Probabilidade condicional: o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

Probabilidade condicional é a probabilidade de um evento acontecer sabendo que outro evento já aconteceu. A informação nova muda o espaço amostral: em vez de considerar todos os resultados possíveis, passamos a considerar apenas os resultados compatíveis com o que já sabemos. Por isso, a chance pode subir, cair ou permanecer igual — tudo depende de como a condição restringe os casos possíveis.

A fórmula central do tema é:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

em que \( P(A|B) \) se lê “probabilidade de A dado B”, \( P(A \cap B) \) é a probabilidade de A e B acontecerem juntos, e \( P(B) \) é a probabilidade do evento que já ocorreu, com \( P(B) \neq 0 \). Na prática, porém, o caminho mais rápido costuma ser outro: reduzir o espaço amostral e contar, dentro dele, quantos casos são favoráveis a A.

Exemplo-guia desta matéria: uma urna contém 6 bolas vermelhas e 3 bolas azuis, total de 9 bolas. Se a primeira bola retirada, sem reposição, foi vermelha, restam 5 vermelhas e 3 azuis, total de 8 bolas. Logo, \( P(\text{2ª vermelha} | \text{1ª vermelha}) = \frac{5}{8} = 62,5\% \). Antes de qualquer retirada, a chance de sair vermelha era \( \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \), cerca de 66,7%. A condição “a primeira foi vermelha” tirou uma vermelha da urna e, por isso, baixou a chance da segunda também ser vermelha.

Incidência: ♨️ Morno. O tema aparece com frequência em questões de tabelas, urnas e dados, quase sempre exigindo que o estudante perceba qual informação já é conhecida antes de calcular. Para revisar a base, vale começar pela probabilidade: visão geral.

O que significa “dado que”

Em probabilidade condicional, a expressão “dado que”, “sabendo que” ou “sendo que” é o sinal de alerta. Ela indica que parte dos resultados já está descartada. O erro mais comum é calcular a probabilidade sobre o espaço amostral original, como se a informação nova não existisse.

Considere o lançamento de um dado comum. A probabilidade de sair 6 é \( \frac{1}{6} \). Mas, se já sabemos que o resultado foi par, o espaço amostral reduzido passa a ser {2, 4, 6}, com apenas 3 resultados. Nesse novo espaço, a probabilidade de ter saído 6 é \( \frac{1}{3} \), e não mais \( \frac{1}{6} \). A condição dobrou a chance, porque eliminou os resultados ímpares.

Outro exemplo: no lançamento de dois dados, sabendo que o primeiro dado deu 3, qual é a probabilidade de a soma ser 7? O primeiro dado já está fixo em 3, então só falta o segundo dado: ele precisa ser 4. Logo, a probabilidade é \( \frac{1}{6} \). Sem a informação do primeiro dado, a probabilidade de soma 7 seria \( \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \) — neste caso, por coincidência, o valor é o mesmo, mas o raciocínio é diferente: com a condição, contamos apenas os 6 resultados possíveis para o segundo dado.

Regra prática: primeiro identifique o evento condicionante (o que já aconteceu) e reescreva o espaço amostral só com os casos compatíveis com ele. Depois, conte quantos desses casos também satisfazem o evento pedido. Essa ordem — restringir, depois contar — resolve a maioria das questões do ENEM.

A fórmula e quando usar cada caminho

A fórmula \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) é a definição formal. Ela é especialmente útil quando o problema já fornece probabilidades, e não contagens diretas. Veja um caso: se \( P(B) = \frac{3}{5} = 60\% \) e \( P(A \cap B) = \frac{1}{5} = 20\% \), então \( P(A|B) = \frac{1/5}{3/5} = \frac{1}{3} \), cerca de 33,3%. Observe que dividir frações com o mesmo denominador equivale, aqui, a dividir os numeradores: \( 1 \div 3 \).

Quando o problema dá contagens, o caminho do espaço amostral reduzido é mais direto e evita frações desnecessárias. Os dois caminhos dão sempre o mesmo resultado, e conferir um pelo outro é uma ótima forma de evitar erros na prova.

Um ponto que confunde muita gente: \( P(A|B) \) não é, em geral, igual a \( P(B|A) \). Saber que alguém foi aprovado muda a chance de essa pessoa ter estudado, mas esse valor não é o mesmo que a chance de aprovação de quem estudou. A tabela de contingência da próxima seção mostra essa diferença com números.

