Estudo da circunferência: o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

A circunferência é o conjunto de todos os pontos do plano que estão a uma mesma distância, chamada de raio, de um ponto fixo chamado centro. Se o centro é \(C(a, b)\) e o raio é \(r\), a equação reduzida é \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\). Desenvolvendo os quadrados, chegamos à equação geral \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\), em que o centro é \(\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)\) e o raio sai de \(r^2=\frac{D^2+E^2}{4}-F\). Para descobrir o centro e o raio a partir da equação geral, o caminho mais seguro é completar quadrados. A posição de um ponto em relação à circunferência depende da comparação entre a distância do ponto ao centro e o raio: menor que o raio, o ponto é interno; igual ao raio, pertence à circunferência; maior que o raio, é externo. A posição de uma reta segue a mesma lógica, comparando a distância do centro até a reta com o raio: se a distância for menor que o raio, a reta é secante e corta a circunferência em dois pontos; se for igual, é tangente e toca em um só ponto; se for maior, é externa e não toca a circunferência. Duas circunferências são comparadas pela distância entre os centros e pela soma e pela diferença dos raios. A reta tangente num ponto da circunferência é perpendicular ao raio que chega a esse ponto, e as equações paramétricas \(x=a+r\cos t\) e \(y=b+r\, \text{sen}\, t\) descrevem a circunferência ponto a ponto. Se você dominar esses cinco blocos — equação reduzida, equação geral, posição do ponto, posição da reta e tangente —, praticamente qualquer questão de circunferência do ENEM e dos vestibulares fica ao seu alcance.

O que é uma circunferência, de verdade

Antes de qualquer fórmula, vale fixar a ideia. Pegue um ponto fixo \(C\) e um barbante de comprimento \(r\). Todos os pontos que ficam exatamente na ponta do barbante, com o barbante esticado, formam a circunferência de centro \(C\) e raio \(r\). Note a diferença importante: a circunferência é só a “borda”, a linha; o círculo é a borda mais o interior. No ENEM e nos vestibulares, as questões de geometria analítica quase sempre tratam da circunferência, a linha, e usam a distância entre dois pontos como ferramenta principal. Por isso, este tema se apoia diretamente no estudo do ponto: se você sabe calcular a distância entre dois pontos, já tem metade do caminho andado.

A definição em linguagem matemática é: dados o centro \(C(a, b)\) e o raio \(r > 0\), a circunferência é o conjunto dos pontos \(P(x, y)\) tais que \(d(P, C) = r\). Essa definição é a origem de tudo o que vem a seguir. A equação reduzida nada mais é do que essa definição escrita com a fórmula da distância: \(\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} = r\). Elevando os dois lados ao quadrado, o radical some e aparece a forma que você vai usar em quase todas as questões.

Equação reduzida: a forma mais direta

A equação reduzida da circunferência de centro \(C(a, b)\) e raio \(r\) é:

\[ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \]

Repare no detalhe que mais causa erro em prova: o sinal dentro dos parênteses é o oposto do sinal da coordenada do centro. Se o centro é \((2, -3)\), a equação traz \((x-2)^2+(y+3)^2\), porque \(y – (-3) = y + 3\). Se o centro é \((-1, 4)\), a equação traz \((x+1)^2+(y-4)^2\). Leia a equação “ao contrário” para achar o centro: o número que aparece com sinal trocado é a coordenada do centro. E o número do lado direito é o quadrado do raio, não o raio. Se o lado direito é 25, o raio é 5; se é 9, o raio é 3; se é 2, o raio é \(\sqrt{2}\).

Exemplo 1 — escrever a equação. Circunferência de centro \(C(2, -3)\) e raio 5. Aplicando a fórmula: \((x-2)^2+(y-(-3))^2=5^2\), ou seja, \((x-2)^2+(y+3)^2=25\). Pronto. Esse é o nosso exemplo-guia deste artigo: vamos voltar a ele várias vezes, porque ele permite conferir cada conta com números redondos.

