Permutação simples e Permutação circular: o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

Permutar é trocar a ordem. Quando todos os elementos entram na contagem e a ordem importa, estamos diante de uma permutação. Se a fila é reta, como uma fila para foto, usamos a permutação simples: \( P_n = n! \). Se a disposição é em volta de uma mesa redonda, em que só importa quem está ao lado de quem, usamos a permutação circular: \( P_c = (n-1)! \). Esta matéria, de incidência ♨️ Morna no ENEM e nos vestibulares, explica as duas fórmulas do zero, mostra por que a circular divide por \( n \), compara permutação simples, permutação circular e arranjo, resolve exemplos passo a passo com contas conferidas e traz SAQ e questões comentadas originais estilo ENEM. A base de tudo está na matéria de Fatorial: se você ainda não domina \( n! \), comece por ela, porque toda permutação é, no fundo, um fatorial aplicado a uma situação de ordem.

A ideia central cabe em duas frases. Na permutação simples, cada posição da fila é uma escolha: para \( n \) elementos distintos, há \( n \) escolhas para o primeiro lugar, \( n – 1 \) para o segundo, e assim por diante, até restar 1 escolha para o último lugar. Multiplicando todas as escolhas, chega-se a \( n! \). Na permutação circular, girar todo mundo junto ao redor da mesa não cria uma disposição nova, porque as vizinhanças continuam as mesmas. Por isso, cada disposição circular corresponde a \( n \) disposições em fila, e é preciso dividir por \( n \): \( \frac{n!}{n} = (n-1)! \). Ao longo da matéria, você vai aprender a reconhecer quando usar cada fórmula, a não confundir permutação com arranjo e com combinação, e a resolver as questões mais comuns sobre filas, mesas redondas e anagramas.

O que é permutação simples

A permutação simples conta de quantos jeitos é possível ordenar \( n \) elementos distintos, usando todos eles, quando a ordem importa. As três condições são importantes: os elementos são distintos, todos eles entram na ordenação e trocar a ordem gera um caso novo. Se qualquer uma delas falhar, a fórmula muda. Por exemplo, ordenar 5 amigos em fila para uma foto é permutação simples. Ordenar só 3 deles dentre 5 já não é: isso é arranjo, tema que aparece na tabela comparativa desta matéria. E ordenar letras com repetição, como nas letras da palavra CASA, também não é permutação simples, porque há letras iguais.

A fórmula é direta:

\[ P_n = n! \]

Ou seja, a permutação simples de \( n \) elementos é o fatorial de \( n \). A demonstração vem do Princípio Fundamental da Contagem, explicado em detalhes na matéria de Princípio Fundamental da Contagem. Para a primeira posição da fila, há \( n \) escolhas. Escolhido o primeiro, restam \( n – 1 \) elementos para a segunda posição. Depois, \( n – 2 \) para a terceira, e assim por diante, até restar apenas 1 elemento para a última posição. Multiplicando todas as escolhas, temos \( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \), que é exatamente \( n! \). É por isso que a permutação simples e o fatorial andam sempre juntos: permutar é o fatorial em ação.

Exemplo conferido: permutação simples de 5 elementos. Há 5 escolhas para o primeiro lugar, 4 para o segundo, 3 para o terceiro, 2 para o quarto e 1 para o último. Logo, \( P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \). Conferência: \( 5 \cdot 4 = 20 \); \( 20 \cdot 3 = 60 \); \( 60 \cdot 2 = 120 \); \( 120 \cdot 1 = 120 \). Portanto, 5 elementos distintos podem ser ordenados em fila de 120 jeitos diferentes. Outro exemplo: 3 amigos em fila podem se organizar de \( P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \) jeitos. E 4 livros diferentes em uma prateleira podem ser arrumados de \( P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \) jeitos.

Os anagramas são o exemplo clássico de permutação simples que mais cai em prova. Um anagrama é uma nova palavra formada pela troca de ordem das letras de uma palavra, mesmo que o resultado não tenha sentido. Quando todas as letras são distintas, o número de anagramas é o fatorial do número de letras. A palavra AMOR, por exemplo, tem 4 letras distintas, então seus anagramas são \( 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \). Entre eles estão AMOR, AOMR, MAOR e ROMA, que por acaso também é uma palavra conhecida. Atenção: se houver letras repetidas, essa conta não vale, e o cálculo passa a ser o da permutação com repetição, que é outro tema. Nas questões desta matéria, trabalhamos só com letras distintas, para que a fórmula \( P_n = n! \) se aplique diretamente.

