Probabilidade da união de eventos: o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

A união de dois eventos é o evento que acontece quando pelo menos um deles acontece. Em linguagem de conjuntos, a união de \( A \) e \( B \), escrita como \( A \cup B \), reúne todos os resultados que estão em \( A \), em \( B \) ou nos dois ao mesmo tempo. Por isso, a pergunta típica da união é uma pergunta com “ou”: qual é a probabilidade de sair um número par ou um número maior que 3 no lançamento de um dado? Qual é a probabilidade de uma carta ser uma figura ou ser de copas? É um tema 🔥 Quente no ENEM e nos vestibulares, porque aparece em dados, cartas, urnas, pesquisas e sorteios, sempre exigindo o mesmo cuidado: não contar duas vezes o que pertence aos dois eventos.

A fórmula geral da união é \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \] em que \( P(A \cap B) \) é a probabilidade da interseção, isto é, de os dois eventos acontecerem juntos. O termo subtraído existe por um motivo simples: ao somar \( P(A) \) com \( P(B) \), os resultados que estão nos dois eventos são contados duas vezes, uma em cada parcela. Subtrair a interseção uma vez corrige essa contagem dupla. Quando os eventos não têm nenhum resultado em comum, a interseção é zero e a fórmula fica mais simples: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \). Saber decidir se há ou não interseção é, na prática, metade da questão.

O que é a união de eventos

Um evento é um conjunto de resultados possíveis de um experimento. No lançamento de um dado comum, o espaço amostral é \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \). Se \( A \) é o evento “sair número par”, então \( A = \{2, 4, 6\} \). Se \( B \) é o evento “sair número maior que 3”, então \( B = \{4, 5, 6\} \). A união \( A \cup B \) reúne todos os resultados que satisfazem pelo menos uma das duas condições: \( A \cup B = \{2, 4, 5, 6\} \). Note que 4 e 6 aparecem nos dois eventos, mas na união cada resultado aparece uma única vez. São 4 resultados favoráveis em 6 possíveis, logo \( P(A \cup B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).

Pela fórmula, o mesmo resultado aparece assim: \( P(A) = \frac{3}{6} \), porque há 3 números pares; \( P(B) = \frac{3}{6} \), porque há 3 números maiores que 3; e \( P(A \cap B) = \frac{2}{6} \), porque a interseção é \( A \cap B = \{4, 6\} \), com 2 resultados. Então \[ P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} – \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] O erro mais comum seria somar \( \frac{3}{6} + \frac{3}{6} = 1 \), ou seja, 100%, o que é claramente falso: os resultados 1 e 3 não satisfazem nenhuma das duas condições, então a probabilidade não pode ser 1. Sempre que a soma direta passar de 1 ou parecer grande demais, desconfie: quase sempre falta subtrair a interseção.

A leitura do “ou” também precisa de atenção. Na linguagem do dia a dia, “ou” às vezes sugere exclusividade, como em “ou vai, ou fica”. Na probabilidade da união, o “ou” é inclusivo: vale \( A \), vale \( B \) e vale os dois juntos. É por isso que a união inclui a interseção, e não a exclui. Se uma questão quisesse somente um dos dois, sem os dois juntos, ela diria isso explicitamente, com expressões como “somente um deles” ou “exatamente um”.

Eventos mutuamente exclusivos

Dois eventos são mutuamente exclusivos, ou disjuntos, quando não têm nenhum resultado em comum: \( A \cap B = \emptyset \) e, portanto, \( P(A \cap B) = 0 \). Nesse caso, a fórmula da união fica reduzida a \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \] Um exemplo clássico é o lançamento de um único dado: seja \( A \) o evento “sair 1” e \( B \) o evento “sair 6”. Nenhum lançamento pode ser 1 e 6 ao mesmo tempo, então \( P(A) = \frac{1}{6} \), \( P(B) = \frac{1}{6} \) e \( P(A \cup B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \). Outro exemplo: ao retirar uma carta de um baralho, ser um ás de espadas e ser um rei de copas são eventos mutuamente exclusivos, pois uma única carta não pode ser as duas coisas.

