Geometria de posição: Posições relativas e Projeção ortogonal

Resumo rápido

Geometria de posição estuda como ponto, reta e plano se relacionam no espaço: quem é paralelo a quem, quem se cruza, quem é perpendicular e o que acontece quando um objeto é projetado sobre um plano. É a base da geometria espacial e aparece em quase toda questão de cubo, paralelepípedo, telhado ou sombra no ENEM e nos vestibulares. A boa notícia é que o tema é intuitivo: as paredes do seu quarto são planos, as quinas onde duas paredes se encontram são retas, e a sombra de um poste no chão é uma projeção. Nesta matéria, vamos transformar essas imagens em regras claras, com tabelas e exemplos numéricos exatos.

Se você ainda confunde ângulo agudo com ângulo reto, revise antes a matéria de ângulos, que é a base dos ângulos no espaço. Quando o assunto avançar para sólidos, a matéria de prismas mostrará onde essas posições relativas aparecem dentro de um sólido de verdade.

Os personagens do espaço: ponto, reta e plano

Na geometria plana, você trabalha dentro de uma folha. Na geometria espacial, a folha vira o mundo: há profundidade, altura e volume. Três ideias primitivas organizam tudo. Ponto não tem dimensão; só marca uma posição. Reta é infinita nos dois sentidos e tem apenas comprimento. Plano é infinito em duas direções, como uma folha sem bordas. Valem alguns postulados, verdades aceitas sem demonstração: por dois pontos distintos passa uma única reta; por três pontos não colineares, que não estão na mesma reta, passa um único plano; se uma reta tem dois pontos em um plano, a reta inteira está contida nele; e, se dois planos distintos se cortam, a interseção é uma reta.

Esses postulados explicam situações do dia a dia. Três pés de uma mesa definem um plano, e é por isso que uma mesa de três pés não balança. O canto do quarto onde duas paredes e o teto se encontram mostra três planos se cortando em um ponto. Também é essencial o vocabulário: dois objetos são coplanares quando existe um plano que contém os dois; caso contrário, são não coplanares. Essa palavra é a chave do erro mais comum do tema: no espaço, duas retas podem não se cruzar e, mesmo assim, não serem paralelas. Na folha isso nunca acontece, mas no espaço surge uma terceira possibilidade, a das retas reversas.

Posições relativas entre duas retas

Duas retas no espaço podem ser paralelas, concorrentes ou reversas. Retas paralelas são coplanares e não têm ponto em comum: andam lado a lado, sem nunca se encontrar, como os trilhos de uma ferrovia ou duas arestas opostas da face superior de um cubo. Retas concorrentes são coplanares e têm exatamente um ponto em comum: cruzam-se, como duas arestas que saem do mesmo vértice de um cubo. Retas reversas são não coplanares e não têm ponto em comum: passam “uma por cima da outra” sem se tocar, como uma aresta da base de um cubo e uma aresta da face lateral oposta que não toca aquela base. Um caso-limite é o das retas coincidentes, a mesma reta considerada duas vezes, em que todos os pontos são comuns.

Use o teste em três passos para decidir na prova. Primeiro, as retas têm um ponto em comum? Se sim, são concorrentes. Segundo, se não têm ponto em comum, existe um plano que contenha as duas, por exemplo, se ambas são arestas de uma mesma face? Se sim, são paralelas. Terceiro, se não têm ponto em comum e não cabem em um mesmo plano, são reversas. Atenção à perspectiva: no desenho em duas dimensões, retas reversas podem parecer que se cruzam, porque o desenho “achata” o espaço. O cruzamento no papel só vale se o ponto pertencer de fato às duas retas no sólido. Um exemplo fixa tudo: em um cubo de aresta \(6\text{ cm}\), com base \(ABCD\) e topo \(EFGH\) (com \(E\) acima de \(A\), \(F\) acima de \(B\), \(G\) acima de \(C\) e \(H\) acima de \(D\)), as retas \(AB\) e \(EF\) são paralelas, \(AB\) e \(BC\) são concorrentes no vértice \(B\), formando \(90^\circ\), e \(AB\) e \(GH\) são reversas.