Permutação circular

A permutação circular conta de quantos jeitos é possível dispor \( n \) elementos distintos ao redor de um círculo, como pessoas em volta de uma mesa redonda, quando só importam as posições relativas, isto é, quem fica ao lado de quem. Aqui, girar todos os elementos juntos não cria um caso novo. Imagine 4 amigos sentados em volta de uma mesa: se todos se levantarem e andarem uma cadeira para a direita, cada um continua com os mesmos vizinhos de antes, à esquerda e à direita. A disposição é a mesma, apenas rodada. Por isso, a contagem da mesa redonda é menor do que a contagem da fila.

A fórmula é:

\[ P_c = (n-1)! \]

Há dois jeitos de entender por que se divide por \( n \), e os dois chegam ao mesmo lugar. O primeiro jeito é pela divisão: em fila, \( n \) elementos têm \( n! \) ordenações. Mas cada disposição circular corresponde a \( n \) disposições em fila, uma para cada ponto de partida do giro. Por exemplo, com 4 pessoas, cada volta completa da mesa gera 4 filas diferentes que representam a mesma disposição circular. Para não contar a mesma disposição \( n \) vezes, dividimos: \( \frac{n!}{n} = (n-1)! \). Conferência da simplificação: \( \frac{n!}{n} = (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 1 = (n-1)! \). O segundo jeito é fixando um ponto de referência: prenda uma das pessoas em um lugar fixo da mesa, para “travar” o giro. Sobram \( n – 1 \) pessoas para distribuir nas \( n – 1 \) cadeiras restantes, o que dá \( (n-1)! \) jeitos. Os dois raciocínios são o mesmo argumento visto por dois ângulos, e ambos explicam por que o ponto de partida não conta na mesa redonda.

Exemplos conferidos. Permutação circular de 6 pessoas em mesa redonda: \( P_c = (6-1)! = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \). Conferência: \( 5 \cdot 4 = 20 \); \( 20 \cdot 3 = 60 \); \( 60 \cdot 2 = 120 \); \( 120 \cdot 1 = 120 \). Repare na coincidência curiosa: 6 pessoas em mesa redonda dão 120 jeitos, o mesmo número que 5 pessoas em fila. Isso acontece porque \( (6-1)! = 5! \), e não é erro de conta. Permutação circular de 4 pessoas: \( P_c = (4-1)! = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \). Conferência: são apenas 6 disposições, contra 24 se as mesmas 4 pessoas estivessem em fila. E permutação circular de 5 pessoas: \( P_c = (5-1)! = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \).

Um cuidado importante: a permutação circular só vale quando a mesa é redonda de verdade, sem um lugar marcado, como uma cabeceira, e quando não há distinção entre frente e verso. Se a mesa tiver um lugar de honra marcado, ou se as cadeiras forem numeradas, a rotação passa a importar, e a contagem volta a ser a da fila, \( n! \). Do mesmo modo, se as pessoas estiverem dispostas em um colar que pode ser virado do avesso, a contagem muda de novo, porque virar o colar troca esquerda e direita. Esses casos especiais raramente caem no ENEM, mas a regra para reconhecê-los é simples: pergunte-se se girar tudo junto muda alguma coisa na situação descrita. Se não mudar, é circular e vale \( (n-1)! \). Se mudar, é fila e vale \( n! \).

Permutação simples x circular x arranjo

A maior fonte de erro em Análise Combinatória não é a conta, e sim a escolha da fórmula. A tabela abaixo organiza os três casos que mais se confundem, todos dentro da Análise Combinatória. Leia a pergunta da prova procurando três informações: todos os elementos entram ou só parte deles, a ordem importa ou não, e a disposição é em fila ou em círculo.

Tabela 1: permutação simples, permutação circular e arranjo

Repare que a permutação simples é um caso particular do arranjo: quando todos os elementos entram, ou seja, quando \( k = n \), o arranjo vira \( \frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = n! \), que é a permutação simples. E a combinação, detalhada na matéria de Combinação, é o caso em que a ordem não importa: escolher 3 finalistas sem ordenar dá 120 jeitos, bem menos do que os 720 jeitos de escolher e ordenar os mesmos 3 finalistas, porque cada grupo de 3 pode ser ordenado de \( 3! = 6 \) jeitos, e \( 720 \div 6 = 120 \). Conferência: \( 6 \cdot 120 = 720 \). A tabela de valores abaixo ajuda a resolver rápido, sem calculadora, as questões mais comuns.

