Teoria geral de funções: o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

Uma função é uma regra que associa cada elemento de um conjunto a um único elemento de outro conjunto. Parece abstrato, mas você convive com funções o tempo todo: o preço de uma corrida por aplicativo depende da distância percorrida, a altura de uma planta depende do tempo desde o plantio, e a nota de um aluno depende da quantidade de questões acertadas. Em cada caso, há uma variável de entrada, uma regra e uma variável de saída — e é exatamente isso que a Matemática chama de função. Por isso, a teoria geral de funções é a base de quase toda a Matemática do ensino médio: função afim, quadrática, exponencial e logarítmica são todas casos particulares dessa mesma ideia geral, e o ENEM e os vestibulares cobram essa base o tempo todo. É uma matéria de incidência ♨️ Morno: não é o assunto isolado mais frequente da prova, mas é o pré-requisito que destrava todos os outros.

Em resumo: uma função \( f: A \to B \) leva cada \( x \) do conjunto \( A \), chamado de domínio, a um único \( y \) do conjunto \( B \), chamado de contradomínio, pela regra \( y = f(x) \). O conjunto de todos os valores realmente atingidos é a imagem. Um diagrama de flechas, uma tabela e um gráfico são três formas de mostrar a mesma função, e o teste da reta vertical diz, num golpe de vista, se um gráfico representa ou não uma função. Ao longo desta matéria, vamos construir essa teoria com exemplos de valores exatos — como a função \( f(x) = 2x \) aplicada a \( \{1, 2, 3\} \) e a função \( f(x) = x + 1 \) passando pelos pontos \( (0, 1) \), \( (1, 2) \) e \( (2, 3) \) — e fechar com os erros mais comuns e cinco questões inéditas comentadas.

O que é uma função? A definição que resolve metade das dúvidas

Dados dois conjuntos \( A \) e \( B \), uma função \( f \) de \( A \) em \( B \), indicada por \( f: A \to B \), é uma regra que associa a cada elemento \( x \) de \( A \) um único elemento \( y \) de \( B \). Escrevemos \( y = f(x) \), e lemos “\( y \) é igual a \( f \) de \( x \)”. Nessa notação, \( x \) é a variável independente — o valor que você escolhe na entrada — e \( y \) é a variável dependente — o valor que sai como resultado. A palavra-chave da definição é “único”: cada elemento do domínio pode ter uma, e somente uma, imagem. É essa exigência que separa uma função de uma relação qualquer.

Para fixar a ideia, imagine uma máquina: você coloca um número na entrada, a máquina aplica a regra e devolve um número na saída. Na função \( f(x) = 2x \), entram 1, 2 e 3 e saem 2, 4 e 6. O que a máquina nunca pode fazer é devolver dois resultados diferentes para a mesma entrada. Por outro lado, nada impede que duas entradas diferentes tenham a mesma saída: em \( f(x) = x^2 \), tanto \( x = 2 \) quanto \( x = -2 \) levam a \( f(x) = 4 \). Entrada repetida com saída diferente é proibida; saída repetida para entradas diferentes é permitida.

Vale lembrar de onde vem essa linguagem: funções relacionam conjuntos, e a matéria de teoria dos conjuntos é o alicerce sobre o qual a definição se apoia. Se os conjuntos ainda não estão firmes na sua cabeça, vale revisar essa base antes de avançar: domínio, contradomínio e imagem são conjuntos, e as perguntas da prova sobre eles são, no fundo, perguntas sobre conjuntos.

Domínio, contradomínio e imagem: os três conjuntos de toda função

Toda função tem três conjuntos associados, e confundir os três é um dos erros mais caros da matéria. O domínio, \( D(f) \), é o conjunto de todos os valores de \( x \) para os quais a função está definida. O contradomínio, \( CD(f) \), é o conjunto onde vivem as saídas possíveis. A imagem, \( Im(f) \), é o conjunto dos valores que realmente são atingidos. A imagem está sempre contida no contradomínio, \( Im(f) \subset CD(f) \), mas pode ser menor que ele.