Posições relativas entre reta e plano

Uma reta e um plano podem assumir três posições: a reta pode estar contida no plano, ser paralela a ele ou ser concorrente a ele. A reta está contida no plano quando todos os seus pontos pertencem ao plano, como uma aresta que é lado de uma face do cubo. É paralela quando não tem nenhum ponto em comum com ele, como uma aresta do topo do cubo em relação ao plano da base. É concorrente, também chamada de secante, quando tem exatamente um ponto em comum, como uma aresta vertical em relação ao plano da base. Um caso especial da concorrência é a reta perpendicular ao plano, que forma \(90^\circ\) com todas as retas do plano que passam pelo ponto de interseção.

Dois critérios práticos resolvem muitas questões. Uma reta é paralela a um plano quando é paralela a alguma reta contida nesse plano: se uma viga do teto é paralela a uma viga do chão, ela é paralela ao plano do chão. E uma reta é perpendicular a um plano quando é perpendicular a duas retas concorrentes desse plano que passam pelo ponto de interseção. Não basta ser perpendicular a uma única reta do plano: é preciso ser perpendicular a duas retas concorrentes, para garantir que ela “sai reta” do plano em todas as direções. Pense no poste aprumado no chão: ele forma \(90^\circ\) com qualquer reta do chão que passe pela sua base, e é essa imagem que define a projeção ortogonal, que veremos adiante.

Posições relativas entre dois planos

Dois planos no espaço podem ser paralelos ou concorrentes. Planos paralelos não têm ponto em comum, como o chão e o teto de um quarto ou as faces opostas de um cubo. O caso-limite é o dos planos coincidentes, quando os dois planos são, na verdade, o mesmo plano. Planos concorrentes, também chamados de secantes, cortam-se segundo uma reta, a reta de interseção: é o caso de duas paredes vizinhas, que se encontram na quina, ou de duas faces vizinhas de um cubo, que se encontram em uma aresta. Não existe a possibilidade de dois planos distintos se cruzarem em um único ponto: ou não se tocam, ou se tocam em uma reta inteira.

Quando dois planos são concorrentes, surge o ângulo diedro, o ângulo entre os dois planos. Para medi-lo, tomamos um ponto da reta de interseção e, em cada plano, traçamos a reta perpendicular à interseção passando por esse ponto; o ângulo entre essas duas retas é o diedro. Pense na abertura de um livro: a lombada é a reta de interseção, as páginas são os planos, e o quanto o livro está aberto é o diedro. Um livro fechado tem diedro de \(0^\circ\); aberto em L, \(90^\circ\); totalmente aberto, \(180^\circ\). As duas águas de um telhado formam outro diedro famoso, e a cumeeira é a reta de interseção.

Paralelismo e perpendicularismo: as regras que amarram tudo

Paralelismo e perpendicularismo obedecem a regras de transitividade que facilitam muito a vida. Se duas retas são paralelas a uma mesma terceira reta, são paralelas entre si. Se dois planos são paralelos a um mesmo terceiro plano, são paralelos entre si. Se uma reta é perpendicular a um plano, ela é perpendicular a todas as retas desse plano que passam pelo ponto em que ela fura o plano. E, se duas retas são perpendiculares a um mesmo plano, elas são paralelas entre si: dois postes bem aprumados no mesmo chão são paralelos, mesmo longe um do outro.

O teorema das três perpendiculares resolve questões de distância que parecem difíceis. Ele diz: se uma reta é perpendicular a um plano em um ponto, e, a partir desse ponto, traçamos uma perpendicular a uma reta do plano, então a reta que liga o ponto de fora do plano ao pé dessa perpendicular também é perpendicular à reta do plano. Em linguagem simples, quando você projeta um ponto sobre um plano e mede a distância até uma reta desse plano, o caminho forma um ângulo reto que permite usar o teorema de Pitágoras. Se a questão pedir uma distância no espaço e você não souber por onde começar, procure o triângulo retângulo escondido: quase sempre ele está lá, formado por uma perpendicular, uma projeção e a distância pedida. E lembre-se: “concorrente” é o termo geral; “perpendicular” é o caso especial de \(90^\circ\).

