Função do segundo grau (quadrática): o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

Uma função do segundo grau, ou função quadrática, é uma função da forma \( f(x) = ax^2 + bx + c \), em que \( a \), \( b \) e \( c \) são números reais e \( a \neq 0 \). Seu gráfico é uma parábola, uma curva com um ponto especial, o vértice, que é o ponto de máximo quando a parábola abre para baixo, ou de mínimo quando abre para cima. É um tema 🔥 Quente no ENEM e nos vestibulares, porque modela trajetórias de projéteis, lucro máximo de empresas, área máxima de cercados, altura de saltos e qualquer situação em que o valor cresce até um ponto e depois cai, ou vice-versa.

Para dominar a função quadrática, você precisa de quatro ferramentas: o sinal de \( a \), que diz para onde a parábola abre; o discriminante, o famoso delta, que diz quantas raízes a função tem; a fórmula de Bhaskara, que calcula as raízes; e as fórmulas do vértice, que dão o ponto de máximo ou de mínimo. Esta matéria, pensada para a sala de estudo, traz cada ferramenta com exemplos numéricos resolvidos passo a passo e aritmética conferida, para ajudar o estudante a entender de verdade.

A parábola: concavidade, vértice e eixo de simetria

O gráfico da função quadrática é uma parábola, uma curva simétrica em relação a uma reta vertical que passa pelo vértice, o eixo de simetria. O coeficiente \( a \) decide a concavidade: se \( a > 0 \), a parábola abre para cima, como um sorriso, e o vértice é o ponto de mínimo; se \( a < 0 \), a parábola abre para baixo, como uma boca triste, e o vértice é o ponto de máximo. Essa leitura é imediata no gráfico e é a primeira coisa a verificar em qualquer questão: se o problema fala em altura máxima, lucro máximo ou área máxima, a parábola deve abrir para baixo, com \( a < 0 \); se fala em custo mínimo ou valor mínimo, deve abrir para cima, com \( a > 0 \).

O coeficiente \( c \) é o ponto em que a parábola corta o eixo vertical, pois \( f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c \). Já o coeficiente \( b \) influencia a posição do vértice e a inclinação da parábola no corte com o eixo vertical, mas seu efeito isolado é menos intuitivo, e por isso as provas costumam cobrar \( b \) dentro das fórmulas do vértice e das raízes, e não sozinho. O vértice tem coordenadas dadas por:

\[ x_v = -\frac{b}{2a} \qquad \text{e} \qquad y_v = -\frac{\Delta}{4a} \]

Em que \( \Delta \) é o discriminante, definido na próxima seção. O eixo de simetria é a reta vertical \( x = x_v \). Uma propriedade útil: as raízes, quando existem, são simétricas em relação ao vértice, ou seja, o vértice fica exatamente no meio das duas raízes. Se as raízes são \( -2 \) e \( 2 \), o vértice está em \( x = 0 \); se as raízes são \( 0 \) e \( 4 \), o vértice está em \( x = 2 \). Essa simetria permite encontrar o vértice rapidamente quando as raízes são conhecidas, sem usar a fórmula.

Exemplo resolvido: encontre o vértice de \( f(x) = -x^2 + 4x \). Passo 1: identifique \( a = -1 \), \( b = 4 \), \( c = 0 \). Passo 2: calcule \( x_v = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2 \). Passo 3: calcule \( y_v \) substituindo \( x = 2 \) na função: \( f(2) = -2^2 + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4 \). Resposta: vértice \( (2, 4) \), ponto de máximo, pois \( a < 0 \). Conferência: \( f(1) = -1 + 4 = 3 \) e \( f(3) = -9 + 12 = 3 \), valores iguais e menores que 4, simétricos em relação a \( x = 2 \), como esperado.

