Cones e Troncos de cones: o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

Um cone é o formato de uma casquinha de sorvete, de um chapéu de festa e de um funil. O tronco de cone é o que sobra quando cortamos a ponta de um cone com um plano paralelo à base: é o formato de um copo descartável, de um balde e de um vaso de planta. É um tema ♨️ Morno no ENEM e nos vestibulares: não aparece em todas as provas, mas quando aparece costuma ser decisivo, porque mistura geometria plana, Teorema de Pitágoras, comprimento de circunferência e volume em uma única questão. Esta matéria, pensada para a sala de estudo, organiza tudo: elementos, geratriz, área, volume, planificação em setor circular, tronco de cone e exemplos com contas conferidas passo a passo.

As fórmulas que você precisa dominar são poucas e se encadeiam. No cone reto de raio \( r \), altura \( h \) e geratriz \( g \), vale \( g^2 = r^2 + h^2 \); a área lateral é \( A_l = \pi \cdot r \cdot g \); a área da base é \( A_b = \pi \cdot r^2 \); a área total é \( A_t = \pi \cdot r \cdot (g + r) \); e o volume é \( V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \). Na planificação, a superfície lateral vira um setor circular de raio \( g \) e ângulo central \( \theta = 360° \cdot \frac{r}{g} \). No tronco de cone de raios \( R \) e \( r \), altura \( h \) e geratriz \( g \), o volume é \( V = \frac{\pi \cdot h}{3} \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2) \) e a área lateral é \( A_l = \pi \cdot (R + r) \cdot g \). Guarde o exemplo de referência desta matéria: o cone de \( r = 3 \), \( h = 4 \) e \( g = 5 \) tem volume \( 12\pi \) e área total \( 24\pi \); o tronco de \( R = 6 \), \( r = 3 \) e \( h = 4 \) tem geratriz \( 5 \), volume \( 84\pi \) e área lateral \( 45\pi \).

O que é um cone: definição e elementos

Em Matemática, o cone circular reto é um sólido de revolução: ele é gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um dos catetos. O cateto fixo vira a altura do cone; o outro cateto, ao girar, descreve a base, que é um círculo; e a hipotenusa, ao girar, descreve a superfície lateral. O vértice, também chamado de ápice, é o ponto onde todas as geratrizes se encontram. O eixo do cone liga o vértice ao centro da base e, no cone reto, é perpendicular à base, de modo que a altura cai exatamente no centro do círculo.

Os elementos do cone reto são: a base, um círculo de raio \( r \); o vértice; a altura \( h \), distância do vértice ao plano da base, medida perpendicularmente; e a geratriz \( g \), qualquer segmento que liga o vértice a um ponto da circunferência da base. Todas as geratrizes de um cone reto têm o mesmo comprimento, porque todas formam o mesmo triângulo retângulo com a altura e o raio. Basta conhecer dois dos três valores \( r \), \( h \) e \( g \) para descobrir o terceiro.

É importante distinguir o cone reto do cone oblíquo. No cone oblíquo, o vértice não está alinhado com o centro da base, a altura cai fora do centro e as geratrizes têm comprimentos diferentes. O ENEM e os vestibulares trabalham quase sempre com o cone reto, e é nele que esta matéria se concentra. Quando o enunciado disser apenas “cone”, sem qualificar, entenda que se trata do cone circular reto, salvo indicação em contrário. O mesmo vale para o tronco: salvo indicação em contrário, trata-se do tronco de cone reto, com bases paralelas e centradas no mesmo eixo.

Reconhecer o sólido no objeto é o primeiro passo da questão. A casquinha de sorvete é um cone; o chapéu de festa é um cone aberto; o funil é, aproximadamente, um cone; o megafone é um tronco de cone; o copo de festa, o balde e o vaso de planta são troncos de cone. Quando a questão descrever um objeto, desenhe o sólido correspondente, marque \( r \), \( h \) e \( g \), e só depois escolha a fórmula. Muitos erros começam antes de qualquer conta, na identificação errada do sólido ou na troca entre raio e geratriz.