Tabela de contingência: o modelo que mais cai no ENEM

Em uma pesquisa com 200 estudantes, perguntou-se se eles estudaram todos os dias na semana anterior à prova e se foram aprovados. Os resultados foram organizados na tabela abaixo. Ela é o modelo mais frequente de probabilidade condicional no ENEM: a condição escolhe uma linha ou uma coluna, e o cálculo é feito apenas dentro dela.

Confira os totais antes de qualquer conta: \( 96 + 24 = 120 \), \( 20 + 60 = 80 \), \( 96 + 20 = 116 \), \( 24 + 60 = 84 \) e \( 120 + 80 = 200 \). Se algum total não bater, a tabela foi lida errado — e esse é o erro mais comum nesse tipo de questão.

Agora, as três probabilidades que mais geram confusão, todas tiradas da mesma tabela:

• Probabilidade de aprovação entre quem estudou: a condição é “estudou”, então trabalhamos só na primeira linha, com 120 estudantes. Desses, 96 foram aprovados. Logo, \( P(\text{aprovado} | \text{estudou}) = \frac{96}{120} = \frac{4}{5} = 80\% \).
• Probabilidade de aprovação no total: sem condição, usamos todos os 200 estudantes. Logo, \( P(\text{aprovado}) = \frac{116}{200} = \frac{29}{50} = 58\% \). Note como a informação “estudou” elevou a chance de 58% para 80%.
• Probabilidade de ter estudado entre os aprovados: agora a condição é outra — “foi aprovado” —, então trabalhamos só na primeira coluna, com 116 aprovados. Desses, 96 estudaram. Logo, \( P(\text{estudou} | \text{aprovado}) = \frac{96}{116} = \frac{24}{29} \), cerca de 82,8%. É diferente de 80%: inverter a condição muda o denominador e, portanto, o resultado.

Pela fórmula, o primeiro caso também confere: \( P(\text{estudou e aprovado}) = \frac{96}{200} = 48\% \) e \( P(\text{estudou}) = \frac{120}{200} = 60\% \), então \( P(\text{aprovado} | \text{estudou}) = \frac{96/200}{120/200} = \frac{96}{120} = \frac{4}{5} = 80\% \). Os dois caminhos chegam ao mesmo valor, como devem chegar.

Urna sem reposição: o exemplo clássico, passo a passo

Voltemos à urna com 6 bolas vermelhas e 3 bolas azuis, total de 9 bolas. As retiradas são feitas sem reposição, ou seja, a bola retirada não volta para a urna. Esse detalhe é decisivo: cada retirada muda a composição da urna e, portanto, as probabilidades seguintes.

Observe que, após a primeira vermelha, as duas probabilidades condicionais somam 1: \( \frac{5}{8} + \frac{3}{8} = \frac{8}{8} = 1 \), ou seja, 100%. Isso sempre acontece quando se fixam as condições: dentro do novo espaço amostral, algum resultado tem de ocorrer.

A probabilidade de as duas bolas serem vermelhas, sem reposição, pode ser calculada multiplicando as etapas: \( \frac{6}{9} \times \frac{5}{8} = \frac{30}{72} = \frac{5}{12} \), cerca de 41,7%. Pela fórmula da probabilidade condicional, o resultado confere: \( P(\text{1ª vermelha e 2ª vermelha}) = \frac{5}{12} \) e \( P(\text{1ª vermelha}) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \), então \( \frac{5/12}{2/3} = \frac{5}{12} \times \frac{3}{2} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \). Se as retiradas fossem com reposição, a primeira bola voltaria para a urna e a probabilidade de duas vermelhas seria \( \frac{6}{9} \times \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \), cerca de 44,4% — um valor diferente, que mostra por que ler “com” ou “sem reposição” é obrigatório.

Quando as retiradas são com reposição, o resultado anterior não altera a composição da urna, e os eventos são independentes. Quando são sem reposição, os eventos são dependentes, e é exatamente aí que a probabilidade condicional entra. Para comparar com o caso de eventos que acontecem ao mesmo tempo, veja a matéria de probabilidade de eventos simultâneos.

Dois dados com condição: restringir antes de contar

No lançamento de dois dados, o espaço amostral completo tem \( 6 \times 6 = 36 \) pares. Com uma condição, esse total cai — e é essa redução que resolve a questão. Exemplo: sabendo que a soma dos dois dados foi maior que 8, qual é a probabilidade de um dos dados ser 6?

Primeiro, listamos os pares com soma maior que 8. Soma 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) — 4 pares. Soma 10: (4,6), (5,5), (6,4) — 3 pares. Soma 11: (5,6), (6,5) — 2 pares. Soma 12: (6,6) — 1 par. Total do espaço reduzido: \( 4 + 3 + 2 + 1 = 10 \) pares.

