Combinação: o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

Combinação é a contagem de grupos em que a ordem não importa. Escolher 3 frutas entre 5 numa fruteira, formar uma comissão de 3 alunos entre 10, ou sortear 2 sabores de pizza entre 4 são combinações: o grupo {maçã, banana, laranja} é o mesmo grupo que {banana, laranja, maçã}, porque trocar a ordem não cria um grupo novo. A fórmula da combinação é \( C(n,p) = \frac{n!}{p!(n-p)!} \), em que \( n \) é o total de elementos, \( p \) é quantos são escolhidos, e \( n! \) é o fatorial, isto é, o produto de todos os números de 1 até \( n \). É um tema 🔥 Quente no ENEM e nos vestibulares, e esta matéria, pensada para a sala de estudo, traz a fórmula com valores conferidos, a diferença clara entre combinação, arranjo e permutação, e questões inéditas no estilo ENEM.

O exemplo que vai acompanhar a matéria é a fruteira: 5 frutas, das quais o estudante escolhe 3. Pela fórmula, \( C(5,3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = \frac{120}{12} = 10 \). São 10 trios possíveis, e não 60, porque cada trio pode ser ordenado de \( 3! = 6 \) maneiras, e essas 6 ordens contam como um único grupo. É exatamente essa divisão por \( p! \) que transforma um arranjo em combinação: o arranjo \( A(5,3) = 5 \times 4 \times 3 = 60 \) conta as ordens; a combinação divide por 6 e fica com os 10 grupos. Guarde a pergunta de ouro do tema: trocar a ordem muda o resultado? Se a resposta for não, é combinação.

A fórmula da combinação, passo a passo

Para entender a fórmula, comece pelo fatorial. O fatorial de um número natural \( n \) é \( n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1 \), com a convenção \( 0! = 1 \). Assim, \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \), \( 4! = 24 \), \( 3! = 6 \) e \( 2! = 2 \). A combinação de \( n \) elementos tomados \( p \) a \( p \) é \( C(n,p) = \frac{n!}{p!(n-p)!} \). O denominador tem dois papéis: \( p! \) elimina as ordens dentro do grupo escolhido, e \( (n-p)! \) elimina as ordens do grupo que ficou de fora. Por isso a fórmula é simétrica: escolher \( p \) é o mesmo que deixar \( n – p \) de fora, ou seja, \( C(n,p) = C(n,n-p) \). Na prática, essa simetria economiza conta: \( C(10,7) = C(10,3) \), e calcular \( C(10,3) \) é bem mais curto.

Veja o cálculo completo de \( C(10,3) \), o exemplo da comissão de 3 alunos entre 10: \( C(10,3) = \frac{10!}{3! \cdot 7!} \). Como \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7! \), o \( 7! \) cancela, e sobra \( \frac{10 \times 9 \times 8}{3!} = \frac{720}{6} = 120 \). São 120 comissões possíveis. O mesmo truque do cancelamento vale sempre: escreva o fatorial maior até o fatorial menor aparecer, corte os dois, e multiplique só o que sobrou. Outro exemplo conferido: \( C(8,2) = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \). São 28 duplas possíveis entre 8 pessoas, o mesmo número de apertos de mão entre 8 pessoas que se cumprimentam duas a duas, e o mesmo número de partidas de um torneio em que cada time enfrenta cada outro uma única vez. E \( C(5,2) = \frac{5 \times 4}{2} = 10 \), que também pode ser conferido pela simetria, pois \( C(5,2) = C(5,3) = 10 \).

Em Matemática, as questões de combinação quase sempre escondem a fórmula dentro de uma situação: comissões, equipes, cardápios, sorteios, trios de frutas, duplas de dança, grupos de estudo. O trabalho é identificar \( n \) e \( p \), e confirmar que a ordem não importa. Quando o enunciado fala em “escolher”, “formar um grupo”, “sortear” ou “selecionar”, sem cargos, sem posições e sem ordem, o caminho é a combinação. Quando fala em “ordenar”, “ocupar cargos”, “formar senha” ou “distribuir prêmios diferentes”, a ordem importa, e o caminho é outro, como mostra a próxima seção.