Em Matemática, vale a pena separar dois conceitos que costumam ser confundidos: eventos mutuamente exclusivos e eventos independentes não são a mesma coisa. Eventos mutuamente exclusivos não podem acontecer juntos; eventos independentes podem acontecer juntos, mas a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Se dois eventos têm probabilidade diferente de zero e são mutuamente exclusivos, eles não são independentes, porque saber que um aconteceu já garante que o outro não aconteceu. Essa distinção aparece em questões teóricas e em pegadinhas de verdadeiro ou falso.

Eventos não exclusivos e o diagrama de Venn

Quando os eventos têm resultados em comum, eles são não exclusivos, e é aí que a subtração da interseção se torna obrigatória. O diagrama de Venn é a melhor ferramenta para enxergar isso: desenham-se dois círculos sobrepostos, um para \( A \) e outro para \( B \). A região só de \( A \) é a parte de \( A \) fora da sobreposição; a região só de \( B \) é a parte de \( B \) fora da sobreposição; e a lente central, onde os círculos se cruzam, é a interseção. A união é toda a área coberta pelos dois círculos juntos, incluindo a lente central, contada uma única vez.

Um exemplo com números exatos ajuda a fixar o diagrama. Em uma pesquisa com 30 alunos, 12 gostam de futebol, 10 gostam de vôlei e 4 gostam dos dois esportes. Chamando de \( A \) o evento “gostar de futebol” e de \( B \) o evento “gostar de vôlei”, temos: somente futebol, \( 12 – 4 = 8 \) alunos; somente vôlei, \( 10 – 4 = 6 \) alunos; e os dois esportes, 4 alunos. A união, isto é, gostar de pelo menos um dos dois esportes, é \( 8 + 4 + 6 = 18 \) alunos. Pela fórmula: \[ P(A \cup B) = \frac{12}{30} + \frac{10}{30} – \frac{4}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 60\% \] Observe a coerência: o total de \( A \) é \( 8 + 4 = 12 \), o total de \( B \) é \( 4 + 6 = 10 \), e a união é \( 12 + 10 – 4 = 18 \). Se você somasse 12 com 10 sem subtrair, chegaria a 22, contando os 4 alunos dos dois esportes duas vezes.

O diagrama de Venn também resolve a pergunta complementar com facilidade: dos 30 alunos, \( 30 – 18 = 12 \) não gostam de nenhum dos dois esportes, ou seja, a probabilidade de um aluno sorteado não gostar de nenhum dos dois é \( \frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 40\% \). Em questões de pesquisa, preencher o diagrama de dentro para fora é a estratégia mais segura: comece sempre pela interseção, depois complete as regiões “somente A” e “somente B” subtraindo a interseção dos totais, e só então some para achar a união.

Tabela 1: o exemplo da pesquisa no diagrama de Venn

Exemplos com cartas e urnas

As cartas são um ótimo teste para a interseção, porque figuras e naipes se cruzam. Em um baralho de 52 cartas, seja \( A \) o evento “a carta é uma figura” (valete, dama ou rei, em qualquer naipe) e \( B \) o evento “a carta é de copas”. Há 12 figuras no baralho, então \( P(A) = \frac{12}{52} \). Há 13 cartas de copas, então \( P(B) = \frac{13}{52} \). A interseção, “figura de copas”, tem 3 cartas (valete, dama e rei de copas), logo \( P(A \cap B) = \frac{3}{52} \). Aplicando a fórmula: \[ P(A \cup B) = \frac{12}{52} + \frac{13}{52} – \frac{3}{52} = \frac{22}{52} = \frac{11}{26} \] Conferindo pela contagem direta: 12 figuras mais as 10 cartas de copas que não são figuras, pois \( 13 – 3 = 10 \), totalizam \( 12 + 10 = 22 \) cartas favoráveis, o mesmo resultado.