Tabela 2: valores de permutação simples e circular, de 2 a 7 elementos

Conferência da tabela: \( 6! = 6 \cdot 120 = 720 \); \( 7! = 7 \cdot 720 = 5.040 \). Uma leitura útil da tabela: a permutação circular de \( n \) elementos é sempre igual à permutação simples de \( n – 1 \) elementos. Isso não é coincidência, é a própria fórmula: \( (n-1)! \) nos dois casos. Na prova, se você decorar a coluna da permutação simples até \( 7! = 5.040 \), a coluna circular sai de brinde, deslocada de uma linha.

Exemplos resolvidos passo a passo

Exemplo 1 — Permutação simples de 5 elementos. De quantos jeitos 5 livros diferentes podem ser arrumados em uma prateleira? Todos os livros entram, a ordem importa e a prateleira é reta, então é permutação simples: \( P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \). Conferência passo a passo: \( 5 \cdot 4 = 20 \); \( 20 \cdot 3 = 60 \); \( 60 \cdot 2 = 120 \); \( 120 \cdot 1 = 120 \). Resposta: 120 jeitos.

Exemplo 2 — Permutação circular de 6 pessoas em mesa redonda. De quantos jeitos 6 amigos podem se sentar em volta de uma mesa redonda, sem lugar marcado? Só importam as posições relativas, então é permutação circular: \( P_c = (6-1)! = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \). Conferência: \( 5 \cdot 4 = 20 \); \( 20 \cdot 3 = 60 \); \( 60 \cdot 2 = 120 \); \( 120 \cdot 1 = 120 \). Resposta: 120 jeitos. Note que, se as cadeiras fossem numeradas, a resposta seria \( 6! = 720 \), porque cada giro passaria a contar como um caso novo.

Exemplo 3 — Permutação circular de 4 pessoas. De quantos jeitos 4 pessoas podem se sentar em volta de uma mesa redonda? Fixando uma pessoa para travar o giro, sobram 3 pessoas para 3 lugares: \( P_c = (4-1)! = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \). Conferência: \( 3 \cdot 2 = 6 \); \( 6 \cdot 1 = 6 \). Resposta: 6 jeitos, contra 24 jeitos se as mesmas 4 pessoas formassem uma fila. A diferença entre 6 e 24 é exatamente a divisão por 4, o número de giros possíveis.

Exemplo 4 — Anagrama simples com letras distintas. Quantos anagramas tem a palavra AMOR? As 4 letras são distintas, então cada anagrama é uma ordenação das 4 letras: \( P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \). Conferência: \( 4 \cdot 3 = 12 \); \( 12 \cdot 2 = 24 \); \( 24 \cdot 1 = 24 \). Resposta: 24 anagramas. Alguns deles são AMOR, AOMR, MAOR, MORA, OAMR e ROMA. O mesmo raciocínio vale para qualquer palavra com letras distintas: uma palavra de 5 letras distintas tem \( 5! = 120 \) anagramas, e uma de 3 letras distintas tem \( 3! = 6 \) anagramas.

Exemplo 5 — Fila com uma condição. De quantos jeitos 4 amigos podem formar uma fila se dois deles, Ana e Bruno, precisam ficar juntos? Trate Ana e Bruno como um único bloco: agora são 3 objetos para ordenar, o bloco mais os outros 2 amigos, o que dá \( 3! = 6 \) jeitos. Dentro do bloco, Ana e Bruno podem trocar de lugar entre si, o que dá \( 2! = 2 \) jeitos. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total é \( 6 \cdot 2 = 12 \) jeitos. Conferência: \( 3! = 6 \); \( 2! = 2 \); \( 6 \cdot 2 = 12 \). Resposta: 12 jeitos. O truque do bloco é um dos mais cobrados em questões de permutação com condição, e vale a pena treinar.

