Critérios de divisibilidade e Números primos: o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

Dizer que um número é divisível por outro é dizer que a divisão entre eles é exata, com resto zero. Assim, 342 é divisível por 3 porque \( 342 \div 3 = 114 \), sem resto. Os critérios de divisibilidade são atalhos que permitem descobrir isso sem fazer a conta completa: basta olhar para o último algarismo, para a soma dos algarismos ou para os dois últimos algarismos, conforme o divisor. É um tema ♨️ Morno no ENEM e nos vestibulares: raramente aparece sozinho, mas resolve rápido questões de Matemática sobre simplificação de frações, resto de divisão, senhas, códigos e contagem.

Nesta matéria você vai aprender os critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 11, com exemplos resolvidos e aritmética conferida, e a segunda metade do tema: o que são números primos e compostos, como encontrá-los com o crivo de Eratóstenes e como decompor qualquer número em fatores primos. A ideia central é uma só: todo número inteiro maior que 1 pode ser desmontado em primos, como \( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \), e quem domina essa desmontagem simplifica frações, encontra MMC e MDC e resolve problemas de divisão sem depender da calculadora. Esta matéria, pensada para a sala de estudo, traz o passo a passo completo, sem pular etapas.

O que significa ser divisível

Dizemos que \( a \) é divisível por \( b \) (com \( b \neq 0 \)) quando existe um número inteiro \( q \) tal que \( a = b \times q \). Em outras palavras, a divisão de \( a \) por \( b \) tem resto zero. Por exemplo, 84 é divisível por 7 porque \( 84 = 7 \times 12 \), e 84 não é divisível por 5 porque \( 84 \div 5 = 16 \) com resto 4. Quando um número divide outro exatamente, ele é chamado de divisor; quando um número pode ser obtido multiplicando outro, ele é múltiplo. Assim, 12 é divisor de 60, e 60 é múltiplo de 12, porque \( 60 = 12 \times 5 \).

Todo número inteiro tem pelo menos dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. Os divisores de 12, por exemplo, são 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Já os múltiplos de 12 são infinitos: 12, 24, 36, 48, 60, e assim por diante. Confundir divisor com múltiplo é um erro clássico de prova: divisor cabe dentro do número, múltiplo é o número esticado pela multiplicação. Para revisar as operações que sustentam tudo isso, vale a matéria sobre as quatro operações e expressões numéricas.

Os critérios de divisibilidade existem porque, em prova, fazer divisões longas para testar cada divisor toma tempo e convida ao erro. Com eles, você decide em segundos se um número grande é divisível por 3, por 9 ou por 11, por exemplo. O segredo é saber qual parte do número olhar em cada caso: às vezes é só o último algarismo, às vezes é a soma de todos eles, às vezes são os dois ou três últimos. A tabela no fim desta matéria resume todos os critérios em um só lugar, para consulta rápida na revisão.

Critérios de divisibilidade por 2, 5 e 10: olhe o último algarismo

Um número é divisível por 2 quando é par, ou seja, quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. Assim, 342 é divisível por 2 (termina em 2; \( 342 \div 2 = 171 \)) e 1.347 não é (termina em 7; \( 1.347 \div 2 = 673 \) com resto 1). Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5: 1.345 é divisível por 5 (\( 1.345 \div 5 = 269 \)) e 1.347 não é. E um número é divisível por 10 quando termina em 0: 1.340 é divisível por 10 (\( 1.340 \div 10 = 134 \)), mas 1.345 não é.

Repare na lógica: todo número terminado em 0 é divisível por 2, por 5 e por 10 ao mesmo tempo, porque 10 é múltiplo de 2 e de 5. Já um número terminado em 5 é divisível por 5, mas nunca por 2, porque é ímpar. Esses três critérios são os mais rápidos da lista e os primeiros que você deve aplicar quando uma questão pede para testar vários divisores de uma vez.

Critérios de divisibilidade por 3 e 9: some os algarismos

Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 3. O exemplo clássico: 342 é divisível por 3 porque \( 3 + 4 + 2 = 9 \), e 9 é divisível por 3 (\( 342 \div 3 = 114 \)). Outro exemplo: 1.347 é divisível por 3 porque \( 1 + 3 + 4 + 7 = 15 \), e 15 é divisível por 3 (\( 1.347 \div 3 = 449 \)). Já 1.348 não é divisível por 3, porque \( 1 + 3 + 4 + 8 = 16 \), e 16 não é divisível por 3.

