Estática de um corpo extenso e Centro de massa

Resumo rápido

Um corpo extenso é aquele cujas dimensões não podem ser desprezadas no problema, como uma barra, uma porta, uma ponte ou o corpo humano. Diferente de um ponto material, ele pode girar, e por isso não basta que a soma das forças seja zero: é preciso também que a soma dos momentos, ou torques, seja zero. O torque mede a tendência de uma força provocar rotação e depende da intensidade da força, da distância até o eixo de rotação e do ângulo de aplicação. O centro de massa é o ponto que resume a distribuição de massa do corpo, e o centro de gravidade é o ponto onde podemos considerar aplicado o peso. Em um campo gravitacional uniforme, os dois coincidem. Um corpo está em equilíbrio estável quando seu centro de gravidade está baixo e a vertical que passa por ele cai dentro da base de apoio. Este tema aparece no Enem e nos vestibulares em situações do cotidiano: gangorras, alavancas, portas, guindastes, escadas encostadas na parede e pessoas se equilibrando.

Se você lembrar de apenas três ideias, leve estas: primeiro, equilíbrio de corpo extenso exige duas condições ao mesmo tempo, força resultante nula e momento resultante nulo; segundo, torque é força vezes braço, e braço maior significa giro mais fácil; terceiro, um corpo só se mantém em pé quando a linha vertical do seu centro de gravidade passa pela base de apoio. Com essas três ideias, a maior parte das questões fica muito mais simples, porque você passa a procurar, no enunciado, onde está o eixo, quais são os braços e para que lado cada força tenta girar o corpo.

O que é um corpo extenso e por que ele pode girar

Na Física, muitas vezes tratamos um objeto como um ponto material, isto é, um ponto sem tamanho, que só pode se deslocar de um lugar para outro. Essa simplificação funciona bem para um carro em uma estrada longa ou para um planeta em sua órbita, mas falha quando o tamanho do objeto importa. Uma barra apoiada em um ponto, uma porta presa por dobradiças e uma gangorra com duas crianças são exemplos de corpos extensos: eles têm comprimento, largura e altura que influenciam o resultado. O ponto central da estática de um corpo extenso é justamente este: além de se deslocar, o corpo pode girar em torno de um eixo.

Pense em uma gangorra. Se duas crianças de mesmo peso sentam a distâncias iguais do centro, a gangorra fica parada, na horizontal. Se uma delas se afasta do centro, a gangorra gira para o lado dela, mesmo que os pesos continuem os mesmos. Nada mudou nas forças verticais totais, mas mudou a distribuição dessas forças em relação ao eixo. É por isso que a primeira condição de equilíbrio, aquela que aprendemos para o ponto material, não é suficiente aqui. Para o ponto material, basta que a soma vetorial das forças seja zero. Para o corpo extenso, é preciso também impedir a rotação, e isso nos leva ao conceito de momento de uma força, também chamado de torque.

Outro exemplo ajuda a fixar a ideia. Imagine empurrar uma porta. Se você empurra perto da dobradiça, precisa fazer muita força e a porta quase não se move. Se empurra longe da dobradiça, perto da maçaneta, a porta gira com facilidade. A força pode ser a mesma, mas o efeito de rotação é completamente diferente. O que muda é a distância entre o ponto de aplicação da força e o eixo de rotação. Essa distância, medida perpendicularmente à linha de ação da força, recebe o nome de braço de alavanca. Quanto maior o braço, maior o efeito de giro. Essa é uma das ideias mais cobradas em prova, e também uma das mais úteis na vida: é por ela que usamos cabos longos em chaves de roda, alavancas para levantar pedras e maçanetas longe das dobradiças.

Um erro comum é tratar todo corpo como ponto material e esquecer a rotação. Outro erro é confundir massa com peso, ou força com torque. Força mede empurrão ou puxão; torque mede a capacidade desse empurrão de girar um corpo em torno de um eixo. Uma força grande aplicada bem perto do eixo pode girar menos do que uma força menor aplicada longe do eixo. Guardar essa diferença evita muitos erros bobos em prova, sobretudo nas questões que misturam gangorra, alavanca e balança. Para revisar as bases de força e movimento, vale voltar ao estudo das leis de Newton e ao estudo de vetores em Física, que são a linguagem usada para somar forças e momentos.