Discriminante e fórmula de Bhaskara: quantas raízes, e quais são

As raízes, ou zeros, da função quadrática são os valores de \( x \) para os quais \( f(x) = 0 \), ou seja, os pontos em que a parábola corta o eixo horizontal. Elas são encontradas pela fórmula de Bhaskara, que depende do discriminante:

\[ \Delta = b^2 – 4ac \qquad \text{e} \qquad x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]

O sinal do discriminante diz quantas raízes reais existem, antes mesmo de calcular: se \( \Delta > 0 \), há duas raízes reais distintas, e a parábola corta o eixo horizontal em dois pontos; se \( \Delta = 0 \), há uma única raiz real, dupla, e a parábola apenas toca o eixo horizontal no vértice; se \( \Delta < 0 \), não há raízes reais, e a parábola não corta o eixo horizontal, ficando inteiramente acima dele, quando \( a > 0 \), ou inteiramente abaixo, quando \( a < 0 \). Essa leitura do delta é uma das questões mais rápidas da prova: muitas vezes, basta calcular o delta para responder, sem precisar das raízes.

Exemplo resolvido passo a passo: encontre as raízes de \( f(x) = x^2 – 4 \). Passo 1: \( a = 1 \), \( b = 0 \), \( c = -4 \). Passo 2: \( \Delta = 0^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 0 + 16 = 16 \). Passo 3: \( \sqrt{\Delta} = 4 \). Passo 4: \( x = \frac{-0 \pm 4}{2 \cdot 1} = \frac{\pm 4}{2} \). Passo 5: as raízes são \( x = 2 \) e \( x = -2 \). Conferência: \( f(2) = 4 – 4 = 0 \) e \( f(-2) = 4 – 4 = 0 \), correto. O vértice, pela simetria, está no meio das raízes, em \( x = 0 \), com \( y_v = f(0) = -4 \), ponto de mínimo, pois \( a > 0 \).

Segundo exemplo: encontre as raízes de \( f(x) = x^2 – 6x + 9 \). Passo 1: \( a = 1 \), \( b = -6 \), \( c = 9 \). Passo 2: \( \Delta = (-6)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 – 36 = 0 \). Como \( \Delta = 0 \), há uma única raiz: \( x = \frac{-(-6) \pm 0}{2} = \frac{6}{2} = 3 \). A parábola toca o eixo horizontal apenas no ponto \( (3, 0) \), que é também o vértice. Conferência: \( f(3) = 9 – 18 + 9 = 0 \), correto.

Terceiro exemplo: \( f(x) = x^2 + 2x + 5 \). Passo 1: \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = 5 \). Passo 2: \( \Delta = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 – 20 = -16 \). Como \( \Delta < 0 \), não há raízes reais, e a parábola, com \( a > 0 \), fica sempre acima do eixo horizontal. De fato, o vértice está em \( x_v = -\frac{2}{2} = -1 \), com \( y_v = f(-1) = 1 – 2 + 5 = 4 \), positivo, confirmando que a função nunca zera e nunca fica negativa.

Máximo, mínimo e estudo do sinal

O valor máximo ou mínimo da função quadrática é o \( y_v \) do vértice. Se \( a < 0 \), o vértice é o ponto mais alto da parábola, e \( y_v \) é o valor máximo; se \( a > 0 \), o vértice é o ponto mais baixo, e \( y_v \) é o valor mínimo. É por isso que problemas de otimização, tão comuns no ENEM, se resolvem com o vértice: altura máxima de um projétil, lucro máximo, área máxima, custo mínimo. O procedimento é sempre o mesmo: monte a função, encontre \( x_v \) e calcule \( y_v \), ou use a fórmula \( y_v = -\frac{\Delta}{4a} \).

Exemplo resolvido, clássico de prova: um fazendeiro tem 40 metros de cerca para cercar um terreno retangular, usando um muro como um dos lados, de modo que só precisa cercar três lados. Qual é a maior área possível? Passo 1: chame de \( x \) a medida dos dois lados perpendiculares ao muro, e de \( y \) a medida do lado paralelo ao muro. A cerca usada é \( 2x + y = 40 \), logo \( y = 40 – 2x \). Passo 2: a área é \( A(x) = x \cdot y = x \cdot (40 – 2x) = 40x – 2x^2 \). Passo 3: identifique \( a = -2 \), \( b = 40 \). Passo 4: \( x_v = -\frac{40}{2 \cdot (-2)} = -\frac{40}{-4} = 10 \). Passo 5: \( y = 40 – 2 \cdot 10 = 20 \), e a área máxima é \( A(10) = 10 \cdot 20 = 200 \). Resposta: 200 metros quadrados, com lados de 10 e 20 metros. Conferência: com \( x = 5 \), a área seria \( 5 \cdot 30 = 150 \); com \( x = 15 \), seria \( 15 \cdot 10 = 150 \); ambas menores que 200, como esperado para um máximo.

