Densidade, pressão e Teorema de Stevin: o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

Densidade diz o quanto de massa cabe em um certo volume. Pressão diz o quanto de força age sobre uma certa área. Juntas, elas explicam por que um navio de aço flutua, por que um mergulhador sente os ouvidos apertarem e por que a água sobe por uma mangueira quando sugamos o ar dela. É um tema 🔥 Quente no ENEM e nos vestibulares, porque aparece em questões de Física sobre mergulho, barragens, vasos comunicantes, prensa hidráulica e pressão atmosférica, quase sempre com situações do cotidiano.

O Teorema de Stevin é a regra que amarra tudo: em um líquido em equilíbrio, a pressão cresce com a profundidade, e pontos na mesma horizontal, dentro do mesmo líquido, têm a mesma pressão. Se você entender que a pressão depende da profundidade e da densidade, e não do formato do recipiente nem da quantidade total de líquido, já está à frente da maioria dos candidatos.

\[ p = p_0 + d \cdot g \cdot h \]

Densidade e massa específica

A densidade de um corpo é a razão entre sua massa e seu volume: \( d = \frac{m}{V} \). Sua unidade no Sistema Internacional é quilograma por metro cúbico. A água tem densidade de 1.000 quilogramas por metro cúbico, ou 1 grama por centímetro cúbico. O ferro tem cerca de 7.800, o alumínio cerca de 2.700, o óleo cerca de 900 e o ar, ao nível do mar, cerca de 1,2, nas mesmas unidades. Esses valores ajudam a prever flutuação e afundamento, tema que vamos aprofundar na matéria sobre Arquimedes.

É preciso distinguir densidade de massa específica, embora na prova os termos muitas vezes sejam usados como sinônimos para líquidos e sólidos homogêneos. A massa específica refere-se ao material, enquanto a densidade de um corpo pode levar em conta vazios internos: um navio de aço flutua porque sua densidade média, contando o ar dentro do casco, é menor do que a da água, mesmo que a massa específica do aço seja maior. Do mesmo modo, uma bola de isopor oca e uma maciça, do mesmo material, têm massas específicas iguais, mas densidades médias diferentes.

Um erro comum é achar que um corpo maior é sempre mais denso. Densidade não depende do tamanho, mas da relação entre massa e volume. Um cubo de ferro de 1 centímetro de lado e um bloco de ferro de 1 metro de lado têm a mesma densidade, embora as massas sejam muito diferentes. O que muda com o tamanho é a massa total, não a densidade.

Pressão: força sobre área

Pressão é a força dividida pela área sobre a qual ela atua: \( p = \frac{F}{A} \). Sua unidade no Sistema Internacional é o pascal, e \( 1 \, \text{Pa} = 1 \, \text{N/m}^2 \). Uma mesma força produz uma pressão maior quando concentrada em uma área pequena, e menor quando espalhada por uma área grande. É por isso que um sapato de salto fino afunda na areia, enquanto um sapato de sola larga não, e por isso que uma faca afiada corta melhor do que uma faca cega: a área de contato da lâmina afiada é menor, e a pressão é maior.

A pressão atmosférica é a pressão exercida pelo ar sobre tudo o que está na superfície da Terra. Ao nível do mar, ela vale cerca de 100.000 pascals, ou 1 atmosfera, que também é cerca de 760 milímetros de mercúrio. Ela diminui com a altitude, porque há menos ar acima. Em uma cidade alta, a água ferve abaixo de 100 graus Celsius justamente porque a pressão atmosférica é menor. O barômetro mede essa pressão, e o manômetro mede a pressão de um gás ou líquido em um recipiente.

Quando falamos em pressão em um líquido, precisamos somar a pressão atmosférica, que age sobre a superfície livre, com a pressão devida à coluna de líquido. É aí que entra o Teorema de Stevin.

Teorema de Stevin

O Teorema de Stevin diz que a pressão em um ponto de um líquido em equilíbrio é \( p = p_0 + d \cdot g \cdot h \), em que \( p_0 \) é a pressão na superfície livre, geralmente a pressão atmosférica, \( d \) é a densidade do líquido, \( g \) é a aceleração da gravidade e \( h \) é a profundidade do ponto, medida a partir da superfície. A parcela \( d \cdot g \cdot h \) é chamada de pressão hidrostática, e cresce linearmente com a profundidade.