Torque ou momento de uma força

O torque, representado pela letra grega tau, \( \tau \), é definido como o produto da intensidade da força pelo braço de alavanca, quando a força é perpendicular ao braço. Em sua forma mais geral, quando a força forma um ângulo \( \theta \) com o braço, o torque é dado por \( \tau = F \cdot d \cdot \sin\theta \), em que \( F \) é a intensidade da força, em newtons, \( d \) é a distância do eixo ao ponto de aplicação, em metros, e \( \theta \) é o ângulo entre a força e o braço. A unidade de torque no Sistema Internacional é o newton vezes metro, \( \text{N} \cdot \text{m} \). Atenção: newton vezes metro não é joule, embora as unidades pareçam iguais. O joule mede energia e trabalho; o newton vezes metro, quando usado para torque, mede tendência de rotação. Em prova, essa distinção já apareceu como pegadinha, então vale anotar.

O sinal do torque indica o sentido da rotação que ele tenta provocar. Por convenção, adotamos torque positivo para o sentido anti-horário e torque negativo para o sentido horário, ou o contrário, desde que a escolha seja mantida em toda a questão. O que importa é a coerência: torques que tentam girar para lados opostos entram na conta com sinais opostos. Na prática, muitos estudantes escolhem o sentido horário como positivo porque é o sentido do peso em gangorras desenhadas da esquerda para a direita, mas qualquer convenção funciona se for aplicada até o fim. O erro aparece quando o estudante troca o sinal no meio da conta.

Vamos a um exemplo numérico resolvido passo a passo. Uma força de \( 50 \, \text{N} \), perpendicular a uma barra, é aplicada a \( 0{,}80 \, \text{m} \) do eixo de rotação. O torque é \( \tau = F \cdot d = 50 \times 0{,}80 = 40 \, \text{N} \cdot \text{m} \). Agora suponha que a mesma força seja aplicada a apenas \( 0{,}20 \, \text{m} \) do eixo. O torque cai para \( \tau = 50 \times 0{,}20 = 10 \, \text{N} \cdot \text{m} \), quatro vezes menor. É exatamente por isso que empurrar a porta perto da dobradiça é tão difícil. E se a força de \( 50 \, \text{N} \) for aplicada a \( 0{,}80 \, \text{m} \) do eixo, mas formando um ângulo de \( 30^\circ \) com a barra, temos \( \sin 30^\circ = 0{,}5 \) e, portanto, \( \tau = 50 \times 0{,}80 \times 0{,}5 = 20 \, \text{N} \cdot \text{m} \). Apenas a componente perpendicular da força produz torque; a componente ao longo da barra tenta apenas deslocar o eixo, sem girar.

Outro exemplo clássico é o da chave de roda. Um mecânico aplica uma força de \( 120 \, \text{N} \) na extremidade de uma chave de \( 0{,}50 \, \text{m} \). O torque é \( \tau = 120 \times 0{,}50 = 60 \, \text{N} \cdot \text{m} \). Se ele encaixar um cano e aumentar o braço para \( 1{,}00 \, \text{m} \), mantendo a mesma força, o torque dobra: \( \tau = 120 \times 1{,}00 = 120 \, \text{N} \cdot \text{m} \). Por isso, com um cabo mais longo, um parafuso emperrado sai com muito menos esforço. O mesmo raciocínio explica o quebra-nozes, o abridor de garrafas e a alavanca usada para levantar uma pedra: aumentar o braço é uma forma de multiplicar o efeito da força sem precisar ficar mais forte.

É importante perceber que o torque depende do eixo escolhido. A mesma força pode ter torques diferentes em relação a eixos diferentes, porque o braço muda. Nas questões de equilíbrio, isso é uma vantagem: podemos escolher o eixo de rotação de forma estratégica, geralmente no ponto onde atua uma força desconhecida, para que o torque dessa força seja zero, já que seu braço é zero. Com isso, a equação dos momentos fica mais simples e a incógnita que queremos aparece sozinha. Essa escolha esperta de eixo é um dos truques que mais economizam tempo em prova, e deve ser praticada até virar reflexo. O estudo das máquinas simples mostra essas alavancas em ação, e o estudo de trabalho e energia ajuda a entender por que o ganho de força vem acompanhado de um deslocamento maior.

