Semelhança de triângulos: o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

Dois triângulos são semelhantes quando têm a mesma forma, mesmo que tenham tamanhos diferentes: os ângulos correspondentes são iguais e os lados correspondentes são proporcionais. É um tema 🔥 Quente no ENEM e nos vestibulares, porque aparece em sombras, alturas de prédios, mapas, escalas, espelhos, triângulos retângulos e em qualquer situação em que uma figura é uma ampliação ou uma redução da outra. Esta matéria, pensada para a sala de estudo, traz os casos de semelhança, a razão de semelhança, a relação entre perímetros e áreas, o teorema de Tales e exemplos resolvidos passo a passo.

A ideia central cabe em uma frase: semelhança é proporcionalidade com ângulos iguais. Se um triângulo tem lados 3, 4 e 5, e outro tem lados 6, 8 e 10, os dois são semelhantes, com razão 2, porque cada lado do segundo é o dobro do lado correspondente do primeiro: \( \frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{10}{5} = 2 \). Os ângulos não mudam quando a figura cresce: um triângulo retângulo continua retângulo, um triângulo equilátero continua equilátero, e é essa conservação da forma que permite medir alturas inacessíveis com uma sombra e uma vara, como faziam os antigos e como o ENEM ainda cobra.

Casos de semelhança e razão de semelhança

Para provar que dois triângulos são semelhantes, não é preciso verificar todos os ângulos e todos os lados: basta um dos casos. Caso AA, ângulo-ângulo: se dois ângulos de um triângulo são iguais a dois ângulos do outro, os triângulos são semelhantes, porque o terceiro ângulo fica determinado pela soma dos ângulos internos, que é 180 graus. Caso LAL, lado-ângulo-lado: se dois lados são proporcionais e o ângulo entre eles é igual, os triângulos são semelhantes. Caso LLL, lado-lado-lado: se os três lados são proporcionais, os triângulos são semelhantes. Caso LAA, lado-ângulo-ângulo, que é uma variação do AA, também vale. O caso que não vale é o SSA, lado-lado-ângulo não compreendido, que pode dar dois triângulos diferentes: cuidado com ele em questões de múltipla escolha.

A razão de semelhança, indicada por \( k \), é a razão entre dois lados correspondentes: \( k = \frac{\text{lado do triângulo maior}}{\text{lado correspondente do triângulo menor}} \). Se \( k = 2 \), cada lado do maior é o dobro do correspondente; se \( k = \frac{1}{2} \), cada lado é a metade. O perímetro segue a mesma razão: o perímetro do triângulo maior é \( k \) vezes o perímetro do menor. A área segue o quadrado da razão: a área do maior é \( k^2 \) vezes a área do menor. Exemplo conferido: triângulo de lados 3, 4 e 5 tem perímetro 12 e área 6, pois é retângulo, com \( \frac{3 \cdot 4}{2} = 6 \). O triângulo semelhante de razão 2 tem lados 6, 8 e 10, perímetro 24, que é \( 2 \cdot 12 \), e área 24, que é \( 4 \cdot 6 \), pois \( k^2 = 4 \). Confundir perímetro com área é um dos erros mais comuns: perímetro multiplica por \( k \), área multiplica por \( k^2 \).

Em Matemática, a semelhança aparece também dentro de um único triângulo retângulo. Quando se traça a altura relativa à hipotenusa, ela divide o triângulo original em dois triângulos menores, e os três são semelhantes entre si. Dessa semelhança saem as relações métricas do triângulo retângulo: o quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela sua projeção, a altura ao quadrado é igual ao produto das projeções dos catetos, e o produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura. São fórmulas que o ENEM cobra, mas que ficam muito mais fáceis quando se entende que elas vêm de triângulos semelhantes, e não de uma lista para decorar.

Teorema de Tales e aplicações

O teorema de Tales é a versão em retas paralelas da semelhança: um feixe de retas paralelas cortado por duas transversais determina segmentos proporcionais. Na prática do ENEM, ele aparece em sombras: um poste e uma vara, iluminados pelo mesmo Sol, formam triângulos semelhantes com suas sombras. Exemplo resolvido: um poste de 6 metros projeta uma sombra de 8 metros, e, no mesmo instante, uma vara de 3 metros projeta uma sombra de 4 metros. Conferência: \( \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75 \), ou seja, as razões são iguais, e os triângulos são semelhantes. Se a sombra da vara fosse desconhecida, bastaria montar a proporção \( \frac{6}{8} = \frac{3}{x} \), logo \( 6x = 24 \) e \( x = 4 \) metros. A chave é sempre montar a proporção com lados correspondentes: altura com altura, sombra com sombra, e nunca misturar altura de um com sombra do outro.

Outro uso clássico é a altura de um prédio ou de uma árvore, medida sem subir nela: mede-se a sombra do prédio e a sombra de uma pessoa de altura conhecida, no mesmo instante, e monta-se a proporção. Em mapas e maquetes, a escala é a razão de semelhança: uma maquete em escala 1 para 100 tem cada medida 100 vezes menor que a real, e sua área é \( 100^2 = 10.000 \) vezes menor. Em espelhos e em fotografias, a imagem é semelhante ao objeto, com razão dada pela distância. Sempre que a questão falar em ampliação, redução, escala, sombra ou modelo, pense em semelhança antes de qualquer outra ferramenta.