A geratriz e o Teorema de Pitágoras: o triângulo escondido

Toda questão de cone começa, na prática, por um triângulo retângulo escondido dentro do sólido. Corte o cone por um plano que passa pelo eixo: a seção é um triângulo isósceles, formado por duas geratrizes e pelo diâmetro da base. Metade desse triângulo é um triângulo retângulo de catetos \( r \) e \( h \) e hipotenusa \( g \). Por isso vale, sempre, \( g^2 = r^2 + h^2 \). Essa é a relação mais usada do tema: se a prova der o raio e a altura, ache a geratriz; se der a geratriz e o raio, ache a altura; se der a geratriz e a altura, ache o raio.

Vamos conferir com o exemplo de referência, o famoso trio 3, 4 e 5, o triângulo retângulo mais cobrado em provas. Um cone de raio \( r = 3 \) e altura \( h = 4 \) tem geratriz \( g = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \). Reconhecer o trio de imediato economiza tempo: se você vir raio 3 e altura 4, a geratriz é 5. Outros trios úteis são 6, 8 e 10, que é o dobro de 3, 4 e 5; 5, 12 e 13; e 8, 15 e 17. Um cone de raio 6 e altura 8 tem geratriz 10, porque \( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 \).

Um erro clássico é confundir a geratriz com a altura. A geratriz é sempre maior que a altura e maior que o raio, porque é a hipotenusa: se a sua conta der uma geratriz menor que a altura, volte e confira. Outro erro é usar o diâmetro no lugar do raio: se o enunciado der o diâmetro da base, divida por dois antes de qualquer fórmula. E um terceiro erro é aplicar Pitágoras no tronco sem adaptar: no tronco, o triângulo retângulo tem catetos \( h \) e \( R – r \), não \( R \) nem \( r \) isoladamente, como veremos adiante.

Treine os dois sentidos da fórmula. Dado \( r = 5 \) e \( g = 13 \), a altura é \( h = \sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12 \). Dado \( h = 15 \) e \( g = 17 \), o raio é \( r = \sqrt{17^2 – 15^2} = \sqrt{289 – 225} = \sqrt{64} = 8 \). Se o resultado não for exato, deixe a resposta com raiz, por exemplo \( g = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \), em vez de arredondar antes da hora: arredondar no meio da conta propaga erro para a área e para o volume.

Tabela 1: trios pitagóricos úteis para cones

Área do cone: lateral, base e total

A superfície do cone tem duas partes: a base, um círculo, e a superfície lateral, a parte cônica. A área da base é \( A_b = \pi \cdot r^2 \). A área lateral é \( A_l = \pi \cdot r \cdot g \). Somando as duas, a área total é \( A_t = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot g = \pi \cdot r \cdot (r + g) \). Essa forma fatorada é ótima para conferir contas e ganhar tempo: basta somar raio e geratriz e multiplicar por \( \pi \cdot r \).

Vamos aplicar ao cone de referência, \( r = 3 \), \( h = 4 \), \( g = 5 \). A área da base é \( A_b = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \). A área lateral é \( A_l = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi \). A área total é \( A_t = 9\pi + 15\pi = 24\pi \), que também sai pela forma fatorada: \( \pi \cdot 3 \cdot (3 + 5) = 24\pi \). Em valores aproximados, usando \( \pi \approx 3,14 \), a área total é \( 24 \cdot 3,14 = 75,36 \). A área lateral, \( 15\pi \), é maior que a área da base, \( 9\pi \), o que faz sentido: a superfície cônica é mais extensa que o círculo da base.

Um segundo exemplo confirma o padrão. Um cone de raio \( r = 6 \) e altura \( h = 8 \) tem geratriz \( g = 10 \). A área da base é \( 36\pi \), a lateral é \( \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi \) e a total é \( 96\pi \), aproximadamente \( 301,44 \). Note que dobrar as medidas multiplica a área por quatro, porque área é uma grandeza de duas dimensões: um bom teste de coerência quando a questão compara dois cones.