Condições de equilíbrio: resultante nula e momento resultante nulo

Um corpo extenso está em equilíbrio estático quando está parado e permanece parado. Para isso, duas condições precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo. A primeira condição é a da translação: a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre o corpo deve ser zero, ou seja, \[ \sum \vec{F} = 0 \] Na prática, isso significa que a soma das forças em cada direção também é zero: a soma das forças horizontais é zero e a soma das forças verticais é zero. Se essa condição falha, o centro de massa do corpo acelera, seguindo a segunda lei de Newton. A segunda condição é a da rotação: a soma de todos os torques em relação a qualquer eixo deve ser zero, ou seja, \[ \sum \tau = 0 \] Se essa condição falha, o corpo ganha aceleração angular, isto é, começa a girar cada vez mais rápido.

Perceba um detalhe poderoso: se a soma das forças é zero, então a soma dos torques é a mesma em relação a qualquer eixo. Por isso, em um problema de equilíbrio, podemos escolher o eixo mais conveniente sem medo de errar o resultado. Na prática, as questões costumam pedir forças de apoio, trações em cabos ou a posição de um peso para equilibrar uma barra, e o caminho mais rápido é quase sempre este: primeiro, use a equação dos momentos em relação a um ponto onde haja uma incógnita, para eliminá-la; depois, use as equações de forças para encontrar o que falta. Fazer o contrário também funciona, mas costuma gerar um sistema de equações maior e mais sujeito a erro.

Vamos resolver um problema completo, passo a passo. Uma barra homogênea de \( 4{,}0 \, \text{m} \) de comprimento e peso \( 200 \, \text{N} \) está apoiada em suas extremidades, nos pontos A e B. Um bloco de peso \( 100 \, \text{N} \) é colocado sobre a barra, a \( 1{,}0 \, \text{m} \) do ponto A. Queremos as reações nos apoios, \( N_A \) e \( N_B \). Primeiro, a soma das forças verticais: \( N_A + N_B = 200 + 100 = 300 \, \text{N} \). Depois, tomamos os momentos em relação ao ponto A, adotando o sentido anti-horário como positivo. O peso da barra atua em seu centro, a \( 2{,}0 \, \text{m} \) de A, provocando torque horário de \( 200 \times 2{,}0 = 400 \, \text{N} \cdot \text{m} \). O bloco, a \( 1{,}0 \, \text{m} \) de A, provoca torque horário de \( 100 \times 1{,}0 = 100 \, \text{N} \cdot \text{m} \). A reação \( N_B \), a \( 4{,}0 \, \text{m} \) de A, provoca torque anti-horário de \( N_B \times 4{,}0 \). Como a soma é zero, temos \( 4{,}0 \cdot N_B – 400 – 100 = 0 \), logo \( N_B = 125 \, \text{N} \). Voltando à soma das forças, \( N_A = 300 – 125 = 175 \, \text{N} \). Repare que o apoio mais próximo do bloco sustenta mais peso, exatamente como a intuição sugere: quem está mais perto da carga carrega mais.

Outro caso muito cobrado é a gangorra com pesos diferentes. Uma criança de peso \( 300 \, \text{N} \) senta a \( 2{,}0 \, \text{m} \) do centro. A que distância do centro, do outro lado, deve sentar uma criança de peso \( 200 \, \text{N} \) para equilibrar a gangorra? Igualando os torques, \( 300 \times 2{,}0 = 200 \times d \), obtemos \( d = 3{,}0 \, \text{m} \). A criança mais leve precisa sentar mais longe do centro. Essa é a lei da alavanca em sua forma mais simples: força vezes braço de um lado igual a força vezes braço do outro lado, quando a barra está em equilíbrio. Muitas questões de vestibular são apenas variações desse problema, com uma barra, dois pesos e uma distância desconhecida. Se você dominar esse modelo, resolve a maioria delas em menos de um minuto.