Combinação, arranjo e permutação: a diferença que decide a questão

A diferença entre as três ferramentas é uma só: a ordem importa ou não? Na combinação, a ordem não importa: escolher 2 entre 4 dá \( C(4,2) = \frac{4 \times 3}{2} = 6 \) grupos, que são AB, AC, AD, BC, BD e CD, contando cada par uma única vez. No arranjo, a ordem importa: ordenar 2 entre 4 dá \( A(4,2) = 4 \times 3 = 12 \), porque cada par aparece duas vezes, uma em cada ordem, como AB e BA. A relação entre os dois é direta: \( A(n,p) = C(n,p) \times p! \), ou seja, o arranjo é a combinação multiplicada pelas ordens possíveis do grupo. No exemplo, \( 6 \times 2! = 6 \times 2 = 12 \), conferindo os dois valores. A permutação é o caso em que se usam todos os elementos, ordenados: \( P(n) = n! \). Permutar 4 pessoas numa fila dá \( 4! = 24 \) filas, e isso é o mesmo que o arranjo \( A(4,4) \), porque escolher e ordenar os 4 é a mesma coisa.

O teste prático é trocar a ordem e perguntar se o resultado mudou. Numa comissão de 3 alunos, trocar a ordem dos nomes não muda a comissão: é combinação. Numa disputa por presidente e vice-presidente, trocar os nomes muda tudo, porque quem era presidente vira vice: é arranjo. Numa fila de 4 pessoas, trocar a ordem muda a fila: é permutação. Outro par clássico: escolher 3 sabores de sorvete para uma taça, sem ordem, é combinação, \( C(6,3) = 20 \) se houver 6 sabores; montar um pódio com ouro, prata e bronze entre 6 atletas é arranjo, \( A(6,3) = 6 \times 5 \times 4 = 120 \), porque o lugar no pódio importa. O erro mais comum do tema é usar o arranjo quando o problema pede combinação, o que infla o resultado por um fator de \( p! \): no exemplo dos 4 elementos tomados 2 a 2, o erro dá 12 no lugar de 6, o dobro do certo.

Há ainda dois atalhos que valem ouro na prova. O primeiro é a simetria já vista: \( C(n,p) = C(n,n-p) \), então \( C(10,8) = C(10,2) = 45 \), e \( C(12,10) = C(12,2) = 66 \). O segundo é o triângulo de Pascal, em que cada número é a soma dos dois acima dele, e a linha \( n \) traz todos os valores \( C(n,0), C(n,1), \dots, C(n,n) \): a linha 4 é 1, 4, 6, 4, 1, o que confirma \( C(4,2) = 6 \), e a linha 5 é 1, 5, 10, 10, 5, 1, o que confirma \( C(5,2) = C(5,3) = 10 \). Para valores pequenos, o triângulo confere a conta sem fatorial nenhum. E atenção a um caso-limite: \( C(n,0) = 1 \) e \( C(n,n) = 1 \), porque há exatamente uma maneira de escolher ninguém e uma maneira de escolher todo mundo.

Tabela 1: combinação, arranjo e permutação, lado a lado

Tabela 2: valores conferidos desta matéria

Mapa mental

• Combinação: a ordem não importa
  • Fórmula: \( C(n,p) = \frac{n!}{p!(n-p)!} \)
  • Fruteira: \( C(5,3) = 10 \); comissão: \( C(10,3) = 120 \); duplas: \( C(8,2) = 28 \)
• Pergunta de ouro
  • Trocar a ordem muda o resultado? Não: combinação. Sim: arranjo ou permutação.
  • Escolher, formar grupo, sortear: combinação. Ordenar, cargos, pódio: arranjo.
• Arranjo e permutação
  • \( A(n,p) = C(n,p) \times p! \): escolher 2 entre 4 dá 6; ordenar 2 entre 4 dá 12
  • Permutação usa todos: fila de 4 pessoas, \( 4! = 24 \)
• Atalhos
  • Simetria: \( C(n,p) = C(n,n-p) \), então \( C(10,7) = C(10,3) = 120 \)
  • Triângulo de Pascal: linha 5 é 1, 5, 10, 10, 5, 1
  • Casos-limite: \( C(n,0) = 1 \) e \( C(n,n) = 1 \)

SAQ — Perguntas e respostas curtas

1. O que é uma combinação?
É a contagem de grupos em que a ordem dos elementos não importa: trocar a ordem não cria um grupo novo.

2. Qual é a fórmula da combinação?
\( C(n,p) = \frac{n!}{p!(n-p)!} \), em que \( n \) é o total e \( p \) é quantos são escolhidos.

3. Quantos trios formam 5 frutas, escolhendo 3?
\( C(5,3) = 10 \) trios.

4. Quantas comissões de 3 alunos podem ser formadas entre 10?
\( C(10,3) = 120 \) comissões.

5. Quantas duplas podem ser formadas entre 8 pessoas?
\( C(8,2) = 28 \) duplas.

6. Qual é a diferença entre combinação e arranjo?
Na combinação a ordem não importa; no arranjo, importa. Por isso \( C(4,2) = 6 \) e \( A(4,2) = 12 \).