As urnas seguem a mesma lógica, com a vantagem de os números serem menores e a contagem ser direta. Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja \( A \) o evento “o número é múltiplo de 4” e \( B \) o evento “o número é múltiplo de 5”. Os múltiplos de 4 são \( \{4, 8, 12, 16, 20\} \), 5 números, então \( P(A) = \frac{5}{20} \). Os múltiplos de 5 são \( \{5, 10, 15, 20\} \), 4 números, então \( P(B) = \frac{4}{20} \). A interseção são os múltiplos comuns de 4 e 5, isto é, os múltiplos de 20: apenas o número 20, logo \( P(A \cap B) = \frac{1}{20} \). Assim: \[ P(A \cup B) = \frac{5}{20} + \frac{4}{20} – \frac{1}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 40\% \] A lista completa confirma: \( \{4, 5, 8, 10, 12, 15, 16, 20\} \), 8 números favoráveis em 20.

Um terceiro exemplo, com interseção zero, fecha o contraste. Na mesma urna de 1 a 20, seja \( A \) o evento “o número é menor que 3”, ou seja, \( \{1, 2\} \), e \( B \) o evento “o número é maior que 18”, ou seja, \( \{19, 20\} \). Não há número que seja menor que 3 e maior que 18 ao mesmo tempo, então a interseção é vazia e \( P(A \cup B) = \frac{2}{20} + \frac{2}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 20\% \). Comparar esse caso com o anterior mostra o ponto central da matéria: a fórmula é sempre a mesma, mas só há subtração quando a interseção não é zero.

Tabela 2: quando subtrair a interseção

Mapa mental

• União \( A \cup B \)
  • Pelo menos um dos eventos acontece; o “ou” é inclusivo
  • Fórmula geral: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \)
• Interseção \( A \cap B \)
  • Os dois eventos acontecem juntos; é o que se subtrai para não contar duas vezes
  • Se a interseção é zero, os eventos são mutuamente exclusivos
• Mutuamente exclusivos
  • Nenhum resultado em comum; \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)
  • Exemplo: sair 1 ou sair 6 em um único dado
• Não exclusivos
  • Têm resultados em comum; subtrair a interseção é obrigatório
  • Exemplos: par ou maior que 3 no dado; figura ou copas no baralho
• Diagrama de Venn
  • Preencher de dentro para fora: interseção primeiro, depois “somente A” e “somente B”
  • União: \( 8 + 4 + 6 = 18 \) no exemplo da pesquisa; nenhum dos dois: total menos união
• Erros clássicos
  • Somar sem subtrair a interseção; confundir “ou” com “somente um”; confundir exclusivos com independentes

Perguntas e respostas curtas

1. O que é a união de dois eventos?
É o evento que acontece quando pelo menos um dos dois acontece, representado por \( A \cup B \).

2. Qual é a fórmula geral da probabilidade da união?
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \).

3. Por que se subtrai a interseção?
Porque os resultados comuns aos dois eventos são contados duas vezes na soma \( P(A) + P(B) \), e a subtração corrige essa contagem dupla.

4. Quando dois eventos são mutuamente exclusivos?
Quando não têm nenhum resultado em comum, ou seja, quando \( A \cap B = \emptyset \) e \( P(A \cap B) = 0 \).

5. Qual é a fórmula da união para eventos mutuamente exclusivos?
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \), sem subtração, pois a interseção é zero.

6. No dado, qual é a probabilidade de sair número par ou maior que 3?
\( \frac{2}{3} \), pois a união é \( \{2, 4, 5, 6\} \), 4 resultados em 6, e a interseção \( \{4, 6\} \) não pode ser contada duas vezes.

7. Como se preenche um diagrama de Venn em questões de pesquisa?
De dentro para fora: primeiro a interseção, depois “somente A” e “somente B”, subtraindo a interseção dos totais, e por fim a união.