Um terceiro tipo de problema envolve cabos e trações. Uma barra presa por uma dobradiça em uma parede e sustentada por um cabo inclinado é um clássico. Nesse caso, a dobradiça exerce forças horizontal e vertical, o peso da barra atua no centro e a tração do cabo tem componentes horizontal e vertical. A estratégia continua a mesma: momentos em relação à dobradiça eliminam as duas incógnitas da dobradiça de uma só vez, porque o braço delas é zero, e sobra uma equação só com a tração. Depois, as equações de forças devolvem as componentes da dobradiça. O erro mais comum aqui é esquecer a componente horizontal da tração ou tratar a tração como se fosse totalmente vertical. Desenhar as componentes antes de escrever as equações evita esse erro. Para treinar decomposição de forças, revise vetores em Física e, para o peso e as forças de contato, revise peso e massa e atrito.

Centro de massa e centro de gravidade

O centro de massa é o ponto de um corpo onde podemos imaginar concentrada toda a sua massa, para fins de movimento de translação. Quando uma força resultante atua sobre um corpo, é o centro de massa que se move como se fosse um ponto material sujeito a essa força, mesmo que o corpo esteja girando ao mesmo tempo. Um exemplo bonito é o de um martelo lançado no ar, girando: enquanto o martelo gira de forma complicada, seu centro de massa descreve uma trajetória simples, uma parábola, exatamente como a de um ponto lançado. É por isso que o centro de massa é tão útil: ele separa o movimento complicado do corpo em duas partes simples, a translação do centro de massa e a rotação em torno dele.

O centro de gravidade é o ponto onde podemos considerar aplicada a força peso do corpo, isto é, a resultante de todas as pequenas forças de gravidade que atuam em cada pedacinho do corpo. Quando o campo gravitacional é uniforme, como acontece, com ótima aproximação, perto da superfície da Terra para objetos do nosso cotidiano, o centro de gravidade coincide com o centro de massa. Por isso, nos problemas de vestibular, os dois termos são muitas vezes usados como se fossem o mesmo ponto, e a distinção só importa em situações especiais, como em corpos muito grandes, em que a gravidade varia de uma extremidade à outra, ou em problemas teóricos. Para a prova, a regra prática é esta: em campo uniforme, centro de massa é igual a centro de gravidade, e o peso pode ser desenhado aplicado nesse ponto.

A posição do centro de massa depende da forma do corpo e da distribuição da massa. Em um corpo homogêneo e simétrico, como uma barra uniforme, um disco ou uma esfera maciça, o centro de massa está no centro geométrico. Em um corpo com massa concentrada em um lado, o centro de massa se desloca para esse lado. Um martelo, por exemplo, tem o centro de massa perto da cabeça de metal, e não no meio do cabo, porque a cabeça é muito mais pesada. Um carro tem o centro de massa baixo, perto do chão, o que ajuda na estabilidade em curvas. Já um caminhão carregado em cima tem o centro de massa alto, e por isso tomba com mais facilidade. Essas observações do cotidiano são exatamente o que as questões contextualizadas do Enem gostam de explorar.

Para a estabilidade, o que realmente importa é a posição do centro de gravidade em relação à base de apoio. Imagine uma pessoa em pé: sua base de apoio é a região entre os pés. Enquanto a vertical que passa pelo centro de gravidade cair dentro dessa região, a pessoa fica em pé sem precisar de esforço extra. Se ela se inclina tanto que essa vertical sai da base, o peso passa a produzir um torque que a derruba ainda mais, e ela cai. É por isso que, ao carregar uma mochila pesada, inclinamos o corpo para a frente: estamos trazendo a vertical do centro de gravidade de volta para dentro da base de apoio. Atletas, dançarinos e trabalhadores que carregam peso na cabeça fazem esse ajuste o tempo todo, sem pensar em Física, mas usando exatamente essa regra. A relação com o movimento e com a gravidade fica mais clara ao revisar gravitação universal e energia cinética e potencial.

Como calcular o centro de massa

Para um conjunto de partículas, ou de partes de um corpo, a posição do centro de massa é a média das posições, ponderada pelas massas. Em uma dimensão, ao longo de um eixo x, a fórmula é \[ x_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \cdots + m_n x_n}{m_1 + m_2 + \cdots + m_n} \] O mesmo vale para as coordenadas y e z, com fórmulas análogas. A ideia é intuitiva: cada massa puxa o centro de massa para o seu lado, com uma força proporcional ao seu valor. Uma massa grande puxa muito; uma massa pequena puxa pouco. Se as massas forem iguais, o centro de massa fica no ponto médio entre elas.

