Princípio de Arquimedes: o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

Todo corpo mergulhado em um fluido recebe um empurrão para cima, chamado de empuxo. Esse empuxo é igual ao peso do fluido que o corpo desloca. É o Princípio de Arquimedes, e ele explica por que navios de aço flutuam, por que um iceberg fica quase todo escondido debaixo da água e por que nos sentimos mais leves dentro de uma piscina. É um tema 🔥 Quente no ENEM e nos vestibulares, porque aparece em questões de Física sobre flutuação, balões, submarinos, densímetros e leitura de balanças dentro da água.

A ideia que mais cai na prova é a comparação entre densidade do corpo e densidade do fluido. Se o corpo é menos denso que o fluido, ele flutua. Se é mais denso, ele afunda. Se tem exatamente a mesma densidade, fica em equilíbrio em qualquer profundidade, nem subindo nem descendo. Mas atenção: para um corpo que flutua, o empuxo não é calculado com o volume total do corpo, e sim com o volume da parte submersa, que é o volume de fluido realmente deslocado.

\[ E = d_{\text{fluido}} \cdot V_{\text{submerso}} \cdot g \]

O empuxo e sua fórmula

Quando um corpo é mergulhado em um fluido, a pressão na sua parte de baixo é maior do que na parte de cima, porque a parte de baixo está mais profunda. Essa diferença de pressão gera uma força resultante para cima: o empuxo. Seu módulo é \( E = d_{\text{fluido}} \cdot V_{\text{submerso}} \cdot g \), em que \( d_{\text{fluido}} \) é a densidade do fluido, \( V_{\text{submerso}} \) é o volume da parte do corpo que está dentro do fluido e \( g \) é a aceleração da gravidade.

Como o peso do fluido deslocado é a massa desse fluido vezes a gravidade, e a massa é densidade vezes volume, chegamos à mesma fórmula: empuxo é o peso do fluido deslocado. Essa é a frase clássica de Arquimedes, e vale para líquidos e para gases. Um balão de ar quente sobe porque o empuxo do ar sobre ele é maior do que seu peso, e um navio flutua porque o empuxo da água sobre seu casco equilibra seu peso total.

O empuxo não depende da profundidade em que o corpo está, desde que ele esteja totalmente submerso e o fluido tenha densidade constante. A pressão aumenta com a profundidade, mas a diferença de pressão entre a parte de cima e a de baixo do corpo, que é o que gera o empuxo, continua a mesma, se o volume submerso não mudar. Por isso, um submarino totalmente submerso sente o mesmo empuxo a 10 ou a 100 metros, embora a pressão total seja maior em maior profundidade.

Exemplo resolvido. Um bloco de volume 0,002 metro cúbico é totalmente mergulhado em água, de densidade 1.000 quilogramas por metro cúbico, com gravidade de 10 metros por segundo ao quadrado. O empuxo é \( 1.000 \times 0,002 \times 10 = 20 \, \text{N} \). Se o bloco pesa 50 newtons, ele afunda, porque o empuxo é menor do que o peso, e a força resultante para baixo é de 30 newtons. Se o mesmo bloco pesasse 20 newtons, ficaria em equilíbrio; se pesasse 10 newtons, subiria até flutuar parcialmente.

Flutua, afunda ou fica em equilíbrio

Para um corpo totalmente submerso, compare peso e empuxo. Se o peso for maior que o empuxo, o corpo desce. Se for menor, o corpo sobe. Se for igual, fica parado onde está. Como peso é \( d_{\text{corpo}} \cdot V \cdot g \) e empuxo é \( d_{\text{fluido}} \cdot V \cdot g \), com o mesmo volume e a mesma gravidade, a comparação se reduz à comparação das densidades: corpo mais denso que o fluido afunda, menos denso sobe, de mesma densidade fica em equilíbrio.

Para um corpo flutuando em equilíbrio, o empuxo equilibra o peso: \( E = P \). Nesse caso, o volume submerso é só uma fração do volume total. A fração submersa é igual à razão entre a densidade do corpo e a densidade do fluido: \( \frac{V_{\text{submerso}}}{V_{\text{total}}} = \frac{d_{\text{corpo}}}{d_{\text{fluido}}} \). Um iceberg, com densidade de cerca de 920 quilogramas por metro cúbico em água de 1.000, fica com 92 por cento do volume submerso e só 8 por cento visível. É a origem da expressão ponta do iceberg: a maior parte está escondida.

