Pirâmides e Troncos de pirâmides: o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

Uma pirâmide é um sólido com uma única base, que é um polígono, e faces laterais triangulares que se encontram em um único ponto, o vértice, também chamado de ápice. O tronco de pirâmide é o que sobra quando a pirâmide é cortada por um plano paralelo à base e a parte de cima é retirada: ficam duas bases paralelas e faces laterais em forma de trapézio. É um tema ♨️ Morno no ENEM e nos vestibulares: não aparece em toda prova, mas quando aparece costuma ser decisivo, quase sempre em questões de volume, de área ou do triângulo retângulo escondido dentro da pirâmide regular. Esta matéria, pensada para a sala de estudo, organiza tudo o que você precisa: definição, elementos, classificação, a pirâmide regular, as fórmulas de área e volume da pirâmide e do tronco, e exemplos com contas conferidas passo a passo.

As fórmulas centrais cabem em poucas linhas, e vale decorá-las antes de qualquer outra coisa. O volume da pirâmide é \( V = \frac{1}{3} \cdot A_b \cdot h \), em que \( A_b \) é a área da base e \( h \) é a altura. A área total é \( A_t = A_b + A_l \), em que \( A_l \) é a soma das áreas das faces triangulares. O volume do tronco é \( V = \frac{h}{3} \cdot (A_B + \sqrt{A_B \cdot A_b} + A_b) \), em que \( A_B \) é a área da base maior, \( A_b \) a da base menor e \( h \) a altura do tronco. E o trio da pirâmide regular: a altura \( h \), o apótema da base \( m \) e o apótema da pirâmide \( a_p \) formam um triângulo retângulo, logo \( a_p^2 = h^2 + m^2 \). Quase toda questão de pirâmide regular é, no fundo, um teorema de Pitágoras disfarçado.

O que é uma pirâmide: definição e elementos

Imagine as pirâmides do Egito, a ponta de um lápis bem apontado ou o telhado de uma torre de quatro lados. Todos têm a mesma estrutura: embaixo, um polígono que serve de chão, e, dos lados, triângulos que sobem e se encontram em um único ponto no alto. Em Matemática, é isso que define uma pirâmide: um sólido com uma base poligonal e faces laterais triangulares que têm um vértice em comum, o vértice da pirâmide, também chamado de ápice. A base pode ser um triângulo, um quadrado, um pentágono ou um hexágono, e é o polígono da base que dá nome à pirâmide: pirâmide triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal, e assim por diante.

Os elementos da pirâmide merecem nomes precisos, porque a prova usa esses nomes nos enunciados. A base é o polígono de baixo. O vértice, ou ápice, é o ponto de cima, onde todas as faces laterais se encontram. As faces laterais são os triângulos dos lados. As arestas da base são os lados do polígono da base. As arestas laterais são os segmentos que ligam o vértice a cada vértice da base. A altura, indicada por \( h \), é a distância do vértice até o plano da base, medida perpendicularmente. Note a diferença: a altura não é a altura do triângulo da face lateral, nem o comprimento da aresta lateral. Confundir esses três segmentos é o erro mais comum do tema.

Para fixar os elementos, tome a pirâmide de base quadrada como modelo, a mais cobrada de todas. Ela tem 1 base quadrada e 4 faces laterais triangulares, portanto 5 faces; 4 arestas na base e 4 laterais, portanto 8 arestas; 4 vértices na base e 1 no topo, portanto 5 vértices. Confira com a relação de Euler, que vale para os poliedros convexos: \( V – A + F = 2 \), ou seja, \( 5 – 8 + 5 = 2 \). Confere. A regra geral: em uma pirâmide cuja base tem \( n \) lados, há \( n + 1 \) vértices, \( 2n \) arestas e \( n + 1 \) faces. Para a pirâmide hexagonal, \( n = 6 \), são 7 vértices, 12 arestas e 7 faces. Para a pirâmide triangular, \( n = 3 \), são 4 vértices, 6 arestas e 4 faces: é o tetraedro. Para revisar a contagem em todos os poliedros, vale a matéria de Poliedros: o que cai no ENEM e nos vestibulares.