Exemplo 2 — ler a equação. Dada \((x+1)^2+(y-4)^2=9\), o centro é \(C(-1, 4)\) — troque os sinais de \(+1\) e \(-4\) — e o raio é \(r = \sqrt{9} = 3\). Simples assim, mas exige atenção ao sinal. Quando o centro está na origem, \(C(0, 0)\), a equação fica \(x^2+y^2=r^2\), a forma mais simples de todas.

Um erro clássico: confundir o centro com o que está dentro do parêntese sem trocar o sinal. Se a questão pergunta o centro de \((x-5)^2+(y+2)^2=16\) e você responde \(( -5, 2 )\), errou por descuido: o centro é \((5, -2)\) e o raio é 4. Treine essa leitura invertida até ela ficar automática.

Equação geral: desenvolvendo os quadrados

Desenvolvendo a equação reduzida \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), temos \(x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2\). Reorganizando, chegamos à forma geral:

\[ x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \]

em que \(D = -2a\), \(E = -2b\) e \(F = a^2+b^2-r^2\). Na equação geral, os coeficientes de \(x^2\) e de \(y^2\) são iguais a 1 (ou podem ser igualados dividindo tudo pelo coeficiente comum), não há termo em \(xy\), e o centro e o raio podem ser recuperados por \(a = -\frac{D}{2}\), \(b = -\frac{E}{2}\) e \(r^2 = a^2+b^2-F = \frac{D^2+E^2}{4}-F\). Para a equação representar de fato uma circunferência, é preciso que \(D^2+E^2-4F > 0\); se esse valor for zero, a equação representa apenas um ponto; se for negativo, não representa nenhum ponto real.

Exemplo 3 — da reduzida para a geral. Partindo de \((x-2)^2+(y+3)^2=25\): desenvolvemos para \(x^2-4x+4+y^2+6y+9=25\) e, passando o 25 para o primeiro membro, \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\). Conferindo pelas fórmulas: \(D = -4\), então \(a = 2\); \(E = 6\), então \(b = -3\); \(F = -12\), então \(r^2 = 4+9-(-12) = 25\), logo \(r = 5\). Tudo bate com o centro \((2, -3)\) e o raio 5 de onde partimos.

Como achar centro e raio completando quadrados

Completar quadrados é a técnica que transforma a equação geral na reduzida, e é o procedimento mais cobrado quando a questão dá a equação geral e pergunta centro e raio. A ideia é simples: para \(x^2+Dx\), somamos \(\left(\frac{D}{2}\right)^2\) para formar \((x+\frac{D}{2})^2\); fazemos o mesmo com \(y\). O que somamos de um lado precisa ser compensado do outro para a igualdade não mudar.

Exemplo 4 — completar quadrados, passo a passo. Dada \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\), agrupamos \(x\) com \(x\) e \(y\) com \(y\): \((x^2-4x)+(y^2+6y)-12=0\). Para \(x\): metade de \(-4\) é \(-2\), e \((-2)^2 = 4\), então \(x^2-4x+4 = (x-2)^2\). Para \(y\): metade de \(6\) é \(3\), e \(3^2 = 9\), então \(y^2+6y+9 = (y+3)^2\). Somamos 4 e 9 nos dois lados da equação: \((x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)-12 = 4+9\), isto é, \((x-2)^2+(y+3)^2 = 25\). Centro \((2, -3)\), raio 5. Repare que voltamos exatamente à equação do Exemplo 1 — não é coincidência, é a mesma circunferência escrita de dois jeitos.

Exemplo 5 — outro caso, com números diferentes. Dada \(x^2+y^2+6x-8y+9=0\): agrupamos \((x^2+6x)+(y^2-8y)+9=0\). Metade de \(6\) é \(3\), \(3^2 = 9\); metade de \(-8\) é \(-4\), \((-4)^2 = 16\). Somando 9 e 16 nos dois lados: \((x+3)^2+(y-4)^2 = 16\). Centro \((-3, 4)\), raio 4. Conferência rápida pela fórmula: \(a = -\frac{6}{2} = -3\), \(b = -\frac{-8}{2} = 4\), \(r^2 = 9+16-9 = 16\). Confere.

