Função composta e Função inversa: o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido: função composta é quando o resultado de uma função vira a entrada da função seguinte, como uma corrente: primeiro você aplica uma regra, depois aplica a outra sobre o resultado. Função inversa é o caminho de volta: ela desfaz o que a função original fez e devolve o valor de partida. Se você entender essas duas ideias — a ordem da corrente e o caminho de volta —, a maior parte das questões de ENEM e vestibulares sobre o tema fica bem mais simples, porque quase tudo se resume a substituir com calma, respeitar a ordem e conferir o resultado no final.

Imagine que você tem duas máquinas. Na primeira máquina, entra um número e sai outro número, transformado por uma regra. Na segunda máquina, entra exatamente o número que saiu da primeira, e sai um terceiro número. Esse encadeamento é a função composta. Agora imagine que existe uma terceira máquina capaz de desfazer o trabalho: você coloca nela o resultado final e ela devolve o número inicial. Essa máquina do caminho de volta é a função inversa. Guardar essa imagem mental ajuda muito na hora da prova, porque ela impede os dois erros mais comuns do tema: trocar a ordem das máquinas e achar que inverter é só trocar um sinal.

Este artigo foi feito para você dominar o assunto de verdade, e não apenas decorar fórmulas. Vamos começar do zero, com definições claras e exemplos resolvidos passo a passo, depois avançar para o domínio da composta, para a construção da inversa, para os gráficos e para as verificações que garantem que a resposta está certa. No fim, você encontra um mapa mental, perguntas curtas para revisar rápido, questões comentadas no estilo do ENEM e as seções de dica do professor, atenção e conexões com outras áreas. Leia com lápis e papel por perto: refazer cada conta junto com o texto vale mais do que ler duas vezes sem escrever nada.

O que é função, antes de compor e inverter

Antes de falar de composta e de inversa, vale relembrar o que é uma função, porque tudo o que vem a seguir depende dessa base. Uma função é uma regra que associa cada elemento de um conjunto de partida a um único elemento de um conjunto de chegada. O conjunto de partida é o domínio: são todos os valores que podem entrar na função. O conjunto de chegada é o contradomínio: são todos os valores que poderiam sair. Já a imagem é o conjunto dos valores que realmente saem, quando aplicamos a função a todos os elementos do domínio. Essa distinção entre contradomínio e imagem aparece em questões teóricas e também na hora de decidir se uma função tem inversa.

Um exemplo simples ajuda a fixar. Considere a função \( f(x) = 2x + 1 \), definida para todos os números reais. O domínio é o conjunto dos números reais, porque qualquer número real pode entrar na conta. O contradomínio também pode ser tomado como os números reais. A imagem, neste caso, também é o conjunto dos números reais, porque, variando \( x \), o valor \( 2x + 1 \) assume qualquer número real. Se calcularmos alguns valores, vemos o comportamento: para \( x = 0 \), temos \( f(0) = 1 \); para \( x = 1 \), temos \( f(1) = 3 \); para \( x = 2 \), temos \( f(2) = 5 \); para \( x = -1 \), temos \( f(-1) = -1 \). Cada entrada tem uma única saída, e entradas diferentes geram saídas diferentes. Essa última característica — entradas diferentes gerando saídas diferentes — tem um nome importante: a função é injetora. E ela será decisiva para a existência da inversa, como veremos adiante.

Outro exemplo, agora com uma função que não é injetora: \( g(x) = x^2 \), definida para todos os números reais. Aqui, \( g(2) = 4 \) e \( g(-2) = 4 \). Duas entradas diferentes produziram a mesma saída. Isso não impede que \( g \) seja uma função — cada entrada ainda tem uma única saída —, mas impede que ela tenha uma inversa definida em todo o seu domínio, porque, no caminho de volta, o valor 4 não saberia se deve voltar para 2 ou para -2. Essa é a ideia central que você precisa guardar: para desfazer sem ambiguidade, cada saída precisa vir de uma única entrada. Quando isso não acontece no domínio inteiro, às vezes é possível restringir o domínio — por exemplo, considerar apenas \( x \geq 0 \) — e aí a inversa passa a existir. As provas adoram explorar exatamente esse detalhe.

Se a base de funções ainda não está totalmente firme, vale revisar antes o conteúdo de teoria geral de funções na sala de estudo, que apresenta domínio, contradomínio, imagem e os tipos de função com calma. Com essa base, a composta e a inversa deixam de parecer truques e passam a ser consequências naturais da definição.

Função composta: a corrente de funções

Dadas duas funções \( f \) e \( g \), a função composta de \( f \) com \( g \) é a função que primeiro aplica \( g \) e depois aplica \( f \) sobre o resultado. A notação é \( (f \circ g)(x) \), que se lê “f composta com g”, e a definição é:

\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]

Repare com atenção na ordem da leitura. Na notação \( f \circ g \), a função \( f \) aparece primeiro, mas é a função \( g \) que age primeiro sobre o \( x \). Isso confunde muita gente, e as provas sabem disso. Uma forma segura de não errar é sempre ler a composta de dentro para fora: em \( f(g(x)) \), o que está mais perto do \( x \) é aplicado primeiro. Primeiro calculamos \( g(x) \); depois usamos esse resultado como entrada de \( f \). O símbolo \( \circ \) não é multiplicação, não é soma e não pode ser tratado como se fosse: \( (f \circ g)(x) \) é completamente diferente de \( f(x) \cdot g(x) \).

Vamos ver um exemplo numérico completo, sem pular etapas. Sejam \( f(x) = 2x + 1 \) e \( g(x) = x + 3 \). Para calcular \( (f \circ g)(2) \), seguimos a ordem de dentro para fora. Primeiro, aplicamos \( g \) ao número 2: \( g(2) = 2 + 3 = 5 \). Depois, aplicamos \( f \) ao resultado 5: \( f(5) = 2 \cdot 5 + 1 = 11 \). Portanto, \( (f \circ g)(2) = 11 \). O caminho foi \( 2 \to 5 \to 11 \): exatamente o caminho mostrado na primeira figura interna deste artigo. Agora, para encontrar a expressão geral de \( (f \circ g)(x) \), fazemos o mesmo raciocínio, mas sem fixar um valor de \( x \). Sabemos que \( g(x) = x + 3 \). Então \( (f \circ g)(x) = f(x + 3) \). Aplicar \( f \) a \( x + 3 \) significa substituir o \( x \) de \( f \) por \( x + 3 \): \( f(x + 3) = 2(x + 3) + 1 = 2x + 6 + 1 = 2x + 7 \). Logo, \( (f \circ g)(x) = 2x + 7 \). Conferindo com o valor anterior: para \( x = 2 \), temos \( 2 \cdot 2 + 7 = 11 \). Confere.