Outra distinção importante é entre pirâmide reta e pirâmide oblíqua. Uma pirâmide é reta quando a projeção do vértice sobre o plano da base cai exatamente no centro da base, de modo que todas as arestas laterais têm o mesmo comprimento. Ela é oblíqua quando o vértice fica deslocado para o lado e as arestas laterais têm comprimentos diferentes. Na prática, quase todas as questões tratam de pirâmides retas, e a pirâmide regular, da próxima seção, é um caso especial de pirâmide reta. Se o enunciado disser que o vértice está deslocado, as fórmulas da pirâmide regular não valem mais.

Classificação: o nome vem da base

Classificar uma pirâmide é simples: o nome vem do polígono da base. Base triangular, pirâmide triangular; base quadrada, pirâmide quadrangular; base pentagonal, pirâmide pentagonal; base hexagonal, pirâmide hexagonal. Dentro dessa classificação, há a pirâmide regular, a estrela do tema: uma pirâmide é regular quando ela é reta e a sua base é um polígono regular, com todos os lados e ângulos iguais. Na pirâmide regular, todas as faces laterais são triângulos isósceles iguais entre si, e todas as arestas laterais têm o mesmo comprimento. É por isso que ela permite tantas contas bonitas: a simetria garante que um único triângulo retângulo resolva o problema inteiro.

Vale conhecer os casos especiais que aparecem com nome próprio. O tetraedro regular é a pirâmide triangular regular em que todas as arestas têm o mesmo comprimento, de modo que as quatro faces são triângulos equiláteros iguais: é um dos cinco poliedros de Platão. A pirâmide de base quadrada regular é a das pirâmides do Egito e a mais frequente nas provas. Seja qual for a base, o roteiro é sempre o mesmo: identifique o polígono da base, calcule a área da base, identifique a altura e só então aplique a fórmula do volume.

Tabela 1: pirâmides pela base — contagem de elementos

A pirâmide regular e o triângulo retângulo escondido

Na pirâmide regular moram três segmentos que você precisa distinguir com clareza total. A altura \( h \) vai do vértice até o centro da base, em ângulo reto com a base. O apótema da base, \( m \), vai do centro da base até o ponto médio de um lado da base: é o apótema do polígono da base. O apótema da pirâmide, \( a_p \), vai do vértice até o ponto médio de um lado da base, subindo pela face lateral: é a altura do triângulo da face. Esses três segmentos formam um triângulo retângulo, com ângulo reto no centro da base, em que o apótema da pirâmide é a hipotenusa. Logo, pelo teorema de Pitágoras, \( a_p^2 = h^2 + m^2 \). Esse é o resultado mais cobrado do tema, e ele aparece mesmo quando o enunciado não menciona a palavra apótema: basta que a questão peça a área lateral ou total, porque a área de cada face depende do apótema da pirâmide.

Na pirâmide quadrangular regular, o apótema da base tem um valor imediato: como a base é um quadrado de lado \( l \), a distância do centro até o ponto médio de um lado é metade do lado, ou seja, \( m = \frac{l}{2} \). Na pirâmide hexagonal regular, a base é um hexágono de lado \( l \), e o apótema da base é \( m = \frac{l\sqrt{3}}{2} \), a altura de um dos seis triângulos equiláteros que formam o hexágono. Não decore esses valores de forma isolada: entenda de onde eles vêm, porque a questão pode dar a base de um jeito diferente e esperar que você deduza o apótema da base a partir do polígono.

Há ainda um segundo triângulo retângulo escondido na pirâmide regular, que permite achar a aresta lateral. A aresta lateral, \( a \), vai do vértice até um vértice da base e forma um triângulo retângulo com a altura \( h \) e com a distância do centro da base até um vértice da base. Na pirâmide quadrangular regular de lado \( l \), essa distância é metade da diagonal do quadrado, \( \frac{l\sqrt{2}}{2} \), logo \( a^2 = h^2 + \left(\frac{l\sqrt{2}}{2}\right)^2 \). E há um caminho de conferência: \( a^2 = a_p^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 \). Se os dois caminhos derem o mesmo valor, a conta está certa.