Erros comuns

O erro mais comum é usar \( n! \) na mesa redonda, esquecendo de dividir por \( n \). Com 6 pessoas, isso dá 720 em vez de 120, um erro de seis vezes. O segundo erro é o inverso: usar \( (n-1)! \) em fila, o que dá um resultado menor do que o correto. O terceiro erro é confundir permutação com arranjo: se só parte dos elementos entra, não é permutação simples, é arranjo. O quarto erro é tratar anagrama com letra repetida como permutação simples: a palavra CASA, por exemplo, não tem \( 4! = 24 \) anagramas, porque o A se repete, e a conta correta é outra. O quinto erro é esquecer que, na permutação circular, fixar uma pessoa não é uma escolha a menos na resposta final, e sim o próprio método: fixar uma pessoa é o que transforma \( n! \) em \( (n-1)! \). Por fim, cuidado com as cadeiras numeradas e com o lugar marcado: se o enunciado marcar um lugar, a rotação importa e a fórmula volta a ser \( n! \).

Mapa mental

• Permutação simples: todos distintos, todos entram, fila reta, ordem importa — \( P_n = n! \)
• Por quê: \( n \) escolhas, depois \( n – 1 \), depois \( n – 2 \), até 1 — o produto é \( n! \)
• Permutação circular: todos distintos, todos entram, mesa redonda, só importam as posições relativas — \( P_c = (n-1)! \)
• Por que dividir por n: cada disposição circular corresponde a \( n \) filas; girar tudo junto não cria caso novo
• Outro jeito de ver: fixe uma pessoa para travar o giro e ordene as \( n – 1 \) restantes: \( (n-1)! \)
• Valores-chave: \( P_5 = 120 \); circular de 6 pessoas = 120; circular de 4 pessoas = 6; anagramas de AMOR = 24
• Comparação: simples \( n! \); circular \( (n-1)! \); arranjo \( \frac{n!}{(n-k)!} \); combinação \( \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \)
• Anagrama simples: letras distintas — número de anagramas = fatorial do número de letras
• Bloco: elementos que ficam juntos viram um único bloco, e depois multiplica-se pelas trocas dentro do bloco
• Erros fatais: \( n! \) na mesa redonda; \( (n-1)! \) na fila; letra repetida como se fosse simples; lugar marcado tratado como circular

SAQ — Responda em poucas linhas

1. O que é permutação simples?
É a ordenação de n elementos distintos, usando todos eles, quando a ordem importa. Sua fórmula é \( P_n = n! \).

2. O que é permutação circular?
É a disposição de n elementos distintos ao redor de um círculo, quando só importam as posições relativas. Sua fórmula é \( P_c = (n-1)! \).

3. Por que a fórmula circular divide por n?
Porque cada disposição circular corresponde a n disposições em fila, uma para cada giro. Dividir por n evita contar a mesma disposição várias vezes.

4. Quanto vale a permutação simples de 5 elementos?
\( P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \).

5. Quantos jeitos há de sentar 6 pessoas em mesa redonda?
\( P_c = (6-1)! = 5! = 120 \) jeitos.

6. Quantos jeitos há de sentar 4 pessoas em mesa redonda?
\( P_c = (4-1)! = 3! = 6 \) jeitos.

7. Quantos anagramas tem a palavra AMOR?
As 4 letras são distintas, então são \( 4! = 24 \) anagramas.

8. Quando devo usar arranjo em vez de permutação?
Quando só parte dos elementos entra na ordenação e a ordem importa. Nesse caso, usa-se \( A_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!} \).

Questões comentadas

Questão 1. Uma professora vai tirar uma foto com 5 alunos, todos lado a lado, em uma única fila. De quantos jeitos diferentes essa fila pode ser formada?

A) 24
B) 60
C) 120
D) 240
E) 720

Gabarito: C.
Comentário: todos os 5 alunos entram, a fila é reta e a ordem importa, então é permutação simples: \( P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \). A alternativa A é \( 4! \), a fila com um aluno a menos; a E é \( 6! \), a fila com um aluno a mais.

Questão 2. Seis amigos vão jantar em uma mesa redonda, sem lugar marcado. De quantos jeitos diferentes eles podem se sentar, considerando que só importam as posições relativas?

A) 6
B) 24
C) 120
D) 360
E) 720

Gabarito: C.
Comentário: é permutação circular: \( P_c = (6-1)! = 5! = 120 \). A alternativa E é a armadilha clássica, \( 6! = 720 \), que valeria se as cadeiras fossem numeradas ou se a disposição fosse em fila. Como a mesa é redonda e sem lugar marcado, cada giro conta como a mesma disposição, e por isso dividimos por 6.