Na prática, a prova raramente pede a área total de um cone fechado; o mais comum é pedir a área lateral, disfarçada de quantidade de material. Se o enunciado falar em “papel para encapar a lateral”, “lona para cobrir a lateral” ou “área da superfície lateral”, use apenas \( A_l = \pi \cdot r \cdot g \), sem somar a base. Se falar em “área total” ou “superfície completa”, some a base. Se o cone for aberto, como um chapéu de festa sem fundo, a área pedida também é só a lateral. Ler o enunciado até o fim, antes de somar qualquer coisa, evita o erro mais frequente do tema.

Quanto ao valor de \( \pi \), siga o enunciado: se ele disser para usar \( \pi = 3 \), use 3; se disser \( \pi = 3,14 \), use 3,14; se não disser nada, deixe a resposta em função de \( \pi \), como \( 24\pi \), que é a forma exata. O cone de referência, com \( \pi = 3 \), teria área total 72; com \( \pi = 3,14 \), teria 75,36. Nunca misture os dois no meio da mesma conta.

Volume do cone: um terço do cilindro

O volume do cone é \( V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \), ou seja, um terço do volume do cilindro de mesma base e mesma altura. São necessários três cones cheios de água para encher um cilindro de mesma base e altura. Por isso, toda vez que você calcular o volume de um cone, pode conferir o resultado multiplicando por três e comparando com o cilindro correspondente: se o cone der mais que o cilindro, a conta está errada.

Vamos conferir com o cone de referência, \( r = 3 \) e \( h = 4 \). O volume é \( V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9 \cdot 4 = \frac{36\pi}{3} = 12\pi \), aproximadamente \( 37,68 \). O cilindro de mesma base e altura teria volume \( 36\pi \), e de fato \( 3 \cdot 12\pi = 36\pi \). Para o cone de \( r = 6 \) e \( h = 8 \), o volume é \( V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi \), aproximadamente \( 301,44 \). Dobrar raio e altura multiplica o volume por oito, porque o volume é uma grandeza de três dimensões.

Um exemplo que não forma trio pitagórico mostra que o volume nem sempre precisa da geratriz. Um cone de raio \( r = 2 \) e altura \( h = 9 \) tem volume \( V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 4 \cdot 9 = 12\pi \). Se a questão pedisse também a área lateral, aí sim seria preciso achar a geratriz: \( g = \sqrt{2^2 + 9^2} = \sqrt{85} \), e a área lateral seria \( 2\pi\sqrt{85} \). Separar o que cada pergunta pede, volume ou área, evita contas desnecessárias.

As unidades também merecem atenção. Se raio e altura estão em centímetros, o volume sai em centímetros cúbicos; se estão em decímetros, sai em decímetros cúbicos, e cada decímetro cúbico equivale a um litro. Um cone de raio 3 dm e altura 4 dm tem volume \( 12\pi \, \text{dm}^3 \), aproximadamente 37,68 litros. E um raciocínio de proporção que cai muito: se o raio dobra e a altura fica igual, o volume quadruplica, porque o raio aparece ao quadrado; se a altura dobra e o raio fica igual, o volume apenas dobra; se os dois dobram, o volume multiplica por oito.

Planificação: a lateral vira um setor circular

Se você recortar a superfície lateral de um cone de papel e abri-la sobre a mesa, o que aparece não é um triângulo, e sim um setor circular: uma “fatia de pizza” cujo raio é a geratriz \( g \). Isso acontece porque todas as geratrizes têm o mesmo comprimento \( g \), então, ao abrir, todos os pontos da borda ficam à mesma distância do vértice. O arco desse setor, ao ser enrolado de novo, vira exatamente a circunferência da base, de comprimento \( 2\pi \cdot r \). Essa igualdade é a chave de toda a planificação.