Agora inverta a ordem e veja como o resultado muda. A composta \( (g \circ f)(x) \) significa \( g(f(x)) \): primeiro aplica \( f \), depois aplica \( g \). Como \( f(x) = 2x + 1 \), temos \( (g \circ f)(x) = g(2x + 1) = (2x + 1) + 3 = 2x + 4 \). Para \( x = 2 \), isso dá \( 2 \cdot 2 + 4 = 8 \), bem diferente do 11 encontrado antes. Ou seja, em geral, \( f \circ g \) é diferente de \( g \circ f \): a composição não é comutativa. Na prova, quando o enunciado pedir uma composta, a primeira coisa a fazer é identificar quem age primeiro. Se você trocar a ordem, a conta até pode parecer certa, mas a resposta estará errada. Um bom hábito é escrever, antes de calcular, a frase “primeiro \( g \), depois \( f \)” ou “primeiro \( f \), depois \( g \)”, conforme o caso, para não se perder no meio da resolução.

Composição com valores, com expressões e com tabelas

As questões de vestibular cobram a composta de três jeitos principais: pedindo o valor numérico em um ponto, pedindo a expressão geral e pedindo a leitura de uma tabela ou de um gráfico. O raciocínio é o mesmo nos três casos; o que muda é a forma de obter os valores intermediários. Vamos treinar cada um deles.

Primeiro, o valor numérico. Sejam \( f(x) = x^2 – 1 \) e \( g(x) = 3x + 2 \). Calcule \( (g \circ f)(1) \). De dentro para fora: primeiro \( f(1) = 1^2 – 1 = 0 \). Depois \( g(0) = 3 \cdot 0 + 2 = 2 \). Portanto, \( (g \circ f)(1) = 2 \). Note que o valor intermediário 0 foi essencial: se você tentasse aplicar as duas regras de uma vez, sem separar as etapas, o risco de erro aumentaria muito. Escreva sempre o valor intermediário, mesmo quando ele parecer óbvio. Na pressa da prova, é justamente o passo “óbvio” que costuma ser pulado — e errado.

Segundo, a expressão geral. Com as mesmas funções, encontre \( (f \circ g)(x) \). Aqui, primeiro vem \( g \), depois \( f \): \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 2) \). Substituir \( x \) por \( 3x + 2 \) em \( f(x) = x^2 – 1 \) exige parênteses: \( (3x + 2)^2 – 1 \). Desenvolvendo o quadrado, \( (3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4 \). Subtraindo 1, obtemos \( 9x^2 + 12x + 3 \). Logo, \( (f \circ g)(x) = 9x^2 + 12x + 3 \). O erro clássico aqui é esquecer os parênteses e escrever \( 3x + 2^2 – 1 \), ou desenvolver o quadrado errado, como \( 9x^2 + 4 \). Ao substituir uma expressão inteira no lugar de \( x \), coloque-a sempre entre parênteses antes de desenvolver. Esse cuidado simples evita a maioria dos erros de conta em composta.

Terceiro, a leitura de tabela. Suponha a tabela a seguir, que poderia aparecer em uma questão sem dar as fórmulas das funções:

Para calcular \( (f \circ g)(1) \), primeiro buscamos \( g(1) \) na tabela: \( g(1) = 0 \). Depois buscamos \( f(0) \): \( f(0) = 1 \). Logo, \( (f \circ g)(1) = 1 \). Para calcular \( (g \circ f)(2) \), primeiro \( f(2) = 5 \); depois precisaríamos de \( g(5) \), que não está na tabela. Nesse caso, a composta não pode ser determinada com os dados fornecidos — e reconhecer isso também é uma habilidade cobrada em prova. Nem toda pergunta tem resposta numérica direta; às vezes, a resposta correta é perceber que falta informação. O mesmo raciocínio vale para gráficos: localize o valor intermediário no eixo, suba ou desça até a curva da primeira função, leia o resultado e use-o como entrada da segunda função.

Um caso muito cobrado é a composta de uma função com ela mesma, ou a composta envolvendo a função identidade. A função identidade é \( I(x) = x \): ela devolve exatamente o que recebeu. Compor qualquer função com a identidade não muda nada: \( (f \circ I)(x) = f(x) \) e \( (I \circ f)(x) = f(x) \). Já a composta de uma função com a sua inversa — quando a inversa existe — também tem um resultado especial, que veremos na seção de verificação: ela devolve o próprio \( x \), ou seja, comporta-se como a identidade. Esses casos especiais aparecem em questões teóricas e em demonstrações curtas, e vale a pena memorizá-los como fatos, não apenas como contas.

Domínio da função composta: o cuidado que mais cai em prova

O domínio da composta é o ponto em que muitos estudantes perdem questões que já sabiam resolver. Não basta juntar as fórmulas: é preciso garantir que cada etapa da corrente seja possível. Para que \( (f \circ g)(x) \) exista, duas condições precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo. Primeiro, \( x \) precisa pertencer ao domínio de \( g \), porque é \( g \) que age primeiro. Segundo, o resultado \( g(x) \) precisa pertencer ao domínio de \( f \), porque é ele que vai entrar em \( f \). Em símbolos, o domínio da composta é formado pelos valores \( x \) do domínio de \( g \) tais que \( g(x) \) está no domínio de \( f \). Se qualquer uma dessas condições falhar, a composta não está definida naquele ponto, mesmo que a fórmula final, depois de simplificada, pareça aceitar aquele valor.