O critério do 9 é idêntico, trocando o divisor: um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 9. Assim, 342 também é divisível por 9, porque a soma 9 é divisível por 9 (\( 342 \div 9 = 38 \)). Mas 1.347 não é divisível por 9, porque a soma 15 não é divisível por 9 (\( 1.347 \div 9 = 149 \) com resto 6). Todo número divisível por 9 é divisível por 3, mas o contrário não vale: 1.347 é divisível por 3 e não por 9. Essa pegadinha aparece com frequência em questões de múltipla escolha.

Um truque útil: se a soma dos algarismos ficar grande, some de novo. Para 98.765, a soma é \( 9 + 8 + 7 + 6 + 5 = 35 \); somando os algarismos de 35, \( 3 + 5 = 8 \), que não é divisível por 3 nem por 9. Logo, 98.765 não é divisível por 3 nem por 9. Confira: \( 98.765 \div 3 = 32.921 \) com resto 2.

Critérios de divisibilidade por 4 e 8: olhe os últimos algarismos

Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um número divisível por 4 (ou são 00). Assim, 1.344 é divisível por 4 porque 44 é divisível por 4 (\( 1.344 \div 4 = 336 \)), e 342 não é divisível por 4 porque 42 não é divisível por 4 (\( 342 \div 4 = 85 \) com resto 2). O motivo é simples: 100 é múltiplo de 4, então tudo o que vem antes dos dois últimos algarismos já é múltiplo de 4, e só o final decide.

Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos formam um número divisível por 8 (ou são 000). Assim, 1.344 também é divisível por 8, porque 344 é divisível por 8 (\( 344 \div 8 = 43 \), logo \( 1.344 \div 8 = 168 \)). Já 1.340 não é divisível por 8, porque 340 não é divisível por 8 (\( 340 \div 8 = 42 \) com resto 4). O mesmo raciocínio vale: 1.000 é múltiplo de 8, então só os três últimos algarismos decidem. O erro mais comum aqui é olhar apenas o último algarismo para o 4 e o 8 — não basta: 342 termina em 2, que é par, mas não é divisível por 4.

Critério de divisibilidade por 6: combine o 2 e o 3

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, porque \( 6 = 2 \times 3 \) e os fatores 2 e 3 não têm divisor em comum além do 1. Assim, 342 é divisível por 6: é par (divisível por 2) e a soma dos algarismos é 9 (divisível por 3); confira, \( 342 \div 6 = 57 \). Já 1.347 não é divisível por 6: é divisível por 3, mas é ímpar, então falha no critério do 2.

Esse critério combinado é um modelo para outros casos: para testar a divisibilidade por 12, por exemplo, basta testar por 3 e por 4 ao mesmo tempo, porque \( 12 = 3 \times 4 \) e 3 e 4 não têm divisor comum além do 1. Assim, 1.344 é divisível por 12: a soma dos algarismos é 12 (divisível por 3) e os dois últimos algarismos, 44, são divisíveis por 4; confira, \( 1.344 \div 12 = 112 \). Mas atenção: o truque só funciona quando os fatores não compartilham divisores. Para testar por 12, não adianta testar por 2 e por 6, porque 2 e 6 têm o divisor 2 em comum — um número pode ser divisível por 2 e por 6 sem ser divisível por 12, como o próprio 6.

Critério de divisibilidade por 7: dobre o último algarismo e subtraia

Um número é divisível por 7 quando, ao dobrar o seu último algarismo e subtrair o resultado do número formado pelos demais algarismos, o resultado é divisível por 7 (ou zero). O processo pode ser repetido até o número ficar pequeno. Exemplo: 357 é divisível por 7? Dobrando o último algarismo, \( 2 \times 7 = 14 \); subtraindo do restante, \( 35 – 14 = 21 \), que é divisível por 7. Logo, 357 é divisível por 7; confira, \( 357 \div 7 = 51 \). Outro exemplo: 203 é divisível por 7? Dobrando o último algarismo, \( 2 \times 3 = 6 \); subtraindo, \( 20 – 6 = 14 \), divisível por 7; confira, \( 203 \div 7 = 29 \).