Desses 10 pares, os que têm um dado igual a 6 são: (3,6), (6,3), (4,6), (6,4), (5,6), (6,5) e (6,6) — 7 pares. Portanto, \( P(\text{um dado é 6} | \text{soma maior que 8}) = \frac{7}{10} = 70\% \). Sem a condição, a probabilidade de sair pelo menos um 6 nos dois dados seria bem menor: os pares com pelo menos um 6 são 11 em 36, ou seja, cerca de 30,6%. A condição “soma maior que 8” eliminou justamente os pares sem 6, elevando a chance para 70%.

Esse mesmo raciocínio aparece na probabilidade da união de eventos quando se somam casos, e na contagem de casos favoráveis em geral, que depende da combinação quando a ordem não importa. O segredo, em todos esses temas, é o mesmo: listar com cuidado antes de dividir.

Eventos independentes e eventos dependentes

Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Nesse caso, \( P(A|B) = P(A) \). Lançar uma moeda duas vezes é o exemplo clássico: saber que a primeira deu cara não muda a chance de a segunda dar cara, que continua \( \frac{1}{2} \).

Dois eventos são dependentes quando a ocorrência de um altera a probabilidade do outro — como nas retiradas sem reposição da urna. Nesse caso, \( P(A|B) \neq P(A) \), e é preciso recalcular o espaço amostral após a primeira ocorrência.

Na prova, a dependência quase sempre vem disfarçada de uma palavra: “sem reposição”, “retiradas sucessivas”, “sabendo que” ou uma tabela que cruza duas características. Ao encontrar qualquer uma delas, desconfie de que o espaço amostral mudou — e recalcule-o antes de responder.

Mapa mental

Probabilidade condicional — a chance de A, sabendo que B já aconteceu.

• Fórmula: \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \), com \( P(B) \neq 0 \).
• Caminho prático: restringir o espaço amostral aos casos compatíveis com B e contar os favoráveis a A dentro dele.
• Sinais no enunciado: “dado que”, “sabendo que”, “sendo que”, “sem reposição”, tabelas de dupla entrada.
• Urna-guia (6 vermelhas, 3 azuis, total 9): \( P(\text{vermelha}) = \frac{2}{3} \); após uma vermelha, \( P(\text{2ª vermelha} | \text{1ª vermelha}) = \frac{5}{8} = 62,5\% \) e \( P(\text{2ª azul} | \text{1ª vermelha}) = \frac{3}{8} = 37,5\% \).
• Duas vermelhas sem reposição: \( \frac{6}{9} \times \frac{5}{8} = \frac{5}{12} \), cerca de 41,7%; com reposição, \( \frac{4}{9} \), cerca de 44,4%.
• Tabela (200 estudantes): \( P(\text{aprovado} | \text{estudou}) = \frac{96}{120} = 80\% \); \( P(\text{estudou} | \text{aprovado}) = \frac{96}{116} = \frac{24}{29} \), cerca de 82,8% — inverter a condição muda o resultado.
• Dois dados: soma maior que 8 restringe a 10 pares; com um dado 6 em 7 deles, a probabilidade é \( \frac{7}{10} = 70\% \).
• Independentes: \( P(A|B) = P(A) \); dependentes: o espaço amostral muda após o primeiro evento.
• Conferência: dentro de uma mesma condição, as probabilidades somam 1; se o resultado passar de 1, a contagem está errada.

Perguntas e respostas curtas

1. O que é probabilidade condicional? É a probabilidade de um evento A acontecer sabendo que outro evento B já aconteceu, indicada por \( P(A|B) \).

2. Qual é a fórmula da probabilidade condicional? \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \), válida quando \( P(B) \neq 0 \).

3. Qual é o primeiro passo para resolver uma questão de probabilidade condicional? Identificar a condição e restringir o espaço amostral apenas aos casos compatíveis com ela, antes de contar os favoráveis.

4. Em uma urna com 6 bolas vermelhas e 3 azuis, sem reposição, se a primeira bola foi vermelha, qual é a probabilidade de a segunda ser vermelha? Restam 5 vermelhas em 8 bolas, então \( \frac{5}{8} = 62,5\% \).

5. Por que \( P(A|B) \) é, em geral, diferente de \( P(B|A) \)? Porque cada uma usa um denominador diferente: a primeira restringe aos casos em que B ocorreu, e a segunda, aos casos em que A ocorreu.

6. O que são eventos independentes? São eventos em que a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro, ou seja, \( P(A|B) = P(A) \).

7. O que muda em retiradas sem reposição? A bola retirada não volta para a urna, então o total e a composição mudam na retirada seguinte, tornando os eventos dependentes.