Três consequências são cobradas sem parar. Primeira: pontos na mesma profundidade, dentro do mesmo líquido em equilíbrio, têm a mesma pressão, qualquer que seja o formato do recipiente. É o princípio dos vasos comunicantes: a água atinge a mesma altura em tubos ligados, mesmo que um seja fino e outro largo. Segunda: a pressão não depende da quantidade total de líquido, mas só da profundidade e da densidade. Um tubo fino e alto pode exercer mais pressão na base do que um tanque largo e raso. Terceira: a diferença de pressão entre dois pontos depende só da diferença de profundidade: \( \Delta p = d \cdot g \cdot \Delta h \).

Exemplo resolvido. Qual é a pressão a 10 metros de profundidade em um lago, com densidade da água de 1.000 quilogramas por metro cúbico, gravidade de 10 metros por segundo ao quadrado e pressão atmosférica de 100.000 pascals?
Passo 1: pressão hidrostática é \( 1.000 \times 10 \times 10 = 100.000 \, \text{Pa} \).
Passo 2: pressão total é \( 100.000 + 100.000 = 200.000 \, \text{Pa} \), ou 2 atmosferas. A cada 10 metros de água, a pressão aumenta cerca de 1 atmosfera.

Outra aplicação clássica é a prensa hidráulica, baseada no Princípio de Pascal: um aumento de pressão aplicado a um líquido confinado se transmite integralmente a todos os pontos do líquido. Em uma prensa com êmbolos de áreas \( A_1 \) e \( A_2 \), uma força \( F_1 \) no êmbolo menor produz uma força \( F_2 \) no maior, com \( \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2} \). Se a área maior for dez vezes a menor, a força será dez vezes maior. É assim que um macaco hidráulico levanta um carro com pouco esforço, e que freios hidráulicos multiplicam a força do pé do motorista.

Exemplos resolvidos passo a passo

Exemplo 1. Um bloco de 2 quilogramas ocupa 0,001 metro cúbico. Qual é sua densidade?
Passo 1: \( d = \frac{m}{V} \).
Passo 2: \( d = \frac{2}{0,001} = 2.000 \, \text{kg/m}^3 \).

Exemplo 2. Uma força de 100 newtons atua sobre uma área de 0,05 metro quadrado. Qual é a pressão?
Passo 1: \( p = \frac{F}{A} \).
Passo 2: \( p = \frac{100}{0,05} = 2.000 \, \text{Pa} \).

Exemplo 3. Em uma prensa, o êmbolo menor tem área de 0,01 metro quadrado e recebe 50 newtons. O êmbolo maior tem área de 0,20 metro quadrado. Qual é a força no êmbolo maior?
Passo 1: pressão é igual nos dois: \( \frac{50}{0,01} = 5.000 \, \text{Pa} \).
Passo 2: \( F_2 = 5.000 \times 0,20 = 1.000 \, \text{N} \), vinte vezes maior.

Exemplo 4. Dois pontos em um mesmo lago estão a 3 e a 8 metros de profundidade. Qual é a diferença de pressão entre eles?
Passo 1: diferença de profundidade é 5 metros.
Passo 2: \( \Delta p = 1.000 \times 10 \times 5 = 50.000 \, \text{Pa} \).

Mapa mental

• Densidade, pressão e Stevin
  • Densidade: \( d = \frac{m}{V} \), não depende do tamanho
  • Pressão: \( p = \frac{F}{A} \), em pascals; área menor, pressão maior
  • Pressão atmosférica ao nível do mar: cerca de 100.000 Pa, 1 atm
  • Stevin: \( p = p_0 + dgh \); cresce com a profundidade
  • Mesma horizontal, mesmo líquido: mesma pressão
  • Pascal: pressão aplicada se transmite integralmente
  • Prensa: \( \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2} \)

SAQ — Perguntas e respostas curtas

1. O que é densidade?
É a razão entre a massa e o volume de um corpo, \( d = \frac{m}{V} \).

2. O que é pressão?
É a força dividida pela área sobre a qual ela atua, \( p = \frac{F}{A} \), medida em pascals.

3. Por que uma faca afiada corta melhor?
Porque sua área de contato é menor, então a pressão, para a mesma força, é maior.