Vamos ao exemplo que acompanha esta matéria. Considere a função \( f: \{1, 2, 3\} \to \mathbb{N} \) dada por \( f(x) = 2x \). O domínio é \( D(f) = \{1, 2, 3\} \); o contradomínio é o conjunto dos números naturais, \( \mathbb{N} \), porque a definição declarou a chegada em \( \mathbb{N} \); e a imagem é \( Im(f) = \{2, 4, 6\} \), porque \( f(1) = 2 \), \( f(2) = 4 \) e \( f(3) = 6 \). Repare: o contradomínio é enorme — todos os naturais —, mas a imagem tem só três elementos. Se a definição tivesse declarado a chegada como \( \{2, 4, 6\} \), o contradomínio seria igual à imagem; como declarou \( \mathbb{N} \), eles são diferentes. A imagem depende da regra e do domínio; o contradomínio depende apenas do que foi declarado.

Há também restrições naturais de domínio, que a prova adora cobrar. Em \( f(x) = \frac{1}{x} \), o valor \( x = 0 \) não pode entrar, porque não existe divisão por zero: o domínio é \( \mathbb{R} – \{0\} \). Em \( f(x) = \sqrt{x} \), considerando apenas números reais, o valor de \( x \) não pode ser negativo: o domínio é \( \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\} \). Em \( f(x) = \frac{1}{x – 3} \), o denominador não pode ser zero, então \( x \neq 3 \) e o domínio é \( \mathbb{R} – \{3\} \). A regra prática é: procure o que a regra proíbe — denominador zero, raiz quadrada de número negativo, logaritmo de número não positivo — e retire esses valores do domínio.

Um truque de leitura para a prova: quando o enunciado pergunta “qual é a imagem?”, ele quer os valores que de fato saem; quando pergunta “qual é o contradomínio?”, ele quer o conjunto de chegada declarado.

As três representações: diagrama de flechas, tabela e gráfico

Uma mesma função pode ser apresentada de três formas, e a prova transita livremente entre elas: o diagrama de flechas, a tabela e o gráfico. Saber passar de uma forma para outra é a habilidade central da matéria, porque muitas questões dão a função em uma forma e pedem a resposta em outra.

No diagrama de flechas, desenhamos o domínio e o contradomínio como dois conjuntos e ligamos cada elemento do domínio à sua imagem por uma flecha. A imagem interna 1 desta matéria mostra exatamente isso para a função \( f(x) = 2x \): no primeiro conjunto estão 1, 2 e 3; no segundo, 2, 4 e 6; e as flechas ligam 1 a 2, 2 a 4 e 3 a 6. Para conferir se um diagrama representa uma função, basta olhar para o conjunto da esquerda: cada elemento deve ter exatamente uma flecha saindo dele. Se algum elemento ficar sem flecha, a regra não está definida para ele; se algum elemento tiver duas flechas, a imagem não é única — e nos dois casos não há função.

Na tabela, organizamos os pares \( (x, f(x)) \) em duas colunas: a primeira mostra as entradas, a segunda mostra as saídas. Para \( f(x) = x + 1 \) com \( x \in \{0, 1, 2\} \), a tabela fica assim: \( x = 0 \) leva a \( f(x) = 1 \); \( x = 1 \) leva a \( f(x) = 2 \); \( x = 2 \) leva a \( f(x) = 3 \). A tabela é a forma favorita do ENEM quando a função descreve uma situação real, porque ela organiza os dados do enunciado sem exigir fórmula. Para conferir se uma tabela representa uma função, procure o mesmo valor de \( x \) aparecendo duas vezes com saídas diferentes: se isso acontecer, não é função.

