Princípio Fundamental da Contagem (PFC): o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

O Princípio Fundamental da Contagem, o PFC, é a ferramenta que responde à pergunta mais básica da análise combinatória: de quantas maneiras uma tarefa pode ser feita? Se uma decisão pode ser tomada de \( a \) maneiras e, depois dela, outra decisão pode ser tomada de \( b \) maneiras, o total de maneiras de tomar as duas decisões é \( a \times b \). É o princípio multiplicativo, e dele saem quase todas as contagens do ENEM e dos vestibulares: roupas, cardápios, placas, senhas, filas e códigos. Quando as opções são alternativas excludentes, isto é, quando se escolhe uma coisa OU outra, vale o princípio aditivo: o total é a soma. É um tema 🔥 Quente, e esta matéria, pensada para a sala de estudo, traz os dois princípios, a árvore de possibilidades, a diferença entre contar com e sem repetição, e questões inéditas no estilo ENEM, todas com valores conferidos.

O exemplo que vai acompanhar a matéria é o guarda-roupa: 4 camisetas, 3 calças e 2 pares de tênis. Escolher a camiseta, depois a calça e depois o tênis são três etapas independentes, então o total de looks é \( 4 \times 3 \times 2 = 24 \). Note a lógica: para cada uma das 4 camisetas, há 3 calças possíveis, o que dá \( 4 \times 3 = 12 \) combinações de camiseta e calça; para cada uma dessas 12, há 2 tênis possíveis, o que dá \( 12 \times 2 = 24 \). Se, em vez disso, a pergunta fosse escolher apenas uma peça, uma camiseta OU uma calça, o total seria \( 4 + 3 = 7 \), pelo princípio aditivo. Multiplicar é para etapas em sequência; somar é para alternativas. Confundir os dois é o erro mais comum do tema.

Princípio multiplicativo: etapas em sequência

O princípio multiplicativo vale quando uma tarefa se divide em etapas sucessivas e o número de possibilidades de cada etapa não depende das escolhas anteriores, ou depende de um jeito já previsto. Formalmente: se a etapa 1 pode ser feita de \( n_1 \) maneiras, a etapa 2 de \( n_2 \) maneiras, e assim até a etapa \( k \) com \( n_k \) maneiras, o total é \( n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k \). O cardápio é o exemplo clássico: um restaurante oferece 3 entradas, 5 pratos principais e 4 sobremesas, e um cliente escolhe um item de cada tipo; o total de refeições possíveis é \( 3 \times 5 \times 4 = 60 \). Outro exemplo: lançar dois dados, um de cada vez, dá \( 6 \times 6 = 36 \) resultados possíveis, porque cada dado tem 6 faces, e o resultado do segundo não depende do primeiro.

As placas de carro mostram o princípio em escala grande. No modelo antigo brasileiro, com 3 letras e 4 algarismos, cada letra tinha 26 possibilidades e cada algarismo, 10, então o total era \( 26 \times 26 \times 26 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 26^3 \times 10^4 = 17.576 \times 10.000 = 175.760.000 \) placas possíveis. No modelo Mercosul, com o formato letra-letra-letra-algarismo-letra-algarismo-algarismo, são 4 letras e 3 algarismos, então o total é \( 26^4 \times 10^3 = 456.976 \times 1.000 = 456.976.000 \) placas possíveis. A conta é a mesma ideia do guarda-roupa, só que com números maiores: multiplique as possibilidades de cada posição, na ordem em que elas aparecem. Em Matemática, questões de placa, de código e de senha são quase sempre aplicações diretas do PFC, e o trabalho é só identificar quantas posições há e quantas opções cada posição admite.

As senhas deixam clara a diferença entre contar com e sem repetição. Uma senha de 4 dígitos, permitindo repetição, tem \( 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10.000 \) possibilidades, porque cada posição admite os 10 algarismos, de 0 a 9, sem restrição. Sem repetição, isto é, sem reutilizar um algarismo já usado, a primeira posição tem 10 opções, a segunda tem 9, a terceira tem 8 e a quarta tem 7, então o total é \( 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5.040 \) possibilidades. A diferença é grande, 10.000 contra 5.040, e mostra por que enunciados que proíbem repetição precisam ser lidos com atenção: cada escolha feita reduz as opções da próxima etapa. O mesmo raciocínio vale para formar números, códigos e filas: se a ordem importa e não há repetição, as opções vão diminuindo etapa a etapa.