Tabela 1: casos de semelhança

Tabela 2: razão, perímetro e área

Mapa mental

• Definição
  • Mesma forma, tamanhos diferentes: ângulos correspondentes iguais, lados correspondentes proporcionais
  • Razão de semelhança \( k \): lado maior dividido pelo lado correspondente menor
• Casos
  • AA: dois ângulos iguais; LAL: dois lados proporcionais e o ângulo entre eles igual
  • LLL: três lados proporcionais; cuidado: SSA não garante semelhança
• Consequências e aplicações
  • Perímetro multiplica por \( k \); área multiplica por \( k^2 \)
  • Teorema de Tales: sombras, alturas, mapas, maquetes e escalas
  • Triângulo retângulo: altura sobre a hipotenusa cria três triângulos semelhantes

SAQ — Perguntas e respostas curtas

1. Quando dois triângulos são semelhantes?
Quando têm ângulos correspondentes iguais e lados correspondentes proporcionais.

2. O que é a razão de semelhança?
É a razão entre dois lados correspondentes, indicada por \( k \).

3. Quais são os casos de semelhança?
AA, LAL, LLL e LAA.

4. Como o perímetro se comporta na semelhança?
Multiplica pela razão \( k \).

5. Como a área se comporta na semelhança?
Multiplica por \( k^2 \), o quadrado da razão.

6. O que diz o teorema de Tales?
Retas paralelas cortadas por transversais determinam segmentos proporcionais.

7. Triângulos de lados 3, 4, 5 e 6, 8, 10 são semelhantes?
Sim, com razão 2, pois \( \frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{10}{5} = 2 \).

8. Por que a altura sobre a hipotenusa é importante?
Porque ela divide o triângulo retângulo em dois triângulos semelhantes ao original, de onde saem as relações métricas.

Questões comentadas

As questões abaixo são inéditas, no estilo ENEM, criadas para esta matéria.

Questão 1. Dois triângulos têm lados 3, 4, 5 e 6, 8, 10. A razão de semelhança do maior para o menor é:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
Gabarito: B. Cada lado do maior é o dobro do correspondente: \( \frac{6}{3} = 2 \).

Questão 2. Se a razão de semelhança é 3, a área do triângulo maior é quantas vezes a área do menor?
a) 3 vezes.
b) 6 vezes.
c) 9 vezes.
d) 12 vezes.
e) 27 vezes.
Gabarito: C. Área multiplica por \( k^2 = 3^2 = 9 \).

Questão 3. Um poste de 6 metros projeta uma sombra de 8 metros. No mesmo instante, uma vara de 3 metros projeta uma sombra de:
a) 2 metros.
b) 3 metros.
c) 4 metros.
d) 6 metros.
e) 8 metros.
Gabarito: C. Pela proporção \( \frac{6}{8} = \frac{3}{x} \), logo \( 6x = 24 \) e \( x = 4 \).

Questão 4. Dois triângulos com ângulos de 30, 60 e 90 graus são semelhantes pelo caso:
a) LLL.
b) LAL.
c) AA.
d) SSA.
e) Nenhum.
Gabarito: C. Dois ângulos iguais bastam, pelo caso AA.

Questão 5. Um triângulo tem perímetro 12. Um triângulo semelhante, com razão 2, tem perímetro:
a) 12.
b) 18.
c) 24.
d) 36.
e) 48.
Gabarito: C. Perímetro multiplica por \( k = 2 \): \( 2 \cdot 12 = 24 \).

Questão 6. Uma maquete em escala 1 para 100 tem área quantas vezes menor que a área real?
a) 100 vezes.
b) 1.000 vezes.
c) 10.000 vezes.
d) 100.000 vezes.
e) 1.000.000 vezes.
Gabarito: C. Área multiplica por \( k^2 \): a maquete é \( 100^2 = 10.000 \) vezes menor em área.

Dica do professor

Antes de montar qualquer proporção, desenhe os dois triângulos e marque os lados correspondentes com a mesma cor ou a mesma letra: o erro mais comum em semelhança não é a conta, é emparelhar o lado errado. Depois, monte a proporção sempre na mesma ordem, maior sobre menor, e confira se todas as razões dão o mesmo valor. Pratique também com questões do ENEM e dos vestibulares. Mais apoio como esse está na sala de estudo.

Atenção / cuidado

• Não emparelhe lados que não são correspondentes: a proporção só vale entre lados que ocupam a mesma posição nos dois triângulos.
• Não confunda perímetro com área: perímetro multiplica por \( k \), área multiplica por \( k^2 \).
• Não use o caso SSA para provar semelhança: ele não garante que os triângulos sejam iguais em forma.
• Não misture altura de um triângulo com sombra do outro em problemas de Tales.
• Não esqueça que ângulos não mudam com o tamanho: triângulo maior não tem ângulo maior.

Conexão com outras áreas

Geometria: semelhança é a base do teorema de Tales e das relações métricas do triângulo retângulo. Geografia: escalas de mapas e maquetes. Física: sombras, espelhos e óptica geométrica, em que raios formam triângulos semelhantes. Artes e arquitetura: proporção, perspectiva e ampliação de figuras.

Incidência: 🔥 Quente — cai no ENEM e nos vestibulares. Matéria: Matemática | Tema: Semelhança de triângulos.