Por: Prof Adriano
A palavra “triângulo” tem origem do latim triangulu.
É uma figura geométrica plana (polígono) que possui três lados e três ângulos.
Elementos de um triângulo:
→ Lados de um triângulo:
São os segmentos de reta que formam o polígono.
→ Vértices de um triângulo:
São os pontos de encontro entre os lados.
→ Ângulos Internos de um triângulo:
São os ângulos que podem ser observados entre dois lados adjacentes de um triângulo.
→ Ângulos Externos de um triângulo:
São os ângulos que podem ser observados entre um lado de um triângulo e o prolongamento do lado adjacente a ele.
Classificações de triângulos quanto aos lados.
→ Triângulo Escaleno:
Triângulo que possui todos 3 lados com medidas diferentes.
→ Triângulo Isósceles:
Triângulo que possui 2 lados com medidas iguais e 1 lado com medida diferente dos outros 2 lados.
→ Triângulo Equilátero:
Triângulo que possui 3 lados com medidas iguais.
Classificações de triângulos quanto aos ângulos.
→ Triângulo Acutângulo:
Triângulo que possui os 3 ângulos com medidas menores que 90°.
→ Triângulo Retângulo:
Triângulo que possui 1 ângulo com medida igual a 90°.
→ Triângulo Obtusângulo:
Triângulo que possui 1 ângulo com medida superior a 90°.
Propriedades dos triângulos
1ª Propriedade:
A SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO sempre será IGUAL a 180°.
Exemplos:
2ª Propriedade:
A SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE UM TRIÂNGULO sempre será IGUAL a 360°.
Exemplo:
3ª Propriedade:
A MEDIDA DE UM ÂNGULO EXTERNO DE UM TRIÂNGULO é IGUAL À SOMA DAS MEDIDAS DOS DOIS ÂNGULOS INTERNOS NÃO ADJACENTES A ELE.
Exemplo:
4ª Propriedade:
A SOMA DAS MEDIDAS DE DOIS LADOS DE UM TRIÂNGULO é SEMPRE MAIOR QUE A MEDIDA DO TERCEIRO LADO.
Exemplo:
5ª Propriedade:
O MAIOR LADO DE UM TRIÂNGULO OPÕE-SE ao SEU MAIOR ÂNGULO.
Exemplo:
6ª Propriedade:
O MENOR LADO DE UM TRIÂNGULO OPÕE-SE ao SEU MENOR ÂNGULO.
Exemplo:
Condição de existência de um triângulo
Desigualdade Triangular.
1º → Em todo triângulo, cada lado é MENOR que a SOMA dos outros dois lados.
Exemplo:
2º → Em todo triângulo, cada lado é MAIOR que a DIFERENÇA dos outros dois lados.
Exemplo:
Como calcular a área de um triângulo?
Considere o triângulo qualquer representado abaixo, sua área será calculada, usando a seguinte fórmula:
Área do Triângulo Equilátero
O triângulo equilátero, também chamado de equiângulo, é um tipo de triângulo que possui todos os lados e ângulos internos congruentes (mesma medida).
Área do Triângulo Retângulo
O triângulo retângulo possui um ângulo reto (90º), e dois ângulos agudos (menores que 90º).
Desta maneira, das três alturas de um triângulo retângulo, duas coincidem com os lados desse triângulo.
Além disso, se conhecermos dois lados de um triângulo retângulo, usando o teorema de Pitágoras, facilmente encontramos o terceiro lado.
A hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo e o lado oposto ao ângulo reto.
Os outros dois lados são os catetos.
O ângulo formado por esses dois lados tem medida igual a 90º (ângulo reto).
Identificamos ainda os catetos, de acordo com um ângulo de referência, ou seja, o cateto poderá ser chamado de cateto adjacente ou cateto oposto.
Quando o cateto está junto ao ângulo de referência, é chamado de adjacente, por outro lado, se está contrário a este ângulo, é chamado de oposto.
TRIANGULO E TRIGONOMETRIA
Trigonometria (do grego trig?non “triângulo” + metron “medida”)
Trigonometria no Triângulo Retângulo
É uma palavra de origem grega que remete à medida de três ângulos.
Os estudos dessa área da Matemática voltam-se para os triângulos, que são polígonos que possuem três lados e, consequentemente, três ângulos.
O que são os ângulos?
Ângulo é uma medida expressa em graus que é atribuível à região ou conjunto de pontos situados entre duas semirretas de mesma origem.
O Ângulo em geral serve para definir a ABERTURA de duas semirretas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo.
A abertura do ângulo é uma propriedade invariante e é medida em radianos ou graus.
Como saber o grau de um ângulo?
Podemos usar um transferidor para medir quantos graus um ângulo têm.
Exemplo:
Vamos agora, aprender a desenhar ângulo de 30°
Primeiro Passo:
Marque um ponto “v” no papel
Segundo Passo:
Case este ponto “v” com o centro do transferidor
Terceiro Passo:
Trace uma semirreta “s” partindo-se do ponto “v”
Quarto Passo:
Trace uma semirreta “r” partindo-se do ponto “v”
Quinto Passo:
Retira-se o transferidor
Sexto Passo:
Marque o ângulo, neste caso 30º
Classificação de ângulos
Ângulo Agudo:
Ângulo com medida menor que 90º (0° < α < 90°).
Ângulo Reto
Ângulo com medida igual a 90º
Ângulo Obtuso
Ângulo com medida maior que 90º (90° < α < 180°)
Ângulo Raso
Ângulo com medida igual a 0º ou 180º
Ângulos Notáveis
No círculo trigonométrico podemos representar as razões trigonométricas de um ângulo qualquer da circunferência.
Chamamos de ângulos notáveis aqueles mais conhecidos (30°, 45°e 60°).
As razões trigonométricas mais usadas são Seno, Cosseno e Tangente:
Caso você não lembre da tabela, vamos construí-la:
Construindo a tabela das relações trigonométricas dos ângulos notáveis no triângulo retângulo.
Primeiro Passo:
Posicione os ângulos e as relações conforme o modelo
Segundo Passo
Numere de 1 a 3 abaixo dos ângulos, conforme modelo
Terceiro Passo:
Coloque a raiz quadrada nos algarismos de 1, 2 e 3, conforme modelo.
Quarto Passo
Extraia as raízes
Observação
Quinto Passo
Divide todos por 2
Sexto Passo
Para o Seno, basta copiar os valores:
Sétimo Passo
Para o Cosseno, basta pegar os valores do Seno e trocá-los de posição
Oitavo Passo
Para a Tangente, temos que dividir os valores do Seno pelo Cosseno
Nono Passo:
Agora, substitua os valores:
Trigonometria no Triângulo Retângulo
A trigonometria é a área que estuda as relações existentes nos triângulos que possuem um ângulo reto (90º).
As relações trigonométricas num triângulo retângulo são:
Dica para memorizar as três fórmulas:
Para o Seno e Cosseno
Eu tive um CASO com a HIPOTENUSA
Para a Tangente
Vamos ir num restaurante beber uma COCA cola?