O ângulo central do setor, em graus, é \( \theta = 360° \cdot \frac{r}{g} \). A dedução é direta: o arco de um setor de raio \( g \) e ângulo \( \theta \) é \( \frac{\theta}{360°} \cdot 2\pi \cdot g \); igualando à circunferência da base, \( 2\pi \cdot r \), chega-se a \( \theta = 360° \cdot \frac{r}{g} \). Como \( r \) é sempre menor que \( g \), o ângulo é sempre menor que 360 graus: a planificação nunca é um círculo completo. Quanto mais “pontudo” o cone, menor a fração \( \frac{r}{g} \) e menor o ângulo.

Vamos conferir com o cone de referência, \( r = 3 \) e \( g = 5 \). O ângulo do setor é \( \theta = 360° \cdot \frac{3}{5} = 216° \). O arco do setor é \( \frac{216°}{360°} \cdot 2\pi \cdot 5 = 6\pi \), exatamente a circunferência da base, \( 2\pi \cdot 3 = 6\pi \). A área do setor é \( 0,6 \cdot \pi \cdot 25 = 15\pi \), exatamente a área lateral do cone. Tudo se fecha: planificação, arco e área lateral são três faces da mesma conta.

O caminho inverso também cai muito. Um setor de raio 12 e ângulo 90 graus, enrolado, forma um cone de raio \( r = 12 \cdot \frac{90°}{360°} = 3 \), cuja altura é \( h = \sqrt{12^2 – 3^2} = \sqrt{135} = 3\sqrt{15} \). Um erro comum aqui é confundir o raio do setor com o raio da base: o raio do setor é a geratriz \( g \), sempre maior que \( r \). Outro erro é igualar o arco ao diâmetro: o arco se iguala a \( 2\pi \cdot r \), não a \( 2r \). E lembre que a planificação completa inclui também o círculo da base, separado do setor.

Tabela 2: planificação de cones de referência

Tronco de cone: o que sobra quando cortamos a ponta

O tronco de cone é o sólido que se obtém quando um cone é cortado por um plano paralelo à sua base e descartamos a pontinha. O que sobra tem duas bases circulares paralelas: a base maior, de raio \( R \), que era a base do cone original, e a base menor, de raio \( r \), que é a seção do corte. Entre elas fica a superfície lateral, como um copo sem fundo e sem tampa, ou melhor, como um balde. O tronco tem ainda uma altura \( h \), distância entre os planos das duas bases, e uma geratriz \( g \), segmento da lateral ligando um ponto da circunferência maior a um ponto da menor.

Há duas maneiras de pensar o tronco, e dominar as duas é o segredo do tema. A primeira é tratá-lo como um sólido próprio, com fórmulas próprias, que veremos a seguir. A segunda é pensá-lo como a diferença entre dois cones: o cone grande, original, menos o cone pequeno, da pontinha cortada. Essa segunda visão resolve questões em que a prova dá a altura total do cone original, ou usa semelhança de triângulos para achar um raio desconhecido. As duas visões dão o mesmo resultado.

A geratriz do tronco sai de um triângulo retângulo parecido com o do cone, mas com uma diferença crucial: o cateto horizontal não é \( R \) nem \( r \), e sim a diferença \( R – r \). Cortando o tronco por um plano que passa pelo eixo, obtém-se um trapézio isósceles, e ao traçar a altura a partir da borda da base menor forma-se um triângulo retângulo de catetos \( h \) e \( R – r \) e hipotenusa \( g \). Portanto, \( g^2 = h^2 + (R – r)^2 \). Para o tronco de referência, \( R = 6 \), \( r = 3 \) e \( h = 4 \), temos \( R – r = 3 \), logo \( g^2 = 4^2 + 3^2 = 25 \), e \( g = 5 \). Mais uma vez o trio 3, 4 e 5, agora disfarçado de diferença de raios.

A semelhança de triângulos liga o tronco aos dois cones. No cone original, de altura total \( H \) e raio \( R \), o cone pequeno cortado tem altura \( H – h \) e raio \( r \), e vale a proporção \( \frac{r}{R} = \frac{H – h}{H} \). No tronco de referência, \( R = 6 \) e \( r = 3 \), ou seja, o raio menor é metade do maior, então a altura do cone pequeno é metade da altura total: se o tronco tem altura 4, o cone pequeno tem altura 4 e o cone original tem altura 8. Confira pelo volume, adiante: o cone original, de raio 6 e altura 8, tem volume \( 96\pi \); o cone pequeno, de raio 3 e altura 4, tem volume \( 12\pi \); a diferença é \( 84\pi \), exatamente o volume do tronco.