No gráfico, cada par \( (x, f(x)) \) vira um ponto no plano cartesiano. A imagem interna 2 desta matéria mostra o gráfico da função \( f(x) = x + 1 \) com os pontos exatos \( (0, 1) \), \( (1, 2) \) e \( (2, 3) \) marcados sobre uma reta crescente. O eixo horizontal é o eixo das entradas, o eixo vertical é o eixo das saídas, e ler o gráfico é o movimento inverso de construí-lo: dado um \( x \), suba até a curva e leia o \( y \) correspondente. Quando o domínio é um conjunto pequeno, como \( \{0, 1, 2\} \), o gráfico é só um conjunto de pontos isolados — e desenhar uma reta ligando esses pontos, nesse caso, seria um erro, porque a função não está definida entre eles.

O teste da reta vertical: é função ou não é?

Existe um teste visual rápido para decidir se um gráfico representa uma função: trace retas verticais, paralelas ao eixo \( y \), cortando o gráfico. Se cada reta vertical cortar o gráfico em no máximo um ponto, o gráfico representa uma função; se alguma reta vertical cortar o gráfico em dois ou mais pontos, não representa, porque aquele valor de \( x \) teria duas imagens diferentes.

Pense em uma circunferência, como \( x^2 + y^2 = 4 \). Uma reta vertical em \( x = 0 \) corta a circunferência em \( y = 2 \) e em \( y = -2 \): dois pontos, duas imagens para a mesma entrada — logo, a circunferência completa não é o gráfico de uma função. Já uma reta não vertical, uma parábola ou o gráfico de \( f(x) = x + 1 \) passam no teste: cada vertical encontra a curva em um único ponto. O teste da reta vertical é, na verdade, a definição de função desenhada: “cada entrada, uma única saída” vira “cada vertical, no máximo um ponto”.

Cuidado com um detalhe: uma reta vertical pode não cortar o gráfico em nenhum ponto, e isso não é problema — significa apenas que aquele valor de \( x \) não está no domínio. O problema é só quando ela corta em dois ou mais pontos.

Função injetora, sobrejetora e bijetora: a classificação que a prova cobra

Depois de saber o que é uma função, o passo seguinte é classificá-la. A função é injetora, ou injetiva, quando elementos diferentes do domínio têm imagens diferentes: se \( x_1 \neq x_2 \), então \( f(x_1) \neq f(x_2) \). No diagrama, cada elemento do contradomínio recebe no máximo uma flecha. A função é sobrejetora, ou sobrejetiva, quando a imagem é igual ao contradomínio: todo elemento do conjunto de chegada é atingido por pelo menos uma flecha. A função é bijetora, ou bijetiva, quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo: cada elemento do contradomínio recebe exatamente uma flecha.

Voltemos aos exemplos. A função \( f: \{1, 2, 3\} \to \{2, 4, 6\} \) dada por \( f(x) = 2x \) é bijetora: as imagens 2, 4 e 6 são todas diferentes (injetora) e cobrem todo o contradomínio declarado (sobrejetora). Já a função \( f: \{1, 2, 3\} \to \mathbb{N} \) dada pela mesma lei é injetora, mas não sobrejetora: as imagens continuam diferentes, mas o contradomínio \( \mathbb{N} \) tem muitos elementos sem flecha, como 1, 3 e 5. Repare como a classificação depende do contradomínio declarado: a mesma lei, o mesmo domínio, e a função muda de bijetora para apenas injetora quando o conjunto de chegada cresce.

Por que essa classificação importa? Porque só as funções bijetoras têm função inversa — e é aí que a próxima seção entra. Quando a questão perguntar o tipo da função, responda em duas etapas: primeiro, há imagem repetida? Se sim, não é injetora. Segundo, sobra algum elemento do contradomínio sem flecha? Se sim, não é sobrejetora.

Função composta e função inversa: as noções gerais

Duas ideias completam a teoria geral, e é importante entendê-las no nível geral, sem confundi-las com a matéria específica de função composta e inversa, que aprofunda o cálculo de cada uma. A função composta é a função que resulta de aplicar uma função depois da outra: primeiro \( g \), depois \( f \). Escrevemos \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \). Por exemplo, se \( g(x) = x + 1 \) e \( f(x) = 2x \), então \( (f \circ g)(x) = 2x + 2 \), enquanto \( (g \circ f)(x) = 2x + 1 \): um resultado diferente, porque a ordem importa. Para a composição existir, a imagem de \( g \) precisa estar contida no domínio de \( f \).