O estudo do sinal da função quadrática diz para quais valores de \( x \) a função é positiva, negativa ou zero. Com duas raízes distintas, \( x_1 < x_2 \): se \( a > 0 \), a função é positiva fora do intervalo entre as raízes, negativa entre elas e zero nas raízes; se \( a < 0 \), é o contrário, positiva entre as raízes e negativa fora. Com raiz dupla, a função tem o sinal de \( a \) em todo lugar, exceto na raiz, onde é zero. Sem raízes reais, a função tem sempre o sinal de \( a \). Esse estudo aparece em inequações do segundo grau e em problemas de lucro e prejuízo, em que se pergunta para quais quantidades o lucro é positivo.

Em Matemática, a função quadrática também aparece na forma fatorada: quando as raízes \( x_1 \) e \( x_2 \) são conhecidas, a função pode ser escrita como \( f(x) = a \cdot (x – x_1) \cdot (x – x_2) \). Para \( f(x) = x^2 – 4 \), com raízes \( -2 \) e \( 2 \) e \( a = 1 \), a forma fatorada é \( f(x) = (x + 2) \cdot (x – 2) \), que, expandida, dá \( x^2 – 4 \), correto. A forma fatorada é útil quando a questão dá as raízes e pede a função, ou vice-versa.

Tabela 1: os elementos da função quadrática

Tabela 2: discriminante e raízes

Mapa mental

• Função quadrática
  • Lei: \( f(x) = ax^2 + bx + c \), com \( a \neq 0 \); gráfico: parábola
  • Concavidade: \( a > 0 \) abre para cima, mínimo; \( a < 0 \) abre para baixo, máximo
  • Corte no eixo vertical: \( c \); eixo de simetria: \( x = x_v \)
• Raízes e vértice
  • \( \Delta = b^2 – 4ac \); raízes por Bhaskara: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
  • Vértice: \( x_v = -\frac{b}{2a} \), \( y_v = -\frac{\Delta}{4a} \); raízes simétricas em relação ao vértice
  • Forma fatorada: \( f(x) = a \cdot (x – x_1) \cdot (x – x_2) \)
• Otimização
  • Máximo ou mínimo é o \( y_v \); monte a função, ache \( x_v \), calcule \( y_v \)
  • Confira com valores vizinhos: o máximo deve ser maior, o mínimo deve ser menor

SAQ — Perguntas e respostas curtas

1. Qual é a lei da função quadrática?
\( f(x) = ax^2 + bx + c \), com \( a \neq 0 \).

2. Qual é o gráfico da função quadrática?
Uma parábola, com vértice e eixo de simetria.

3. Como saber se a parábola abre para cima ou para baixo?
Pelo sinal de \( a \): positivo abre para cima; negativo abre para baixo.

4. Qual é a fórmula do discriminante?
\( \Delta = b^2 – 4ac \).

5. O que o discriminante indica?
O número de raízes reais: duas se positivo, uma se zero, nenhuma se negativo.

6. Quais são as coordenadas do vértice?
\( x_v = -\frac{b}{2a} \) e \( y_v = -\frac{\Delta}{4a} \).

7. Qual é o vértice de \( f(x) = -x^2 + 4x \)?
\( (2, 4) \), ponto de máximo, pois \( a < 0 \).

8. Como se resolve um problema de área ou lucro máximo?
Montando a função quadrática e calculando o vértice, que dá o valor máximo.

Questões comentadas

As questões abaixo são inéditas, no estilo ENEM, criadas para esta matéria.

