Teoria dos Conjuntos

Introdução aos conjuntos

No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição. Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, P.Halmos ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para o português sob o título (nada ingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos.

Alguns conceitos primitivos

Conjunto: representa uma coleção de objetos.

1. O conjunto de todos os brasileiros.

2. O conjunto de todos os números naturais.

3. O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0.

Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, …, Z.

Elemento: é um dos componentes de um conjunto.

1. José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.

2. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais.

3. -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x²-4=0.

Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, …, z.

Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.

1. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.

2. 1 pertence ao conjunto dos números naturais.

3. -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x²-4=0.

Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo  que se lê: “pertence”.

Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:

1  N

Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:

0  N

Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.

Algumas notações para conjuntos

Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:

Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.

1. A={a,e,i,o,u}

2. N={1,2,3,4,…}

3. M={João,Maria,José}

Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.

1. A={x: x é uma vogal}

2. N={x: x é um número natural}

3. M={x: x é uma pessoa da família de Maria}

Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: “Ven-óiler”) Os conjuntos são mostrados graficamente.

Subconjuntos

Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por AB, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.

Alguns conjuntos especiais

Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.

Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.

Reunião de conjuntos

A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

A  B = { x: x  A ou x  B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então AB={a,e,i,o,3,4}.

Interseção de conjuntos

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.

A  B = { x: x  A e x  B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então AB=Ø.

Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.

Propriedades dos conjuntos

1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por AB e a interseção de A e B, denotada por AB, ainda são conjuntos no universo.

2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:

   A  A = A   e   A  A = A

3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

   A  A  B,  B  A  B,  A  B  A,  A  B  B

4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

   A  B equivale a A  B = B
   A  B equivale a A  B = A

5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

   A  (B  C) = (A  B)  C
   A  (B  C) = (A  B)  C

6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

   A  B = B  A
   A  B = B  A

7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

   A  Ø = A

8. Elemento “nulo” para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.

   A  Ø = Ø

9. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

   A  U = A

10. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

    A  (B  C ) = (A  B)  (A  C)
    A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

    Os gráficos abaixo mostram a distributividade.

    

Diferença de conjuntos

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

A-B = {x: x  A e x  B}

Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:

Complemento de um conjunto

O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por C_AB, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

C_AB = A-B = {x: x  A e x  B}

Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:

Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento.

Exemplos: Ø^c=U e U^c=Ø.

Leis de Augustus De Morgan

1. O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses conjuntos.

   (A  B)^c = A^c  B^c

2. O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.

   (A₁  A₂ … A_n)^c = A₁^c  A₂^c … A_n^c

3. O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos.

   (A  B)^c = A^c  B^c

4. O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.

   (A₁  A₂ … A_n)^c = A₁^c  A₂^c … A_n^c

Diferença simétrica

A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.

AB = { x: xAB e xAB }

O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é:

Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que:

1. A=Ø se, e somente se, B=AB.

2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica. Usar o ítem anterior.

3. A diferença simétrica é comutativa.

4. A diferença simétrica é associativa.

5. AA=Ø (conjunto vazio).

6. A interseção entre A e BC é distributiva, isto é:

   A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

7. A  B está contida na reunião de AC e de BC, mas esta inclusão é própria, isto é:

   A  B  (A  C)  (B  C)