A função inversa, por sua vez, é a função que desfaz o que a original fez. Se \( f \) leva \( x \) em \( y \), a inversa \( f^{-1} \) leva \( y \) de volta a \( x \). Ela só existe quando \( f \) é bijetora: é preciso que cada saída venha de uma única entrada e que toda saída do contradomínio seja atingida. Por exemplo, a inversa de \( f(x) = 2x + 1 \) é \( f^{-1}(x) = \frac{x – 1}{2} \): se \( f(3) = 7 \), então \( f^{-1}(7) = 3 \). No gráfico, a inversa é a reflexão do gráfico original em relação à reta \( y = x \). Um erro comum é confundir \( f^{-1}(x) \) com \( \frac{1}{f(x)} \): o expoente \( -1 \) aqui não é potência, é o símbolo da inversa.

Para o nível geral, basta guardar três ideias: composta é aplicar uma função depois da outra, com ordem que importa; inversa é desfazer a função, e só existe para funções bijetoras; e os gráficos de uma função e de sua inversa são simétricos em relação à reta \( y = x \).

Função crescente, decrescente, par, ímpar e periódica

Uma função é crescente quando, ao aumentar o \( x \), o \( y \) também aumenta: se \( x_1 < x_2 \), então \( f(x_1) < f(x_2) \), e o gráfico sobe da esquerda para a direita. É o caso de \( f(x) = x + 1 \), que passa por \( (0, 1) \), \( (1, 2) \) e \( (2, 3) \). Uma função é decrescente quando, ao aumentar o \( x \), o \( y \) diminui, e o gráfico desce da esquerda para a direita, como em \( f(x) = -x + 2 \), que passa por \( (0, 2) \), \( (1, 1) \) e \( (2, 0) \). Uma função pode ser crescente em um intervalo e decrescente em outro — a parábola \( f(x) = x^2 \) é decrescente para \( x < 0 \) e crescente para \( x > 0 \) —, por isso a prova costuma perguntar “em qual intervalo a função é crescente?”.

Uma função é par quando \( f(-x) = f(x) \) para todo \( x \) do domínio, e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo \( y \). É o caso de \( f(x) = x^2 \), pois \( (-2)^2 = 2^2 = 4 \). Uma função é ímpar quando \( f(-x) = -f(x) \) para todo \( x \) do domínio, e seu gráfico é simétrico em relação à origem. É o caso de \( f(x) = x^3 \), pois \( (-2)^3 = -8 = -(2^3) \). Nem toda função é par ou ímpar: \( f(x) = x + 1 \) não é nenhuma das duas, porque \( f(-1) = 0 \), que não é igual a \( f(1) = 2 \) nem a \( -f(1) = -2 \).

Por fim, uma função é periódica quando seus valores se repetem em intervalos regulares: existe um número \( p > 0 \), chamado de período, tal que \( f(x + p) = f(x) \) para todo \( x \) do domínio. As funções trigonométricas são os exemplos clássicos — seno e cosseno têm período \( 2\pi \) —, mas a ideia aparece também em fenômenos que se repetem, como as marés e as estações do ano. No gráfico, a periodicidade aparece como um padrão que se repete, igual a si mesmo, a cada período.

Como identificar uma função em gráficos e tabelas

Na hora da prova, a identificação de funções aparece em três formatos, e cada um tem seu teste. Diante de um diagrama de flechas, olhe para a esquerda: cada elemento do domínio tem exatamente uma flecha saindo? Se algum tiver zero ou duas flechas, não é função. Diante de uma tabela, procure valores repetidos de \( x \): o mesmo \( x \) aparece duas vezes com \( y \) diferentes? Se sim, não é função; se cada \( x \) aparece com um único \( y \), é função, mesmo que dois \( x \) diferentes dividam o mesmo \( y \). Diante de um gráfico, use o teste da reta vertical: alguma vertical corta o gráfico em dois ou mais pontos? Se sim, não é função; se cada vertical corta em no máximo um ponto, é função.