Projeção ortogonal: a sombra que desce em linha reta

A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é o pé da perpendicular traçada do ponto até o plano, isto é, o ponto do plano que fica exatamente “embaixo” dele, na direção perpendicular. A projeção de uma figura é o conjunto das projeções de todos os seus pontos. “Ortogonal” significa “em ângulo reto”: a projeção desce perpendicularmente, sem inclinar para nenhum lado. A imagem mais fiel é a sombra de um objeto ao meio-dia, com o sol exatamente a pino. Quando o sol está inclinado, a sombra se alonga e a projeção deixa de ser ortogonal, passando a ser oblíqua.

Os casos principais são os que mais caem. A projeção de um ponto que já está no plano é o próprio ponto. A projeção de um segmento paralelo ao plano é um segmento de mesmo comprimento. A projeção de um segmento perpendicular ao plano é um único ponto. A projeção de um segmento inclinado é um segmento menor que o original. A projeção de uma figura plana paralela ao plano é uma figura congruente, de mesma forma e tamanho. A projeção de uma figura plana perpendicular ao plano é um segmento. E a projeção de uma figura inclinada é uma figura “achatada” em uma direção, com área menor que a original. A projeção de uma reta sobre um plano pode ser um ponto, se a reta for perpendicular ao plano, ou outra reta, nos demais casos.

As fórmulas usam o ângulo entre o objeto e o plano. Se um segmento de comprimento \(L\) forma um ângulo \(\theta\) com o plano, sua projeção ortogonal mede \[L’ = L \cdot \cos\theta.\] Se uma região de área \(A\) forma um ângulo \(\theta\) com o plano, a área projetada é \[A’ = A \cdot \cos\theta.\] Dois exemplos exatos: um segmento de \(10\text{ cm}\) inclinado de \(60^\circ\) projeta \(10 \cdot \cos 60^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\text{ cm}\); uma placa quadrada de lado \(4\text{ cm}\), área \(16\text{ cm}^2\), inclinada de \(60^\circ\), projeta \(16 \cdot \cos 60^\circ = 8\text{ cm}^2\). Se o ângulo for \(0^\circ\), a figura é paralela e a projeção tem o mesmo tamanho; se for \(90^\circ\), a figura é perpendicular e a projeção “perde” uma dimensão. O ângulo entre uma reta e um plano, por definição, é o ângulo entre a reta e a sua projeção ortogonal sobre o plano, e nunca deve ser medido com outra reta qualquer do plano.

Ângulos e distâncias no espaço: onde entram as contas

Depois de classificar as posições, a prova costuma pedir um número: um ângulo ou uma distância. O ângulo entre duas retas concorrentes é o menor ângulo entre elas, sempre de \(0^\circ\) a \(90^\circ\). O ângulo entre duas retas reversas é o ângulo entre uma delas e uma reta paralela à outra traçada por um ponto da primeira: “trazemos” as retas para o mesmo plano, por paralelismo, e medimos lá. O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo entre a reta e a sua projeção, também de \(0^\circ\) a \(90^\circ\). E o ângulo entre dois planos é o diedro, que pode ir até \(180^\circ\). Se o cálculo der mais de \(90^\circ\), tome o suplemento: a resposta é o ângulo agudo.

As distâncias seguem uma lógica única: distância é sempre o menor caminho, e o menor caminho é sempre perpendicular. A distância de um ponto a um plano é o comprimento do segmento perpendicular do ponto ao plano, ou seja, até a sua projeção ortogonal. A distância de um ponto a uma reta é o segmento perpendicular do ponto à reta. A distância entre dois planos paralelos é medida perpendicularmente, de um ponto qualquer de um deles até o outro plano. E a distância entre duas retas reversas é o comprimento do segmento perpendicular comum às duas, que é único. Em todos os casos, monte o triângulo retângulo que contém o segmento perpendicular e use Pitágoras ou trigonometria.

