Movimento harmônico simples (MHS): Sistema massa-mola e Pêndulo simples: o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

O movimento harmônico simples (MHS) é um movimento de vai e vem, periódico, em torno de uma posição de equilíbrio. Ele aparece quando a força que puxa o corpo de volta é proporcional ao afastamento: quanto mais longe do equilíbrio, maior a força de retorno. Os dois exemplos clássicos são o sistema massa-mola e o pêndulo simples.

No sistema massa-mola, o período depende da massa e da constante elástica da mola: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \). No pêndulo simples, para oscilações pequenas, o período depende do comprimento do fio e da gravidade: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \). Repare em um detalhe que cai muito em prova: o período do pêndulo simples não depende da massa, e o período do massa-mola não depende da amplitude (desde que a mola obedeça à lei de Hooke).

Outros pontos essenciais: a frequência é o inverso do período, \( f = \frac{1}{T} \); a energia mecânica no MHS se conserva e vale \( E = \frac{1}{2}kA^{2} \) no massa-mola, onde \( A \) é a amplitude; e a velocidade é máxima no equilíbrio, enquanto a aceleração é máxima nos extremos. Se você dominar essas ideias, já resolve a maior parte das questões de ENEM e de vestibular sobre oscilações.

O que é o movimento harmônico simples?

Imagine uma criança no balanço, uma mola esticada e solta, ou o pêndulo de um relógio antigo. Todos esses movimentos têm algo em comum: o corpo vai e volta sempre pelo mesmo caminho, no mesmo tempo, em torno de um ponto central. Esse ponto central é a posição de equilíbrio.

No MHS, a força resultante é uma força restauradora: ela sempre aponta para a posição de equilíbrio e cresce com o afastamento. Matematicamente, isso se escreve como \( F = -kx \), em que \( x \) é o deslocamento em relação ao equilíbrio e o sinal negativo indica que a força é contrária ao deslocamento. É por isso que o movimento se repete: o corpo é puxado de volta, passa pelo equilíbrio com velocidade máxima, vai até o outro extremo, para por um instante e volta.

Para descrever o MHS, usamos algumas grandezas. Vale decorar o significado de cada uma, porque as questões adoram trocar os nomes:

A posição do corpo ao longo do tempo pode ser escrita como \( x(t) = A\cos(\omega t + \varphi) \). A partir dela, derivamos a velocidade, \( v(t) = -A\omega\,\text{sen}(\omega t + \varphi) \), e a aceleração, \( a(t) = -A\omega^{2}\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^{2}x \). Essa última relação é a marca registrada do MHS: a aceleração é proporcional ao deslocamento e tem sentido oposto a ele.

Sistema massa-mola

No sistema massa-mola, um bloco de massa \( m \) está preso a uma mola de constante elástica \( k \), sobre uma superfície sem atrito. Quando o bloco é afastado do equilíbrio e solto, a força elástica \( F = -kx \) o faz oscilar. Como a força elástica tem exatamente a forma da força restauradora do MHS, o movimento é harmônico simples.

A frequência angular do sistema é \( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \). Como \( \omega = \frac{2\pi}{T} \), chegamos à fórmula do período:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]

Leia essa fórmula como uma frase: massa maior, período maior (o corpo mais pesado demora mais para ir e voltar); mola mais dura (k maior), período menor (a mola puxa com mais força e o vai e vem fica mais rápido). E atenção: o período não depende da amplitude. Esticar a mola 5 cm ou 10 cm muda a velocidade e a energia, mas o tempo de cada oscilação continua o mesmo, desde que a mola não seja deformada além do seu limite elástico.

Exemplo resolvido 1. Um bloco de massa \( m = 0{,}25\,\text{kg} \) preso a uma mola de \( k = 25\,\text{N/m} \) oscila sem atrito. Qual é o período?

Substituindo: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}25}{25}} = 2\pi\sqrt{0{,}01} = 2\pi \times 0{,}1 = 0{,}2\pi\,\text{s} \approx 0{,}63\,\text{s} \). A frequência é \( f = \frac{1}{T} \approx 1{,}6\,\text{Hz} \), ou seja, cerca de 1,6 oscilação por segundo.

Exemplo resolvido 2. Se a massa do exemplo anterior quadruplicar, o que acontece com o período? Como \( T \) é proporcional a \( \sqrt{m} \), multiplicar a massa por 4 multiplica o período por \( \sqrt{4} = 2 \). O novo período será \( 0{,}4\pi\,\text{s} \approx 1{,}26\,\text{s} \). Esse raciocínio de proporção resolve muitas questões sem conta longa: dobrar \( k \) divide o período por \( \sqrt{2} \); quadruplicar \( k \) divide o período pela metade.