Vamos a um exemplo numérico simples. Duas esferas estão sobre um eixo: uma de massa \( 2{,}0 \, \text{kg} \) na posição \( x = 0 \) e outra de massa \( 6{,}0 \, \text{kg} \) na posição \( x = 4{,}0 \, \text{m} \). O centro de massa é \( x_{CM} = \frac{2{,}0 \times 0 + 6{,}0 \times 4{,}0}{2{,}0 + 6{,}0} = \frac{24}{8} = 3{,}0 \, \text{m} \). Repare que o resultado, \( 3{,}0 \, \text{m} \), está mais perto da massa maior, que está em \( 4{,}0 \, \text{m} \), do que da massa menor, em zero. Se as duas massas fossem iguais, o centro ficaria no meio, em \( 2{,}0 \, \text{m} \). Esse tipo de conta aparece em questões com duas ou três massas sobre uma barra, e o caminho é sempre o mesmo: multiplicar cada massa por sua posição, somar tudo e dividir pela massa total.

Um truque útil para corpos compostos é tratar cada parte pelo seu próprio centro de massa. Uma figura em forma de L, por exemplo, pode ser dividida em dois retângulos. Calcula-se o centro de massa de cada retângulo, que está no seu centro geométrico, e depois aplica-se a média ponderada pelas áreas, já que, sendo homogênea, a massa é proporcional à área. Da mesma forma, um corpo com um furo pode ser tratado como um corpo inteiro menos a parte retirada, usando massa negativa para o furo. Esse método de decompor e recompor aparece em questões mais elaboradas, mas segue sempre a mesma fórmula de média ponderada. O segredo é escolher um sistema de coordenadas claro, anotar cada posição com sinal e conferir se o resultado final cai em um lugar razoável, entre as massas envolvidas. Um centro de massa fora do intervalo das massas é sinal de erro de conta ou de sinal.

Tipos de equilíbrio

Nem todo equilíbrio é igual. Quando um corpo em equilíbrio sofre um pequeno deslocamento e depois volta sozinho à posição original, dizemos que o equilíbrio é estável. Quando ele se afasta ainda mais da posição original, o equilíbrio é instável. E quando ele permanece na nova posição, sem voltar e sem se afastar, o equilíbrio é indiferente. A diferença entre os três casos pode ser entendida pela altura do centro de gravidade: no equilíbrio estável, qualquer deslocamento eleva o centro de gravidade, e a gravidade puxa o corpo de volta para baixo, para a posição de menor altura; no equilíbrio instável, o deslocamento abaixa o centro de gravidade, e a gravidade empurra o corpo ainda mais para longe; no equilíbrio indiferente, a altura do centro de gravidade não muda.

Um cone apoiado pela base está em equilíbrio estável: se o inclinarmos um pouco, ele volta. O mesmo cone equilibrado pela ponta está em equilíbrio instável: qualquer toque o derruba. Uma esfera sobre uma superfície plana está em equilíbrio indiferente: ao rolar um pouco, ela continua em equilíbrio na nova posição, porque seu centro de gravidade permanece à mesma altura. Uma bola dentro de uma tigela está em equilíbrio estável, enquanto uma bola sobre uma colina está em equilíbrio instável. Esses exemplos aparecem com frequência em questões conceituais, que pedem apenas a classificação, sem conta nenhuma. Saber associar cada desenho ao tipo de equilíbrio já garante a questão.

Na prática, a estabilidade de um corpo apoiado depende de dois fatores: a altura do centro de gravidade e o tamanho da base de apoio. Quanto mais baixo o centro de gravidade e quanto maior a base, mais estável é o corpo. É por isso que carros de corrida são baixos e largos, que um lutador abre as pernas para não ser derrubado e que uma mesa com base larga balança menos do que uma mesa com um único pé fino. Quando a vertical do centro de gravidade sai da base de apoio, o corpo tomba. Esse critério da vertical dentro da base é o mais usado nas questões sobre torres, blocos empilhados e pessoas se inclinando, e vale a pena memorizá-lo como uma frase: vertical dentro da base, corpo em pé; vertical fora da base, corpo no chão.

