Direto ao assunto
Resumo rápido
Uma função afim é uma função da forma \( f(x) = ax + b \), em que \( a \) e \( b \) são números reais e \( a \neq 0 \). O número \( a \) é o coeficiente angular, que diz se a reta sobe ou desce e com que inclinação; o número \( b \) é o coeficiente linear, que diz onde a reta corta o eixo vertical. A função constante, \( f(x) = b \), é o caso particular em que não há variação: para qualquer valor de \( x \), o resultado é sempre o mesmo. É um tema 🔥 Quente no ENEM e nos vestibulares, porque modela quase tudo que varia em passos iguais: preço de corrida de táxi, salário com comissão, conta de luz com taxa fixa, produção com custo fixo e variável.
O gráfico de uma função afim é sempre uma reta, e o gráfico da função constante é uma reta horizontal. Por isso, grande parte das questões se resolve lendo o gráfico: a inclinação dá o coeficiente angular, o corte no eixo vertical dá o coeficiente linear, e o corte no eixo horizontal dá o zero da função. Esta matéria, pensada para a sala de estudo, ensina a montar a função a partir de dois pontos, de um ponto e da inclinação, e de uma situação do cotidiano, com exemplos numéricos resolvidos passo a passo e aritmética conferida.
O que é uma função?
Antes da função afim, vale lembrar o conceito de função: uma função é uma relação que associa a cada elemento de um conjunto, o domínio, um único elemento de outro conjunto, o contradomínio. O conjunto dos valores que realmente aparecem como resultado é a imagem. Na prática, você pode pensar na função como uma máquina: entra um valor \( x \), a máquina aplica uma regra, e sai um valor \( f(x) \), também chamado de \( y \). Cada entrada tem uma única saída, mas saídas podem se repetir: na função \( f(x) = x^2 \), por exemplo, \( f(2) = 4 \) e \( f(-2) = 4 \), e isso não quebra a definição, porque cada entrada continua tendo uma única saída.
Coeficientes angular e linear: o que cada um significa
O coeficiente angular \( a \) mede a taxa de variação: quanto \( f(x) \) muda quando \( x \) aumenta 1 unidade. Se \( a > 0 \), a função é crescente e a reta sobe da esquerda para a direita. Se \( a < 0 \), a função é decrescente e a reta desce. Se \( a = 0 \), a função é constante e a reta é horizontal. Quanto maior o valor absoluto de \( a \), mais inclinada é a reta: uma reta com \( a = 5 \) sobe muito mais rápido que uma reta com \( a = 1 \). O sinal de \( a \) é uma das informações mais cobradas na leitura de gráficos: basta olhar se a reta sobe ou desce.
O coeficiente linear \( b \) é o valor de \( f(0) \), ou seja, o ponto em que a reta corta o eixo vertical, o eixo \( y \). Em \( f(x) = 2x + 1 \), temos \( b = 1 \), e a reta corta o eixo vertical no ponto \( (0, 1) \). Em problemas do cotidiano, \( b \) costuma ser o valor inicial ou fixo: na corrida de táxi, é a bandeirada; no salário, é o fixo; na conta, é a taxa mínima. Já o coeficiente angular é o valor variável: o preço por quilômetro, a comissão por venda, o preço por quilowatt-hora.
O zero da função, ou raiz, é o valor de \( x \) para o qual \( f(x) = 0 \), ou seja, o ponto em que a reta corta o eixo horizontal. Para encontrá-lo, basta resolver \( ax + b = 0 \), o que dá \( x = -\frac{b}{a} \). Para \( f(x) = 2x + 1 \), o zero é \( x = -\frac{1}{2} \), pois \( 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = -1 + 1 = 0 \). Para \( f(x) = -2x + 6 \), o zero é \( x = -\frac{6}{-2} = 3 \), pois \( -2 \cdot 3 + 6 = 0 \). O zero divide a reta em duas partes: de um lado, a função é positiva; do outro, é negativa. Em uma função crescente, ela é negativa antes do zero e positiva depois; em uma função decrescente, é o contrário. Esse estudo do sinal aparece em questões sobre lucro e prejuízo, em que o zero é o ponto de equilíbrio, o famoso ponto em que a receita iguala o custo.