Um exemplo clássico mostra por que a simplificação pode enganar. Sejam \( g(x) = \sqrt{x} \) e \( f(x) = x^2 \). A composta \( (f \circ g)(x) = (\sqrt{x})^2 = x \), depois de simplificada, parece definida para todo número real. Mas isso é falso: o primeiro passo, \( \sqrt{x} \), só existe, nos números reais, para \( x \geq 0 \). Portanto, o domínio da composta é \( x \geq 0 \), e não todos os reais. A simplificação apagou a restrição, mas a restrição continua valendo, porque a corrente precisa passar pela primeira máquina. Sempre que você simplificar a expressão da composta, volte e pergunte: “alguma etapa intermediária impõe uma restrição que a fórmula final escondeu?” Se a resposta for sim, a restrição fica.

Outro exemplo, agora com denominador. Sejam \( g(x) = \frac{1}{x} \) e \( f(x) = x + 2 \). A composta é \( (f \circ g)(x) = \frac{1}{x} + 2 \). Aqui, a restrição aparece tanto no passo intermediário quanto na fórmula final: \( x \) não pode ser zero, porque \( g(0) \) não existe. Logo, o domínio é todos os reais exceto o zero. Já em um exemplo mais sutil, sejam \( g(x) = x – 1 \) e \( f(x) = \frac{1}{x} \). A composta é \( (f \circ g)(x) = \frac{1}{x – 1} \). Aqui, \( g \) aceita qualquer real, mas o resultado \( g(x) = x – 1 \) precisa ser diferente de zero para entrar em \( f \), porque \( f \) não aceita zero. Então \( x – 1 \neq 0 \), ou seja, \( x \neq 1 \). O domínio da composta é todos os reais exceto 1. Perceba que a restrição veio da segunda função, não da primeira: é o valor intermediário que não pode cair no ponto proibido.

Para organizar esse raciocínio, use a tabela a seguir como roteiro de verificação sempre que uma questão pedir o domínio da composta:

Esse cuidado com o domínio também aparece quando a composta envolve funções já estudadas em outros capítulos, como a função afim, a função quadrática e a função exponencial. A função afim, por exemplo, costuma ter domínio total nos reais e por isso raramente cria restrições novas; já raízes, denominadores e logaritmos quase sempre criam. Quando você vir uma composta com raiz ou fração, acenda o alerta do domínio antes mesmo de começar a conta.

Função inversa: o caminho de volta

A função inversa de \( f \), indicada por \( f^{-1} \), é a função que desfaz o que \( f \) fez. Se \( f \) leva o valor \( a \) até o valor \( b \), ou seja, se \( f(a) = b \), então a inversa leva \( b \) de volta até \( a \): \( f^{-1}(b) = a \). O expoente \( -1 \) aqui não significa “um sobre f” e não significa potência: \( f^{-1}(x) \) é completamente diferente de \( \frac{1}{f(x)} \) e de \( (f(x))^{-1} \) no sentido de potência. Essa é uma das confusões mais caras do tema, porque as duas escritas parecem iguais, mas significam coisas diferentes. Sempre que você vir \( f^{-1} \), leia “inversa de f”, nunca “f elevado a menos um”.

Para que a inversa exista como função, \( f \) precisa ser bijetora, isto é, injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, nos conjuntos considerados. Ser injetora significa que entradas diferentes geram saídas diferentes, como já vimos: sem isso, o caminho de volta seria ambíguo, porque uma mesma saída poderia voltar para dois pontos de partida diferentes. Ser sobrejetora significa que toda saída possível é atingida por alguma entrada: sem isso, haveria valores no conjunto de chegada sem caminho de volta definido. Na prática das questões de ENEM e vestibulares, o que mais aparece é a verificação da injetividade, muitas vezes pelo gráfico: uma função é injetora quando nenhuma reta horizontal corta o seu gráfico mais de uma vez. Se uma reta horizontal corta o gráfico em dois pontos, duas entradas diferentes deram a mesma saída, e a função não é injetora naquele domínio.

Existe também uma relação muito útil entre domínio e imagem na inversão: o domínio da inversa é a imagem da função original, e a imagem da inversa é o domínio da função original. Elas trocam de papel. Isso faz todo sentido com a ideia do caminho de volta: a inversa só pode receber como entrada aquilo que a função original realmente produziu, e só pode devolver aquilo que a função original realmente recebeu. Se \( f \) vai do conjunto A para o conjunto B, então \( f^{-1} \) vai de B para A. Guardar essa troca ajuda a responder questões sobre domínio e imagem da inversa sem precisar refazer toda a conta.

Como encontrar a inversa, passo a passo

O método padrão para encontrar a inversa de uma função dada por uma fórmula tem quatro passos, e vale a pena treiná-lo até ele ficar automático. Primeiro, escreva \( y = f(x) \). Segundo, troque \( x \) por \( y \) e \( y \) por \( x \) — é essa troca que representa o caminho de volta, porque o que era saída passa a ser entrada e vice-versa. Terceiro, isole o novo \( y \), resolvendo a equação com as operações inversas, na ordem contrária. Quarto, escreva o resultado como \( f^{-1}(x) = \dots \), indicando o domínio, quando houver restrição.

Vamos aplicar o método a \( f(x) = 2x + 1 \). Primeiro, \( y = 2x + 1 \). Segundo, trocando \( x \) por \( y \): \( x = 2y + 1 \). Terceiro, isolando \( y \): subtraímos 1 dos dois lados, \( x – 1 = 2y \); dividimos por 2, \( y = \frac{x – 1}{2} \). Quarto, concluímos que \( f^{-1}(x) = \frac{x – 1}{2} \). Vamos conferir com números: \( f(2) = 5 \). Aplicando a inversa ao resultado, \( f^{-1}(5) = \frac{5 – 1}{2} = 2 \). Voltamos ao ponto de partida. Outro teste: \( f(0) = 1 \) e \( f^{-1}(1) = \frac{1 – 1}{2} = 0 \). Funciona de novo. Essa conferência numérica é o seu melhor amigo na prova: sempre que encontrar uma inversa, teste com um valor concreto antes de marcar a alternativa.