7. O que diz a simetria da combinação?
Que \( C(n,p) = C(n,n-p) \): escolher \( p \) é o mesmo que deixar \( n – p \) de fora.

8. Quantas filas formam 4 pessoas?
\( 4! = 24 \) filas, porque na fila a ordem importa: é permutação.

Questões comentadas

As questões abaixo são inéditas, no estilo ENEM, criadas para esta matéria.

Questão 1. Uma fruteira tem 5 frutas diferentes. O número de trios diferentes que podem ser escolhidos é:
a) 6.
b) 10.
c) 20.
d) 30.
e) 60.
Gabarito: B. A ordem não importa, então é combinação: \( C(5,3) = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 \). Quem calcula 60 usou o arranjo, sem dividir pelas 6 ordens de cada trio.

Questão 2. Uma turma tem 10 alunos e vai formar uma comissão de 3 representantes, sem cargos definidos. O número de comissões possíveis é:
a) 30.
b) 60.
c) 120.
d) 240.
e) 720.
Gabarito: C. Sem cargos, a ordem não importa: \( C(10,3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{6} = 120 \).

Questão 3. Em um grupo de 8 amigos, cada um cumprimenta cada outro uma única vez. O número total de cumprimentos é:
a) 16.
b) 24.
c) 28.
d) 32.
e) 56.
Gabarito: C. Cada cumprimento é uma dupla, e a ordem não importa: \( C(8,2) = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \).

Questão 4. Entre 4 sabores de suco, uma lanchonete vai escolher 2 para uma promoção, sem ordem entre eles, e também vai ordenar 2 sabores para um cartaz. Os dois números, respectivamente, são:
a) 6 e 6.
b) 6 e 12.
c) 12 e 6.
d) 12 e 12.
e) 12 e 24.
Gabarito: B. Escolher sem ordem é combinação, \( C(4,2) = 6 \); ordenar é arranjo, \( A(4,2) = 12 \).

Questão 5. Uma sorveteria tem 6 sabores e oferece taças com 3 sabores diferentes, sem importar a ordem. O número de taças possíveis é:
a) 18.
b) 20.
c) 60.
d) 120.
e) 216.
Gabarito: B. \( C(6,3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{6} = 20 \).

Questão 6. Uma escola vai escolher 7 alunos entre 10 para uma excursão. Usando a simetria da combinação, o número de grupos possíveis é:
a) 45.
b) 60.
c) 90.
d) 120.
e) 210.
Gabarito: D. \( C(10,7) = C(10,3) = 120 \), porque escolher 7 é o mesmo que deixar 3 de fora.

Dica do professor

Antes de qualquer conta, faça a pergunta de ouro: trocar a ordem muda o resultado? Se não mudar, use a combinação e divida por \( p! \); se mudar, use o arranjo. Depois, use a simetria para encurtar a conta: sempre calcule o menor entre \( p \) e \( n – p \). Cancele os fatoriais antes de multiplicar, para não lidar com números gigantes, e confira o resultado no triângulo de Pascal quando os números forem pequenos. Pratique também com questões do ENEM e dos vestibulares. Mais apoio como esse está na sala de estudo.

Atenção / cuidado

• Não use o arranjo quando o problema pede combinação: o resultado sai multiplicado por \( p! \).
• Não confunda “escolher” com “ordenar”: cargos, pódio, senha e fila pedem ordem, e aí não é combinação.
• Não esqueça de dividir por \( p! \): cada grupo aparece \( p! \) vezes quando se conta com ordem.
• Não confunda \( C(n,p) \) com \( n \times p \): combinação não é produto simples, é fatorial dividido.
• Não ignore a simetria: \( C(10,7) \) calculado direto dá trabalho à toa, pois vale \( C(10,3) \).

Conexão com outras áreas

Probabilidade: contar os grupos possíveis é o primeiro passo de loterias, sorteios e jogos. Biologia: combinações de genes e de bases do DNA usam a mesma contagem. Computação: senhas, comitês de decisão e subconjuntos de dados são combinações ou arranjos. Administração: montar equipes, comissões e cardápios é decidir grupos em que, muitas vezes, a ordem não importa.

Incidência: 🔥 Quente — cai no ENEM e nos vestibulares. Matéria: Matemática | Tema: Combinação.