Área e volume do tronco de cone

A superfície do tronco tem três partes: a base maior, de área \( \pi \cdot R^2 \); a base menor, de área \( \pi \cdot r^2 \); e a superfície lateral, cuja área é \( A_l = \pi \cdot (R + r) \cdot g \). Repare na elegância dessa fórmula: ela é como a do cone, \( \pi \cdot r \cdot g \), mas com a soma dos dois raios no lugar do raio único. A área total é \( A_t = \pi \cdot R^2 + \pi \cdot r^2 + \pi \cdot (R + r) \cdot g \). Se o tronco for um recipiente aberto em cima, como um balde, a base menor, que é o fundo, conta, mas a boca aberta não: a área de material é então a lateral mais a base menor. Se for aberto dos dois lados, como um megafone, conta só a lateral.

Vamos conferir com o tronco de referência, \( R = 6 \), \( r = 3 \), \( h = 4 \) e \( g = 5 \). A área lateral é \( A_l = \pi \cdot (6 + 3) \cdot 5 = 45\pi \), aproximadamente \( 141,30 \). A base maior tem área \( 36\pi \); a base menor, \( 9\pi \); a área total é \( 90\pi \), aproximadamente \( 282,60 \). Um balde com esse formato, aberto em cima e com fundo, precisaria de \( 45\pi + 9\pi = 54\pi \) de material, aproximadamente \( 169,56 \). A leitura do enunciado muda a resposta: lateral pura, lateral mais fundo, ou total, são três números diferentes, e só um deles é o pedido.

Um segundo exemplo ajuda a fixar. Um tronco de \( R = 5 \), \( r = 2 \) e \( h = 4 \) tem diferença de raios 3, logo geratriz \( g = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \). A área lateral é \( A_l = \pi \cdot (5 + 2) \cdot 5 = 35\pi \), aproximadamente \( 109,90 \). As bases têm áreas \( 25\pi \) e \( 4\pi \), e a área total é \( 64\pi \), aproximadamente \( 200,96 \).

O volume do tronco é \( V = \frac{\pi \cdot h}{3} \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2) \). Os três termos dentro do parêntese merecem atenção: \( R^2 \), \( r^2 \) e \( R \cdot r \), o produto dos dois, que é o termo que muita gente esquece. Sem o termo do meio, a fórmula fica errada, e o erro é grande. Para o tronco de referência: \( 36 + 18 + 9 = 63 \), e o volume é \( V = \frac{\pi \cdot 4}{3} \cdot 63 = 84\pi \), aproximadamente \( 263,76 \). A conferência pela diferença de cones fecha a conta: \( 96\pi – 12\pi = 84\pi \).

Confira também o segundo exemplo, \( R = 5 \), \( r = 2 \) e \( h = 4 \). Dentro do parêntese: \( 25 + 10 + 4 = 39 \). O volume é \( V = \frac{\pi \cdot 4}{3} \cdot 39 = 52\pi \), aproximadamente \( 163,28 \). Em litros, o tronco de referência, com medidas em decímetros, teria capacidade de \( 84\pi \, \text{dm}^3 \), aproximadamente 263,76 litros. Um copo com \( R = 4 \) cm, \( r = 3 \) cm e \( h = 10 \) cm teria volume \( V = \frac{\pi \cdot 10}{3} \cdot (16 + 12 + 9) = \frac{370\pi}{3} \), aproximadamente \( 387,33 \, \text{cm}^3 \), ou seja, cerca de 387 mililitros. Um cuidado final: não confunda a altura do tronco, \( h \), com a altura total do cone original, \( H \). A fórmula do tronco usa \( h \); se a questão der \( H \), subtraia a altura do cone pequeno antes de aplicar a fórmula, ou use diretamente a diferença de cones.