Além de identificar, é preciso extrair informações. Diante de um gráfico, para achar \( f(2) \), localize \( x = 2 \) no eixo horizontal, suba até a curva e leia o \( y \): se o ponto é \( (2, 3) \), então \( f(2) = 3 \). Para achar os valores de \( x \) com \( f(x) = 1 \), localize \( y = 1 \) no eixo vertical e leia os \( x \) correspondentes. Para achar o domínio pelo gráfico, projete a curva sobre o eixo \( x \); para achar a imagem, projete-a sobre o eixo \( y \).

Um exemplo completo com valores exatos: no gráfico da função \( f(x) = x + 1 \) com os pontos \( (0, 1) \), \( (1, 2) \) e \( (2, 3) \) marcados, temos \( f(0) = 1 \), \( f(1) = 2 \) e \( f(2) = 3 \), e o valor de \( x \) para o qual \( f(x) = 2 \) é \( x = 1 \). Se o domínio fosse apenas \( \{0, 1, 2\} \), a imagem seria \( \{1, 2, 3\} \); se fosse todo \( \mathbb{R} \), o gráfico seria a reta inteira e a imagem seria todo \( \mathbb{R} \).

Como as funções aparecem no ENEM e nos vestibulares

No ENEM, a teoria geral de funções raramente aparece como definição pura: ela vem embutida em situações — uma conta de luz que depende do consumo, uma corrida que depende da distância, um gráfico de temperatura ao longo do dia — e a habilidade cobrada é traduzir a situação para a linguagem de função: quem é a variável independente, quem é a dependente, qual é a lei, qual é o domínio que faz sentido. Muitas questões pedem apenas a leitura do gráfico: em que intervalo a função cresce, qual é o valor máximo, em que ponto a função vale zero.

Nos vestibulares tradicionais, como Fuvest e Unicamp, aparecem também questões mais formais: classificação em injetora, sobrejetora e bijetora, domínio de funções com denominador ou raiz, composição e inversa, paridade e periodicidade. Nesses casos, aplique as definições sem pressa: teste a injetividade, pergunte se todo valor do contradomínio é atingido e determine o domínio procurando as proibições da lei. Para organizar essa revisão, visite a sala de estudo e as dicas de estudo do site.

Mapa mental

• Definição: \( f: A \to B \) associa cada \( x \) de \( A \) a um único \( y \) de \( B \), \( y = f(x) \); entrada repetida com saída diferente é proibida, saída repetida é permitida
• Domínio: entradas permitidas; contradomínio: conjunto de chegada declarado; imagem: valores realmente atingidos, \( Im(f) \subset CD(f) \)
• Exemplo-guia: \( f(x) = 2x \) em \( \{1, 2, 3\} \) dá imagem \( \{2, 4, 6\} \); \( f(x) = x + 1 \) passa por \( (0, 1) \), \( (1, 2) \) e \( (2, 3) \)
• Representações: diagrama de flechas (cada elemento do domínio, exatamente uma flecha), tabela (mesmo \( x \) com \( y \) diferentes não é função) e gráfico (pares \( (x, f(x)) \) no plano)
• Teste da reta vertical: cada vertical corta o gráfico em no máximo um ponto; dois ou mais pontos significa que não é função
• Tipos: injetora (imagens diferentes), sobrejetora (imagem igual ao contradomínio), bijetora (as duas ao mesmo tempo, exatamente uma flecha por elemento da chegada)
• Composta: \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \), a ordem importa; inversa: desfaz a função, só existe se for bijetora, gráfico simétrico em relação a \( y = x \)
• Comportamento: crescente (sobe), decrescente (desce), par (\( f(-x) = f(x) \), simetria no eixo \( y \)), ímpar (\( f(-x) = -f(x) \), simetria na origem), periódica (\( f(x + p) = f(x) \))
• Leitura de gráfico: \( f(a) \) sobe de \( x = a \) até a curva; domínio é a projeção no eixo \( x \), imagem é a projeção no eixo \( y \)
• Restrições de domínio: denominador diferente de zero, raiz quadrada de número não negativo, logaritmo de número positivo

SAQ — Perguntas e respostas curtas

1. O que é uma função?
É uma regra que associa cada elemento de um conjunto a um único elemento de outro conjunto, na forma \( y = f(x) \).