Um segundo exemplo, um pouco mais trabalhoso, mostra por que a ordem das operações inversas importa. Seja \( f(x) = 3x – 4 \). Escrevemos \( y = 3x – 4 \). Trocando, \( x = 3y – 4 \). Isolando \( y \): somamos 4 dos dois lados, \( x + 4 = 3y \); dividimos por 3, \( y = \frac{x + 4}{3} \). Logo, \( f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3} \). Conferindo: \( f(3) = 5 \) e \( f^{-1}(5) = \frac{5 + 4}{3} = 3 \). Perfeito. Repare que, para desfazer “multiplicar por 3 e depois subtrair 4”, a inversa faz o contrário na ordem contrária: primeiro soma 4, depois divide por 3. Essa é a lógica de “desfazer na ordem inversa” que aparece em muitos problemas de raciocínio, como desfazer uma sequência de operações em uma calculadora ou inverter uma fórmula da Física.

Um terceiro exemplo envolve uma fração e mostra um cuidado com o domínio. Seja \( f(x) = \frac{x + 1}{x – 2} \), com \( x \neq 2 \). Escrevemos \( y = \frac{x + 1}{x – 2} \). Trocando, \( x = \frac{y + 1}{y – 2} \). Para isolar \( y \), multiplicamos os dois lados por \( y – 2 \): \( x(y – 2) = y + 1 \), ou seja, \( xy – 2x = y + 1 \). Reunimos os termos com \( y \) de um lado: \( xy – y = 2x + 1 \). Colocamos \( y \) em evidência: \( y(x – 1) = 2x + 1 \). Dividimos: \( y = \frac{2x + 1}{x – 1} \). Portanto, \( f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{x – 1} \), com \( x \neq 1 \). Note como o valor proibido mudou: na função original, o proibido era 2; na inversa, o proibido é 1. Isso não é coincidência: o domínio da inversa é a imagem da original, e a imagem da inversa é o domínio da original. Questões que pedem apenas o valor excluído do domínio da inversa podem ser resolvidas observando essa troca, sem refazer toda a álgebra — mas só use o atalho depois de entender de onde ele vem.

Vale ainda um exemplo com a função quadrática e a restrição de domínio. A função \( f(x) = x^2 \), em todos os reais, não tem inversa, como já vimos. Mas, restringindo o domínio para \( x \geq 0 \), ela passa a ser injetora, e sua inversa é \( f^{-1}(x) = \sqrt{x} \), com \( x \geq 0 \). De fato, trocando as variáveis: \( y = x^2 \) vira \( x = y^2 \); como \( y \geq 0 \), obtemos \( y = \sqrt{x} \). Esse par — quadrado e raiz quadrada — é o exemplo mais clássico de funções inversas, e ele reaparece em muitos contextos, inclusive na relação entre a função exponencial e a função logarítmica, que são inversas uma da outra. A relação entre exponencial e logaritmo é tratada com mais detalhes no conteúdo sobre propriedades dos logaritmos, e vale a pena estudá-los juntos, porque a ideia de desfazer é exatamente a mesma.

Verificação: a prova de que a inversa está certa

Existe um teste definitivo para saber se você encontrou a inversa correta, e ele usa justamente a composição. Se \( g \) é a inversa de \( f \), então compor \( f \) com \( g \) deve devolver o próprio \( x \), e compor \( g \) com \( f \) também deve devolver o próprio \( x \). Em símbolos:

\[ f(f^{-1}(x)) = x \quad \text{e} \quad f^{-1}(f(x)) = x \]

para todo \( x \) nos domínios adequados. Isso faz sentido: ir e voltar deve devolver você ao ponto de partida, e voltar e ir também. Na prova, se houver dúvida entre duas alternativas para a inversa, aplique esse teste com um valor numérico simples e veja qual alternativa sobrevive.

Vamos testar o primeiro exemplo: \( f(x) = 2x + 1 \) e a candidata \( f^{-1}(x) = \frac{x – 1}{2} \). Primeiro, \( f(f^{-1}(x)) = f\left(\frac{x – 1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{x – 1}{2} + 1 = (x – 1) + 1 = x \). Funciona. Depois, \( f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x + 1) = \frac{(2x + 1) – 1}{2} = \frac{2x}{2} = x \). Funciona também. A candidata está confirmada. Agora veja o que acontece com uma candidata errada, por exemplo \( h(x) = \frac{x + 1}{2} \). Testando: \( f(h(x)) = 2 \cdot \frac{x + 1}{2} + 1 = x + 2 \), que não é \( x \). A candidata está descartada, sem precisar refazer toda a dedução. Esse teste é rápido, seguro e deveria virar hábito: encontrou a inversa, componha e confira.

Esse mesmo teste resolve questões que pedem o valor de uma composta envolvendo a inversa sem pedir a inversa explicitamente. Por exemplo, se \( f \) é bijetora e \( f(4) = 9 \), então \( f^{-1}(9) = 4 \), sem nenhuma conta. E se a questão pedir \( f(f^{-1}(7)) \), a resposta é 7, desde que 7 esteja no domínio da inversa. Da mesma forma, \( f^{-1}(f(3)) = 3 \), desde que 3 esteja no domínio de \( f \). Muitos estudantes tentam encontrar a fórmula da inversa nesses casos e perdem tempo; a definição e a propriedade da composta já dão a resposta diretamente. Leia o enunciado com atenção: às vezes, ele dá exatamente a informação que permite usar a propriedade, e a fórmula completa é desnecessária.

O gráfico da inversa: o espelho na reta \( y = x \)

Graficamente, a inversa tem uma propriedade linda e muito cobrada: o gráfico de \( f^{-1} \) é o reflexo do gráfico de \( f \) em relação à reta \( y = x \), que é a bissetriz dos quadrantes ímpares, a reta diagonal que passa pela origem com inclinação 1. Isso acontece porque a troca de \( x \) por \( y \) na hora de encontrar a inversa corresponde, no plano, a trocar as coordenadas de cada ponto: se o ponto \( (a, b) \) pertence ao gráfico de \( f \), então o ponto \( (b, a) \) pertence ao gráfico de \( f^{-1} \). Refletir um ponto em relação à reta \( y = x \) troca exatamente as suas coordenadas. Por isso, os dois gráficos são espelhos um do outro em relação a essa reta.