Um exemplo completo, em um cubo de aresta \(a = 6\text{ cm}\): a diagonal de uma face mede \(a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\text{ cm}\), pois é a hipotenusa de catetos \(6\text{ cm}\) e \(6\text{ cm}\), \(\sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\text{ cm}\). A diagonal do cubo mede \(a\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\text{ cm}\), pois é a hipotenusa de catetos \(6\text{ cm}\) e \(6\sqrt{2}\text{ cm}\), \(\sqrt{36 + 72} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\text{ cm}\). O ângulo entre a diagonal do cubo e o plano da base satisfaz \(\operatorname{sen}\theta = \frac{6}{6\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\), logo \(\theta \approx 35,26^\circ\). A distância de um vértice do topo ao plano da base é a própria aresta vertical, \(6\text{ cm}\), assim como a distância entre duas faces opostas. Um único sólido rende, portanto, várias perguntas: diagonal da face, diagonal do cubo, ângulo com a base e distância entre planos. Vale revisar também as relações trigonométricas no triângulo retângulo e as relações métricas no triângulo retângulo sempre que a figura projetada gerar um triângulo retângulo.

Como a geometria de posição cai na prova

No ENEM e nos vestibulares, a geometria de posição raramente aparece sozinha, como pergunta teórica. Ela vem embutida em um problema de sólido, sombra, telhado, rampa ou vista ortográfica: a questão mostra um cubo, um paralelepípedo ou uma casa e pergunta a posição relativa de duas arestas, a sombra projetada, a distância entre dois pontos ou o ângulo entre uma diagonal e a base. O texto costuma ser curto, e a figura carrega a maior parte da informação. Por isso, a habilidade mais cobrada não é decorar definições, mas ler a figura: identificar faces, arestas, vértices e direções perpendiculares. Quem treina essa leitura acerta questões que parecem difíceis, porque a conta final é quase sempre um Pitágoras, um cosseno ou uma multiplicação simples.

Um método em quatro passos funciona bem. Primeiro, nomeie o sólido e os pontos importantes, escrevendo as letras dos vértices na figura. Segundo, classifique o pedido antes de calcular: é posição relativa, projeção, ângulo ou distância? Terceiro, procure o triângulo retângulo ou o plano que resolve o problema: a perpendicular, a projeção e o objeto original quase sempre formam um triângulo retângulo. Quarto, só então faça a conta, lembrando que o ângulo entre reta e plano e entre retas é sempre o agudo. Cada vista pedida é uma projeção ortogonal: a de cima, sobre o plano horizontal; as frontal e lateral, sobre planos verticais. Erros que custam pontos: chamar de paralelas duas retas reversas; medir o ângulo com o plano usando uma reta qualquer, em vez da projeção; confundir diagonal da face com diagonal do cubo; e esquecer que a projeção de um segmento perpendicular ao plano é um ponto.

Mapa mental

• Geometria de posição: ponto, reta e plano; postulados (dois pontos definem uma reta; três pontos não colineares definem um plano).
• Retas x retas: paralelas (coplanares, nenhum ponto em comum) | concorrentes (coplanares, um ponto em comum) | reversas (não coplanares, nenhum ponto em comum) | coincidentes (a mesma reta).
• Reta x plano: contida (infinitos pontos) | paralela (nenhum ponto) | concorrente/secante (um ponto) | perpendicular (caso especial, \(90^\circ\)).
• Planos x planos: paralelos (nenhum ponto) | coincidentes (o mesmo plano) | concorrentes/secantes (interseção é uma reta).
• Ângulo diedro: ângulo entre dois planos, medido com retas perpendiculares à interseção, uma em cada plano; livro aberto e telhado são os exemplos clássicos.
• Projeção ortogonal: desce perpendicularmente; segmento paralelo projeta igual; segmento perpendicular projeta um ponto; segmento inclinado: \(L’ = L \cdot \cos\theta\); área inclinada: \(A’ = A \cdot \cos\theta\).
• Ângulos no espaço: entre retas (usar paralelismo para reversas) | entre reta e plano (reta com sua projeção) | entre planos (diedro); ângulo entre retas e entre reta e plano é sempre agudo, de \(0^\circ\) a \(90^\circ\).
• Distâncias no espaço: sempre o menor caminho, sempre perpendicular; cubo de aresta \(a\): diagonal da face \(a\sqrt{2}\), diagonal do cubo \(a\sqrt{3}\).
• Método de prova: nomear vértices, classificar o pedido, achar o triângulo retângulo (perpendicular + projeção + objeto) e só então calcular.