Exemplos do cotidiano e de vestibular

A estática do corpo extenso está em toda parte, e é por isso que o Enem gosta tanto dela. A gangorra do parque é o exemplo mais direto: crianças de pesos diferentes equilibram a gangorra sentando a distâncias diferentes do centro, e a questão vira uma conta de torque. O quebra-nozes é uma alavanca dupla: a força pequena das mãos, aplicada longe do eixo, vence a resistência grande da casca, aplicada perto do eixo. A porta, a chave de roda, o abridor de latas e o carrinho de mão são variações do mesmo princípio, com o eixo, a força potente e a força resistente em posições diferentes. Reconhecer qual é a alavanca em cada objeto é metade da questão.

Nas provas, os enunciados mais frequentes são de quatro tipos. O primeiro é a barra apoiada com pesos, pedindo reações nos apoios ou a posição de equilíbrio. O segundo é a gangorra ou alavanca, pedindo uma força ou uma distância desconhecida. O terceiro é a escada encostada na parede, combinando equilíbrio com atrito. O quarto é conceitual, sobre centro de massa, centro de gravidade e tipos de equilíbrio, com desenhos de cones, esferas e torres. Em todos eles, o roteiro de resolução é o mesmo: desenhe todas as forças, marque o eixo, calcule os braços, escreva a soma das forças igual a zero e a soma dos torques igual a zero, e só então resolva as contas. Pular o desenho é o caminho mais rápido para errar um braço ou esquecer uma força. Para ampliar o repertório, vale estudar também cinemática, lançamento oblíquo, dinâmica do movimento circular e impulso e quantidade de movimento.

Mapa mental

• Corpo extenso: tem dimensões que importam; pode se deslocar e girar.
  • Ponto material: só se desloca; basta a soma das forças ser zero.
  • Corpo extenso: também gira; precisa das duas condições de equilíbrio.
• Torque ou momento: \( \tau = F \cdot d \cdot \sin\theta \); unidade: \( \text{N} \cdot \text{m} \).
  • Braço maior: giro mais fácil, com a mesma força.
  • Ângulo de 90 graus: torque máximo; força ao longo do braço: torque zero.
  • Sinal: sentido horário oposto ao anti-horário; manter a convenção até o fim.
• Condições de equilíbrio estático:
  • Translação: \( \sum F = 0 \) em cada direção.
  • Rotação: \( \sum \tau = 0 \) em relação a qualquer eixo.
  • Dica: escolher o eixo onde há força desconhecida elimina essa incógnita.
• Centro de massa e centro de gravidade:
  • Centro de massa: média das posições ponderada pelas massas.
  • Centro de gravidade: ponto de aplicação do peso; coincide com o centro de massa em campo uniforme.
  • Pode estar fora do corpo, como no anel e na ferradura.
• Estabilidade:
  • Estável: volta sozinho; instável: afasta-se mais; indiferente: fica na nova posição.
  • Vertical do centro de gravidade dentro da base: corpo em pé; fora da base: corpo tomba.
  • Centro baixo e base larga aumentam a estabilidade.
• Cotidiano e prova: gangorra, porta, chave de roda, alavanca, guindaste, escada, postura do corpo.

SAQ — Perguntas e respostas curtas

1. O que caracteriza um corpo extenso? É um corpo cujas dimensões não podem ser desprezadas no problema, porque ele pode girar, e não apenas se deslocar, como um ponto material.

2. O que é torque? É a tendência de uma força de provocar rotação em torno de um eixo, dada por \( \tau = F \cdot d \cdot \sin\theta \), em newton vezes metro.

3. Por que empurrar uma porta longe da dobradiça é mais fácil? Porque o braço de alavanca é maior, e torque maior significa giro mais fácil com a mesma força.

4. Quais são as duas condições de equilíbrio de um corpo extenso? Soma das forças igual a zero e soma dos torques igual a zero, ao mesmo tempo.

5. Centro de massa e centro de gravidade são sempre o mesmo ponto? Em campo gravitacional uniforme, sim; em campo que varia muito ao longo do corpo, eles podem ser diferentes.