Tabela 3: cones e troncos de referência, com contas conferidas

Como o tema cai no ENEM e nos vestibulares

No ENEM, os cones aparecem, na maioria das vezes, dentro de situações do cotidiano: uma casquinha de sorvete que deve ser preenchida, um reservatório em forma de tronco de cone, um chapéu de festa feito de cartolina, um copo que transborda. O enunciado costuma dar as medidas em centímetros ou decímetros e pedir volume, capacidade em litros ou quantidade de material. A dificuldade não está na fórmula, que é direta, e sim na tradução do texto para o sólido: identificar quem é o raio maior, quem é o raio menor, qual é a altura do tronco e se a pergunta pede área lateral, área total ou volume.

Nos vestibulares mais tradicionais, além do contexto, aparecem questões puras: achar o ângulo da planificação, achar a geratriz a partir do setor circular, comparar volumes de cones semelhantes, ou calcular o volume do tronco pela diferença de cones. Também são comuns as questões que combinam cone com outro sólido: um cone sobre um cilindro, como uma torre com telhado cônico. Nesses casos, separe os sólidos, calcule cada volume ou área, e some ou subtraia no fim, sem misturar as fórmulas.

Um tipo de questão que merece treino específico é o da semelhança. Quando um cone é cortado por um plano paralelo à base, o cone pequeno é semelhante ao cone grande, e todas as medidas lineares seguem a mesma razão: se o raio cai pela metade, a altura e a geratriz também caem pela metade. Mas as áreas seguem o quadrado da razão, e os volumes, o cubo da razão. Se o raio cai pela metade, a área lateral cai para um quarto e o volume cai para um oitavo. Muitas questões pedem justamente essa razão, sem dar nenhum número absoluto.

Outra armadilha frequente é a unidade de capacidade: \( 1 \, \text{dm}^3 = 1 \) litro e \( 1.000 \, \text{cm}^3 = 1 \, \text{dm}^3 \). O copo do exemplo anterior, com volume aproximado de \( 387,33 \, \text{cm}^3 \), tem capacidade de aproximadamente 0,387 litro. Errar essa conversão é perder uma questão que já estava resolvida. Para revisar os sólidos vizinhos, que muitas vezes aparecem combinados com o cone, vale passar pelas matérias de Cilindros e de Esferas na sala de estudo.

Mapa mental

• Cone reto
  • Base circular de raio \( r \), vértice, altura \( h \) e geratriz \( g \)
  • Triângulo escondido: \( g^2 = r^2 + h^2 \); geratriz é a hipotenusa, sempre a maior medida
  • Exemplo de referência: \( r = 3 \), \( h = 4 \), \( g = 5 \)
• Área e volume do cone
  • Área da base \( \pi r^2 \); área lateral \( \pi r g \); área total \( \pi r (r + g) \)
  • Volume \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), um terço do cilindro de mesma base e altura
  • Cone 3, 4, 5: área total \( 24\pi \), volume \( 12\pi \)
• Planificação
  • Lateral aberta vira setor circular de raio \( g \)
  • Ângulo \( \theta = 360° \cdot \frac{r}{g} \); arco do setor igual à circunferência da base \( 2\pi r \)
  • Cone 3, 5: setor de 216°, arco \( 6\pi \), área lateral \( 15\pi \)
• Tronco de cone
  • Dois raios, \( R \) maior e \( r \) menor, altura \( h \), geratriz \( g^2 = h^2 + (R – r)^2 \)
  • Área lateral \( \pi (R + r) g \); volume \( V = \frac{\pi h}{3} (R^2 + Rr + r^2) \), sem esquecer o termo do meio
  • Tronco 6, 3, 4: geratriz 5, área lateral \( 45\pi \), volume \( 84\pi \); também é cone grande \( 96\pi \) menos cone pequeno \( 12\pi \)
• Prova
  • Identifique o sólido e as medidas antes de escolher a fórmula; diâmetro não é raio
  • Lateral, total ou volume: leia o que foi pedido; balde aberto não soma a boca
  • Semelhança: medidas lineares na razão, áreas no quadrado, volumes no cubo; \( 1 \, \text{dm}^3 = 1 \) litro

SAQ — Perguntas e respostas curtas

1. O que é um cone reto?
Um sólido de revolução com base circular, vértice alinhado com o centro da base e altura perpendicular à base.