Questão 1. A parábola de \( f(x) = 2x^2 – 8x + 6 \) abre para:
a) cima, e o vértice é ponto de mínimo.
b) baixo, e o vértice é ponto de máximo.
c) cima, e o vértice é ponto de máximo.
d) baixo, e o vértice é ponto de mínimo.
e) os lados, sem vértice.
Gabarito: A. O coeficiente \( a = 2 \) é positivo, então a parábola abre para cima e o vértice é mínimo.

Questão 2. As raízes de \( f(x) = x^2 – 5x + 6 \) são:
a) 1 e 6.
b) 2 e 3.
c) menos 2 e menos 3.
d) 1 e 5.
e) 0 e 6.
Gabarito: B. O discriminante é \( \Delta = 25 – 24 = 1 \), e as raízes são \( x = \frac{5 \pm 1}{2} \), ou seja, 3 e 2. Conferência: \( 2 + 3 = 5 \) e \( 2 \cdot 3 = 6 \), como esperado para soma e produto das raízes.

Questão 3. O vértice da parábola \( f(x) = x^2 – 4x + 3 \) é:
a) \( (2, -1) \).
b) \( (-2, 1) \).
c) \( (2, 1) \).
d) \( (4, 3) \).
e) \( (0, 3) \).
Gabarito: A. Temos \( x_v = -\frac{-4}{2} = 2 \) e \( y_v = f(2) = 4 – 8 + 3 = -1 \). É ponto de mínimo, pois \( a > 0 \).

Questão 4. A função \( f(x) = x^2 + 2x + 5 \) tem quantas raízes reais?
a) Duas.
b) Uma.
c) Nenhuma.
d) Três.
e) Infinitas.
Gabarito: C. O discriminante é \( \Delta = 4 – 20 = -16 \), negativo, então não há raízes reais.

Questão 5. Uma bola é lançada e sua altura, em metros, é dada por \( h(t) = -5t^2 + 20t \), em que \( t \) é o tempo em segundos. A altura máxima atingida é:
a) 10 metros.
b) 15 metros.
c) 20 metros.
d) 25 metros.
e) 40 metros.
Gabarito: C. O tempo do vértice é \( t_v = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = 2 \) segundos, e a altura máxima é \( h(2) = -20 + 40 = 20 \) metros.

Questão 6. A função \( f(x) = -x^2 + 4x \) tem raízes em:
a) 0 e 4.
b) 0 e menos 4.
c) 2 e 4.
d) 1 e 3.
e) apenas 2.
Gabarito: A. Fatorando: \( f(x) = x \cdot (4 – x) \), que zera quando \( x = 0 \) ou \( x = 4 \). O vértice, no meio das raízes, é \( (2, 4) \).

Dica do professor

Antes de calcular, olhe para \( a \) e para o delta: eles já dizem se há máximo ou mínimo e quantas raízes existem. Depois, escreva a fórmula de Bhaskara completa, com \( -b \) e \( 2a \), antes de substituir qualquer número: a pressa nessa hora é a maior fonte de erros em função quadrática. Para problemas de máximo, monte a função com calma, identifique \( a \) e \( b \) e só então calcule o vértice. Pratique também com questões do ENEM e dos vestibulares. Mais apoio como esse está na sala de estudo.

Atenção / cuidado

• Não confunda \( b \) com \( -b \) na fórmula de Bhaskara: o sinal importa.
• Não esqueça o \( 2a \) no denominador: dividir só por 2 ou só por \( a \) dá raiz errada.
• Não diga que toda parábola tem duas raízes: com delta zero, há uma; com delta negativo, nenhuma real.
• Não confunda o vértice com a raiz: o vértice é o ponto de máximo ou mínimo; a raiz é onde a função zera.
• Não esqueça que, com \( a < 0 \), o vértice é máximo; com \( a > 0 \), é mínimo.

Conexão com outras áreas

Física: lançamento de projéteis, altura máxima e movimento uniformemente variado. Economia: lucro máximo, receita máxima e ponto de equilíbrio quadrático. Geometria: área máxima de retângulos com perímetro fixo. Funções: comparação entre função afim, reta, e função quadrática, parábola, e suas taxas de variação.

Incidência: 🔥 Quente — cai no ENEM e nos vestibulares. Matéria: Matemática 1 | Disciplina: Funções | Tema: Função do segundo grau (quadrática).