2. Qual é a diferença entre contradomínio e imagem?
O contradomínio é o conjunto de chegada declarado; a imagem é o conjunto dos valores realmente atingidos, e está contida no contradomínio.

3. Em \( f(x) = 2x \) com domínio \( \{1, 2, 3\} \), qual é a imagem?
\( \{2, 4, 6\} \), pois \( f(1) = 2 \), \( f(2) = 4 \) e \( f(3) = 6 \).

4. Como saber se um gráfico representa uma função?
Pelo teste da reta vertical: se alguma reta vertical cortar o gráfico em dois ou mais pontos, não é função.

5. O que é uma função injetora?
É aquela em que entradas diferentes têm imagens diferentes: nenhuma imagem é dividida por duas entradas.

6. O que é uma função bijetora?
É aquela que é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo: cada elemento do contradomínio recebe exatamente uma flecha.

7. Quando existe função inversa?
Somente quando a função é bijetora; a inversa desfaz a função original, levando cada saída de volta à sua entrada.

8. Como testar se uma função é par ou ímpar?
Calcule \( f(-x) \): se for igual a \( f(x) \), a função é par; se for igual a \( -f(x) \), é ímpar; se não for nenhum dos dois, não é par nem ímpar.

Questões comentadas

As questões abaixo são inéditas, no estilo ENEM, criadas para esta matéria. Nenhuma delas foi copiada de prova real.

Questão 1. Um diagrama de flechas mostra um conjunto de partida com os elementos 1, 2 e 3 e um conjunto de chegada com os elementos 2, 4, 6 e 8. As flechas ligam 1 a 2, 2 a 4 e 3 a 6. Sobre essa relação, é correto afirmar que:
a) Não é função, pois o elemento 8 não recebe flecha.
b) É função, e sua imagem é \( \{2, 4, 6\} \).
c) É função, e sua imagem é \( \{2, 4, 6, 8\} \).
d) Não é função, pois 2, 4 e 6 são diferentes.
e) É função, e seu domínio é \( \{2, 4, 6\} \).
Gabarito: B. Cada elemento do domínio tem exatamente uma flecha saindo, então é função; a imagem é o conjunto dos valores atingidos, \( \{2, 4, 6\} \). O elemento 8 faz parte do contradomínio, mas não da imagem — e isso não impede que seja função, apenas mostra que ela não é sobrejetora.

Questão 2. Uma tabela mostra os pares \( (0, 1) \), \( (1, 2) \), \( (2, 3) \) e \( (1, 5) \) para uma relação entre \( x \) e \( y \). Sobre essa relação, é correto afirmar que:
a) É função, pois todos os valores de \( y \) são diferentes.
b) É função, pois cada par é diferente.
c) Não é função, pois o valor \( x = 1 \) aparece com duas imagens diferentes.
d) É função, pois o domínio tem três elementos.
e) Não é função, pois o valor \( y = 5 \) não segue o padrão.
Gabarito: C. O valor \( x = 1 \) aparece associado a \( y = 2 \) e a \( y = 5 \): a mesma entrada teria duas saídas, o que viola a definição de função. O padrão dos outros pares é irrelevante — basta um único \( x \) com duas imagens para a relação não ser função.

Questão 3. O gráfico de uma função \( f \) passa pelos pontos \( (0, 1) \), \( (1, 2) \) e \( (2, 3) \). O valor de \( f(2) \) e o valor de \( x \) para o qual \( f(x) = 1 \) são, respectivamente:
a) 3 e 0.
b) 2 e 1.
c) 1 e 2.
d) 3 e 2.
e) 2 e 0.
Gabarito: A. O ponto \( (2, 3) \) diz que \( f(2) = 3 \); o ponto \( (0, 1) \) diz que o valor \( y = 1 \) é atingido quando \( x = 0 \). Basta ler os pares ordenados: o primeiro número é a entrada, o segundo é a saída.