Um exemplo resolve todas essas ideias de uma vez, e é o exemplo de referência desta matéria, para decorar. Tome uma pirâmide quadrangular regular de lado da base \( l = 6 \) e altura \( h = 4 \). O apótema da base é \( m = \frac{6}{2} = 3 \). O apótema da pirâmide é \( a_p = \sqrt{h^2 + m^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \). Apareceu o famoso trio pitagórico 3, 4 e 5, o que não é coincidência: as provas adoram trios pitagóricos, como 3, 4 e 5 e 5, 12 e 13, porque dão respostas exatas sem raiz. A aresta lateral é \( a = \sqrt{a_p^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5,83 \), conferido pelo outro caminho: \( \sqrt{16 + 18} = \sqrt{34} \). Confere.

Área e volume da pirâmide: o fator um terço

O volume da pirâmide é \( V = \frac{1}{3} \cdot A_b \cdot h \). O fator um terço tem uma explicação intuitiva que ajuda a nunca mais esquecê-lo: cabem exatamente três pirâmides de mesma base e mesma altura dentro de um prisma de mesma base e mesma altura. Por isso, quem esquece o fator um terço erra por um fator de três, e as alternativas erradas costumam incluir exatamente o valor sem o fator um terço, como armadilha. Para comparar com o prisma, veja a matéria de Prismas: o que cai no ENEM e nos vestibulares. A área lateral da pirâmide regular é a soma das faces laterais, todas iguais: se a base tem \( n \) lados de medida \( l \) e o apótema da pirâmide é \( a_p \), cada face tem área \( \frac{l \cdot a_p}{2} \), logo \( A_l = n \cdot \frac{l \cdot a_p}{2} \). A área total é \( A_t = A_b + A_l \).

Voltemos ao exemplo de referência, a pirâmide quadrangular regular de lado 6 e altura 4, agora com volume e área completos. A área da base é \( A_b = 6^2 = 36 \). O volume é \( V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 12 \cdot 4 = 48 \). A área lateral: cada face tem área \( \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 \), pois o apótema da pirâmide é 5; são 4 faces, logo \( A_l = 4 \cdot 15 = 60 \). A área total é \( A_t = 36 + 60 = 96 \). Guarde esse quarteto, 36, 48, 60 e 96, como referência: base 36, volume 48, área lateral 60, área total 96, para a pirâmide de lado 6 e altura 4, com apótema 5 e aresta \( \sqrt{34} \approx 5,83 \).

Um segundo exemplo mostra o mesmo roteiro com outros números. Tome uma pirâmide quadrangular regular de lado 8 e altura 3. O apótema da base é \( m = \frac{8}{2} = 4 \). O apótema da pirâmide é \( a_p = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \), de novo o trio 3, 4 e 5. A área da base é \( A_b = 8^2 = 64 \). O volume é \( V = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 3 = 64 \). A área lateral é \( A_l = 4 \cdot \frac{8 \cdot 5}{2} = 80 \). A área total é \( A_t = 64 + 80 = 144 \). Repare que o volume ficou igual a 64, o mesmo número da área da base: isso aconteceu porque a altura 3 cancelou o denominador 3 da fórmula, e não é uma regra geral.

Tabela 2: fórmulas da pirâmide

O tronco de pirâmide: quando a ponta é cortada

O tronco de pirâmide surge de um corte. Tome uma pirâmide qualquer e corte-a com um plano paralelo à base: a parte de cima é uma pirâmide menor, semelhante à original, e a parte de baixo, entre o corte e a base, é o tronco. Por isso o tronco tem duas bases: a base maior, que é a base da pirâmide original, e a base menor, que é a seção feita pelo corte, paralela e semelhante à base maior. As faces laterais do tronco são trapézios, um para cada lado da base. Um tronco quadrangular tem 2 bases quadradas e 4 faces trapezoidais, portanto 6 faces; 8 vértices, 4 em cada base, e 12 arestas. Confira com Euler: \( 8 – 12 + 6 = 2 \). Confere.

