Progressão aritmética (PA): o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

Uma progressão aritmética, ou PA, é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se sempre o mesmo número ao termo anterior. Esse número constante é a razão da PA, indicada pela letra \( r \). Por exemplo, a sequência \( 2, 5, 8, 11, 14, \dots \) é uma PA de razão \( r = 3 \), porque cada termo é o anterior mais 3. É um tema 🔥 Quente no ENEM e nos vestibulares, porque aparece em problemas de contagem, de economia, de produção, de escadas, de fileiras e de qualquer situação em que algo cresce ou diminui em passos iguais.

Para dominar a PA, você precisa de duas fórmulas e de um raciocínio. As fórmulas são a do termo geral, que dá qualquer termo sem escrever a sequência inteira, e a da soma dos \( n \) primeiros termos, que soma muitos termos de uma só vez. O raciocínio é sempre o mesmo: descubra o primeiro termo \( a_1 \), descubra a razão \( r \) subtraindo um termo do seguinte, e só então aplique a fórmula. Esta matéria, pensada para a sala de estudo, traz exemplos numéricos resolvidos passo a passo, com a aritmética conferida, para ajudar o estudante a entender de verdade.

O que é uma progressão aritmética?

Uma sequência é uma lista ordenada de números, em que a posição importa: o primeiro termo é \( a_1 \), o segundo é \( a_2 \), o terceiro é \( a_3 \), e assim por diante. Uma progressão aritmética é uma sequência em que a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma. Em símbolos, para todo \( n \geq 2 \):

\[ a_n – a_{n-1} = r \]

Essa definição já dá o método para verificar se uma sequência é PA: subtraia cada termo do seguinte e veja se o resultado é sempre igual. Na sequência \( 10, 7, 4, 1, -2, \dots \), temos \( 7 – 10 = -3 \), \( 4 – 7 = -3 \), \( 1 – 4 = -3 \) e \( -2 – 1 = -3 \). A diferença é sempre \( -3 \), então é uma PA de razão \( r = -3 \), uma PA decrescente. Já a sequência \( 1, 2, 4, 8, 16, \dots \) não é PA, porque \( 2 – 1 = 1 \), \( 4 – 2 = 2 \) e \( 8 – 4 = 4 \): as diferenças mudam.

A razão determina o comportamento da PA. Se \( r > 0 \), a PA é crescente: os termos aumentam. Se \( r < 0 \), a PA é decrescente: os termos diminuem. Se \( r = 0 \), a PA é constante: todos os termos são iguais, como em \( 5, 5, 5, 5, \dots \). Essa classificação aparece em questões diretas, mas também ajuda a conferir a resposta: se o problema fala em aumento constante, a razão deve sair positiva; se fala em diminuição constante, a razão deve sair negativa. Uma razão com o sinal trocado é um dos erros mais comuns, e essa conferência simples já o evita.

Termo geral: qualquer termo sem escrever a sequência

Escrever a sequência termo por termo funciona para poucos termos, mas é inviável quando a questão pede o centésimo termo. Para isso existe o termo geral da PA:

\[ a_n = a_1 + (n – 1) \cdot r \]

A ideia é intuitiva: para chegar ao termo de posição \( n \), você parte do primeiro termo e dá \( n – 1 \) passos, cada um de tamanho \( r \). Para chegar ao segundo termo, dá 1 passo; para chegar ao terceiro, dá 2 passos; para chegar ao décimo, dá 9 passos. O erro mais comum aqui é usar \( n \) em vez de \( n – 1 \): lembre-se de que o primeiro termo não precisa de passo nenhum.

Exemplo resolvido passo a passo. Considere a PA \( 2, 5, 8, 11, \dots \). Passo 1: identifique \( a_1 = 2 \). Passo 2: calcule a razão: \( r = 5 – 2 = 3 \). Passo 3: escreva o termo geral: \( a_n = 2 + (n – 1) \cdot 3 \). Passo 4: simplifique: \( a_n = 2 + 3n – 3 = 3n – 1 \). Passo 5: para encontrar o vigésimo termo, substitua \( n = 20 \): \( a_{20} = 3 \cdot 20 – 1 = 60 – 1 = 59 \). Conferência rápida: o termo 1 é \( 3 \cdot 1 – 1 = 2 \), correto; o termo 2 é \( 3 \cdot 2 – 1 = 5 \), correto. A fórmula passou no teste dos primeiros termos, então o vigésimo termo, 59, está confiável.

Segundo exemplo, agora com razão negativa. Uma empresa reduz sua produção em 40 unidades por mês, começando com 1.000 unidades no primeiro mês. Qual é a produção no décimo segundo mês? Passo 1: \( a_1 = 1000 \). Passo 2: \( r = -40 \), pois a produção diminui. Passo 3: \( a_{12} = 1000 + (12 – 1) \cdot (-40) = 1000 + 11 \cdot (-40) = 1000 – 440 = 560 \). Resposta: 560 unidades. Note que o sinal negativo da razão foi essencial: sem ele, a resposta sairia 1.440, um aumento em vez de uma redução, o que contradiz o enunciado.