Dois cuidados ao completar quadrados. Primeiro, se os coeficientes de \(x^2\) e \(y^2\) não forem 1, divida toda a equação por esse coeficiente antes de começar. Segundo, não se esqueça de somar o que foi completado nos dois lados: se você soma 4 e 9 só de um lado, a equação muda e o raio sai errado. Escrever os passos, sem pular, evita a maioria dos erros.

Posição relativa de um ponto e uma circunferência

Dado um ponto \(P\) e uma circunferência de centro \(C\) e raio \(r\), calcule a distância \(d = d(P, C)\). A comparação entre \(d\) e \(r\) decide tudo: se \(d < r\), o ponto é interno; se \(d = r\), o ponto pertence à circunferência; se \(d > r\), o ponto é externo. Na prática, muitas vezes nem é preciso calcular a raiz quadrada: compare \(d^2\) com \(r^2\) e poupe tempo.

Exemplo 6 — três pontos e a nossa circunferência-guia. Tome a circunferência \((x-2)^2+(y+3)^2=25\), centro \((2, -3)\), raio 5. Para \(P(5, 1)\): \(d^2 = (5-2)^2+(1+3)^2 = 9+16 = 25 = r^2\), então \(d = 5\) e o ponto pertence à circunferência. Para \(Q(6, -3)\): \(d^2 = (6-2)^2+0 = 16 < 25\), então o ponto é interno. Para \(R(10, -3)\): \(d^2 = (10-2)^2+0 = 64 > 25\), então o ponto é externo. Um truque útil: substituir o ponto diretamente na equação reduzida dá o mesmo diagnóstico — se o resultado for igual a \(r^2\), o ponto está na circunferência; se for menor, dentro; se for maior, fora. Para \(Q\): \((6-2)^2+(-3+3)^2 = 16 < 25\), interno. Confere.

Esse teste aparece em questões que pedem, por exemplo, se um ponto dado pode ser o centro de outra figura, se uma antena alcança certo local ou se um ponto está dentro de uma região circular. Sempre que a questão falar em “dentro”, “sobre” ou “fora” de uma circunferência, pense em comparar distância com raio.

Posição relativa de uma reta e uma circunferência

Aqui a comparação é entre a distância do centro até a reta, que chamamos de \(d\), e o raio \(r\). A distância de um ponto \((x_0, y_0)\) a uma reta \(ax+by+c=0\) é dada por \(d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\). Se \(d < r\), a reta é secante e corta a circunferência em dois pontos; se \(d = r\), a reta é tangente e toca a circunferência em um único ponto; se \(d > r\), a reta é externa e não toca a circunferência. Outro caminho para o mesmo diagnóstico é resolver o sistema formado pela equação da reta e a da circunferência: substituindo uma na outra, chegamos a uma equação do segundo grau, e o discriminante \(\Delta\) decide — \(\Delta > 0\) significa dois pontos em comum (secante), \(\Delta = 0\) significa um ponto (tangente) e \(\Delta < 0\) significa nenhum ponto (externa).

Exemplo 7 — três retas horizontais e a circunferência-guia. Considere de novo o centro \((2, -3)\) e o raio 5. Para a reta \(y = 0\), ou seja, \(y + 0 = 0\) na forma geral, a distância do centro até a reta é \(|{-3} – 0| = 3 < 5\): reta secante, corta em dois pontos. Para a reta \(y = 2\), a distância é \(|2 - (-3)| = 5 = r\): reta tangente, toca em um único ponto, que é \((2, 2)\) — o ponto da circunferência que fica exatamente acima do centro. Para a reta \(y = -10\), a distância é \(|-10 - (-3)| = 7 > 5\): reta externa, não toca a circunferência. Repare como a reta tangente horizontal aparece quando a distância é exatamente o raio: o ponto de tangência fica na perpendicular que sai do centro até a reta.