Os elementos do tronco pedem atenção redobrada, porque agora há duas bases. A altura do tronco, \( h \), é a distância entre os planos das duas bases, medida perpendicularmente. O apótema do tronco, \( a_t \), é a altura do trapézio da face lateral. Assim como na pirâmide regular, o apótema do tronco forma um triângulo retângulo com a altura do tronco e com a diferença entre os apótemas das duas bases: \( a_t^2 = h^2 + (m_M – m_m)^2 \), em que \( m_M \) é o apótema da base maior e \( m_m \) o da base menor. A área lateral do tronco regular é a soma das áreas dos trapézios: cada trapézio de bases \( L \) e \( l \) e altura \( a_t \) tem área \( \frac{(L + l) \cdot a_t}{2} \), e a área lateral é \( n \) vezes esse valor. A área total é \( A_t = A_B + A_b + A_l \), com as duas bases mais a área lateral: esquecer a base menor é um erro clássico.

O volume do tronco é a diferença entre o volume da pirâmide original e o volume da pirâmide menor retirada: \( V_{\text{tronco}} = V_{\text{original}} – V_{\text{menor}} \). Desenvolvendo essa diferença com semelhança de sólidos, chega-se à fórmula do tronco: \( V = \frac{h}{3} \cdot (A_B + \sqrt{A_B \cdot A_b} + A_b) \). Repare na estrutura: três termos no parêntese, a área da base maior, a média geométrica das duas áreas, \( \sqrt{A_B \cdot A_b} \), e a área da base menor, tudo multiplicado por um terço da altura. Um jeito de conferir a fórmula é testar os extremos: se a base menor encolhe até zero, \( A_b = 0 \), a fórmula dá \( V = \frac{h}{3} \cdot A_B \), o volume da pirâmide completa; se as duas bases ficam iguais, a fórmula dá \( V = A_B \cdot h \), o volume do prisma. Se a sua conta não passar nesses testes, revise os termos do parêntese.

O exemplo de referência do tronco, para decorar junto com o da pirâmide, usa números que caem bem na fórmula. Tome um tronco quadrangular regular com base maior de lado 6, base menor de lado 3 e altura 6. As áreas das bases são \( A_B = 6^2 = 36 \) e \( A_b = 3^2 = 9 \). A média geométrica é \( \sqrt{36 \cdot 9} = \sqrt{324} = 18 \). O volume é \( V = \frac{6}{3} \cdot (36 + 18 + 9) = 2 \cdot 63 = 126 \). Confira pelo caminho da diferença de pirâmides. Como os lados estão na razão 2 para 1, as alturas também estão: se a pirâmide original tem altura \( H \), a menor tem \( \frac{H}{2} \), e a altura do tronco é \( H – \frac{H}{2} = \frac{H}{2} = 6 \), logo \( H = 12 \) e a menor tem altura 6. O volume da original é \( \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 12 = 144 \); o da menor, \( \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 6 = 18 \); a diferença é \( 144 – 18 = 126 \). Confere. Guarde esse trio: original 144, menor 18, tronco 126.

Para completar o exemplo, calculemos a área do tronco, passo a passo. Os apótemas das bases são \( m_M = \frac{6}{2} = 3 \) e \( m_m = \frac{3}{2} = 1,5 \); a diferença é 1,5. O apótema do tronco é \( a_t = \sqrt{6^2 + 1,5^2} = \sqrt{36 + 2,25} = \sqrt{38,25} \approx 6,18 \). Cada face lateral é um trapézio de bases 6 e 3 e altura aproximada 6,18, logo sua área é \( \frac{(6 + 3) \cdot 6,18}{2} \approx 27,83 \). São 4 faces, logo a área lateral é \( A_l \approx 111,32 \) e a área total é \( A_t = 36 + 9 + 111,32 \approx 156,32 \). Detalhe elegante, que serve de conferência: o apótema do tronco, 6,18, coincide com o apótema da pirâmide menor, porque o trapézio da face lateral do tronco é a parte que sobra do triângulo da face original depois de retirar o triângulo menor do topo.