Questão 4. Considere a função \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) dada por \( f(x) = x^2 \). Sobre ela, é correto afirmar que:
a) É injetora, pois entradas diferentes dão imagens diferentes.
b) É sobrejetora, pois todo número real é quadrado de algum real.
c) É bijetora, pois é definida para todos os reais.
d) Não é injetora nem sobrejetora.
e) É injetora, mas não sobrejetora.
Gabarito: D. Não é injetora, porque \( f(2) = f(-2) = 4 \); não é sobrejetora, porque nenhum número negativo é quadrado de um número real. Estar definida para todos os reais diz respeito ao domínio, não à classificação.

Questão 5. Uma lanchonete cobra uma taxa fixa de 5 reais pela entrega mais 2 reais por quilômetro rodado. Se \( d \) é a distância em quilômetros e \( P \) é o preço total, a lei que expressa \( P \) como função de \( d \) e o preço de uma entrega de 4 quilômetros são, respectivamente:
a) \( P(d) = 2d \) e 8 reais.
b) \( P(d) = 5d + 2 \) e 22 reais.
c) \( P(d) = 2d + 5 \) e 13 reais.
d) \( P(d) = 5d \) e 20 reais.
e) \( P(d) = 7d \) e 28 reais.
Gabarito: C. A taxa fixa de 5 reais é o termo independente e os 2 reais por quilômetro multiplicam a distância: \( P(d) = 2d + 5 \). Para \( d = 4 \), temos \( P(4) = 2 \cdot 4 + 5 = 13 \) reais. A alternativa A esquece a taxa fixa e a B troca os papéis dos dois valores.

Dica do professor

Antes de qualquer conta, escreva a função na forma \( y = f(x) \) e identifique os três conjuntos: domínio, contradomínio e imagem. Esse ritual organiza a questão inteira: ele diz o que pode entrar, onde a saída vive e o que de fato sai. Depois, escolha a representação que ajuda mais — diagrama para classificar, tabela para organizar dados, gráfico para ler comportamento — e só então calcule.

Atenção / cuidado

• Não confunda imagem com contradomínio: a imagem é o que de fato sai, o contradomínio é o conjunto de chegada declarado.
• Um mesmo \( x \) com duas imagens diferentes não é função; dois \( x \) diferentes com a mesma imagem são função normalmente.
• No gráfico, não ligue pontos isolados com uma reta quando o domínio é um conjunto pequeno: a função não está definida entre os pontos.
• A reta vertical \( x = 3 \) não é gráfico de função: todos os seus pontos têm o mesmo \( x \) e infinitos valores de \( y \).
• \( f^{-1}(x) \) não é \( \frac{1}{f(x)} \): o expoente \( -1 \) indica a função inversa, não uma potência.
• Na função composta, a ordem importa: \( (f \circ g)(x) \) é, em geral, diferente de \( (g \circ f)(x) \).
• “A função é crescente” sempre pede o intervalo: uma função pode crescer em um trecho e decrescer em outro.

Conexão com outras áreas

Funções específicas: afim, quadrática, exponencial e logarítmica são aplicações diretas desta teoria geral. Física: posição em função do tempo e velocidade em função do tempo se leem com as mesmas ferramentas desta matéria. Economia e cotidiano: preço em função da quantidade e consumo em função do tempo aparecem em questões contextualizadas do ENEM. Estatística: tabelas de dados e gráficos de evolução temporal são representações de funções. Para continuar a revisão, explore a sala de estudo e os temas de vestibular do site.

Incidência: ♨️ Morno — cai no ENEM e nos vestibulares como base para gráficos, tabelas e todas as funções específicas. Matéria: Matemática 1 | Subdisciplina: Funções | Tema: Teoria geral de funções. Linha 263 da planilha.