Exemplo 8 — usando o discriminante. Tome a reta \(y = x + 1\) e a circunferência \((x-2)^2+(y+3)^2=25\). Substituindo \(y\): \((x-2)^2+(x+1+3)^2 = 25\), isto é, \((x-2)^2+(x+4)^2 = 25\). Desenvolvendo: \(x^2-4x+4+x^2+8x+16 = 25\), ou seja, \(2x^2+4x-5 = 0\). O discriminante é \(\Delta = 4^2-4\cdot 2 \cdot (-5) = 16+40 = 56 > 0\): dois pontos em comum, reta secante. O método da distância daria o mesmo resultado: a reta é \(x-y+1=0\), e a distância do centro \((2, -3)\) até ela é \(\frac{|2-(-3)+1|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \approx 4,24 < 5\). Secante, confere. Use o método que a questão facilitar: se a reta já vem numa forma simples, a distância costuma ser mais rápida; se a questão pede os pontos de interseção, o sistema é inevitável.

Posição relativa de duas circunferências

Para duas circunferências de centros \(C_1\) e \(C_2\), raios \(r_1\) e \(r_2\) e distância entre os centros \(d = d(C_1, C_2)\), as possibilidades são: externas quando \(d > r_1+r_2\); tangentes externamente quando \(d = r_1+r_2\); secantes quando \(|r_1-r_2| < d < r_1+r_2\); tangentes internamente quando \(d = |r_1-r_2|\); internas sem tocar quando \(d < |r_1-r_2|\); e concêntricas quando \(d = 0\), com o mesmo centro. Se \(d = 0\) e os raios forem iguais, as circunferências coincidem. A lógica é geométrica: a soma dos raios é a maior distância que ainda permite contato por fora, e a diferença dos raios é a distância que permite contato por dentro.

Exemplo 9 — números redondos. Tome \(C_1\) de centro \((0, 0)\) e raio 3, e \(C_2\) de centro \((8, 0)\) e raio 4. A distância entre os centros é 8, e \(r_1+r_2 = 7 < 8\): circunferências externas, sem ponto em comum. Se o centro de \(C_2\) for \((7, 0)\), então \(d = 7 = r_1+r_2\): tangentes externamente, com um ponto em comum. Se for \((5, 0)\), então \(d = 5\), e \(|4-3| = 1 < 5 < 7\): secantes, com dois pontos em comum. Se for \((1, 0)\), então \(d = 1 = |4-3|\): tangentes internamente. E se for \((0, 0)\), então \(d = 0\): concêntricas. Um único par de raios gera todos os casos só mudando a distância entre os centros — vale a pena visualizar isso desenhando.

Reta tangente: a perpendicular ao raio

A reta tangente a uma circunferência num ponto \(P\) da circunferência é perpendicular ao raio \(CP\). Isso dá dois caminhos práticos. Primeiro, o coeficiente angular: se o raio tem coeficiente angular \(m_r\), a tangente tem coeficiente angular \(m_t = -\frac{1}{m_r}\), desde que nenhum dos dois seja vertical ou horizontal — nesses casos, trate à parte. Segundo, a fórmula direta: a tangente no ponto \(P(x_0, y_0)\) à circunferência \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) é \((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\). Essa fórmula é um atalho valioso: ela “desdobra” um dos quadrados e entrega a equação da reta na hora.

Exemplo 10 — tangente num ponto conhecido. Tome a circunferência \((x-2)^2+(y+3)^2=25\) e o ponto \(P(5, 1)\), que pertence a ela, como conferimos no Exemplo 6: \((5-2)^2+(1+3)^2 = 9+16 = 25\). Aplicando a fórmula: \((5-2)(x-2)+(1+3)(y+3)=25\), ou seja, \(3(x-2)+4(y+3)=25\). Desenvolvendo: \(3x-6+4y+12=25\), logo \(3x+4y-19=0\). Conferência pela distância: a distância do centro \((2, -3)\) até a reta \(3x+4y-19=0\) é \(\frac{|6-12-19|}{5} = \frac{25}{5} = 5 = r\). Tangente, confere. Conferência pelo coeficiente angular: o raio \(CP\) vai de \((2, -3)\) a \((5, 1)\), logo \(m_r = \frac{1-(-3)}{5-2} = \frac{4}{3}\), e a tangente deve ter \(m_t = -\frac{3}{4}\). Da equação \(3x+4y-19=0\) tiramos \(y = -\frac{3}{4}x+\frac{19}{4}\). Confere de novo.