4. O que diz o Teorema de Stevin?
Que a pressão em um líquido cresce com a profundidade, segundo \( p = p_0 + dgh \).

5. Pontos na mesma horizontal têm a mesma pressão?
Sim, se estiverem no mesmo líquido em equilíbrio.

6. O que é pressão hidrostática?
É a parcela \( dgh \), devida à coluna de líquido acima do ponto.

7. Como funciona a prensa hidráulica?
Pelo Princípio de Pascal: a pressão se transmite integralmente, e a força cresce com a área do êmbolo.

8. Por que a água ferve abaixo de 100 graus em lugares altos?
Porque a pressão atmosférica é menor em altitudes maiores.

Questões comentadas

As questões abaixo são inéditas, no estilo ENEM, criadas para esta matéria. Para mais treino, visite a sala de estudo.

Questão 1. Um corpo de 6 quilogramas ocupa 0,002 metro cúbico. Sua densidade é:
a) 12 kg/m³.
b) 300 kg/m³.
c) 3.000 kg/m³.
d) 12.000 kg/m³.
e) 0,012 kg/m³.
Gabarito: C. \( d = \frac{6}{0,002} = 3.000 \, \text{kg/m}^3 \).

Questão 2. Uma força de 200 newtons sobre uma área de 0,5 metro quadrado produz uma pressão de:
a) 100 Pa.
b) 400 Pa.
c) 1.000 Pa.
d) 40 Pa.
e) 200 Pa.
Gabarito: B. \( p = \frac{200}{0,5} = 400 \, \text{Pa} \).

Questão 3. A pressão a 10 metros de profundidade em um lago, com pressão atmosférica de 100.000 pascals, é de cerca de:
a) 100.000 Pa.
b) 150.000 Pa.
c) 200.000 Pa.
d) 300.000 Pa.
e) 10.000 Pa.
Gabarito: C. Soma-se a atmosfera com \( 1.000 \times 10 \times 10 = 100.000 \, \text{Pa} \).

Questão 4. Em vasos comunicantes com água, o nível da água:
a) é maior no tubo mais fino.
b) é maior no tubo mais largo.
c) é igual em todos os tubos.
d) depende da quantidade total de água.
e) depende do formato do tubo.
Gabarito: C. Pontos na mesma horizontal, no mesmo líquido, têm a mesma pressão, e o nível se iguala.

Questão 5. Em uma prensa hidráulica, a área do êmbolo maior é dez vezes a do menor. A força no êmbolo maior, em relação à aplicada no menor, é:
a) igual.
b) dez vezes menor.
c) dez vezes maior.
d) cem vezes maior.
e) a metade.
Gabarito: C. Pela igualdade de pressão, a força cresce na mesma proporção da área.

Questão 6. Um mergulhador desce de 10 para 20 metros. A pressão hidrostática sobre ele:
a) fica igual.
b) dobra.
c) cai à metade.
d) aumenta em 100.000 Pa.
e) diminui em 100.000 Pa.
Gabarito: D. A variação de 10 metros corresponde a \( 1.000 \times 10 \times 10 = 100.000 \, \text{Pa} \) a mais; a pressão total passa de 2 para 3 atmosferas.

Dica do professor

Em hidrostática, pergunte sempre: qual é a profundidade a partir da superfície livre? Não use a altura total do recipiente, nem a distância até o fundo, se o ponto não estiver no fundo. E, na pressão total, não esqueça de somar a pressão atmosférica, quando o enunciado pedir a pressão absoluta.

Atenção / cuidado

• Não confunda densidade com massa: um corpo grande pode ser pouco denso.
• Não confunda pressão com força: a mesma força dá pressões diferentes em áreas diferentes.
• Pressão em líquido depende da profundidade, não do formato do recipiente.
• Na pressão absoluta, some a pressão atmosférica; na hidrostática, não.
• Converta unidades antes de calcular: gramas e centímetros cúbicos não entram direto na fórmula em quilogramas e metros cúbicos sem conversão.

Conexão com outras áreas

Matemática: razões, proporções e conversão de unidades. Química: densidade de substâncias e separação de misturas. Biologia: pressão sanguínea e mergulho. Engenharia: barragens, prensas, freios hidráulicos e submarinos. Geografia: pressão atmosférica, altitude e clima. Para revisar, visite a sala de estudo, as páginas do ENEM e do vestibular e a lista de Física.

Incidência: 🔥 Quente — cai no ENEM e nos vestibulares. Matéria: Física 1 | Disciplina: Hidrostática | Tema: Densidade, pressão e Teorema de Stevin.