SAQ — Perguntas curtas e respostas rápidas

1. O que são retas reversas? São retas sem ponto em comum e não coplanares, isto é, sem um plano que contenha as duas ao mesmo tempo. Por isso, não são paralelas, mesmo não se cruzando.

2. Duas retas que não se cruzam são sempre paralelas? Não. No espaço, elas podem ser reversas. Só são paralelas se forem coplanares e não tiverem ponto em comum.

3. Qual é a interseção de dois planos concorrentes? Uma reta, a reta de interseção. Dois planos distintos nunca se cruzam em um único ponto.

4. Como sei se uma reta é perpendicular a um plano? Ela deve ser perpendicular a duas retas concorrentes desse plano que passam pelo ponto de interseção. Ser perpendicular a uma única reta do plano não basta.

5. O que é a projeção ortogonal de um ponto sobre um plano? É o pé da perpendicular traçada do ponto até o plano, ou seja, o ponto do plano que fica exatamente “embaixo” dele, na direção perpendicular.

6. Um segmento de \(8\text{ cm}\), inclinado de \(60^\circ\) em relação ao plano, projeta quanto sobre o plano? \(8 \cdot \cos 60^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\text{ cm}\).

7. Qual é a diagonal de um cubo de aresta \(5\text{ cm}\)? \(D = 5\sqrt{3}\text{ cm}\), aproximadamente \(8,66\text{ cm}\). A diagonal da face seria \(5\sqrt{2}\text{ cm}\).

8. O que é o ângulo diedro? É o ângulo entre dois planos concorrentes, medido entre duas retas perpendiculares à reta de interseção, uma traçada em cada plano. Os exemplos clássicos são a abertura de um livro e as duas águas de um telhado.

Questões comentadas

Questão 1. Em um cubo de aresta \(4\text{ cm}\), considere duas arestas: uma da base e outra da face lateral oposta, sem vértice em comum com a primeira e sem estar na mesma face que ela. A posição relativa entre as retas que contêm essas duas arestas é: a) paralelas; b) concorrentes; c) reversas; d) coincidentes; e) perpendiculares.

Resolução: As retas não têm ponto em comum e não existe um plano que contenha as duas, pois estão em faces diferentes e sem vértice comum. Logo, são retas reversas. Não são paralelas justamente porque não são coplanares. Resposta: c.

Questão 2. Uma haste de \(12\text{ cm}\) está inclinada de \(30^\circ\) em relação ao plano do chão. O comprimento da projeção ortogonal da haste sobre o chão é: a) \(6\text{ cm}\); b) \(6\sqrt{3}\text{ cm}\); c) \(12\text{ cm}\); d) \(4\sqrt{3}\text{ cm}\); e) \(10\text{ cm}\).

Resolução: A projeção de um segmento inclinado é \(L’ = L \cdot \cos\theta\). Aqui, \(L = 12\text{ cm}\) e \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Logo, \(L’ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\text{ cm}\), aproximadamente \(10,39\text{ cm}\). Resposta: b.

Questão 3. Uma placa retangular de área \(40\text{ cm}^2\) forma um ângulo de \(45^\circ\) com o plano horizontal. A área da projeção ortogonal da placa sobre o plano horizontal é: a) \(40\text{ cm}^2\); b) \(20\sqrt{2}\text{ cm}^2\); c) \(20\text{ cm}^2\); d) \(40\sqrt{2}\text{ cm}^2\); e) \(10\sqrt{2}\text{ cm}^2\).

Resolução: Para áreas, vale \(A’ = A \cdot \cos\theta\). Como \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), temos \(A’ = 40 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20\sqrt{2}\text{ cm}^2\), aproximadamente \(28,28\text{ cm}^2\). Resposta: b.