2. Qual é a relação entre raio, altura e geratriz do cone?
\( g^2 = r^2 + h^2 \); a geratriz é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos \( r \) e \( h \).

3. Qual é a fórmula da área lateral do cone?
\( A_l = \pi \cdot r \cdot g \); a área total é \( A_t = \pi \cdot r \cdot (r + g) \).

4. Qual é a fórmula do volume do cone?
\( V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \), um terço do cilindro de mesma base e altura.

5. Como se calcula o ângulo da planificação do cone?
\( \theta = 360° \cdot \frac{r}{g} \); o setor tem raio \( g \) e arco igual a \( 2\pi \cdot r \).

6. O que é um tronco de cone?
O sólido que sobra quando um cone é cortado por um plano paralelo à base e a ponta é descartada; tem duas bases circulares, de raios \( R \) e \( r \).

7. Qual é a geratriz do tronco de cone?
\( g^2 = h^2 + (R – r)^2 \), usando a diferença dos raios, não os raios isolados.

8. Qual é a fórmula do volume do tronco de cone?
\( V = \frac{\pi \cdot h}{3} \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2) \), sem esquecer o termo \( R \cdot r \).

Questões comentadas

As questões abaixo são inéditas, no estilo ENEM, criadas para esta matéria.

Questão 1. Uma casquinha de sorvete tem formato de cone reto, com raio da base igual a 3 cm e altura igual a 4 cm. O volume da casquinha, em função de \( \pi \), é:
a) \( 9\pi \, \text{cm}^3 \).
b) \( 12\pi \, \text{cm}^3 \).
c) \( 15\pi \, \text{cm}^3 \).
d) \( 24\pi \, \text{cm}^3 \).
e) \( 36\pi \, \text{cm}^3 \).
Gabarito: B. \( V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = \frac{36\pi}{3} = 12\pi \, \text{cm}^3 \). Quem esquece o fator um terço marca \( 36\pi \), a alternativa errada.

Questão 2. Um chapéu de festa em forma de cone reto tem raio da base 3 cm e altura 4 cm. A quantidade de cartolina necessária para confeccionar apenas a lateral do chapéu, sem contar a base aberta, é:
a) \( 9\pi \, \text{cm}^2 \).
b) \( 12\pi \, \text{cm}^2 \).
c) \( 15\pi \, \text{cm}^2 \).
d) \( 24\pi \, \text{cm}^2 \).
e) \( 30\pi \, \text{cm}^2 \).
Gabarito: C. A geratriz é \( g = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \) cm, e a área lateral é \( A_l = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi \, \text{cm}^2 \). A área total, \( 24\pi \), seria a resposta se o chapéu tivesse fundo, o que não é o caso.

Questão 3. A superfície lateral de um cone reto, ao ser planificada, forma um setor circular de raio 5 cm e ângulo central 216°. O raio da base desse cone é:
a) 2 cm.
b) 3 cm.
c) 4 cm.
d) 5 cm.
e) 6 cm.
Gabarito: B. Pela planificação, \( 216° = 360° \cdot \frac{r}{5} \), logo \( r = 5 \cdot \frac{216}{360} = 3 \) cm. Conferência pelo arco: \( 0,6 \cdot 2\pi \cdot 5 = 6\pi = 2\pi \cdot 3 \).

Questão 4. Um balde tem formato de tronco de cone reto, com raio da boca igual a 6 dm, raio do fundo igual a 3 dm e altura igual a 4 dm. A capacidade do balde, em litros, é, aproximadamente, usando \( \pi = 3,14 \):
a) 141,30.
b) 169,56.
c) 263,76.
d) 282,60.
e) 301,44.
Gabarito: C. O volume é \( V = \frac{\pi \cdot 4}{3} \cdot (36 + 18 + 9) = 84\pi \, \text{dm}^3 \), e \( 84 \cdot 3,14 = 263,76 \) litros, pois \( 1 \, \text{dm}^3 = 1 \) litro. As alternativas 141,30 e 282,60 correspondem à área lateral e à área total, não ao volume.