Exemplo resolvido passo a passo, com situação real. Uma corrida de táxi custa 5 reais de bandeirada mais 2 reais por quilômetro rodado. Qual é a função que dá o preço em função da distância, e quanto custa uma corrida de 12 quilômetros? Passo 1: identifique o fixo, \( b = 5 \), e o variável, \( a = 2 \). Passo 2: escreva a função: \( f(x) = 2x + 5 \), em que \( x \) é a distância em quilômetros. Passo 3: substitua \( x = 12 \): \( f(12) = 2 \cdot 12 + 5 = 24 + 5 = 29 \). Resposta: 29 reais. Passo 4, conferência: para 0 quilômetro, o preço é a bandeirada, 5 reais, o que bate com \( f(0) = 5 \). O modelo está correto.
Como montar a função afim a partir de dados
Na prova, a função raramente vem pronta: ela precisa ser montada a partir de dois pontos, de um ponto e da inclinação, ou de uma tabela. O método mais geral é o seguinte: dados dois pontos \( (x_1, y_1) \) e \( (x_2, y_2) \), o coeficiente angular é a variação de \( y \) dividida pela variação de \( x \):
\[ a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]
Depois de encontrar \( a \), substitua um dos pontos na forma \( y = ax + b \) e resolva para \( b \). Exemplo resolvido: uma reta passa pelos pontos \( (1, 3) \) e \( (3, 7) \). Passo 1: \( a = \frac{7 – 3}{3 – 1} = \frac{4}{2} = 2 \). Passo 2: use o ponto \( (1, 3) \): \( 3 = 2 \cdot 1 + b \), logo \( 3 = 2 + b \) e \( b = 1 \). Passo 3: a função é \( f(x) = 2x + 1 \). Passo 4, conferência com o outro ponto: \( f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7 \), correto. A função passou no teste dos dois pontos.
Segundo exemplo, com ponto e inclinação: uma função afim tem coeficiente angular \( a = -3 \) e passa pelo ponto \( (2, 5) \). Qual é a sua lei? Passo 1: escreva \( f(x) = -3x + b \). Passo 2: substitua o ponto: \( 5 = -3 \cdot 2 + b \), ou seja, \( 5 = -6 + b \). Passo 3: some 6 dos dois lados: \( b = 11 \). Resposta: \( f(x) = -3x + 11 \). Conferência: \( f(2) = -6 + 11 = 5 \), correto. O zero dessa função é \( x = -\frac{11}{-3} = \frac{11}{3} \), aproximadamente 3,67.
Terceiro exemplo, com tabela: um vendedor recebe 800 reais fixos mais 50 reais por unidade vendida. A tabela mostra que, com 0 unidades, ele recebe 800; com 10 unidades, recebe 1.300. Verifique a função: \( f(x) = 50x + 800 \). Para \( x = 10 \): \( f(10) = 500 + 800 = 1300 \), correto. Quantas unidades ele precisa vender para receber 2.000 reais? Resolva \( 50x + 800 = 2000 \): subtraia 800, \( 50x = 1200 \); divida por 50, \( x = 24 \). Resposta: 24 unidades. Esse tipo de pergunta, em que se dá o resultado e se pede a entrada, é a função inversa na prática, e se resolve apenas isolando o \( x \).