Um contraexemplo: 341 é divisível por 7? Dobrando o último algarismo, \( 2 \times 1 = 2 \); subtraindo, \( 34 – 2 = 32 \), que não é divisível por 7. Logo, 341 não é divisível por 7; confira, \( 341 \div 7 = 48 \) com resto 5. O critério do 7 é o menos intuitivo da lista e quase não aparece em questões diretas, mas vale conhecê-lo para não ficar travado se ele surgir — e para entender que nem todo critério é tão simples quanto o do 2 ou do 5.

Critério de divisibilidade por 11: some e subtraia alternando

Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par (contando da direita para a esquerda) é divisível por 11, ou seja, 0 ou um múltiplo de 11. Exemplo: 847 é divisível por 11? Da direita para a esquerda, as posições ímpares são 7 e 8, e a posição par é 4. Somando as ímpares, \( 7 + 8 = 15 \); subtraindo a par, \( 15 – 4 = 11 \), que é divisível por 11. Logo, 847 é divisível por 11; confira, \( 847 \div 11 = 77 \).

Outro exemplo famoso: 1.001 é divisível por 11? As posições ímpares, da direita, são 1 e 0, somando 1; as pares são 0 e 1, somando 1; a diferença é \( 1 – 1 = 0 \), divisível por 11. Confira, \( 1.001 \div 11 = 91 \). E um contraexemplo: 342 é divisível por 11? Posições ímpares: 2 e 3, soma 5; posição par: 4; diferença \( 5 – 4 = 1 \), que não é divisível por 11. Logo, 342 não é divisível por 11; confira, \( 342 \div 11 = 31 \) com resto 1. O erro mais comum aqui é começar a contagem pela esquerda ou somar todos os algarismos sem alternar o sinal — a alternância é justamente o que faz o critério funcionar.

Números primos e compostos

Um número primo é um número inteiro maior que 1 que tem exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. Assim, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29 são primos. O número 97 é primo: para confirmar, basta testar os primos até a raiz quadrada de 97, que é aproximadamente 9,8, ou seja, testar 2, 3, 5 e 7 — e 97 não é divisível por nenhum deles (\( 97 \div 2 = 48 \) com resto 1, \( 97 \div 3 = 32 \) com resto 1, \( 97 \div 5 = 19 \) com resto 2, \( 97 \div 7 = 13 \) com resto 6). Já 91 não é primo, embora pareça: \( 91 = 7 \times 13 \).

Um número composto é um número inteiro maior que 1 que tem mais de dois divisores positivos, ou seja, que pode ser escrito como produto de dois números menores que ele. Assim, 4 é composto (\( 4 = 2 \times 2 \)), 60 é composto (\( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \)) e 91 é composto (\( 91 = 7 \times 13 \)). E o número 1 não é primo nem composto: ele tem um único divisor positivo, ele mesmo, e por isso fica fora das duas classificações. O número 0 também não entra em nenhuma das duas.

Existem dois fatos sobre primos que toda prova adora cobrar. Primeiro: o 2 é o único número primo par; todos os outros primos são ímpares, porque qualquer outro número par maior que 2 é divisível por 2 e, portanto, composto. Segundo: existem infinitos números primos, resultado provado por Euclides há mais de dois mil anos. Entre 1 e 100, há exatamente 25 números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97. Decorar essa lista até 100 é um investimento que se paga em muitas questões.

Um atalho prático para testar se um número é primo: divida-o pelos primos em ordem crescente até chegar a um primo cujo quadrado seja maior que o número. Se nenhuma divisão for exata, o número é primo. Para 143, por exemplo, testamos 2 (não divide), 3 (\( 1 + 4 + 3 = 8 \), não divide), 5 (não termina em 0 ou 5) e 7 (\( 143 \div 7 = 20 \) com resto 3); como \( 11^2 = 121 \) é menor que 143, continuamos e testamos 11: \( 143 \div 11 = 13 \), exato. Logo, 143 é composto, \( 143 = 11 \times 13 \). Se o teste tivesse chegado a um primo com quadrado maior que 143 sem divisão exata, o número seria primo.