Tabela 3: pirâmide, tronco e prisma — comparação direta

Como o tema cai no ENEM e nos vestibulares

No ENEM, pirâmides e troncos aparecem quase sempre dentro de uma situação concreta: um reservatório, um monumento, uma embalagem, um telhado ou um vaso. A primeira tarefa é traduzir a situação para o sólido certo: se o objeto afunila até um ponto, é pirâmide; se afunila mas termina em uma tampa plana, é tronco; se não afunila, é prisma. Depois, o roteiro é fixo: calcule a área da base, identifique a altura, verifique se é preciso achar o apótema antes da área lateral, aplique a fórmula e confira as unidades. Muitas questões pedem volume em litros, o que exige converter decímetros cúbicos para litros, ou pedem quantidade de material, o que exige multiplicar volume ou área por um preço ou rendimento. Leia o final do enunciado antes de começar a conta, para saber se a resposta pedida é volume, área, altura ou comprimento.

Nos vestibulares mais tradicionais, há mais questões puramente geométricas: o enunciado dá a pirâmide regular e pede o apótema, a aresta lateral, a área ou o volume, sem história de contexto. Nessas questões, o triângulo retângulo da pirâmide regular é o centro de tudo, e quem domina \( a_p^2 = h^2 + m^2 \) resolve metade da geometria espacial. Outra cobrança frequente é a semelhança: ao cortar uma pirâmide por um plano paralelo à base, as medidas lineares ficam em proporção, as áreas na proporção ao quadrado e os volumes na proporção ao cubo. Se o corte é feito na metade da altura, a pirâmide menor tem metade das medidas lineares, um quarto da área da base e um oitavo do volume da original, e o tronco fica com sete oitavos do volume original. Esse raciocínio resolve questões de tronco sem a fórmula completa e serve como conferência quando a fórmula é usada.

A planificação também aparece. A planificação da pirâmide quadrangular regular é um quadrado central com quatro triângulos grudados, um em cada lado do quadrado. A do tronco quadrangular é um quadrado maior, um quadrado menor e quatro trapézios. Quando a questão dá a planificação em vez do sólido pronto, some as áreas das figuras planas para achar a área total e conte as faces para identificar o sólido. Treine desenhando a planificação da pirâmide de base 6 e altura 4: um quadrado de lado 6 e quatro triângulos de base 6 e altura 5, que é o apótema da pirâmide, totalizando a área 96 já calculada.

Por fim, um roteiro de resolução em cinco passos, para qualquer questão do tema. Primeiro, identifique o sólido: pirâmide, tronco ou prisma, e o polígono da base. Segundo, liste os dados e o que a questão pede. Terceiro, calcule a área da base. Quarto, se a questão pedir área lateral ou total de pirâmide regular ou de tronco, ache o apótema pelo triângulo retângulo antes de qualquer área. Quinto, aplique a fórmula, confira as unidades e teste o resultado: o volume da pirâmide deve ser menor que o do prisma de mesma base e altura, e o volume do tronco deve ficar entre o volume da pirâmide original e o do prisma de base maior. Se o resultado violar essas desigualdades, a conta está errada.