Questão 4. Em um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões \(3\text{ cm}\), \(4\text{ cm}\) e \(12\text{ cm}\), a diagonal do sólido mede: a) \(13\text{ cm}\); b) \(12\text{ cm}\); c) \(15\text{ cm}\); d) \(5\text{ cm}\); e) \(17\text{ cm}\).

Resolução: A diagonal \(D\) satisfaz \(D^2 = a^2 + b^2 + c^2\). Aqui, \(D^2 = 3^2 + 4^2 + 12^2 = 9 + 16 + 144 = 169\), logo \(D = 13\text{ cm}\). Repare nos ternos pitagóricos: \(3\), \(4\) e \(5\) na base, e \(5\), \(12\) e \(13\) no triângulo da diagonal. Resposta: a.

Questão 5. Um telhado tem duas águas planas que se encontram na cumeeira. Cada água forma \(30^\circ\) com o plano horizontal. O ângulo diedro entre as duas águas, medido por dentro da casa, é: a) \(30^\circ\); b) \(60^\circ\); c) \(90^\circ\); d) \(120^\circ\); e) \(150^\circ\).

Resolução: Desenhe a seção transversal do telhado: um triângulo isósceles com ângulos da base de \(30^\circ\) cada. O ângulo do vértice, na cumeeira, é \(180^\circ – 30^\circ – 30^\circ = 120^\circ\), e esse é o diedro entre as águas. Resposta: d.

Dica do professor

Treine com um único cubo até ele ficar automático: dê nome a todos os vértices e, para cada par de arestas que você apontar, diga em voz alta se são paralelas, concorrentes ou reversas. Depois, faça o mesmo com reta e plano e com plano e plano. Na prova, a leitura do cubo precisa estar no reflexo, pois não haverá tempo de deduzir tudo do zero. E, sempre que uma questão pedir distância ou ângulo no espaço, procure o triângulo retângulo formado pela perpendicular, pela projeção e pelo objeto: ele é o caminho mais curto entre o enunciado e a resposta.

Atenção / cuidado

Cuidado com três armadilhas. Primeira: nem toda reta que não cruza outra é paralela a ela; no espaço, pode ser reversa. Segunda: o ângulo entre uma reta e um plano é medido com a projeção da reta, e não com qualquer reta do plano. Terceira: não confunda diagonal da face, \(a\sqrt{2}\), com diagonal do cubo, \(a\sqrt{3}\), nem a projeção, que usa cosseno, com a altura, que usa seno: em um segmento inclinado de ângulo \(\theta\) com o plano, a projeção sobre o plano é \(L\cos\theta\) e a altura em relação ao plano é \(L\operatorname{sen}\theta\). Trocar seno por cosseno é um erro bobo que custa a questão inteira.

Conexão com outras áreas

A geometria de posição conecta a matemática com o mundo construído. Na arquitetura e na engenharia, paredes, vigas, telhados e rampas são retas e planos, e o diedro do telhado e a perpendicularidade das paredes decidem se uma construção fica em pé. No desenho técnico, as vistas de um objeto, de cima, de frente e de lado, são projeções ortogonais sobre três planos perpendiculares entre si, e é assim que uma peça é representada para ser fabricada. Na computação gráfica, a imagem na tela é uma projeção de um mundo tridimensional sobre o plano da tela. Na física, a sombra de um objeto ao meio-dia usa a mesma ideia de projetar sobre um plano.

Incidência

Incidência: ♨️ Morno. A geometria de posição aparece com frequência moderada no ENEM e nos vestibulares, quase sempre dentro de questões de geometria espacial, e não como um capítulo isolado. Ela é pré-requisito para prismas, pirâmides e cilindros, e costuma valer pontos em questões de cubo, paralelepípedo, telhado, sombra e vistas ortográficas. Por ser um tema de leitura de figura e de poucas fórmulas, é um ótimo custo-benefício de revisão. Para continuar, revise a lista de matérias de Matemática da sala de estudo e avance para prismas, onde as posições relativas que você aprendeu aqui aparecem dentro de sólidos completos, com volume e área.