Questão 5. Um reservatório em forma de tronco de cone tem raio maior 5 m, raio menor 2 m e altura 4 m. A geratriz desse tronco e a sua área lateral, em função de \( \pi \), são, respectivamente:
a) 3 m e \( 21\pi \, \text{m}^2 \).
b) 5 m e \( 35\pi \, \text{m}^2 \).
c) 5 m e \( 25\pi \, \text{m}^2 \).
d) 7 m e \( 35\pi \, \text{m}^2 \).
e) 7 m e \( 49\pi \, \text{m}^2 \).
Gabarito: B. A diferença de raios é \( 5 – 2 = 3 \), logo \( g = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \) m. A área lateral é \( A_l = \pi \cdot (5 + 2) \cdot 5 = 35\pi \, \text{m}^2 \). Quem usa o raio maior no lugar da diferença erra a geratriz, e quem soma só um raio erra a área.

Dica do professor

Em cones, desenhe sempre o triângulo retângulo escondido antes de qualquer fórmula: marque \( r \), \( h \) e \( g \) e confira se a geratriz é a maior das três medidas. Decore o trio 3, 4 e 5 e os seus múltiplos, porque ele aparece disfarçado em quase toda prova, no cone e no tronco. Depois, separe bem as perguntas: volume usa raio e altura, área lateral usa raio e geratriz, planificação usa raio e geratriz, e tronco usa a diferença de raios para a geratriz e o termo \( R \cdot r \) para o volume. Por fim, confira o resultado por um segundo caminho sempre que der: volume do tronco pela diferença de cones, área lateral pela área do setor, volume do cone por um terço do cilindro. Duas contas que batem valem mais que uma conta apressada. Mais apoio como esse está na sala de estudo, com as matérias de ENEM e de vestibulares.

Atenção / cuidado

• Não confunda geratriz com altura: a geratriz é a hipotenusa e é sempre maior que a altura e que o raio.
• Não use o diâmetro no lugar do raio: divida o diâmetro por dois antes de qualquer fórmula.
• Não esqueça o fator um terço no volume do cone, nem o termo \( R \cdot r \) no volume do tronco.
• Não use \( R \) ou \( r \) isolados na geratriz do tronco: o cateto do triângulo é a diferença \( R – r \).
• Não confunda o raio do setor da planificação com o raio da base: o raio do setor é a geratriz \( g \).
• Não some a base quando a pergunta pede só a lateral, nem deixe de somar quando pede a área total; em baldes e recipientes abertos, a boca não conta como material.
• Não misture unidades: converta tudo para a mesma unidade antes de multiplicar, e lembre que \( 1 \, \text{dm}^3 = 1 \) litro e \( 1.000 \, \text{cm}^3 = 1 \, \text{dm}^3 \).

Conexão com outras áreas

Geometria plana: o Teorema de Pitágoras, o comprimento da circunferência e a área do setor circular são as ferramentas que constroem todas as fórmulas do cone. Física: cones aparecem em alto-falantes, megafones e refletores, em que a forma cônica direciona o som e a luz; o volume do tronco modela reservatórios e funis. Química: funis de laboratório e a medida de volumes em recipientes tronco-cônicos. Engenharia e arquitetura: silos, telhados cônicos, torres e reservatórios de água usam cones e troncos de cone, e o cálculo de material e capacidade decide o projeto. Biologia e cotidiano: casquinhas de sorvete, copos, baldes, vasos de planta e vulcões, cuja forma aproximada é cônica, mostram que o cone é um dos sólidos mais presentes na vida fora da prova.

Incidência: ♨️ Morno — cai no ENEM e nos vestibulares, com menor frequência que os temas quentes. Matéria: Matemática | Tema: Cones e Troncos de cones.