O crivo de Eratóstenes

O crivo de Eratóstenes é um método antigo e visual para encontrar todos os primos até um certo limite, sem precisar testar cada número um por um. O procedimento, para encontrar os primos até 50, é o seguinte. Primeiro, escreva os números de 1 a 50. Risque o 1, que não é primo. Mantenha o 2 e risque todos os seus múltiplos: 4, 6, 8, e assim por diante. Mantenha o 3, o próximo número não riscado, e risque todos os seus múltiplos: 9, 15, 21, e assim por diante. Continue com o 5 e com o 7, riscando os múltiplos de cada um. Quando chegar a um número cujo quadrado passa de 50, pode parar: todos os números que sobraram sem risco são primos.

O resultado do crivo até 50 são 15 números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47. Repare que não foi preciso riscar os múltiplos de 11, 13 e demais, porque o quadrado de 11 já é 121, maior que 50 — os múltiplos deles até 50 já tinham sido riscados como múltiplos de primos menores. O crivo mostra, de forma concreta, por que os primos vão ficando mais raros à medida que os números crescem: cada primo novo risca uma nova família de múltiplos.

Decomposição em fatores primos

Decompor um número em fatores primos é escrevê-lo como produto apenas de números primos. O Teorema Fundamental da Aritmética garante que essa decomposição existe e é única, a menos da ordem dos fatores: todo número inteiro maior que 1 pode ser desmontado em primos de um único jeito. É por isso que \( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \) é a decomposição de 60, e não há outra diferente dela.

O método prático é a divisão sucessiva: divida o número pelo menor primo que o divide, anote o quociente, e repita até chegar a 1. Para 360: \( 360 \div 2 = 180 \); \( 180 \div 2 = 90 \); \( 90 \div 2 = 45 \); \( 45 \div 3 = 15 \); \( 15 \div 3 = 5 \); \( 5 \div 5 = 1 \). Juntando os divisores usados, \( 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \). Confira: \( 8 \times 9 \times 5 = 360 \). Outro exemplo, para 84: \( 84 \div 2 = 42 \); \( 42 \div 2 = 21 \); \( 21 \div 3 = 7 \); \( 7 \div 7 = 1 \). Logo, \( 84 = 2^2 \times 3 \times 7 \). Confira: \( 4 \times 3 \times 7 = 84 \).

A decomposição é a ferramenta que destrava o resto da aritmética. Para simplificar uma fração, divida numerador e denominador pelos primos em comum: \( \frac{84}{360} = \frac{2^2 \times 3 \times 7}{2^3 \times 3^2 \times 5} = \frac{7}{2 \times 3 \times 5} = \frac{7}{30} \). Confira: \( 84 \div 12 = 7 \) e \( 360 \div 12 = 30 \), porque o maior divisor comum de 84 e 360 é 12. Para saber quantos divisores um número tem, some 1 a cada expoente da decomposição e multiplique: 360 tem \( (3 + 1) \times (2 + 1) \times (1 + 1) = 4 \times 3 \times 2 = 24 \) divisores positivos. E para trabalhar com conjuntos numéricos, lembrar que primos e compostos são todos números naturais ajuda a situar o tema no mapa da Matemática.

MMC e MDC: apenas a conexão

O MMC (mínimo múltiplo comum) e o MDC (máximo divisor comum) usam a decomposição em fatores primos, mas são tema de artigo próprio e não serão desenvolvidos aqui. A conexão breve é esta: para 12 e 18, as decomposições são \( 12 = 2^2 \times 3 \) e \( 18 = 2 \times 3^2 \). O MDC pega os fatores comuns com os menores expoentes, \( 2 \times 3 = 6 \); o MMC pega todos os fatores com os maiores expoentes, \( 2^2 \times 3^2 = 36 \). Confira: 36 é múltiplo de 12 (\( 36 = 12 \times 3 \)) e de 18 (\( 36 = 18 \times 2 \)), e 6 divide 12 e 18. Guarde a ponte: sem decompor em primos, não há MMC nem MDC rápidos — e é por isso que este artigo vem antes.