Questões comentadas

Questão 1. Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 3 bolas azuis, todas idênticas exceto pela cor. Retiram-se duas bolas seguidas, sem reposição. Sabendo que a primeira bola retirada foi vermelha, qual é a probabilidade de a segunda bola ser azul?

Gabarito: \( \frac{3}{8} \). Comentário: após a retirada da primeira vermelha, restam 5 vermelhas e 3 azuis, total de 8 bolas. A condição restringe o espaço amostral a essas 8 bolas, das quais 3 são azuis. Logo, \( P = \frac{3}{8} = 37,5\% \).

Questão 2. Em uma pesquisa com 200 estudantes, 120 estudaram todos os dias e, desses, 96 foram aprovados; 80 não estudaram todos os dias e, desses, 20 foram aprovados. Escolhendo ao acaso um estudante aprovado, qual é a probabilidade de ele ter estudado todos os dias?

Gabarito: \( \frac{24}{29} \). Comentário: a condição é “foi aprovado”. O total de aprovados é \( 96 + 20 = 116 \), e, desses, 96 estudaram todos os dias. Logo, \( P = \frac{96}{116} = \frac{24}{29} \), cerca de 82,8%. Atenção: não é \( \frac{96}{120} = 80\% \), que seria a probabilidade de aprovação entre quem estudou — a condição invertida.

Questão 3. Dois dados comuns são lançados. Sabendo que a soma dos resultados foi 9, qual é a probabilidade de um dos dados ter resultado 5?

Gabarito: \( \frac{1}{2} \). Comentário: os pares com soma 9 são (3,6), (4,5), (5,4) e (6,3) — 4 pares no espaço reduzido. Desses, 2 têm um dado igual a 5: (4,5) e (5,4). Logo, \( P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 50\% \).

Questão 4. Um dado comum é lançado. Sabendo que o resultado foi par, qual é a probabilidade de ele ser maior que 4?

Gabarito: \( \frac{1}{3} \). Comentário: a condição “par” reduz o espaço amostral a {2, 4, 6}, com 3 resultados. Desses, apenas o 6 é maior que 4. Logo, \( P = \frac{1}{3} \), cerca de 33,3%. Sem a condição, a probabilidade de sair um número maior que 4 seria \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) — o mesmo valor, mas obtido por outro caminho.

Questão 5. Uma caixa contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Retiram-se duas bolas seguidas, sem reposição. Sabendo que a primeira bola retirada foi preta, qual é a probabilidade de a segunda bola ser branca?

Gabarito: \( \frac{4}{9} \). Comentário: após a retirada de uma preta, restam 4 brancas e 5 pretas, total de 9 bolas. Logo, \( P = \frac{4}{9} \), cerca de 44,4%. O erro clássico aqui seria usar o total original de 10 bolas e responder \( \frac{4}{10} \).

Dica do professor

Sempre que o enunciado trouxer “sabendo que”, sublinhe a condição e reescreva o espaço amostral antes de qualquer divisão. Em tabelas, circule a linha ou a coluna da condição e ignore o resto da tabela até terminar a conta; em urnas, risque a bola retirada e atualize os dois números — favoráveis e total — antes de calcular a segunda etapa. Por fim, confira o resultado por outro caminho (fórmula ou contagem direta): se os dois não baterem, um deles contou um caso a mais ou a menos.

Atenção e cuidado

Cuidado com cinco armadilhas frequentes: (1) calcular sobre o espaço amostral original, ignorando a condição; (2) trocar \( P(A|B) \) por \( P(B|A) \) — inverter a condição muda o denominador; (3) esquecer que, sem reposição, o total diminui na segunda retirada; (4) usar a fórmula com \( P(B) = 0 \), o que é impossível, pois não se pode condicionar a um evento que nunca acontece; (5) aceitar um resultado maior que 1 (100%) — dentro de uma mesma condição, as probabilidades sempre somam 1, então um valor acima disso indica erro de contagem.

Conexão com outras áreas

Probabilidade condicional aparece na Biologia, quando se calcula a chance de um descendente ter certa característica sabendo o genótipo dos pais; na Medicina, na interpretação de testes diagnósticos, em que a chance de doença dado um resultado positivo depende da prevalência; na Geografia e nas Atualidades, na leitura de pesquisas que cruzam duas variáveis, como escolaridade e aprovação; e na vida prática, em seguros, jogos e decisões sob incerteza, em que cada informação nova atualiza a chance. Dominar a restrição do espaço amostral abre caminho para a análise combinatória e para a estatística, que costumam aparecer juntas nas provas.