Mapa mental

• Pirâmide: definição e elementos
  • Uma base poligonal e faces laterais triangulares que se encontram no vértice (ápice)
  • Elementos: base, vértice, faces laterais, arestas da base, arestas laterais e altura \( h \)
  • Nome vem da base: triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal
  • Base com \( n \) lados: \( n + 1 \) vértices, \( 2n \) arestas, \( n + 1 \) faces; Euler: \( V – A + F = 2 \)
• Pirâmide regular: o triângulo retângulo escondido
  • Reta e base regular: faces laterais são triângulos isósceles iguais
  • Altura \( h \), apótema da base \( m \) e apótema da pirâmide \( a_p \): \( a_p^2 = h^2 + m^2 \)
  • Base quadrada de lado \( l \): \( m = \frac{l}{2} \)
  • Aresta lateral: \( a^2 = a_p^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 \)
• Área e volume da pirâmide
  • Volume: \( V = \frac{1}{3} \cdot A_b \cdot h \) — a terça parte do prisma correspondente
  • Área lateral (regular): \( A_l = n \cdot \frac{l \cdot a_p}{2} \); área total: \( A_t = A_b + A_l \)
  • Exemplo de referência: base 6, altura 4, apótema 5, volume 48, área lateral 60, área total 96, aresta \( \sqrt{34} \approx 5,83 \)
• Tronco de pirâmide
  • Corte por plano paralelo à base: duas bases paralelas e semelhantes, faces laterais trapezoidais
  • Altura \( h \) do tronco e apótema do tronco: \( a_t^2 = h^2 + (m_M – m_m)^2 \)
  • Volume: \( V = \frac{h}{3} \cdot (A_B + \sqrt{A_B \cdot A_b} + A_b) \)
  • Exemplo de referência: bases 36 e 9, altura 6, volume 126, área lateral \( \approx 111,32 \), área total \( \approx 156,32 \)
  • Conferência: pirâmide original 144 menos pirâmide menor 18 = tronco 126
• Como cai na prova
  • ENEM: situações concretas, volume em litros, quantidade de material
  • Vestibulares: pirâmide regular, apótema, aresta, semelhança e razão entre volumes
  • Planificação: pirâmide quadrangular vira quadrado mais 4 triângulos; tronco vira 2 quadrados mais 4 trapézios

SAQ — Perguntas e respostas curtas

1. O que é uma pirâmide?
Um sólido com uma base poligonal e faces laterais triangulares que se encontram em um único ponto, o vértice ou ápice.

2. O que é um tronco de pirâmide?
A parte de baixo de uma pirâmide cortada por um plano paralelo à base, com duas bases paralelas e faces laterais trapezoidais.

3. Qual é a fórmula do volume da pirâmide?
\( V = \frac{1}{3} \cdot A_b \cdot h \), em que \( A_b \) é a área da base e \( h \) é a altura.

4. Qual é a relação entre altura, apótema da base e apótema da pirâmide regular?
\( a_p^2 = h^2 + m^2 \), um triângulo retângulo com ângulo reto no centro da base.

5. Qual é a fórmula do volume do tronco de pirâmide?
\( V = \frac{h}{3} \cdot (A_B + \sqrt{A_B \cdot A_b} + A_b) \), em que \( A_B \) é a área da base maior e \( A_b \) a da base menor.

6. Qual é o volume da pirâmide quadrangular regular de base 6 e altura 4?
\( V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48 \), com apótema 5, área lateral 60 e área total 96.

7. Qual é o volume do tronco de bases 36 e 9 e altura 6?
\( V = \frac{6}{3} \cdot (36 + 18 + 9) = 126 \), conferido por 144 menos 18.

8. Quantos vértices, arestas e faces tem a pirâmide hexagonal?
7 vértices, 12 arestas e 7 faces, e \( 7 – 12 + 7 = 2 \) pela relação de Euler.

Questões comentadas

As questões abaixo são inéditas, no estilo ENEM, criadas para esta matéria.

Questão 1. Uma pirâmide de base quadrada tem lado da base igual a 6 e altura igual a 4. O volume dessa pirâmide é:
a) 24.
b) 36.
c) 48.
d) 96.
e) 144.
Gabarito: C. A área da base é \( 6^2 = 36 \); o volume é \( V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48 \). Quem esquece o fator um terço marca 144, a alternativa errada.

Questão 2. Uma pirâmide quadrangular regular tem lado da base igual a 8 e altura igual a 3. O apótema dessa pirâmide é:
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 7.
e) 9.
Gabarito: C. O apótema da base é \( m = \frac{8}{2} = 4 \); o apótema da pirâmide é \( a_p = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \), o trio pitagórico 3, 4 e 5.