Tabela 1: os critérios de divisibilidade

Tabela 2: primos, compostos e nem um nem outro

Mapa mental

• Divisibilidade
  • Definição: resto zero; divisor cabe no número, múltiplo é o número esticado
  • Último algarismo: 2 (par), 5 (0 ou 5), 10 (0)
  • Soma dos algarismos: 3 e 9
  • Últimos algarismos: 4 (dois últimos), 8 (três últimos)
  • Combinados: 6 (2 e 3), 12 (3 e 4)
  • Especiais: 7 (dobrar e subtrair), 11 (somar e subtrair alternando)
• Números primos
  • Exatamente dois divisores: 1 e ele mesmo; 2 é o único primo par
  • 1 e 0 não são primos nem compostos; 91 = 7 × 13 e 143 = 11 × 13 são compostos
  • Teste de primalidade: dividir pelos primos até o quadrado passar do número
  • 25 primos até 100; 15 primos até 50, encontrados pelo crivo
• Crivo de Eratóstenes
  • Escrever os números, riscar o 1, manter o primo e riscar seus múltiplos, repetir
  • Parar quando o quadrado do primo passar do limite
• Decomposição em fatores primos
  • Divisão sucessiva pelo menor primo que divide, até chegar a 1
  • Exemplos: \( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \); \( 84 = 2^2 \times 3 \times 7 \); \( 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \)
  • Usos: simplificar frações, contar divisores, MMC e MDC

SAQ — Perguntas curtas com resposta

1. O que significa dizer que um número é divisível por outro? Significa que a divisão é exata, com resto zero. Por exemplo, 342 é divisível por 3 porque \( 342 \div 3 = 114 \), sem resto.

2. Como sei, sem dividir, se um número é divisível por 3? Somando os algarismos: se a soma for divisível por 3, o número é. Para 342, \( 3 + 4 + 2 = 9 \), divisível por 3.

3. Qual é a diferença entre o critério do 3 e o do 9? O procedimento é o mesmo, somar os algarismos, mas o 9 exige que a soma seja divisível por 9. Todo número divisível por 9 é divisível por 3, mas o contrário não vale: 1.347 é divisível por 3 e não por 9.

4. Por que 342 não é divisível por 4, se é par? Porque o critério do 4 olha os dois últimos algarismos, não só o último: 42 não é divisível por 4, então \( 342 \div 4 = 85 \) com resto 2.

5. O que é um número primo? É um número maior que 1 com exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11 e 97.

6. Por que o 1 não é primo? Porque ele tem um único divisor positivo, ele mesmo. A definição de primo exige exatamente dois divisores, então o 1 fica fora da classificação, assim como o 0.

7. Como funciona o crivo de Eratóstenes? Escrevem-se os números até o limite, risca-se o 1, mantém-se cada primo e riscam-se seus múltiplos, até que o quadrado do primo passe do limite. Os números que sobram são os primos.

8. Para que serve a decomposição em fatores primos? Para simplificar frações, contar divisores e calcular MMC e MDC. Por exemplo, \( 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \) permite simplificar \( \frac{84}{360} = \frac{7}{30} \).

Questões comentadas

Questão 1. Considere o número 2.574. Sobre ele, é correto afirmar que ele é divisível por

A) 2 e 3, apenas. B) 3 e 9, apenas. C) 2, 3, 6 e 9. D) 4 e 8, apenas. E) 5 e 10, apenas.

Gabarito: C. O número é par, então é divisível por 2. A soma dos algarismos é \( 2 + 5 + 7 + 4 = 18 \), divisível por 3 e por 9, então é divisível por 3 e por 9. Sendo divisível por 2 e por 3, também é divisível por 6. Confira: \( 2.574 \div 6 = 429 \) e \( 2.574 \div 9 = 286 \). Não é divisível por 4 (74 não é divisível por 4), nem por 5 ou 10 (não termina em 0 ou 5). A alternativa C é a correta.

Questão 2. Entre os números 91, 97, 111, 121 e 143, quantos são primos?

A) Nenhum. B) Apenas um. C) Apenas dois. D) Apenas três. E) Todos.

Gabarito: B. Temos \( 91 = 7 \times 13 \), \( 111 = 3 \times 37 \), \( 121 = 11^2 \) e \( 143 = 11 \times 13 \), todos compostos. Resta o 97, que não é divisível por 2, 3, 5 nem 7, e \( 11^2 = 121 \) já passa de 97, então o teste para por aí. Apenas um número da lista é primo. A alternativa B é a correta.