6. Como se calcula o centro de massa de duas partículas? Pela média ponderada das posições pelas massas: soma-se cada massa vezes sua posição e divide-se pela massa total.

7. Quando um corpo apoiado tomba? Quando a vertical que passa pelo seu centro de gravidade sai da base de apoio.

8. Qual é a diferença entre equilíbrio estável, instável e indiferente? No estável, o corpo volta sozinho; no instável, ele se afasta mais; no indiferente, ele permanece em equilíbrio na nova posição.

Questões comentadas

Questão 1. Uma gangorra homogênea está apoiada em seu centro. Uma criança de peso 320 N senta-se a 1,5 m do centro, de um lado. Do outro lado, uma criança de peso 240 N quer equilibrar a gangorra. A que distância do centro ela deve sentar? a) 1,0 m. b) 1,5 m. c) 2,0 m. d) 2,5 m. e) 3,0 m.

Gabarito: c) 2,0 m. Comentário: para o equilíbrio, os torques devem ser iguais em módulo: \( 320 \times 1{,}5 = 240 \times d \). O lado esquerdo vale \( 480 \, \text{N} \cdot \text{m} \). Dividindo por 240, obtemos \( d = 2{,}0 \, \text{m} \). A alternativa a) erra ao inverter a proporção; b) supõe distâncias iguais, o que só valeria para pesos iguais; d) e e) exageram a distância. A criança mais leve precisa ficar mais longe, mas na proporção exata dos pesos.

Questão 2. Uma força de 80 N é aplicada perpendicularmente na extremidade de uma chave de 0,60 m, para soltar um parafuso. O torque aplicado é: a) 13,3 N·m. b) 48 N·m. c) 80 N·m. d) 133 N·m. e) 480 N·m.

Gabarito: b) 48 N·m. Comentário: como a força é perpendicular, \( \tau = F \cdot d = 80 \times 0{,}60 = 48 \, \text{N} \cdot \text{m} \). A alternativa a) divide em vez de multiplicar; c) ignora o braço; d) divide a força pelo braço; e) multiplica por 6 em vez de 0,60, confundindo centímetros com metros.

Questão 3. Uma barra homogênea de peso 120 N e comprimento 2,0 m está apoiada nas extremidades. Um bloco de peso 60 N é colocado exatamente no centro da barra. As reações nos apoios são: a) 60 N e 60 N. b) 90 N e 90 N. c) 120 N e 60 N. d) 60 N e 120 N. e) 180 N e 0 N.

Gabarito: b) 90 N e 90 N. Comentário: o peso total é \( 120 + 60 = 180 \, \text{N} \). Como tudo é simétrico, com o bloco no centro e a barra homogênea, cada apoio sustenta metade: \( 180 \div 2 = 90 \, \text{N} \). A alternativa a) conta apenas o bloco; c) e d) quebram a simetria sem motivo; e) concentraria todo o peso em um só apoio, o que não acontece com carga central.

Questão 4. Duas esferas estão sobre um eixo: uma de massa 3,0 kg na posição 0 e outra de massa 9,0 kg na posição 4,0 m. A posição do centro de massa do conjunto, a partir da primeira esfera, é: a) 1,0 m. b) 2,0 m. c) 3,0 m. d) 3,5 m. e) 4,0 m.

Gabarito: c) 3,0 m. Comentário: \( x_{CM} = \frac{3{,}0 \times 0 + 9{,}0 \times 4{,}0}{3{,}0 + 9{,}0} = \frac{36}{12} = 3{,}0 \, \text{m} \). O centro fica mais perto da massa maior, como esperado. A alternativa b) é a média simples, que só valeria para massas iguais; a) e d) resultam de erros na ponderação; e) seria o centro se toda a massa estivesse na segunda esfera.

Questão 5. Uma bailarina está em equilíbrio na ponta de um pé. Se ela se inclina tanto que a vertical do seu centro de gravidade sai da região do pé de apoio, o que acontece? a) Ela volta sozinha à posição original. b) Ela permanece em equilíbrio na nova posição. c) O peso passa a gerar um torque que aumenta ainda mais a inclinação, e ela cai. d) O torque do peso se anula. e) Seu centro de massa se desloca para dentro do pé.

