) quando P(m) = 0 .
Exemplos: i é raiz do polinômio P(x) = x2 + 1 , pois P(i) = 0 (Lembre-se que i2 = -1, ou seja , o quadrado da unidade imaginária é igual a -1).

O número natural 2 é raiz do polinômio P(x) = x3 – 2x2 – x + 2 , pois P(2) = 0 (verifique!) .

1.3 – Soma dos coeficientes de um polinômio

Para calcular a soma S dos coeficientes de um polinômio P(x) , basta calcular o valor numérico do polinômio para x = 1 ou seja, calcular P(1).

Exemplos:
a) P(x) = 2x4 + 3x2 – 7x + 10 ® S = P(1) = 2 + 3 – 7 + 10 = 8.

b) Qual a soma dos coeficientes de S(x) = x156 + x?
Ora, substituindo x por 1, encontramos S = 2. (Lembre-se que 1156 = 1).

IMPORTANTE:

Às vezes, um polinômio pode vir expresso como uma potência do tipo (x + a)n , denominado binômio de Newton (Isaac Newton – físico, astrônomo e matemático inglês, 1642 – 1727) . Ainda assim, a propriedade anterior é válida. Por exemplo, qual a soma dos coeficientes do polinômio P(x) = ( 2x – 3)102 ? Ora, substituindo x por 1, vem: S = (2.1 – 3)102 = (2-3)102 = (-1)102 = 1 (lembre-se que toda potência de expoente par é positiva).

Outro exemplo:
Qual a soma dos coeficientes do polinômio T(x) = (5x + 1)4 ? Ora, temos para x=1 : S = T(1) = (5.1 + 1)4 = 64 = 6.6.6.6 = 1296

 

2 – IDENTIDADE DE POLINÔMIOS

2.1 – Polinômio identicamente nulo (ou simplesmente polinômio nulo) é aquele cujo valor numérico é igual a zero para todo valor da variável x . Indicamos P º 0 (polinômio nulo) .

Para um polinômio P(x) ser um polinômio nulo é necessário e suficiente que todos os seus coeficientes sejam nulos (iguais a zero) .

2.2 – Polinômios idênticos – São polinômios iguais . Se P e Q são polinômios idênticos , escrevemos P º Q . É óbvio que se dois polinômios são idênticos , então os seus coeficientes dos termos correspondentes são iguais . A expressão P º Q é denominada identidade .

 

EXERCÍCIO:

Sendo P(x) = Q(x) + x2 + x + 1 e sabendo que 2 é raiz de P(x) e 1 é raiz de Q(x) , calcule o valor de P(1) – Q(2) .

Solução : Ora, se 2 é raiz de P(x), então sabemos que P(2) = 0 e se 1 é raiz de Q(x) então Q(1) = 0. Temos então substituindo x por 1 na expressão dada : P(1) = Q(1) + 12 + 1 + 1  P(1) = 0 + 1 + 1+ 1 = 3. Então P(1) = 3. Analogicamente , poderemos escrever : P(2) = Q(2) + 22 + 2 + 1  0 = Q(2) + 7 , logo Q(2) = -7. Logo P(1) – Q(2) = 3 – (-7) = 3 + 7 = 10.

Resp: 10

3 – DIVISÃO DE POLINÔMIOS

Efetuar a divisão de um polinômio P(x) por outro polinômio D(x) não nulo , significa determinar um único par de polinômios Q(x) e R(x) que satisfazem às condições:

1) P(x) = D(x) . Q(x) + R(x) . (Analogia ® 46:6 = 7 e resto 4  46 = 6.7 + 4) .
2) gr R(x) < gr D(x) .

Obs : 1) se R(x) = 0 , então dizemos que P(x) é divisível por D(x) .

2) se gr P > gr D então gr (P : D) = gr P – gr D .
3) não se esqueça que o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor .
4) se gr P(x) < gr D(x) então Q(x) = 0 e R(x) = P(x) .

3.1 – RESTO DA DIVISÃO POR x – a .

Teorema do resto : o resto da divisão de P(x) por x – a é igual a P(a) .

Demonstração : Podemos escrever P(x) = (x – a) . Q(x) + R(x) ; logo fazendo x = a vem imediatamente que P(a) = (a – a) . Q(a) + R(a) , de onde se conclui que P(a) = R onde R é o resto da divisão .

Conseqüência : Se P(a) = 0 , então R = 0 ( R = resto ) e portanto , P(x) é divisível por x – a . Essa afirmação é conhecida como teorema de D’Alembert (Jean Le Rond D’Alembert (1717 – 1783) , célebre matemático francês, que teve o seu no nome tirado da Igreja de St. Jean Baptiste le Ronde, perto da Notre Dame de Paris , em cujos degraus foi encontrado abandonado quando criança! ).

Grande D’Alembert: conseguiu dar a volta por cima!

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