Um exemplo concreto fixa a ideia. A função \( f(x) = 2x \) tem como inversa \( f^{-1}(x) = \frac{x}{2} \). O ponto \( (2, 4) \) está no gráfico de \( f \), porque \( f(2) = 4 \). O ponto espelhado, \( (4, 2) \), está no gráfico da inversa, porque \( f^{-1}(4) = 2 \). A segunda figura interna deste artigo mostra exatamente esse par: a reta azul passa por \( (2, 4) \), a reta verde passa por \( (4, 2) \), e a reta diagonal tracejada entre elas é a reta \( y = x \), o espelho. Se você dobrasse o papel sobre a reta tracejada, as duas retas coincidiriam. Essa imagem mental é suficiente para resolver questões que pedem o gráfico da inversa, ou que pedem o valor da inversa a partir do gráfico da função original, sem nenhuma fórmula.

Outra consequência gráfica importante: se \( f \) é crescente, sua inversa também é crescente; se \( f \) é decrescente, sua inversa também é decrescente. O espelho preserva o sentido de crescimento, porque trocar as coordenadas não inverte a ordem dos valores quando olhamos para a reta \( y = x \). Além disso, os pontos em que o gráfico de \( f \) cruza a reta \( y = x \) são pontos fixos: neles, a função e a inversa coincidem, porque o ponto espelhado é ele mesmo. Por exemplo, na função \( f(x) = 2x – 1 \), o ponto fixo satisfaz \( 2x – 1 = x \), ou seja, \( x = 1 \); de fato, \( f(1) = 1 \) e \( f^{-1}(1) = 1 \). Questões que pedem a interseção dos gráficos de \( f \) e \( f^{-1} \) podem ser resolvidas, em muitos casos, encontrando os pontos fixos, sem desenhar os dois gráficos completos.

Erros comuns — e como evitá-los na prova

Quase todos os erros em função composta e função inversa pertencem a uma lista curta, e conhecer essa lista antes da prova já evita boa parte deles. O primeiro erro é trocar a ordem da composta, calculando \( g \circ f \) quando o enunciado pediu \( f \circ g \). A prevenção é escrever, antes de calcular, quem age primeiro, e ler a composta de dentro para fora. O segundo erro é esquecer os parênteses ao substituir uma expressão no lugar de \( x \), especialmente quando a expressão é um binômio como \( 3x + 2 \). A prevenção é colocar parênteses sempre, sem exceção, antes de desenvolver qualquer conta.

O terceiro erro é confundir \( f^{-1}(x) \) com \( \frac{1}{f(x)} \). A prevenção é ler \( f^{-1} \) sempre como “inversa de f” e desconfiar de qualquer resolução que trate o \( -1 \) como expoente numérico. O quarto erro é esquecer o domínio: aceitar na composta um valor que a primeira função não aceita, ou aceitar na inversa um valor que a função original nunca produziu. A prevenção é verificar o domínio antes de simplificar e depois de simplificar, e anotar as restrições ao lado da resposta. O quinto erro é achar que toda função tem inversa. A prevenção é testar a injetividade: se duas entradas diferentes dão a mesma saída, não há inversa no domínio inteiro, e a questão pode estar pedindo justamente a restrição de domínio que torna a inversa possível.

Há ainda dois erros mais sutis. Um deles é inverter as operações, mas na mesma ordem, em vez de na ordem contrária: para desfazer “multiplicar por 2 e depois somar 1”, a inversa correta é “subtrair 1 e depois dividir por 2”, e não “dividir por 2 e depois subtrair 1”. Teste com um número para perceber a diferença: partindo de 3, multiplicar por 2 dá 6, somar 1 dá 7. Desfazendo na ordem contrária, subtrair 1 dá 6, dividir por 2 dá 3. Desfazendo na mesma ordem, dividir por 2 dá 3,5, subtrair 1 dá 2,5 — errado. O outro erro sutil é esquecer que a composta não é comutativa e tentar “simplificar” trocando a ordem das funções no meio da conta. A ordem é parte da definição; trocá-la muda o problema.

Composta de três funções e aplicações do dia a dia

A ideia da corrente não para em duas funções. É possível compor três ou mais funções, e a regra continua a mesma: aplique de dentro para fora, uma de cada vez, sem pular etapas. Por exemplo, sejam \( f(x) = x + 1 \), \( g(x) = 2x \) e \( h(x) = x^2 \). A composta \( (h \circ g \circ f)(x) \) significa \( h(g(f(x))) \): primeiro \( f \), depois \( g \), depois \( h \). Para \( x = 3 \), temos \( f(3) = 4 \), \( g(4) = 8 \) e \( h(8) = 64 \). Logo, \( (h \circ g \circ f)(3) = 64 \). A expressão geral segue o mesmo caminho: \( f(x) = x + 1 \); aplicando \( g \), \( g(x + 1) = 2(x + 1) = 2x + 2 \); aplicando \( h \), \( h(2x + 2) = (2x + 2)^2 = 4x^2 + 8x + 4 \). Conferindo para \( x = 3 \): \( 4 \cdot 9 + 8 \cdot 3 + 4 = 36 + 24 + 4 = 64 \). Confere. Em questões com três funções, a tentação é tentar juntar tudo de uma vez; resista a ela. Escreva cada etapa em uma linha separada, como fizemos aqui, e a conta fica longa, mas segura.

A composta também aparece em situações do dia a dia, e o ENEM gosta de disfarçar a matemática dentro de um contexto. Um exemplo típico: uma loja aplica primeiro um desconto e depois um acréscimo de imposto, ou vice-versa. Suponha que um produto custe \( x \) reais, receba um desconto de 10% e depois um imposto de 10% sobre o valor com desconto. A função desconto é \( d(x) = 0,9x \). A função imposto é \( t(x) = 1,1x \). A composta, na ordem desconto e depois imposto, é \( (t \circ d)(x) = 1,1 \cdot (0,9x) = 0,99x \). O preço final é 99% do preço original, ou seja, 1% menor — e não igual ao original, como muita gente imagina. Se a ordem fosse invertida, o resultado seria o mesmo neste caso específico, porque as duas funções são multiplicações, mas isso é uma exceção, não a regra: em geral, a ordem importa, e o exemplo do desconto e do imposto só dá o mesmo resultado nas duas ordens porque multiplicar por 0,9 e por 1,1 comuta. Não generalize esse caso para todas as compostas.