Questão 3. A decomposição em fatores primos do número 360 é

A) \( 2^2 \times 3^2 \times 5 \). B) \( 2^3 \times 3^2 \times 5 \). C) \( 2^3 \times 3 \times 5 \). D) \( 2^2 \times 3 \times 5^2 \). E) \( 2 \times 3^2 \times 5^2 \).

Gabarito: B. Dividindo sucessivamente: \( 360 \div 2 = 180 \), \( 180 \div 2 = 90 \), \( 90 \div 2 = 45 \), \( 45 \div 3 = 15 \), \( 15 \div 3 = 5 \) e \( 5 \div 5 = 1 \). Foram usados três fatores 2, dois fatores 3 e um fator 5, logo \( 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \). Confira: \( 8 \times 9 \times 5 = 360 \). A alternativa B é a correta.

Questão 4. Aplicando o crivo de Eratóstenes até 50, quantos números primos restam ao final do processo?

A) 12. B) 13. C) 14. D) 15. E) 16.

Gabarito: D. Riscando o 1 e os múltiplos de 2, 3, 5 e 7, sobram 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47. São 15 números, e o processo para no 7 porque \( 11^2 = 121 \) já passa de 50. A alternativa D é a correta; a armadilha é contar o 1 como primo ou esquecer o 2, o único primo par.

Questão 5. Uma escola vai criar um código de acesso de três algarismos no formato 5a2, em que a é um algarismo a ser escolhido. Para que o código seja divisível por 11, o valor de a deve ser

A) 3. B) 5. C) 6. D) 7. E) 9.

Gabarito: D. Pelo critério do 11, contando da direita, as posições ímpares são 2 e 5, somando 7, e a posição par é a. A diferença \( 7 – a \) precisa ser 0 ou múltiplo de 11; como a é um algarismo, isso só acontece com \( a = 7 \). Confira: \( 572 \div 11 = 52 \), exato. A alternativa D é a correta.

Dica do professor

Na hora da prova, teste os divisores na ordem do mais fácil para o mais difícil: primeiro o último algarismo (2, 5 e 10), depois a soma dos algarismos (3 e 9), depois os dois últimos algarismos (4), e só então os critérios combinados (6) e os especiais (7 e 11). Essa ordem economiza tempo e evita que você faça divisões longas à toa. E, diante de um número que parece primo, como 91 ou 143, desconfie: teste os primos pequenos antes de marcar a resposta. Os examinadores adoram colocar compostos disfarçados de primos nas alternativas.

Atenção / cuidado

Os erros mais frequentes neste tema são: olhar só o último algarismo para decidir sobre o 4 e o 8, quando o critério exige os dois ou três últimos; achar que todo número divisível por 3 é divisível por 9, quando o 9 exige mais; contar o 1 como primo, quando ele não é primo nem composto; esquecer que o 2 é primo, por ser par; e, no critério do 11, somar todos os algarismos sem alternar o sinal ou começar a contagem pelo lado errado. Outro cuidado: no critério do 6, os dois testes precisam passar juntos — ser divisível só por 2 ou só por 3 não basta. Por fim, ao decompor em fatores primos, continue dividindo até chegar a 1: parar no meio deixa fatores compostos escondidos na resposta.

Conexão com outras áreas

Divisibilidade e números primos são a base de toda a aritmética que vem depois: simplificar frações, somar frações com denominadores diferentes, calcular MMC e MDC e trabalhar com expressões numéricas dependem deles. Na criptografia moderna, a segurança de senhas e transações na internet se apoia na dificuldade de decompor números gigantes em fatores primos — o mesmo conceito desta matéria, em escala muito maior. Na música, ritmos que se combinam usam o MMC para saber quando voltam a coincidir; na computação, primos aparecem em algoritmos de dispersão e geração de chaves. Dominar este tema destrava, ao mesmo tempo, Matemática, Física e as questões interdisciplinares dos vestibulares.

Incidência

Incidência: ♨️ Morno. Critérios de divisibilidade e números primos aparecem com frequência moderada no ENEM e nos vestibulares, quase sempre como ferramenta dentro de questões maiores — simplificação de frações, resto de divisão, contagem e códigos — e não como tema isolado. É um tema de alto retorno pelo baixo custo: poucos critérios, fáceis de memorizar, que economizam tempo e evitam erros em muitas outras questões da prova.