Quando a questão pede a tangente por um ponto externo, o raciocínio muda: de um ponto externo saem duas tangentes. O caminho clássico é impor que a distância do centro até a reta procurada seja igual ao raio, o que gera uma equação para o coeficiente angular com duas soluções. Outra estratégia é usar o fato de que o ponto de tangência \(T\) satisfaz duas condições ao mesmo tempo: pertence à circunferência e o triângulo formado pelo centro, pelo ponto externo e por \(T\) é retângulo em \(T\). Nos vestibulares, a tangente por ponto da circunferência é bem mais frequente que a por ponto externo, então domine primeiro o caso do ponto pertencente.

Equações paramétricas, em poucas linhas

As equações paramétricas descrevem a circunferência como um ponto que “anda” sobre ela conforme um ângulo \(t\) varia de \(0\) a \(2\pi\): \(x = a + r\cos t\) e \(y = b + r\, \text{sen}\, t\). Para a nossa circunferência-guia: \(x = 2 + 5\cos t\) e \(y = -3 + 5\, \text{sen}\, t\). Quando \(t = 0\), temos \((7, -3)\), o ponto mais à direita; quando \(t = \frac{\pi}{2}\), temos \((2, 2)\), o ponto mais alto; quando \(t = \pi\), temos \((-3, -3)\); quando \(t = \frac{3\pi}{2}\), temos \((2, -8)\). Essa forma aparece menos no ENEM, mas é útil em Física, em movimentos circulares, e em questões que pedem um ponto da circunferência em função de um ângulo. Se a questão der as paramétricas e pedir centro e raio, basta ler: o termo constante é o centro e o coeficiente de \(\cos t\) e de \(\text{sen}\, t\) é o raio.

Antes de seguir para o mapa mental, vale um resumo de estratégia de prova. Diante de uma questão de circunferência, pergunte-se: o que a questão deu — centro e raio, equação geral ou pontos? Se deu a equação geral, complete quadrados ou use as fórmulas de \(D\), \(E\) e \(F\). Se perguntou posição relativa, compare distâncias com o raio. Se pediu tangente num ponto da circunferência, use a fórmula de desdobramento. E sempre confira o sinal do centro e se o número do lado direito é \(r^2\) ou \(r\). Esses quatro reflexos resolvem a maior parte das questões, inclusive as do vestibular tradicional, que costuma cobrar a conta completa, e não só a ideia.

Mapa mental

• Definição: pontos \(P\) com \(d(P, C) = r\); centro \(C(a, b)\), raio \(r\)
• Equação reduzida: \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) — sinais do centro trocados, lado direito é \(r^2\)
• Equação geral: \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) — centro \(\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)\), \(r^2=\frac{D^2+E^2}{4}-F\)
• Completar quadrados: \(x^2+Dx+\left(\frac{D}{2}\right)^2=\left(x+\frac{D}{2}\right)^2\); somar dos dois lados
• Ponto × circunferência: \(d < r\) interno, \(d = r\) pertence, \(d > r\) externo
• Reta × circunferência: \(d < r\) secante (2 pontos), \(d = r\) tangente (1 ponto), \(d > r\) externa (0 pontos); \(\Delta > 0\), \(= 0\), \(< 0\)
• Duas circunferências: comparar \(d\) com \(r_1+r_2\) e \(|r_1-r_2|\): externas, tangentes, secantes, internas, concêntricas
• Reta tangente: perpendicular ao raio; fórmula \((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\)
• Paramétricas: \(x=a+r\cos t\), \(y=b+r\, \text{sen}\, t\), com \(t\) de \(0\) a \(2\pi\)
• Erros que mais custam ponto: sinal do centro, confundir \(r\) com \(r^2\), esquecer de somar dos dois lados ao completar quadrados

SAQ — Responda em poucas linhas

1. O que define uma circunferência? O conjunto dos pontos do plano cuja distância até um ponto fixo, o centro, é sempre igual ao raio.