Princípio aditivo e árvore de possibilidades

O princípio aditivo vale quando as opções são alternativas disjuntas, isto é, quando se escolhe uma coisa OU outra, e não uma E outra. Se um evento A pode ocorrer de \( m \) maneiras e um evento B, incompatível com A, pode ocorrer de \( n \) maneiras, então A ou B pode ocorrer de \( m + n \) maneiras. Exemplo: uma estante tem 5 livros de aventura e 3 revistas de ciência, e um estudante vai pegar um único item para ler no intervalo; o total é \( 5 + 3 = 8 \) escolhas possíveis. Outro exemplo: para ir de uma cidade a outra, há 2 rotas de ônibus e 3 rotas de trem, e o viajante usa um único meio; o total é \( 2 + 3 = 5 \) rotas possíveis. O teste é linguístico: se o enunciado diz “ou”, some; se diz “e”, em etapas, multiplique. Quando as alternativas se sobrepõem, isto é, quando um mesmo caso pode ser contado nos dois grupos, é preciso descontar a interseção, mas no ENEM o caso mais cobrado é o de grupos disjuntos, em que a soma é direta.

A árvore de possibilidades é o desenho do PFC: cada nível da árvore é uma etapa, cada ramo é uma escolha, e cada caminho completo, da raiz até uma folha, é uma combinação. Exemplo completo: uma sorveteria oferece 2 sabores, chocolate e morango, e 3 coberturas, granulado, calda e castanha. A árvore começa com 2 ramos, um para cada sabor; de cada sabor saem 3 ramos, um para cada cobertura; no total, há \( 2 \times 3 = 6 \) folhas, ou seja, 6 combinações: chocolate com granulado, chocolate com calda, chocolate com castanha, morango com granulado, morango com calda e morango com castanha. Desenhar a árvore é o melhor antídoto contra a pressa: quando os números são pequenos, ela mostra todas as combinações, e quando são grandes, ela mostra a estrutura que justifica a multiplicação. Um diagrama de árvore bem feito também revela se alguma combinação foi contada duas vezes ou esquecida.

Os dois princípios podem aparecer juntos no mesmo problema, e aí a ordem é: primeiro multiplique dentro de cada caso, depois some os casos. Exemplo: um lanche pode ser montado com pão de forma ou pão integral, e, em cada caso, com 3 recheios possíveis; como são dois tipos de pão, cada um com 3 recheios, o total é \( 3 + 3 = 6 \), ou, equivalentemente, \( 2 \times 3 = 6 \). Outro exemplo, com casos diferentes: uma senha de 3 letras pode começar por vogal, com 5 opções, seguida de 2 consoantes quaisquer, ou começar por consoante, com 21 opções, seguida de 2 vogais; o total seria a soma dos dois casos, cada um calculado por multiplicação. A estratégia geral para qualquer questão de contagem é sempre a mesma: identifique as etapas, conte as opções de cada uma, multiplique dentro de cada caso e some os casos alternativos.

Tabela 1: os dois princípios, lado a lado

Tabela 2: contagens conferidas desta matéria

Mapa mental

• Princípio multiplicativo
  • Etapas em sequência, uma E outra: multiplique as opções de cada etapa
  • Guarda-roupa: \( 4 \times 3 \times 2 = 24 \); cardápio: \( 3 \times 5 \times 4 = 60 \)
• Princípio aditivo
  • Alternativas excludentes, uma OU outra: some as opções
  • 5 livros ou 3 revistas = 8; 2 rotas de ônibus ou 3 de trem = 5
• Com e sem repetição
  • Com repetição: potência, senha de 4 dígitos = 10.000
  • Sem repetição: produto decrescente, senha de 4 dígitos = 5.040
  • Placas: antiga 175.760.000; Mercosul 456.976.000
• Árvore de possibilidades
  • Cada nível é uma etapa, cada caminho completo é uma combinação
  • 2 sabores × 3 coberturas = 6 combinações, todas listáveis

SAQ — Perguntas e respostas curtas

1. O que diz o Princípio Fundamental da Contagem?
Que, se uma tarefa tem etapas sucessivas com \( n_1, n_2, \dots, n_k \) maneiras, o total é o produto \( n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k \).