Um navio de aço flutua porque sua densidade média é menor do que a da água. O casco é oco e cheio de ar, então a massa total dividida pelo volume total do navio é pequena. Quando o navio é carregado, sua massa aumenta, sua densidade média aumenta e ele afunda um pouco mais, até que o novo empuxo equilibre o novo peso. A linha de marcação no casco, chamada de linha de Plimsoll, indica o limite seguro de carregamento em diferentes águas.

Submarinos controlam a flutuação enchendo ou esvaziando tanques de lastro com água. Com os tanques cheios de água, a densidade média aumenta e o submarino desce. Com os tanques cheios de ar comprimido, a densidade média diminui e ele sobe. Para ficar em equilíbrio em uma profundidade, o submarino ajusta a quantidade de água até que seu peso iguale o empuxo.

Peso aparente e balanças dentro da água

Dentro de um fluido, um corpo parece mais leve, porque o empuxo age para cima, contra o peso. O peso aparente é \( P_{\text{aparente}} = P – E \). Se um corpo pesa 100 newtons no ar e recebe um empuxo de 30 newtons na água, seu peso aparente é de 70 newtons, e é esse valor que uma balança ou um dinamômetro dentro da água marcaria. Essa ideia aparece muito em questões que pedem a leitura de uma balança com um corpo pendurado dentro de um recipiente com água.

Outra situação clássica é o densímetro, usado para medir a densidade de líquidos, como o álcool combustível ou a bateria de um carro. O densímetro é um tubo com peso na base que flutua verticalmente. Em um líquido mais denso, ele afunda menos; em um líquido menos denso, afunda mais. A escala marcada no tubo permite ler a densidade diretamente pela altura em que ele flutua. A mesma ideia vale para medir a densidade do leite ou da urina em exames.

Balões e dirigíveis funcionam pelo empuxo do ar. Um balão de ar quente sobe porque o ar aquecido dentro dele é menos denso do que o ar frio de fora, então o peso total do balão fica menor do que o empuxo do ar deslocado. Um balão de hélio sobe pelo mesmo motivo: o hélio é muito menos denso do que o ar. Quando o balão sobe muito, o ar fica mais rarefeito, o empuxo diminui e o balão para de subir, atingindo uma altura de equilíbrio.

Exemplos resolvidos passo a passo

Exemplo 1. Um corpo de 0,005 metro cúbico é totalmente submerso em água. Qual é o empuxo, com gravidade de 10 metros por segundo ao quadrado?
Passo 1: \( E = d \cdot V \cdot g \).
Passo 2: \( E = 1.000 \times 0,005 \times 10 = 50 \, \text{N} \).

Exemplo 2. Um bloco pesa 80 newtons no ar e 60 newtons dentro da água. Qual é o empuxo?
Passo 1: peso aparente é peso menos empuxo.
Passo 2: \( 60 = 80 – E \), logo \( E = 20 \, \text{N} \).

Exemplo 3. Uma esfera de densidade 500 quilogramas por metro cúbico flutua na água. Qual fração fica submersa?
Passo 1: fração é \( \frac{d_{\text{corpo}}}{d_{\text{fluido}}} \).
Passo 2: \( \frac{500}{1.000} = 0,5 \), ou 50 por cento.

Exemplo 4. Um navio pesa 1.000.000 newtons e flutua em água de densidade 1.000 quilogramas por metro cúbico. Qual é o volume de água deslocado?
Passo 1: flutuando, empuxo é igual ao peso, 1.000.000 newtons.
Passo 2: \( 1.000.000 = 1.000 \times V \times 10 \), logo \( V = 100 \, \text{m}^3 \).

Mapa mental

• Princípio de Arquimedes
  • Empuxo: \( E = d_{\text{fluido}} \cdot V_{\text{submerso}} \cdot g \), igual ao peso do fluido deslocado
  • Flutuando: \( E = P \), volume submerso é fração do total
  • Fração submersa: \( \frac{d_{\text{corpo}}}{d_{\text{fluido}}} \)
  • Mais denso afunda, menos denso flutua, igual fica em equilíbrio
  • Peso aparente: \( P – E \)
  • Navio flutua pela densidade média, submarino controla lastro, balão usa empuxo do ar

SAQ — Perguntas e respostas curtas

1. O que é empuxo?
É a força para cima que um fluido exerce sobre um corpo mergulhado nele.

2. Como se calcula o empuxo?
Por \( E = d_{\text{fluido}} \cdot V_{\text{submerso}} \cdot g \), igual ao peso do fluido deslocado.