Outro contexto frequente é a conversão de unidades em cadeia. Para converter uma temperatura de graus Celsius para Fahrenheit, aplica-se \( F(C) = 1,8C + 32 \). Para converter de Fahrenheit para Kelvin, aplica-se \( K(F) = \frac{5}{9}(F – 32) + 273,15 \). A composta das duas converte diretamente de Celsius para Kelvin, e, ao simplificar, ela se reduz a \( K = C + 273,15 \), o que confirma que a cadeia está correta. Situações assim mostram por que a composta é mais do que um exercício algébrico: ela é a linguagem matemática das transformações em cadeia, em que a saída de um processo vira a entrada do próximo. Sempre que um problema descrever etapas em sequência — primeiro isso, depois aquilo —, desconfie de que há uma composta escondida no enunciado.

A inversa também tem aplicações diretas. Quando uma fórmula dá o resultado em função de uma variável, e o problema pede a variável em função do resultado, o que se está pedindo é, na prática, a inversa. Por exemplo, se o custo de produção de \( x \) unidades é \( C(x) = 50x + 200 \), e a pergunta é “quantas unidades correspondem a um custo de 1.200 reais?”, basta resolver \( 50x + 200 = 1200 \), obtendo \( x = 20 \). Mas se a pergunta for geral — “dê a quantidade em função do custo” —, a resposta é a inversa \( C^{-1}(y) = \frac{y – 200}{50} \). O mesmo raciocínio aparece em problemas de velocidade, de conversão de moedas com taxa e de fórmulas da Física em que se isola uma variável. Reconhecer a inversa dentro de um problema contextual é metade da resolução: a outra metade é apenas a álgebra de isolar a variável, que você já sabe fazer.

Exemplos resolvidos passo a passo para fixar

Vamos resolver mais três exemplos completos, do tipo que aparece em provas, com todos os passos escritos. O primeiro é uma composta com função quadrática e função afim. Sejam \( f(x) = x^2 + 2x \) e \( g(x) = x – 1 \). Encontre \( (f \circ g)(x) \) e calcule \( (f \circ g)(3) \). Primeiro, a expressão geral: \( (f \circ g)(x) = f(x – 1) = (x – 1)^2 + 2(x – 1) \). Desenvolvendo: \( (x – 1)^2 = x^2 – 2x + 1 \); \( 2(x – 1) = 2x – 2 \); somando, \( x^2 – 2x + 1 + 2x – 2 = x^2 – 1 \). Logo, \( (f \circ g)(x) = x^2 – 1 \). Para \( x = 3 \), obtemos \( 9 – 1 = 8 \). Conferindo pelo caminho em etapas: \( g(3) = 2 \); \( f(2) = 4 + 4 = 8 \). Confere. Repare como a simplificação, neste caso, revelou uma expressão bem mais simples do que a original — um bom sinal de que a conta está no caminho certo, mas que nunca dispensa a conferência numérica.

O segundo exemplo é uma inversa com denominador e soma. Seja \( f(x) = \frac{2x – 1}{3} \). Encontre \( f^{-1}(x) \). Escrevemos \( y = \frac{2x – 1}{3} \). Trocando, \( x = \frac{2y – 1}{3} \). Multiplicando por 3: \( 3x = 2y – 1 \). Somando 1: \( 3x + 1 = 2y \). Dividindo por 2: \( y = \frac{3x + 1}{2} \). Logo, \( f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{2} \). Conferindo: \( f(4) = \frac{8 – 1}{3} = \frac{7}{3} \); \( f^{-1}\left(\frac{7}{3}\right) = \frac{3 \cdot \frac{7}{3} + 1}{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4 \). Voltamos ao ponto de partida. Se, na prova, você encontrar uma inversa e não tiver tempo para a verificação algébrica completa, faça pelo menos essa conferência com um número: ela pega a maioria dos erros de sinal e de ordem.

O terceiro exemplo mistura composta e inversa, um tipo de questão que vale ponto extra porque exige as duas ideias. Sejam \( f(x) = 2x + 3 \) e \( g(x) = x – 5 \). Calcule \( (f^{-1} \circ g)(7) \). Primeiro, precisamos da inversa de \( f \): \( y = 2x + 3 \) vira \( x = 2y + 3 \), logo \( y = \frac{x – 3}{2} \), ou seja, \( f^{-1}(x) = \frac{x – 3}{2} \). Agora, a composta \( (f^{-1} \circ g)(x) \) significa aplicar primeiro \( g \) e depois \( f^{-1} \). Para \( x = 7 \): \( g(7) = 2 \); \( f^{-1}(2) = \frac{2 – 3}{2} = -\frac{1}{2} \). Portanto, \( (f^{-1} \circ g)(7) = -\frac{1}{2} \). Se a questão pedisse a expressão geral, teríamos \( (f^{-1} \circ g)(x) = f^{-1}(x – 5) = \frac{(x – 5) – 3}{2} = \frac{x – 8}{2} \); para \( x = 7 \), isso dá \( \frac{-1}{2} \), confirmando o resultado. Questões mistas como essa são resolvidas com calma quando você separa as etapas: primeiro encontre a inversa, depois componha, depois calcule.

Como o tema cai no ENEM e nos vestibulares

Função composta e função inversa são classificadas como incidência morna: não aparecem em todas as edições, mas voltam com frequência suficiente para valer a pena dominar, e costumam aparecer dentro de questões maiores sobre funções, gráficos e modelos. No ENEM, o mais comum é a composta disfarçada em um contexto — desconto e imposto, conversão de unidades, etapas de um processo — ou a inversa pedida indiretamente, como “expresse a variável em função do resultado”. Nos vestibulares mais tradicionais, aparecem também questões diretas: dada a fórmula, encontre a composta, encontre a inversa, determine o domínio ou verifique uma propriedade. Nos dois casos, o caminho é o mesmo: identificar quem age primeiro, respeitar a ordem, cuidar do domínio e conferir com um número.

Uma estratégia boa para a prova é resolver as questões de composta e inversa em três passadas. Na primeira passada, leia o enunciado e sublinhe a ordem: quem é aplicado primeiro, o que é pedido — valor numérico, expressão geral, domínio ou gráfico. Na segunda passada, faça a conta com os parênteses e as etapas escritas, sem pular linhas. Na terceira passada, confira: se for composta, teste um valor; se for inversa, componha e veja se volta a \( x \); se for gráfico, verifique se os pontos espelhados fazem sentido em relação à reta \( y = x \). Essas três passadas tomam pouco tempo extra e evitam a maioria das perdas de ponto por distração, que são as mais frustrantes, porque o estudante sabia o conteúdo e errou por pressa.