Questão 3. Um tronco de pirâmide quadrangular regular tem base maior de área 36, base menor de área 9 e altura 6. O volume desse tronco é:
a) 63.
b) 108.
c) 126.
d) 189.
e) 378.
Gabarito: C. A média geométrica das áreas é \( \sqrt{36 \cdot 9} = 18 \); o volume é \( V = \frac{6}{3} \cdot (36 + 18 + 9) = 2 \cdot 63 = 126 \).

Questão 4. Uma pirâmide hexagonal regular tem 7 vértices e 7 faces. O número de arestas dessa pirâmide é:
a) 6.
b) 7.
c) 12.
d) 14.
e) 21.
Gabarito: C. Pela relação de Euler, \( 7 – A + 7 = 2 \), logo \( A = 12 \). Também vale a regra geral: base com 6 lados dá \( 2 \cdot 6 = 12 \) arestas.

Questão 5. Um prisma e uma pirâmide têm a mesma base, de área 30, e a mesma altura, de 9. A diferença entre o volume do prisma e o volume da pirâmide é:
a) 30.
b) 90.
c) 180.
d) 270.
e) 360.
Gabarito: C. O volume do prisma é \( 30 \cdot 9 = 270 \); o volume da pirâmide é \( \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot 9 = 90 \); a diferença é \( 270 – 90 = 180 \). A pirâmide é a terça parte do prisma, então a diferença é o dobro do volume da pirâmide.

Dica do professor

Em pirâmides, comece sempre pelo desenho: marque a base, o vértice, a altura, o apótema da base e o apótema da pirâmide com cores diferentes, e só depois escolha a fórmula. Se a questão pedir área lateral ou total de pirâmide regular, ache o apótema pelo triângulo retângulo antes de qualquer área. Decore os dois exemplos de referência desta matéria, a pirâmide de base 6 e altura 4 e o tronco de bases 36 e 9 e altura 6, e use-os como teste: se o seu método não reproduz 48 e 126 nesses casos, revise o método antes de aplicá-lo aos números da prova. Pratique também com questões do ENEM e dos vestibulares. Mais apoio como esse está na sala de estudo.

Atenção / cuidado

• Não confunda a altura da pirâmide com o apótema da pirâmide nem com a aresta lateral: são três segmentos diferentes, ligados pelo teorema de Pitágoras, mas não iguais.
• Não esqueça o fator um terço no volume da pirâmide, nem o coloque no volume do prisma.
• Não esqueça a base menor na área total do tronco: são duas bases mais a área lateral.
• Não use a fórmula do tronco com os lados das bases no lugar das áreas: a fórmula pede \( A_B \) e \( A_b \), as áreas, e a média geométrica \( \sqrt{A_B \cdot A_b} \).
• Não aplique as fórmulas da pirâmide regular em pirâmides oblíquas: se o vértice está deslocado, as faces laterais não são iguais entre si.
• Não misture unidades: converta tudo para a mesma unidade antes de multiplicar, e lembre que volume sai em unidade cúbica e área em unidade quadrada, com \( 1 \, \text{dm}^3 = 1 \) litro.

Conexão com outras áreas

Geometria: pirâmides ligam a geometria plana, nos polígonos da base e nos triângulos das faces, à geometria espacial, no volume, na área e na planificação. História: as pirâmides do Egito, a arquitetura de templos e monumentos e a geometria das civilizações antigas. Física: centros de massa, equilíbrio de sólidos e estruturas que distribuem peso, como telhados piramidais. Química: geometria molecular piramidal, como a da amônia, e modelos cristalinos. Artes e arquitetura: pirâmides, coberturas, monumentos e embalagens com formato de tronco de pirâmide. Biologia: estruturas naturais que se aproximam da forma piramidal e o uso de modelos geométricos para descrever formas de organismos.

Incidência: ♨️ Morno — cai no ENEM e nos vestibulares, com menor frequência que os temas quentes. Matéria: Matemática | Tema: Pirâmides e Troncos de pirâmides.