Questão 3. Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra FATO, mesmo que não formem palavras com sentido?

A) 6
B) 12
C) 24
D) 48
E) 120

Gabarito: C.
Comentário: a palavra FATO tem 4 letras distintas, então cada anagrama é uma ordenação das 4 letras: \( 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \). A alternativa A é \( 3! \), como se a palavra tivesse 3 letras, e a E é \( 5! \), como se tivesse 5 letras.

Questão 4. Cinco colegas vão se sentar ao redor de uma mesa circular para um jogo de tabuleiro. De quantas maneiras distintas eles podem se sentar?

A) 5
B) 20
C) 24
D) 60
E) 120

Gabarito: C.
Comentário: é permutação circular de 5 pessoas: \( P_c = (5-1)! = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \). A alternativa E é \( 5! = 120 \), que seria a resposta se os colegas formassem uma fila, e não uma mesa redonda.

Questão 5. Sete convidados vão se sentar em volta de uma mesa redonda para um jantar, sem lugar reservado. O número de disposições possíveis é:

A) 120
B) 240
C) 720
D) 5.040
E) 40.320

Gabarito: C.
Comentário: é permutação circular de 7 pessoas: \( P_c = (7-1)! = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 \). Conferência: \( 6 \cdot 120 = 720 \). A alternativa D é \( 7! = 5.040 \), que valeria para uma fila de 7 pessoas, e a A é \( 5! = 120 \), a circular de 6 pessoas.

Dica do professor

Antes de calcular qualquer coisa, faça três perguntas ao enunciado, sempre nesta ordem. Primeira: todos os elementos entram ou só parte deles? Se só parte entra e a ordem importa, é arranjo, não permutação. Segunda: a disposição é em fila ou em círculo? Se for círculo sem lugar marcado, a resposta é \( (n-1)! \), e não \( n! \). Terceira: há repetição? Se houver letra ou elemento repetido, a permutação simples não se aplica. Com essas três perguntas respondidas, a fórmula se escolhe sozinha, e o resto é só a conta do fatorial, que você já domina. Decore também os valores que mais aparecem: \( 4! = 24 \), \( 5! = 120 \), \( 6! = 720 \) e \( 7! = 5.040 \). Com eles na ponta da língua, a maioria das questões de permutação se resolve em menos de um minuto, porque a circular de \( n \) pessoas é sempre a simples de \( n – 1 \).

Atenção / cuidado

Não confunda o número de elementos com o número da fórmula: na circular, o fatorial é de \( n – 1 \), e não de \( n \). Errar esse detalhe é o erro mais caro da matéria, porque transforma 120 em 720 no caso de 6 pessoas. Cuidado também com os enunciados que misturam fila e círculo na mesma questão, e com as palavras “ao redor”, “em volta” e “mesa redonda”, que são o sinal da permutação circular, contra “fila”, “prateleira” e “ordem de chegada”, que são o sinal da permutação simples. Se o enunciado disser que um lugar é marcado, numerado ou reservado, desconfie: nesse caso, a rotação passa a importar e a fórmula volta a ser \( n! \). Por fim, nunca aplique a fórmula de anagrama simples a palavras com letras repetidas: antes de usar \( n! \), confira se todas as letras são mesmo distintas.

Conexão com outras áreas

A permutação conecta a Matemática com várias outras áreas. Na Biologia, ela conta as possíveis ordens de genes em um cromossomo e de bases em uma sequência, ajudando a entender a variabilidade genética. Na Química, ela ajuda a contar isômeros e arranjos de átomos em uma molécula, quando a posição de cada átomo muda a substância. Na Computação, ordenar elementos é uma das operações mais básicas dos algoritmos: toda vez que um programa testa todas as ordens possíveis para encontrar a melhor rota ou a melhor sequência, ele está percorrendo permutações, e o crescimento fatorial explica por que esse tipo de problema fica intratável tão rápido quando o número de elementos cresce. Na Física, a contagem de disposições aparece na mecânica estatística, ao distribuir partículas em estados. E no cotidiano, filas de banco, ordens de apresentação, pódios de corrida, playlists e senhas são todos problemas de permutação disfarçados: sempre que a ordem muda o resultado, a pergunta “de quantos jeitos?” é uma pergunta de permutação. Dominar a diferença entre fila e círculo é, portanto, dominar uma ferramenta que reaparece em toda a Análise Combinatória e na probabilidade.