Por fim, um conselho de estudo: não estude composta e inversa apenas lendo. Separe uma folha e resolva, sem olhar, os exemplos deste artigo: a composta \( (f \circ g)(2) \) com \( f(x) = 2x + 1 \) e \( g(x) = x + 3 \); a inversa de \( f(x) = 3x – 4 \); o domínio da composta de \( \sqrt{x} \) com \( x^2 \); e o gráfico da inversa de \( f(x) = 2x \). Se você acertar os quatro sem consultar, o tema está dominado para o nível cobrado nas provas. Se errar algum, volte exatamente à seção correspondente, refaça com calma e tente de novo no dia seguinte. A memória de um procedimento matemático se fixa pela prática espaçada, não pela leitura repetida.

Mapa mental

Função composta: corrente de funções — o resultado de uma vira a entrada da seguinte. Notação \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \); lê-se de dentro para fora; primeiro \( g \), depois \( f \). Não é comutativa: \( f \circ g \) é, em geral, diferente de \( g \circ f \). Não é multiplicação: \( (f \circ g)(x) \) é diferente de \( f(x) \cdot g(x) \). Domínio: \( x \) precisa entrar em \( g \) e \( g(x) \) precisa entrar em \( f \); a simplificação não apaga restrições. Cuidados: parênteses em toda substituição; escrever o valor intermediário; conferir com um número.

Função inversa: caminho de volta — desfaz o que a função fez. Notação \( f^{-1} \), que se lê “inversa de f” e não é \( \frac{1}{f(x)} \). Existe quando a função é bijetora: injetora (entradas diferentes, saídas diferentes) e sobrejetora (toda saída é atingida). Método: escreva \( y = f(x) \); troque \( x \) por \( y \); isole o novo \( y \); escreva \( f^{-1}(x) \). Domínio e imagem trocam de papel. Verificação: \( f(f^{-1}(x)) = x \) e \( f^{-1}(f(x)) = x \). Gráfico: reflexo do gráfico de \( f \) em relação à reta \( y = x \); o ponto \( (a, b) \) vira \( (b, a) \).

Frases de segurança para a prova: “primeiro quem está mais perto do \( x \)”; “parênteses em toda substituição”; “desfazer na ordem contrária”; “domínio antes e depois de simplificar”; “inversa não é recíproco”; “conferir com um número antes de marcar”. Se você lembrar dessas seis frases na hora da questão, os erros mais comuns já estarão bloqueados.

SAQ — Perguntas e respostas rápidas

1. O que é a função composta \( (f \circ g)(x) \)?
É \( f(g(x)) \): primeiro aplica-se \( g \) a \( x \) e depois aplica-se \( f \) ao resultado.

2. Qual função age primeiro em \( (f \circ g)(x) \)?
A função \( g \), que está mais perto do \( x \). A leitura é de dentro para fora.

3. A composição é comutativa, ou seja, \( f \circ g \) é igual a \( g \circ f \)?
Em geral, não. A ordem muda o resultado, como mostram os exemplos deste artigo.

4. O que é a função inversa \( f^{-1} \)?
É a função que desfaz \( f \): se \( f(a) = b \), então \( f^{-1}(b) = a \).

5. \( f^{-1}(x) \) é o mesmo que \( \frac{1}{f(x)} \)?
Não. O \( -1 \) em \( f^{-1} \) indica a inversa, não um expoente numérico nem um recíproco.

6. Quando uma função tem inversa?
Quando ela é bijetora: injetora e sobrejetora nos conjuntos considerados. Sem injetividade, o caminho de volta seria ambíguo.

7. Quais são os passos para encontrar a inversa de uma fórmula?
Escreva \( y = f(x) \); troque \( x \) por \( y \); isole o novo \( y \); escreva o resultado como \( f^{-1}(x) \), com o domínio quando houver restrição.

8. Como conferir se a inversa encontrada está certa?
Componha: \( f(f^{-1}(x)) \) e \( f^{-1}(f(x)) \) devem dar \( x \). Um teste numérico com um valor simples já pega a maioria dos erros.

Questões comentadas

Questão 1. Uma papelaria aplica, nesta ordem, duas transformações ao preço de um caderno: primeiro, um acréscimo fixo de 4 reais; depois, uma multiplicação por 2. Sejam \( g(x) = x + 4 \) a primeira transformação e \( f(x) = 2x \) a segunda. O preço final, em função do preço inicial \( x \), é dado por:
A) \( 2x + 4 \)
B) \( 2x + 8 \)
C) \( x + 8 \)
D) \( 2x + 6 \)
E) \( x + 4 \)
Gabarito: B.
Comentário: A ordem é: primeiro \( g \), depois \( f \). Logo, o preço final é \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 4) = 2(x + 4) = 2x + 8 \). Conferindo com um preço inicial de 10 reais: somar 4 dá 14; multiplicar por 2 dá 28; e a fórmula dá \( 2 \cdot 10 + 8 = 28 \). A alternativa A erra porque aplica a multiplicação sem distribuir sobre o 4, ou seja, esquece os parênteses na substituição. A alternativa C ignora a multiplicação por 2. A alternativa D soma os dois ajustes sem multiplicar corretamente. A alternativa E considera apenas a primeira transformação e ignora a segunda.

Questão 2. Sejam \( f(x) = 3x – 2 \) e \( g(x) = x^2 \). O valor de \( (f \circ g)(2) \) é:
A) 4
B) 10
C) 12
D) 16
E) 34
Gabarito: B.
Comentário: De dentro para fora: primeiro \( g(2) = 2^2 = 4 \); depois \( f(4) = 3 \cdot 4 – 2 = 10 \). Portanto, \( (f \circ g)(2) = 10 \). A alternativa A corresponde apenas a \( g(2) \), sem aplicar \( f \). A alternativa D corresponde à composta na ordem trocada: \( (g \circ f)(2) = g(f(2)) = g(4) = 16 \). A alternativa C surge de erro de conta no meio do caminho, e a alternativa E de misturar as etapas, elevando ao quadrado um valor já transformado por \( f \). O segredo aqui é escrever o valor intermediário 4 antes de continuar.