Pêndulo simples

O pêndulo simples é formado por um fio inextensível de comprimento \( L \), preso em uma extremidade, com um corpo de massa \( m \) na outra. Quando afastamos o corpo da vertical e soltamos, ele oscila em torno da posição mais baixa. As forças que atuam são o peso (\( P = mg \), vertical para baixo) e a tração do fio (ao longo do fio).

Aqui vem o ponto delicado: o pêndulo só é um MHS de verdade quando as oscilações são pequenas. Para ângulos pequenos (em geral, até cerca de 10°), podemos usar a aproximação \( \text{sen}\,\theta \approx \theta \) (com \( \theta \) em radianos). Nesse caso, a força restauradora fica proporcional ao deslocamento, e o movimento é harmônico simples, com período:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]

Note o que não aparece na fórmula: nem a massa, nem a amplitude (para ângulos pequenos). Um pêndulo com uma bolinha leve e outro com uma bolinha pesada, com o mesmo comprimento, oscilam juntos, no mesmo ritmo. Já o comprimento manda muito: um pêndulo 4 vezes mais comprido tem período 2 vezes maior, porque \( T \) é proporcional a \( \sqrt{L} \).

Exemplo resolvido 3. Um pêndulo simples de comprimento \( L = 1\,\text{m} \) oscila com pequena amplitude em um local onde \( g = 10\,\text{m/s}^{2} \). Qual é o período?

\( T = 2\pi\sqrt{\frac{1}{10}} = 2\pi\sqrt{0{,}1} \approx 2\pi \times 0{,}316 \approx 1{,}99\,\text{s} \), ou seja, aproximadamente 2 s. É por isso que o pêndulo de 1 metro ficou famoso: cada ida (meia oscilação) leva cerca de 1 segundo, e ele foi usado nos primeiros relógios de pêndulo.

Exemplo resolvido 4. Um pêndulo de 25 cm de comprimento, com \( g = 10\,\text{m/s}^{2} \), tem período \( T = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}25}{10}} = 2\pi\sqrt{0{,}025} \approx 2\pi \times 0{,}158 \approx 0{,}99\,\text{s} \), cerca de 1 s. Se esse pêndulo for levado para a Lua, onde a gravidade é menor, o período aumenta: com \( g \) menor, \( \sqrt{L/g} \) fica maior e a oscilação fica mais lenta.

Energia no movimento harmônico simples

Sem atrito, a energia mecânica do MHS se conserva: ela apenas se transforma, o tempo todo, entre energia cinética e energia potencial. No sistema massa-mola, a energia potencial é elástica, \( E_{p} = \frac{1}{2}kx^{2} \), e a energia cinética é \( E_{c} = \frac{1}{2}mv^{2} \). A energia total é constante e vale:

\[ E = \frac{1}{2}kA^{2} \]

Nos extremos (\( x = \pm A \)), a velocidade é zero: toda a energia é potencial. Na posição de equilíbrio (\( x = 0 \)), a energia potencial é zero e a velocidade é máxima: toda a energia é cinética. Daí sai a velocidade máxima, \( v_{\text{máx}} = A\omega = A\sqrt{\frac{k}{m}} \). No pêndulo simples, a troca é entre energia cinética e energia potencial gravitacional, mas a ideia é a mesma: altura máxima nos extremos, velocidade máxima no ponto mais baixo.

Exemplo resolvido 5. Uma mola de \( k = 40\,\text{N/m} \) oscila com amplitude \( A = 0{,}10\,\text{m} \). A energia mecânica é \( E = \frac{1}{2} \times 40 \times (0{,}10)^{2} = 20 \times 0{,}01 = 0{,}20\,\text{J} \). Se a amplitude dobrar para 0,20 m, a energia quadruplica: \( E = \frac{1}{2} \times 40 \times 0{,}04 = 0{,}80\,\text{J} \). Energia depende do quadrado da amplitude — outro favorito das provas.

Na prática, sempre há um pouco de atrito e resistência do ar. Por isso as oscilações reais vão perdendo amplitude com o tempo: é o chamado movimento harmônico amortecido. Se, além disso, uma força externa empurra o sistema no ritmo certo, a amplitude pode crescer muito: é a ressonância, o fenômeno por trás de taças que quebram com som e de pontes que balançam perigosamente com o vento.