Tabela 1: os elementos da função afim
| Elemento | Símbolo | Significado | Como encontrar |
|---|---|---|---|
| Coeficiente angular | \( a \) | Taxa de variação, inclinação | \( a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \) |
| Coeficiente linear | \( b \) | Valor inicial, corte no eixo \( y \) | \( b = f(0) \) |
| Zero ou raiz | \( x \) | Corte no eixo \( x \), onde \( f(x) = 0 \) | \( x = -\frac{b}{a} \) |
| Função constante | \( f(x) = b \) | Sem variação, reta horizontal | Caso particular com \( a = 0 \) |
Tabela 2: leitura do gráfico
| Como a reta se comporta | Sinal de \( a \) | Tipo de função | Exemplo |
|---|---|---|---|
| Sobe da esquerda para a direita | \( a > 0 \) | Crescente | \( f(x) = 2x + 1 \) |
| Desce da esquerda para a direita | \( a < 0 \) | Decrescente | \( f(x) = -2x + 6 \) |
| Horizontal | \( a = 0 \) | Constante | \( f(x) = 4 \) |
Função linear: um caso especial da afim
Quando o coeficiente linear é zero, \( b = 0 \), a função afim vira uma função linear: \( f(x) = ax \). O gráfico é uma reta que passa pela origem, o ponto \( (0, 0) \), e a função representa uma proporcionalidade direta: dobrando \( x \), dobra \( f(x) \); triplicando \( x \), triplica \( f(x) \). Por exemplo, \( f(x) = 3x \) dá \( f(2) = 6 \) e \( f(4) = 12 \): dobrou a entrada, dobrou a saída. É o modelo de preço sem taxa fixa: se cada quilograma custa 3 reais, o preço de \( x \) quilogramas é \( 3x \). A distinção entre função afim e função linear é cobrada em questões teóricas: toda função linear é afim, mas nem toda função afim é linear, pois a afim pode ter \( b \neq 0 \).
Mapa mental
- Função afim
- Lei: \( f(x) = ax + b \), com \( a \neq 0 \); gráfico: reta
- Coeficiente angular \( a \): inclinação e taxa de variação; crescente se \( a > 0 \), decrescente se \( a < 0 \)
- Coeficiente linear \( b \): valor inicial, \( f(0) \), corte no eixo vertical
- Zero: \( x = -\frac{b}{a} \), corte no eixo horizontal, ponto de equilíbrio em problemas de lucro
- Função constante
- Lei: \( f(x) = b \), com \( a = 0 \); gráfico: reta horizontal; sem zero, exceto se \( b = 0 \)
- Como montar
- Dois pontos: \( a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \), depois ache \( b \) com um dos pontos
- Ponto e inclinação: substitua o ponto em \( y = ax + b \) e isole \( b \)
- Situação real: fixo vira \( b \), variável por unidade vira \( a \)
SAQ — Perguntas e respostas curtas
1. Qual é a lei da função afim?
\( f(x) = ax + b \), com \( a \neq 0 \).
2. O que o coeficiente angular indica?
A taxa de variação: quanto \( f(x) \) muda quando \( x \) aumenta 1, e se a reta sobe ou desce.
3. O que o coeficiente linear indica?
O valor de \( f(0) \), o ponto em que a reta corta o eixo vertical.
4. Como se calcula o zero da função afim?
Resolvendo \( ax + b = 0 \), o que dá \( x = -\frac{b}{a} \).
5. Qual é o gráfico da função afim?
Uma reta; da função constante, uma reta horizontal.
6. O que é uma função linear?
É a função afim com \( b = 0 \), ou seja, \( f(x) = ax \), cujo gráfico passa pela origem.
7. Uma corrida custa 5 reais fixos mais 2 reais por quilômetro. Qual é a função?
\( f(x) = 2x + 5 \), em que \( x \) é a distância em quilômetros.
8. Como se acha o coeficiente angular a partir de dois pontos?
Dividindo a variação de \( y \) pela variação de \( x \): \( a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \).
Questões comentadas
As questões abaixo são inéditas, no estilo ENEM, criadas para esta matéria.
Questão 1. A função \( f(x) = -3x + 9 \) é:
a) crescente, com zero em 3.
b) decrescente, com zero em 3.
c) constante, com zero em 3.
d) crescente, com zero em menos 3.
e) decrescente, com zero em menos 3.