Questão 3. A função \( f(x) = 4x + 5 \) modela o valor total, em reais, de uma corrida de aplicativo em função da distância percorrida, em quilômetros. A expressão que dá a distância em função do valor total, ou seja, a inversa de \( f \), é:
A) \( f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{4} \)
B) \( f^{-1}(x) = \frac{x – 5}{4} \)
C) \( f^{-1}(x) = 4x – 5 \)
D) \( f^{-1}(x) = \frac{1}{4x + 5} \)
E) \( f^{-1}(x) = \frac{x}{4} + 5 \)
Gabarito: B.
Comentário: Escrevendo \( y = 4x + 5 \) e trocando as variáveis, \( x = 4y + 5 \). Isolando \( y \): \( x – 5 = 4y \), logo \( y = \frac{x – 5}{4} \). Portanto, \( f^{-1}(x) = \frac{x – 5}{4} \). Conferindo: se a distância é 5 km, o valor é \( f(5) = 25 \); a inversa dá \( f^{-1}(25) = \frac{20}{4} = 5 \). A alternativa A erra o sinal na hora de desfazer a soma. A alternativa C desfaz multiplicando em vez de dividir. A alternativa D confunde inversa com recíproco, um dos erros mais comuns do tema. A alternativa E desfaz as operações na ordem errada: divide antes de subtrair.

Questão 4. O gráfico de uma função bijetora \( f \) passa pelo ponto \( (3, 8) \). Sobre o gráfico da inversa \( f^{-1} \), é correto afirmar que ele passa pelo ponto:
A) \( (3, 8) \)
B) \( (8, 3) \)
C) \( (-3, 8) \)
D) \( (3, -8) \)
E) \( (8, -3) \)
Gabarito: B.
Comentário: Se \( f(3) = 8 \), então, pelo caminho de volta, \( f^{-1}(8) = 3 \). Logo, o ponto \( (8, 3) \) pertence ao gráfico da inversa. Isso é a troca de coordenadas do espelho em relação à reta \( y = x \). A alternativa A supõe que a inversa passa pelo mesmo ponto, o que só acontece em pontos fixos, sobre a reta \( y = x \) — e \( (3, 8) \) não está sobre essa reta. As alternativas C, D e E trocam sinais sem justificativa: a inversão troca as coordenadas, não muda os seus sinais.

Questão 5. Sejam \( g(x) = \sqrt{x} \) e \( f(x) = x^2 \). Sobre a função composta \( (f \circ g)(x) \), é correto afirmar que:
A) Ela é definida para todos os números reais e vale \( x \) para todo \( x \).
B) Ela é definida apenas para \( x \geq 0 \) e vale \( x \) nesse domínio.
C) Ela é definida apenas para \( x > 0 \) e vale \( -x \) nesse domínio.
D) Ela não está definida para nenhum número real.
E) Ela é definida para todos os números reais e vale \( x^2 \).
Gabarito: B.
Comentário: A primeira função aplicada é \( g(x) = \sqrt{x} \), que, nos números reais, só existe para \( x \geq 0 \). Nesse domínio, \( (f \circ g)(x) = (\sqrt{x})^2 = x \). A alternativa A é a armadilha clássica: a fórmula simplificada \( x \) parece aceitar qualquer real, mas a restrição da primeira etapa continua valendo. A alternativa C erra o sinal e exclui o zero sem motivo, já que \( \sqrt{0} = 0 \) existe. A alternativa D ignora que a raiz existe para os não negativos. A alternativa E confunde a ordem das funções e o resultado da simplificação.

Dica do professor

Antes de marcar qualquer alternativa de composta ou inversa, faça o teste de um número. Escolha um valor simples, como 2 ou 3, aplique as etapas uma por uma e veja se a sua fórmula reproduz o resultado. Esse teste de trinta segundos pega erros de ordem, de sinal e de parênteses que passam despercebidos na álgebra. E, quando a questão pedir a inversa, lembre-se do roteiro fixo: escreva \( y = f(x) \), troque \( x \) por \( y \), isole o novo \( y \) desfazendo as operações na ordem contrária. Com o roteiro fixo e o teste numérico, o tema deixa de ser uma loteria e vira ponto garantido.

Atenção / cuidado

Não confunda \( f^{-1}(x) \) com \( \frac{1}{f(x)} \); não troque a ordem da composta; não esqueça os parênteses ao substituir um binômio no lugar de \( x \); e nunca apague uma restrição de domínio ao simplificar a fórmula final. Se a primeira função da corrente não aceita um valor, a composta também não aceita, mesmo que a expressão simplificada pareça aceitar. E lembre-se: nem toda função tem inversa em todo o seu domínio — quando duas entradas diferentes dão a mesma saída, é preciso restringir o domínio antes de inverter.

Conexão com outras áreas

A ideia de compor e inverter aparece em toda a Matemática e fora dela. A função afim e a função quadrática são os exemplos mais frequentes de composta e inversa em provas, e a função exponencial tem como inversa a função logarítmica, estudada em propriedades dos logaritmos. Na Física, inverter uma fórmula é o mesmo procedimento de encontrar a inversa: dada a velocidade em função do tempo, encontra-se o tempo em função da velocidade. Na computação e no dia a dia, desfazer uma sequência de operações — como desfazer um desconto e um imposto, ou converter unidades em cadeia — é exatamente aplicar a composta e a inversa. Dominar este tema, portanto, não é apenas ganhar uma questão de funções: é ganhar uma ferramenta para ler qualquer processo em etapas.

Incidência

Incidência: ♨️ Morno (ENEM e vestibulares). Função composta e função inversa não aparecem em todas as edições, mas retornam com regularidade, muitas vezes disfarçadas em contextos de desconto, conversão de unidades, etapas de um processo ou gráficos espelhados em relação à reta \( y = x \). Vale o estudo completo, com os exemplos resolvidos e o teste numérico de conferência, porque, quando o tema cai, costuma valer uma questão inteira — e é uma questão que se resolve com método, não com decoreba. Para continuar a revisão de funções, visite a sala de estudo e revise a teoria geral antes de avançar para os próximos tipos de função.