Comparação: massa-mola × pêndulo simples

Um resumo para memorizar: massa-mola olha para \( m \) e \( k \); pêndulo olha para \( L \) e \( g \). Se a questão perguntar o que acontece quando muda a massa do pêndulo, a resposta é: nada (em pequenas oscilações). Se perguntar o que acontece quando muda a amplitude, na aproximação do MHS, a resposta também é: nada no período — muda só a energia e a velocidade máxima. Para aprofundar os estudos, visite a sala de estudo e os conteúdos de Física do portal.

Mapa mental

MHS → força restauradora proporcional ao deslocamento (\( F = -kx \)) → vai e vem periódico em torno do equilíbrio.

Sistema massa-mola → \( \omega = \sqrt{k/m} \) → \( T = 2\pi\sqrt{m/k} \) → depende de \( m \) e \( k \), não depende da amplitude.

Pêndulo simples → fio de comprimento \( L \), pequenas oscilações (\( \text{sen}\,\theta \approx \theta \)) → \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) → depende de \( L \) e \( g \), não depende da massa nem da amplitude.

Grandezas → amplitude \( A \), período \( T \), frequência \( f = 1/T \), frequência angular \( \omega = 2\pi f \).

Energia → se conserva (sem atrito) → \( E = \frac{1}{2}kA^{2} \) no massa-mola → máxima velocidade no equilíbrio, máxima aceleração nos extremos.

Na prática → amortecimento (amplitude diminui) → ressonância (força externa no ritmo certo aumenta a amplitude).

SAQ — Perguntas e respostas curtas

1. O que caracteriza o movimento harmônico simples?
É um movimento periódico de vai e vem em torno da posição de equilíbrio, em que a força restauradora é proporcional ao deslocamento e aponta para o equilíbrio.

2. Qual é a fórmula do período do sistema massa-mola?
\( T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \), em que \( m \) é a massa e \( k \) é a constante elástica da mola.

3. Qual é a fórmula do período do pêndulo simples?
\( T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \), válida para pequenas oscilações, em que \( L \) é o comprimento do fio e \( g \) é a aceleração da gravidade.

4. O período do pêndulo simples depende da massa?
Não. Para pequenas oscilações, pêndulos de mesmo comprimento têm o mesmo período, qualquer que seja a massa.

5. Onde a velocidade é máxima e onde ela é zero no MHS?
A velocidade é máxima na posição de equilíbrio e zero nos extremos, onde a aceleração é máxima.

6. O que acontece com a energia se a amplitude dobrar?
A energia mecânica quadruplica, porque \( E = \frac{1}{2}kA^{2} \) depende do quadrado da amplitude.

7. Por que o pêndulo só é MHS para ângulos pequenos?
Porque só com ângulos pequenos vale a aproximação \( \text{sen}\,\theta \approx \theta \), que faz a força restauradora ficar proporcional ao deslocamento.

Questões comentadas

Questão 1. Um estudante monta um sistema massa-mola sobre uma mesa sem atrito e mede o período das oscilações. Em seguida, ele troca o bloco por outro de massa quatro vezes maior, mantendo a mesma mola. O novo período, em relação ao anterior, será:

A) 4 vezes maior.
B) 2 vezes maior.
C) Igual.
D) 2 vezes menor.
E) 4 vezes menor.

Gabarito: B.
Comentário: Como \( T = 2\pi\sqrt{m/k} \), o período é proporcional à raiz quadrada da massa. Multiplicar a massa por 4 multiplica o período por \( \sqrt{4} = 2 \). A alternativa A confunde a proporção direta com a raiz quadrada, erro muito comum.

Questão 2. Dois pêndulos simples, A e B, oscilam com pequenas amplitudes no mesmo local. O pêndulo A tem fio de 40 cm e uma esfera de 100 g; o pêndulo B tem fio de 40 cm e uma esfera de 400 g. É correto afirmar que:

A) B oscila mais rápido, porque é mais pesado.
B) A oscila mais rápido, porque é mais leve.
C) Os dois têm o mesmo período.
D) B tem período quatro vezes maior.
E) A tem período quatro vezes maior.

Gabarito: C.
Comentário: Para pequenas oscilações, \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) não depende da massa. Como os comprimentos e a gravidade são iguais, os períodos são iguais. A massa só influenciaria se houvesse resistência do ar considerável, o que não é o caso do modelo ideal.