Existe ainda uma forma útil do termo geral, que relaciona dois termos quaisquer, sem passar pelo primeiro: \( a_m = a_k + (m – k) \cdot r \). Se você conhece o quinto termo e quer o décimo segundo, basta dar 7 passos a partir do quinto. Essa forma economiza tempo quando a questão dá um termo do meio, e não o primeiro.

Soma dos primeiros termos: o truque de Gauss

Somar muitos termos um por um é trabalhoso e sujeito a erro. A fórmula da soma dos \( n \) primeiros termos de uma PA resolve isso de uma só vez:

\[ S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} \]

A ideia por trás da fórmula é o truque atribuído ao jovem Gauss: ao somar os termos do primeiro ao último, os pares formados pelo primeiro com o último, pelo segundo com o penúltimo, e assim por diante, somam sempre o mesmo valor, \( a_1 + a_n \). Se há \( n \) termos, há \( \frac{n}{2} \) pares, e a soma total é o valor do par vezes o número de pares. É por isso que a fórmula multiplica a soma dos extremos pelo número de termos e divide por 2.

Exemplo resolvido passo a passo. Calcule a soma dos 20 primeiros termos da PA \( 2, 5, 8, \dots \). Passo 1: \( a_1 = 2 \), \( r = 3 \). Passo 2: encontre o vigésimo termo: \( a_{20} = 2 + 19 \cdot 3 = 2 + 57 = 59 \). Passo 3: aplique a fórmula da soma: \( S_{20} = \frac{(2 + 59) \cdot 20}{2} = \frac{61 \cdot 20}{2} = 61 \cdot 10 = 610 \). Resposta: 610. Conferência parcial: a soma dos 3 primeiros termos é \( 2 + 5 + 8 = 15 \); pela fórmula, \( S_3 = \frac{(2 + 8) \cdot 3}{2} = \frac{30}{2} = 15 \), correto.

Segundo exemplo, um problema clássico: qual é a soma de todos os números inteiros de 1 a 100? Aqui \( a_1 = 1 \), \( a_{100} = 100 \), \( n = 100 \) e \( r = 1 \). Aplicando a fórmula: \( S_{100} = \frac{(1 + 100) \cdot 100}{2} = \frac{101 \cdot 100}{2} = 101 \cdot 50 = 5050 \). É a famosa soma de 1 a 100, que vale 5.050. O truque dos pares também aparece aqui: \( 1 + 100 = 101 \), \( 2 + 99 = 101 \), e assim por diante, com 50 pares de 101.

Terceiro exemplo, com PA decrescente: um teatro tem 30 fileiras, a primeira com 20 cadeiras e cada fileira seguinte com 2 cadeiras a mais que a anterior. Quantas cadeiras há no total? Passo 1: \( a_1 = 20 \), \( r = 2 \), \( n = 30 \). Passo 2: \( a_{30} = 20 + 29 \cdot 2 = 20 + 58 = 78 \). Passo 3: \( S_{30} = \frac{(20 + 78) \cdot 30}{2} = \frac{98 \cdot 30}{2} = 98 \cdot 15 = 1470 \). Resposta: 1.470 cadeiras. Perceba que a fórmula da soma sempre exige o último termo: se a questão der apenas o primeiro termo e a razão, encontre o último termo primeiro, e só depois some.

Tabela 1: os elementos da PA

Tabela 2: tipos de PA e exemplos

PA no gráfico: pontos alinhados em uma reta

Quando representamos uma PA em um gráfico, com a posição \( n \) no eixo horizontal e o termo \( a_n \) no eixo vertical, os pontos ficam alinhados em uma reta. Isso acontece porque o termo geral, \( a_n = a_1 + (n – 1) \cdot r \), pode ser reescrito como \( a_n = r \cdot n + (a_1 – r) \), que tem a forma de uma função afim, com coeficiente angular igual à razão \( r \). Se a PA é crescente, a reta sobe; se é decrescente, a reta desce; se é constante, a reta é horizontal. Essa conexão entre PA e função afim é muito explorada em prova: uma sequência de pontos alinhados pode ser lida como uma PA, e uma PA pode ser desenhada como pontos de uma reta.

Mapa mental

• Progressão aritmética
  • Definição: diferença entre termos consecutivos sempre igual à razão \( r \)
  • Crescente se \( r > 0 \); decrescente se \( r < 0 \); constante se \( r = 0 \)
  • Termo médio: o termo do meio é a média dos vizinhos
• Fórmulas
  • Termo geral: \( a_n = a_1 + (n – 1) \cdot r \)
  • Dois termos quaisquer: \( a_m = a_k + (m – k) \cdot r \)
  • Soma: \( S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} \)
• Estratégia de prova
  • Identifique \( a_1 \), calcule \( r \), conte os passos com \( n – 1 \)
  • Para somar, encontre o último termo antes de aplicar a fórmula da soma
  • No gráfico, os pontos ficam alinhados em uma reta de inclinação \( r \)

SAQ — Perguntas e respostas curtas

1. O que é uma progressão aritmética?
É uma sequência em que cada termo é o anterior somado a um valor constante, a razão.