2. Qual é a equação reduzida da circunferência de centro \((a, b)\) e raio \(r\)? \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

3. Por que o sinal do centro aparece trocado na equação reduzida? Porque a equação vem de \(x – a\) e \(y – b\): se \(a = 2\), aparece \(x – 2\); se \(b = -3\), aparece \(y + 3\).

4. Como achar o centro e o raio a partir de \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)? Centro \(\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)\) e raio dado por \(r^2=\frac{D^2+E^2}{4}-F\), ou completando quadrados até a forma reduzida.

5. Como saber se um ponto é interno, pertence ou é externo à circunferência? Calcule a distância \(d\) do ponto ao centro e compare com \(r\): \(d < r\) interno, \(d = r\) pertence, \(d > r\) externo.

6. Quando uma reta é secante, tangente ou externa a uma circunferência? Comparando a distância \(d\) do centro à reta com o raio: \(d < r\) secante, \(d = r\) tangente, \(d > r\) externa.

7. O que o discriminante diz sobre a posição entre reta e circunferência? Resolvendo o sistema, \(\Delta > 0\) indica dois pontos em comum (secante), \(\Delta = 0\) indica um ponto (tangente) e \(\Delta < 0\) indica nenhum ponto (externa).

8. Qual é a relação entre a reta tangente e o raio no ponto de tangência? Eles são perpendiculares, e a tangente pode ser obtida por \((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\).

Questões comentadas

Questão 1. Uma circunferência tem centro \(C(2, -3)\) e raio 5. Sua equação reduzida é:

A) \((x+2)^2+(y-3)^2=5\)
B) \((x-2)^2+(y+3)^2=25\)
C) \((x-2)^2+(y-3)^2=25\)
D) \((x+2)^2+(y+3)^2=25\)
E) \((x-2)^2+(y+3)^2=5\)

Gabarito: B. Aplicando \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) com \(a = 2\), \(b = -3\) e \(r = 5\): \((x-2)^2+(y-(-3))^2=5^2\), ou seja, \((x-2)^2+(y+3)^2=25\). As alternativas A e D erram o sinal do centro; C erra o sinal de \(b\); A e E colocam o raio no lugar de \(r^2\).

Questão 2. A circunferência de equação \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\) tem centro e raio, respectivamente:

A) \((2, -3)\) e 5
B) \((-2, 3)\) e 5
C) \((2, -3)\) e 25
D) \((-4, 6)\) e 5
E) \((4, -6)\) e 12

Gabarito: A. Completando quadrados: \((x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)-12 = 4+9\), logo \((x-2)^2+(y+3)^2=25\). Centro \((2, -3)\) e raio \(\sqrt{25}=5\). A alternativa B troca os sinais do centro; C confunde \(r^2\) com \(r\); D e E usam os coeficientes \(D\) e \(E\) sem dividir por \(-2\).

Questão 3. Considere a circunferência \((x-2)^2+(y+3)^2=25\). O ponto \(P(6, -3)\) é, em relação a ela:

A) externo, pois sua distância ao centro é 8
B) interno, pois sua distância ao centro é 4
C) pertencente, pois sua distância ao centro é 5
D) interno, pois sua distância ao centro é 3
E) externo, pois sua distância ao centro é 6

Gabarito: B. O centro é \((2, -3)\) e o raio é 5. A distância de \(P(6, -3)\) ao centro é \(\sqrt{(6-2)^2+(-3+3)^2}=\sqrt{16}=4\). Como \(4 < 5\), o ponto é interno. Substituindo na equação, \((6-2)^2+0 = 16 < 25\), o mesmo diagnóstico.