Questão 3. Um pêndulo simples é levado da Terra para um planeta onde a gravidade é quatro vezes menor. Mantendo o mesmo comprimento e pequenas oscilações, o período do pêndulo nesse planeta será:

A) 4 vezes menor.
B) 2 vezes menor.
C) Igual.
D) 2 vezes maior.
E) 4 vezes maior.

Gabarito: D.
Comentário: O período é proporcional a \( 1/\sqrt{g} \). Se \( g \) fica 4 vezes menor, \( \sqrt{g} \) fica 2 vezes menor no denominador, e o período fica 2 vezes maior. Ou seja: gravidade mais fraca, oscilação mais lenta.

Questão 4. Em um sistema massa-mola sem atrito, a amplitude de oscilação é dobrada. Sobre o período e a energia mecânica, é correto afirmar que:

A) O período dobra e a energia dobra.
B) O período não muda e a energia quadruplica.
C) O período quadruplica e a energia dobra.
D) O período não muda e a energia não muda.
E) O período cai pela metade e a energia quadruplica.

Gabarito: B.
Comentário: O período do MHS não depende da amplitude, então ele não muda. Já a energia, \( E = \frac{1}{2}kA^{2} \), depende do quadrado da amplitude: dobrar \( A \) quadruplica \( E \).

Questão 5. Um relógio de pêndulo atrasa quando é levado para o alto de uma montanha, onde a gravidade é ligeiramente menor. A explicação correta é que:

A) O período aumenta, pois \( T \) cresce quando \( g \) diminui.
B) O período diminui, pois o fio se contrai com o frio.
C) A massa do pêndulo aumenta com a altitude.
D) A amplitude aumenta e, por isso, o período aumenta.
E) O pêndulo deixa de ser um MHS em altitudes elevadas.

Gabarito: A.
Comentário: Pela fórmula \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \), diminuir \( g \) aumenta o período: cada oscilação demora mais, o relógio marca menos oscilações por hora e atrasa. As demais alternativas misturam efeitos irrelevantes ou incorretos para o modelo.

Questão 6. Um bloco preso a uma mola oscila em MHS. No instante em que o bloco passa pela posição de equilíbrio, é correto afirmar que:

A) A velocidade é zero e a aceleração é máxima.
B) A velocidade é máxima e a aceleração é zero.
C) A velocidade e a aceleração são máximas.
D) A velocidade e a aceleração são zero.
E) A energia cinética é zero e a potencial é máxima.

Gabarito: B.
Comentário: No equilíbrio, o deslocamento é zero, então a força restauradora e a aceleração (\( a = -\omega^{2}x \)) são zero. É justamente ali que o corpo está mais rápido, pois toda a energia está na forma cinética. Nos extremos acontece o inverso: velocidade zero e aceleração máxima.

Dica do professor

Na hora da prova, antes de fazer conta, pergunte-se: “o que a fórmula diz?”. A maioria das questões de MHS não pede número exato, e sim comparação: dobrou, quadruplicou, aumentou ou diminuiu? Decore as proporções — \( T \propto \sqrt{m} \), \( T \propto 1/\sqrt{k} \) no massa-mola e \( T \propto \sqrt{L} \), \( T \propto 1/\sqrt{g} \) no pêndulo — e você resolve metade da prova de oscilações só com raciocínio. E guarde a frase de ouro: pêndulo não liga para massa; massa-mola não liga para amplitude (no período).

Atenção / cuidado

Cuidado com quatro armadilhas clássicas: (1) usar a fórmula do pêndulo para ângulos grandes — ela só vale para pequenas oscilações; (2) confundir período com frequência — frequência é o inverso do período, não o mesmo número; (3) achar que a massa muda o período do pêndulo — no modelo ideal, não muda; (4) misturar as fórmulas — \( m \) e \( k \) são do massa-mola, \( L \) e \( g \) são do pêndulo. Também não confunda amplitude com comprimento do fio nem com o deslocamento instantâneo \( x \): a amplitude é o valor máximo do deslocamento.

Conexão com outras áreas

O MHS é a porta de entrada para as ondas: o som, a luz e as ondas do mar podem ser descritos a partir de oscilações harmônicas. Na música, a altura de uma nota depende da frequência de vibração de cordas e colunas de ar, que oscilam como sistemas massa-mola. Na engenharia, amortecedores de carro e sistemas antissísmicos de prédios usam molas e amortecimento para controlar oscilações. Na medicina, o movimento do diafragma e até modelos de batimento cardíaco usam ideias de oscilação periódica. E na astronomia, o pêndulo já foi usado para medir a gravidade em diferentes lugares da Terra — e, com isso, mapear o formato do planeta.