2. Quando se multiplica e quando se soma em contagem?
Multiplica-se para etapas em sequência, uma E outra; soma-se para alternativas excludentes, uma OU outra.

3. Quantos looks formam 4 camisetas, 3 calças e 2 pares de tênis?
\( 4 \times 3 \times 2 = 24 \) looks.

4. O que é a árvore de possibilidades?
É o desenho do PFC: cada nível é uma etapa, cada ramo é uma escolha e cada caminho completo é uma combinação.

5. Quantas combinações dão 2 sabores e 3 coberturas?
\( 2 \times 3 = 6 \) combinações.

6. Quantas senhas de 4 dígitos existem com repetição?
\( 10^4 = 10.000 \) senhas.

7. Quantas senhas de 4 dígitos existem sem repetição?
\( 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5.040 \) senhas.

8. Quantas placas permite o modelo Mercosul?
\( 26^4 \times 10^3 = 456.976.000 \) placas.

Questões comentadas

As questões abaixo são inéditas, no estilo ENEM, criadas para esta matéria.

Questão 1. Com 4 camisetas, 3 calças e 2 pares de tênis, o número de looks diferentes é:
a) 9.
b) 12.
c) 18.
d) 24.
e) 36.
Gabarito: D. \( 4 \times 3 \times 2 = 24 \).

Questão 2. Um restaurante oferece 3 entradas, 5 pratos principais e 4 sobremesas. O número de refeições com um item de cada tipo é:
a) 12.
b) 20.
c) 40.
d) 60.
e) 120.
Gabarito: D. \( 3 \times 5 \times 4 = 60 \).

Questão 3. Uma estante tem 5 livros de aventura e 3 revistas de ciência. Escolhendo um único item, o número de escolhas é:
a) 2.
b) 3.
c) 5.
d) 8.
e) 15.
Gabarito: D. São alternativas excludentes, então soma-se: \( 5 + 3 = 8 \).

Questão 4. O número de senhas de 4 dígitos, permitindo repetição, é:
a) 4.000.
b) 5.040.
c) 9.000.
d) 10.000.
e) 40.000.
Gabarito: D. Cada posição tem 10 opções: \( 10^4 = 10.000 \).

Questão 5. O número de senhas de 4 dígitos, sem repetição de algarismo, é:
a) 3.024.
b) 5.040.
c) 6.561.
d) 10.000.
e) 40.320.
Gabarito: B. \( 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5.040 \).

Questão 6. Uma sorveteria oferece 2 sabores e 3 coberturas. O número de combinações de um sabor com uma cobertura é:
a) 2.
b) 3.
c) 5.
d) 6.
e) 9.
Gabarito: D. \( 2 \times 3 = 6 \), como mostra a árvore de possibilidades.

Dica do professor

Antes de qualquer conta, pergunte: as escolhas acontecem em sequência ou são alternativas? Se for sequência, multiplique; se for alternativa, some. Depois, pergunte se há repetição: se não houver, as opções diminuem a cada etapa. Desenhe a árvore quando os números forem pequenos: ela confere o resultado e mostra se algum caso ficou de fora. Pratique também com questões do ENEM e dos vestibulares. Mais apoio como esse está na sala de estudo.

Atenção / cuidado

• Não some quando as etapas são em sequência, nem multiplique quando as opções são alternativas.
• Não esqueça que, sem repetição, cada escolha reduz as opções da próxima etapa.
• Não conte o mesmo caso duas vezes: verifique se os grupos do princípio aditivo são disjuntos.
• Não confunda ordem com repetição: senha com dígitos repetidos é um caso, senha com ordem trocada é outro.
• Não pule a leitura do enunciado: placa, código e senha só se resolvem depois de contar as posições e as opções de cada uma.

Conexão com outras áreas

Probabilidade: contar os casos possíveis é o primeiro passo de qualquer probabilidade. Computação: senhas, códigos e combinações de teclas usam o PFC para medir segurança. Administração e logística: cardápios, rotas e combinações de produtos são contagens do dia a dia. Biologia: combinações de genes e de bases do DNA também se contam pelo princípio multiplicativo.

Incidência: 🔥 Quente — cai no ENEM e nos vestibulares. Matéria: Matemática | Tema: Princípio Fundamental da Contagem (PFC).