Questão 4. A reta \(y = 2\) em relação à circunferência de centro \((2, -3)\) e raio 5 é:

A) secante, pois a distância do centro à reta é 3
B) tangente, pois a distância do centro à reta é 5
C) externa, pois a distância do centro à reta é 7
D) tangente, pois a distância do centro à reta é 3
E) secante, pois a distância do centro à reta é 5

Gabarito: B. A distância do centro \((2, -3)\) à reta horizontal \(y = 2\) é \(|2-(-3)|=5\), exatamente igual ao raio. Logo a reta é tangente, tocando a circunferência no ponto \((2, 2)\). A distância 3 corresponde à reta \(y = 0\) (secante) e a distância 7, à reta \(y = -10\) (externa).

Questão 5. A equação da reta tangente à circunferência \((x-2)^2+(y+3)^2=25\) no ponto \(P(5, 1)\) é:

A) \(3x+4y-19=0\)
B) \(3x-4y-19=0\)
C) \(4x+3y-19=0\)
D) \(3x+4y+19=0\)
E) \(x+y-6=0\)

Gabarito: A. Primeiro, confira que \(P\) pertence à circunferência: \((5-2)^2+(1+3)^2=9+16=25\). Pela fórmula de desdobramento: \((5-2)(x-2)+(1+3)(y+3)=25\), ou seja, \(3(x-2)+4(y+3)=25\), que dá \(3x+4y-19=0\). Conferência: a distância do centro \((2, -3)\) até essa reta é \(\frac{|6-12-19|}{5}=5\), igual ao raio, como toda tangente deve satisfazer.

Dica do professor

Quando a questão der a equação geral, não tente “adivinhar” o centro olhando para os números: complete quadrados com calma, escrevendo cada passo, ou aplique as fórmulas \(a=-\frac{D}{2}\) e \(b=-\frac{E}{2}\). E, antes de marcar a alternativa, faça a conferência de trinta segundos: substitua o centro encontrado na equação reduzida e veja se ela volta a ser a equação geral dada. Se voltar, o centro e o raio estão certos; se não voltar, algum sinal escapou. Essa conferência salva muitas questões, porque quase todos os erros de circunferência são erros de sinal, não de conceito. Outra dica: guarde um exemplo-modelo na cabeça — o centro \((2, -3)\), raio 5 deste artigo — e, sempre que ficar em dúvida sobre um sinal ou uma fórmula, teste a fórmula no exemplo-modelo antes de aplicar no problema da prova.

Atenção / cuidado

Os tropeços mais comuns neste tema são: trocar o sinal do centro ao ler a equação reduzida; confundir o raio com o quadrado do raio, marcando 25 quando o raio é 5; esquecer de somar dos dois lados ao completar quadrados, o que muda o raio; esquecer de dividir toda a equação geral pelo coeficiente de \(x^2\) quando ele não é 1; e usar a fórmula da distância do ponto à reta sem o módulo ou sem dividir pela raiz da soma dos quadrados dos coeficientes. Também preste atenção: circunferência é a linha, círculo é a linha mais o interior — se a questão falar em “região” ou “área”, ela está falando do círculo, e aí entram fórmulas de área, não só a equação. Por fim, nunca aceite uma equação geral como circunferência sem checar a condição \(D^2+E^2-4F > 0\): se esse valor for negativo, não existe circunferência real ali.

Conexão com outras áreas

A circunferência conecta a geometria analítica com a geometria plana, com a trigonometria e com a Física. O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio 1 centrada na origem, e é nele que seno e cosseno ganham significado geométrico — por isso as equações paramétricas \(x=a+r\cos t\) e \(y=b+r\, \text{sen}\, t\) aparecem tanto nos dois temas. Na Física, o movimento circular uniforme usa a mesma ideia de ponto que percorre uma circunferência, com velocidade tangente à trajetória — exatamente a reta tangente que estudamos aqui. Fora da prova, circunferências aparecem em rodas, órbitas, sistemas de posicionamento por distância, como o GPS, que localiza um ponto pela interseção de circunferências e esferas, e em computação gráfica, onde curvas e círculos são desenhados a partir de suas equações. Dominar a circunferência na geometria analítica, portanto, é abrir a porta para vários outros temas do ENEM e dos vestibulares.