3. Quando um corpo flutua?
Quando sua densidade é menor do que a do fluido.

4. Quando um corpo afunda?
Quando sua densidade é maior do que a do fluido.

5. Por que um navio de aço flutua?
Porque sua densidade média, contando o ar do casco, é menor do que a da água.

6. O que é peso aparente?
É o peso menos o empuxo, o valor que uma balança marcaria dentro do fluido.

7. Por que só parte do iceberg aparece?
Porque sua densidade é 92 por cento da da água, então 92 por cento fica submerso.

8. Como um submarino desce e sobe?
Enchendo os tanques de lastro com água para descer e com ar para subir, mudando sua densidade média.

Questões comentadas

As questões abaixo são inéditas, no estilo ENEM, criadas para esta matéria. Para mais treino, visite a sala de estudo.

Questão 1. Um bloco de 0,004 metro cúbico é totalmente submerso em água, com gravidade de 10 metros por segundo ao quadrado. O empuxo é:
a) 4 N.
b) 40 N.
c) 400 N.
d) 4.000 N.
e) 0,4 N.
Gabarito: B. \( E = 1.000 \times 0,004 \times 10 = 40 \, \text{N} \).

Questão 2. Uma esfera de densidade 800 quilogramas por metro cúbico é colocada em água. Ela:
a) afunda totalmente.
b) fica em equilíbrio em qualquer profundidade.
c) flutua, com 80 por cento submerso.
d) flutua, com 20 por cento submerso.
e) sobe até sair totalmente da água.
Gabarito: C. A fração submersa é \( \frac{800}{1.000} = 0,8 \), ou 80 por cento.

Questão 3. Um corpo pesa 50 newtons no ar e 30 newtons na água. O empuxo é:
a) 80 N.
b) 50 N.
c) 30 N.
d) 20 N.
e) 10 N.
Gabarito: D. Empuxo é peso menos peso aparente: \( 50 – 30 = 20 \, \text{N} \).

Questão 4. Dois corpos de mesmo volume, um de ferro e um de madeira, são totalmente submersos em água. O empuxo sobre eles é:
a) maior sobre o de ferro, por ser mais denso.
b) maior sobre o de madeira, por ser menos denso.
c) igual nos dois, porque depende do volume submerso, não da densidade do corpo.
d) nulo nos dois.
e) maior sobre o de ferro, por ser mais pesado.
Gabarito: C. Com o mesmo volume submerso e o mesmo fluido, o empuxo é igual; o que muda é o peso, e por isso o de ferro afunda e o de madeira sobe.

Questão 5. Um navio carregado afunda um pouco mais na água porque:
a) o empuxo diminui.
b) sua massa aumenta, e é preciso mais volume submerso para equilibrar o peso.
c) a densidade da água aumenta.
d) o casco fica mais leve.
e) o empuxo passa a ser zero.
Gabarito: B. Com mais peso, o equilíbrio exige mais empuxo, que vem de um maior volume submerso.

Questão 6. Um balão de ar quente sobe porque:
a) o ar quente é mais denso que o ar frio.
b) o peso do balão fica maior que o empuxo.
c) o ar aquecido dentro do balão é menos denso, e o empuxo supera o peso.
d) o balão não sofre empuxo.
e) a gravidade diminui dentro do balão.
Gabarito: C. O ar quente menos denso reduz o peso total, e o empuxo do ar deslocado passa a ser maior.

Dica do professor

Em flutuação, decida primeiro se o corpo está totalmente submerso ou flutuando. Se estiver totalmente submerso, use o volume total. Se estiver flutuando, use empuxo igual ao peso e calcule o volume submerso, sem usar o volume total no empuxo. Essa decisão inicial evita a maioria dos erros.

Atenção / cuidado

• Não use o volume total no empuxo de um corpo que flutua parcialmente: use só o volume submerso.
• Empuxo depende da densidade do fluido, não da densidade do corpo, para o mesmo volume submerso.
• Empuxo não depende da profundidade, para corpo totalmente submerso.
• Navio flutua por densidade média, não por densidade do aço.
• Peso aparente não é o peso real: é o peso menos o empuxo.

Conexão com outras áreas

Matemática: razões, frações e proporções. Química: densidade de líquidos e densímetros. Biologia: flutuação de peixes, bexiga natatória e icebergs. Engenharia naval: navios, submarinos e plataformas. História da ciência: Arquimedes e a coroa do rei, lenda que ilustra o princípio. Para revisar, visite a sala de estudo, as páginas do ENEM e do vestibular e a lista de Física.

Incidência: 🔥 Quente — cai no ENEM e nos vestibulares. Matéria: Física 1 | Disciplina: Hidrostática | Tema: Princípio de Arquimedes.