8. Eventos mutuamente exclusivos são o mesmo que eventos independentes?
Não. Exclusivos não podem acontecer juntos; independentes podem acontecer juntos, sem que um altere a probabilidade do outro.

Questões comentadas

Questão 1. Em uma escola, uma rifa tem 40 bilhetes numerados de 1 a 40. Qual é a probabilidade de o bilhete sorteado ser múltiplo de 6 ou múltiplo de 8?
a) \( \frac{1}{4} \)
b) \( \frac{9}{40} \)
c) \( \frac{1}{5} \)
d) \( \frac{11}{40} \)
e) \( \frac{3}{10} \)
Gabarito: a. Os múltiplos de 6 até 40 são \( \{6, 12, 18, 24, 30, 36\} \), 6 números. Os múltiplos de 8 até 40 são \( \{8, 16, 24, 32, 40\} \), 5 números. A interseção são os múltiplos comuns de 6 e 8, isto é, os múltiplos de 24: apenas o 24, 1 número. Logo, \( P = \frac{6}{40} + \frac{5}{40} – \frac{1}{40} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4} \), e a lista confirma \( \{6, 8, 12, 16, 18, 24, 30, 32, 36, 40\} \), 10 números. A alternativa d, \( \frac{11}{40} \), é o resultado de somar sem subtrair a interseção, o erro clássico da matéria.

Questão 2. Lança-se um dado comum uma vez. Qual é a probabilidade de sair um número primo ou um número maior que 4?
a) \( \frac{1}{2} \)
b) \( \frac{2}{3} \)
c) \( \frac{5}{6} \)
d) \( \frac{1}{3} \)
e) \( \frac{1}{6} \)
Gabarito: b. Os primos no dado são \( \{2, 3, 5\} \), 3 números, logo \( P(A) = \frac{3}{6} \). Os maiores que 4 são \( \{5, 6\} \), 2 números, logo \( P(B) = \frac{2}{6} \). A interseção é \( \{5\} \), 1 número, logo \( P(A \cap B) = \frac{1}{6} \). Assim, \( P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \). A união é \( \{2, 3, 5, 6\} \), confirmando os 4 resultados.

Questão 3. De um baralho de 52 cartas, retira-se uma carta ao acaso. Qual é a probabilidade de ela ser um ás ou uma carta de espadas?
a) \( \frac{4}{13} \)
b) \( \frac{1}{4} \)
c) \( \frac{17}{52} \)
d) \( \frac{9}{26} \)
e) \( \frac{15}{52} \)
Gabarito: a. Há 4 ases, logo \( P(A) = \frac{4}{52} \). Há 13 cartas de espadas, logo \( P(B) = \frac{13}{52} \). A interseção é o ás de espadas, 1 carta, logo \( P(A \cap B) = \frac{1}{52} \). Então \( P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} – \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13} \). Quem soma sem subtrair chega a \( \frac{17}{52} \), a alternativa c, que conta o ás de espadas duas vezes.

Questão 4. Em uma turma de 50 alunos, 28 praticam natação, 22 praticam corrida e 10 praticam os dois esportes. Sorteando um aluno ao acaso, qual é a probabilidade de ele praticar pelo menos um dos dois esportes?
a) \( \frac{2}{5} \)
b) \( \frac{3}{5} \)
c) \( \frac{4}{5} \)
d) \( \frac{1}{2} \)
e) \( \frac{9}{10} \)
Gabarito: c. Somente natação: \( 28 – 10 = 18 \). Somente corrida: \( 22 – 10 = 12 \). União: \( 18 + 10 + 12 = 40 \) alunos. Pela fórmula: \( \frac{28}{50} + \frac{22}{50} – \frac{10}{50} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5} = 80\% \). Os 10 alunos restantes, \( 50 – 40 = 10 \), não praticam nenhum dos dois.