Gabarito: c). Comentário: com a vertical fora da base de apoio, o peso cria um torque em relação ao ponto de apoio que gira o corpo no sentido da queda, afastando-o ainda mais do equilíbrio. A alternativa a) descreveria um equilíbrio estável com a vertical dentro da base; b) descreveria equilíbrio indiferente; d) está errada porque o torque só é zero quando a linha de ação passa pelo eixo; e) inverte o que acontece: o centro de massa não volta sozinho para dentro da base.

Questão 6. Um cone maciço e homogêneo é colocado de três maneiras: apoiado pela base, equilibrado pela ponta e deitado de lado sobre uma superfície plana, podendo rolar. A classificação correta dos equilíbrios, nessa ordem, é: a) estável, instável, indiferente. b) instável, estável, indiferente. c) estável, indiferente, instável. d) indiferente, estável, instável. e) instável, indiferente, estável.

Gabarito: a) estável, instável, indiferente. Comentário: apoiado pela base, um pequeno deslocamento eleva o centro de gravidade e o cone volta; equilibrado pela ponta, qualquer deslocamento abaixa o centro de gravidade e o cone cai; deitado de lado, ao rolar um pouco, o centro permanece à mesma altura e o cone fica em equilíbrio na nova posição. As demais alternativas trocam essas associações, que devem ser memorizadas junto com os exemplos da bola na tigela, da bola na colina e da esfera no plano.

Dica do professor

Na hora da prova, não comece pela conta: comece pelo desenho. Desenhe o corpo, marque o eixo de rotação, desenhe cada força com seu ponto de aplicação e anote cada braço. Depois, escolha o eixo de forma esperta: se a questão pede uma força, tome os momentos em relação ao ponto onde atua a outra força desconhecida, para eliminá-la da equação. Em seguida, escreva as duas condições, força resultante zero e momento resultante zero, e só então substitua os números. Esse roteiro, repetido em todos os exercícios, transforma questões que parecem longas em contas curtas. E lembre-se de conferir o sinal de cada torque: desenhe uma seta curva indicando para que lado cada força tenta girar o corpo, antes de escrever positivo ou negativo. Para revisar os fundamentos, volte a leis de Newton e a hidrostática, que também trabalha com forças distribuídas e apoios.

Atenção / cuidado

Cuidado com quatro armadilhas clássicas. Primeira: confundir massa com peso; o peso é força, em newtons, e vale \( P = m \cdot g \), enquanto a massa, em quilogramas, entra no cálculo do centro de massa. Segunda: esquecer que o peso de uma barra homogênea atua no seu centro, e não em uma extremidade. Terceira: usar a distância até o eixo em vez do braço perpendicular, quando a força é inclinada; nesse caso, só a componente perpendicular produz torque, e o fator \( \sin\theta \) não pode ser esquecido. Quarta: tratar torque como energia, só porque a unidade parece a mesma; torque é medido em newton vezes metro, mas não é joule, e não se soma torque com trabalho. Por fim, nunca conte um corpo como equilibrado só porque a soma das forças é zero: sem a soma dos torques igual a zero, ele pode estar parado em translação e girando ao mesmo tempo.

Conexão com outras áreas

A estática do corpo extenso conecta a Física com a engenharia, a arquitetura, a educação física e a medicina. Engenheiros calculam torques e centros de gravidade para projetar pontes, prédios, guindastes e veículos que não tombem. Arquitetos usam a mesma ideia ao desenhar balanços, marquises e estruturas inclinadas, como torres que desafiam a vertical sem cair. Na educação física, treinadores ensinam postura e equilíbrio usando a base de apoio e o centro de gravidade, do surf ao levantamento de peso. Na medicina e na fisioterapia, a análise da postura e da marcha depende de onde está o centro de massa do corpo e de como os músculos, agindo como alavancas, sustentam o peso. Até na arte o tema aparece: esculturas que parecem desafiar a gravidade só ficam em pé porque seu centro de gravidade está exatamente sobre a base. Dominar torque e centro de massa, portanto, não é apenas passar em uma questão: é entender por que o mundo construído ao nosso redor fica em pé. Para seguir o caminho, estude trabalho e energia, energia cinética e potencial e pressão, que completam o quadro das forças no cotidiano.