2. Como se calcula a razão de uma PA?
Subtraindo um termo do seguinte: \( r = a_2 – a_1 \).

3. Qual é a fórmula do termo geral da PA?
\( a_n = a_1 + (n – 1) \cdot r \).

4. Por que o termo geral usa \( n – 1 \) e não \( n \)?
Porque para chegar ao termo de posição \( n \) são necessários \( n – 1 \) passos a partir do primeiro termo.

5. Qual é a fórmula da soma dos \( n \) primeiros termos?
\( S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} \).

6. Qual é a soma de 1 a 100?
5.050, pois \( \frac{(1 + 100) \cdot 100}{2} = 5050 \).

7. Como é o gráfico de uma PA?
Pontos isolados alinhados em uma reta, com inclinação igual à razão.

8. Quando uma PA é decrescente?
Quando a razão é negativa, \( r < 0 \).

Questões comentadas

As questões abaixo são inéditas, no estilo ENEM, criadas para esta matéria.

Questão 1. A sequência \( 4, 9, 14, 19, 24, \dots \) é uma PA de razão:
a) 4.
b) 5.
c) 9.
d) 14.
e) 24.
Gabarito: B. A diferença entre termos consecutivos é \( 9 – 4 = 5 \), e o mesmo vale para os demais pares.

Questão 2. O décimo termo da PA \( 3, 8, 13, \dots \) é:
a) 43.
b) 48.
c) 53.
d) 58.
e) 63.
Gabarito: B. Temos \( a_1 = 3 \) e \( r = 5 \). Então \( a_{10} = 3 + 9 \cdot 5 = 3 + 45 = 48 \).

Questão 3. Um estudante economiza 50 reais no primeiro mês e aumenta a economia em 20 reais a cada mês. No sexto mês, ele economizará:
a) 130 reais.
b) 150 reais.
c) 170 reais.
d) 200 reais.
e) 250 reais.
Gabarito: B. Temos \( a_1 = 50 \) e \( r = 20 \). Então \( a_6 = 50 + 5 \cdot 20 = 50 + 100 = 150 \).

Questão 4. A soma dos 10 primeiros termos da PA \( 1, 4, 7, \dots \) é:
a) 135.
b) 145.
c) 155.
d) 165.
e) 175.
Gabarito: B. Temos \( a_1 = 1 \), \( r = 3 \) e \( a_{10} = 1 + 9 \cdot 3 = 28 \). Então \( S_{10} = \frac{(1 + 28) \cdot 10}{2} = 29 \cdot 5 = 145 \).

Questão 5. Em uma PA, o primeiro termo é 12 e o quinto termo é 32. A razão dessa PA é:
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 8.
e) 20.
Gabarito: B. Do primeiro ao quinto termo são 4 passos: \( 32 = 12 + 4r \), logo \( 20 = 4r \) e \( r = 5 \).

Questão 6. A sequência \( 20, 17, 14, 11, \dots \) é uma PA:
a) crescente, de razão 3.
b) decrescente, de razão 3.
c) decrescente, de razão menos 3.
d) constante, de razão 0.
e) que não é progressão aritmética.
Gabarito: C. A diferença entre termos consecutivos é sempre \( -3 \), então a PA é decrescente, com razão negativa.

Dica do professor

Antes de aplicar qualquer fórmula, escreva em uma linha: \( a_1 = \), \( r = \), \( n = \) e o que a questão pede. Esse ritual de três segundos evita a maioria dos erros em PA, que não são de fórmula, e sim de leitura: razão com sinal trocado, posição contada a partir de zero ou soma feita sem o último termo. Treine com sequências do cotidiano, como escadas e fileiras, e a PA vira intuição. Pratique também com questões do ENEM e dos vestibulares. Mais apoio como esse está na sala de estudo.

Atenção / cuidado

• Não use \( n \) no lugar de \( n – 1 \) no termo geral: o primeiro termo não precisa de passo.
• Não esqueça o sinal da razão em PA decrescente: ele muda completamente o resultado.
• Não some sem encontrar o último termo: a fórmula da soma precisa de \( a_n \).
• Não confunda PA com PG: na PA, soma-se a razão; na PG, multiplica-se pela razão.
• Não ligue os pontos do gráfico com uma reta contínua: a sequência só existe em posições inteiras.

Conexão com outras áreas

Funções: o termo geral da PA é uma função afim, tema da matéria de função afim. Economia: poupança com aumento constante, juros simples e produção acumulada. Física: movimento com variação constante de posição em intervalos iguais. Geometria: perímetros e lados de figuras em progressão, e empilhamento de objetos em fileiras.

Incidência: 🔥 Quente — cai no ENEM e nos vestibulares. Matéria: Matemática 1 | Disciplina: Sequências | Tema: Progressão aritmética (PA).