Questão 5. Uma urna tem bolas numeradas de 1 a 30. Retira-se uma bola ao acaso. Qual é a probabilidade de o número ser par ou terminar em 5?
a) \( \frac{1}{2} \)
b) \( \frac{3}{5} \)
c) \( \frac{2}{3} \)
d) \( \frac{7}{15} \)
e) \( \frac{11}{15} \)
Gabarito: b. Os pares de 1 a 30 são 15 números, logo \( P(A) = \frac{15}{30} \). Os que terminam em 5 são \( \{5, 15, 25\} \), 3 números, logo \( P(B) = \frac{3}{30} \). Nenhum número par termina em 5, então a interseção é vazia e os eventos são mutuamente exclusivos: \( P(A \cup B) = \frac{15}{30} + \frac{3}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} \). Aqui não há subtração, porque a interseção é zero.

Questão 6. Dois dados comuns são lançados e observa-se apenas o primeiro dado. Qual é a probabilidade de o primeiro dado mostrar 3 ou mostrar um número ímpar?
a) \( \frac{1}{2} \)
b) \( \frac{2}{3} \)
c) \( \frac{1}{3} \)
d) \( \frac{5}{6} \)
e) \( \frac{1}{6} \)
Gabarito: a. Mostrar 3 tem probabilidade \( \frac{1}{6} \). Mostrar um número ímpar, \( \{1, 3, 5\} \), tem probabilidade \( \frac{3}{6} \). A interseção é o próprio resultado 3, com probabilidade \( \frac{1}{6} \), pois 3 é ímpar. Logo, \( P = \frac{1}{6} + \frac{3}{6} – \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \). A união é \( \{1, 3, 5\} \), o que faz sentido: todo resultado 3 já está dentro dos ímpares, então a união é igual ao evento “ímpar”.

Dica do professor

Antes de qualquer conta, liste os conjuntos. Escreva \( A \), escreva \( B \) e circule a interseção. Se você consegue listar os resultados, a questão está praticamente resolvida, porque a união é a lista sem repetições e a probabilidade é a contagem dessa lista dividida pelo total. Em questões de pesquisa, desenhe o diagrama de Venn e preencha de dentro para fora, começando pela interseção. E, ao final, faça a prova dos nove: a probabilidade da união nunca pode ser maior que 1, nunca pode ser menor que cada probabilidade individual, e, se a soma direta passar de 1, você esqueceu de subtrair a interseção.

Atenção e cuidado

O erro mais frequente é somar \( P(A) + P(B) \) sem verificar a interseção. O segundo erro é contar a interseção duas vezes na listagem, escrevendo, por exemplo, \( \{2, 4, 6, 4, 5, 6\} \) como se fossem 6 resultados, quando são apenas 4 resultados distintos. O terceiro erro é tratar o “ou” como exclusivo, excluindo a interseção da união, quando a união a inclui. O quarto erro é confundir união com interseção: “ou” pede a união, “e” pede a interseção. Por fim, cuidado com eventos mutuamente exclusivos em experimentos compostos: tirar duas cartas sem reposição, por exemplo, não é o mesmo que tirar uma única carta, e a exclusividade precisa ser verificada no experimento descrito, não decorada.

Conexão com outras áreas

A união de eventos é a porta de entrada para a teoria dos conjuntos, para a lógica e para a estatística. Em pesquisas de opinião, o diagrama de Venn organiza quantas pessoas preferem cada opção, quantas preferem as duas e quantas não preferem nenhuma, exatamente como no exemplo dos esportes. Em genética, a união aparece ao calcular a chance de um descendente herdar pelo menos uma característica; em computação, o “ou” inclusivo é o operador lógico OR, presente em buscas e filtros. Na sala de estudo, vale revisar em seguida probabilidade condicional e eventos independentes, que usam a interseção de outro jeito, e análise combinatória, que ajuda a contar os casos favoráveis quando a listagem direta fica longa demais.