Gabarito: B. O coeficiente angular é \( -3 \), negativo, então a função é decrescente. O zero é \( x = -\frac{9}{-3} = 3 \).
Questão 2. Uma reta passa pelos pontos \( (0, 4) \) e \( (2, 10) \). Sua lei é:
a) \( f(x) = 2x + 4 \).
b) \( f(x) = 3x + 4 \).
c) \( f(x) = 4x + 2 \).
d) \( f(x) = 6x + 4 \).
e) \( f(x) = 10x + 4 \).
Gabarito: B. O coeficiente angular é \( \frac{10 – 4}{2 – 0} = \frac{6}{2} = 3 \), e o coeficiente linear é \( f(0) = 4 \). Logo, \( f(x) = 3x + 4 \).
Questão 3. Um plano de celular custa 40 reais fixos mais 0,50 real por minuto excedente. O custo de 100 minutos excedentes é:
a) 40 reais.
b) 50 reais.
c) 90 reais.
d) 140 reais.
e) 400 reais.
Gabarito: C. A função é \( f(x) = 0,5x + 40 \). Para \( x = 100 \): \( f(100) = 50 + 40 = 90 \).
Questão 4. O gráfico de \( f(x) = 5 \) é:
a) uma reta crescente.
b) uma reta decrescente.
c) uma reta horizontal na altura 5.
d) uma reta vertical.
e) uma parábola.
Gabarito: C. É uma função constante, com \( a = 0 \) e \( b = 5 \): reta horizontal.
Questão 5. Uma empresa tem custo \( C(x) = 20x + 300 \) e receita \( R(x) = 50x \), em que \( x \) é a quantidade produzida. O ponto de equilíbrio, em que o lucro é zero, ocorre em:
a) 10 unidades.
b) 15 unidades.
c) 20 unidades.
d) 25 unidades.
e) 50 unidades.
Gabarito: A. Igualando receita e custo: \( 50x = 20x + 300 \), logo \( 30x = 300 \) e \( x = 10 \).
Questão 6. A função \( f(x) = 4x \) é:
a) afim, mas não linear.
b) linear e afim, com gráfico passando pela origem.
c) constante.
d) quadrática.
e) exponencial.
Gabarito: B. Com \( b = 0 \), a função é linear, um caso especial da afim, e seu gráfico passa pela origem.
Dica do professor
Em problemas do cotidiano, sublinhe o valor fixo e o valor por unidade antes de escrever a função: fixo vira \( b \), por unidade vira \( a \). Depois, teste a função com um valor fácil, como zero ou um, e veja se o resultado faz sentido. Se o valor fixo não aparecer no teste, a função está errada. Sempre iguale receita e custo e confira a conta, pois o ponto de equilíbrio é um dos erros mais comuns. Pratique também com questões do ENEM e dos vestibulares. Mais apoio como esse está na sala de estudo.
Atenção / cuidado
- Não confunda coeficiente angular com coeficiente linear: \( a \) é a inclinação, \( b \) é o corte no eixo vertical.
- Não esqueça o sinal no zero: \( x = -\frac{b}{a} \), e não \( \frac{b}{a} \).
- Não trate função constante como se tivesse zero: com \( b \neq 0 \), ela nunca zera.
- Não confunda função afim com função linear: linear exige \( b = 0 \).
- Não inverta a divisão do coeficiente angular: é variação de \( y \) sobre variação de \( x \).
Conexão com outras áreas
Sequências: valores de função afim em inteiros consecutivos formam uma PA. Economia: custo, receita, lucro e ponto de equilíbrio. Física: movimento uniforme, em que a posição varia linearmente com o tempo. Geografia e cotidiano: tarifas, planos de celular e corridas por aplicativo, sempre com parte fixa e parte variável.
Incidência: 🔥 Quente — cai no ENEM e nos vestibulares. Matéria: Matemática 1 | Disciplina: Funções | Tema: Função constante e Função afim.
