Propriedades dos logaritmos: o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

O logaritmo é, em uma frase, o expoente: o logaritmo de um número, em uma certa base, é o expoente ao qual se deve elevar a base para obter esse número. Em símbolos, \( \log_a b = x \) significa exatamente \( a^x = b \). Por exemplo, \( \log_2 8 = 3 \), porque \( 2^3 = 8 \). É um tema 🔥 Quente no ENEM e nos vestibulares, porque aparece na resolução de equações exponenciais, em escalas como a de terremotos e a de som, em crescimento de populações e em qualquer situação em que a pergunta é “quantas vezes preciso multiplicar para chegar a esse valor?”.

As propriedades dos logaritmos são as ferramentas que permitem simplificar, somar, subtrair e trocar a base de logaritmos, e é nelas que esta matéria se concentra: logaritmo do produto, do quociente, da potência, mudança de base e as consequências, como o logaritmo de 1 e o logaritmo da própria base. Esta matéria, pensada para a sala de estudo, traz cada propriedade com demonstração intuitiva e exemplos numéricos resolvidos passo a passo, com aritmética conferida, para ajudar o estudante a entender de verdade.

Definição e condições de existência

A definição formal é: dados \( a > 0 \), \( a \neq 1 \) e \( b > 0 \), o logaritmo de \( b \) na base \( a \) é o número \( x \) tal que \( a^x = b \). Escreve-se \( \log_a b = x \). Nessa notação, \( a \) é a base, \( b \) é o logaritmando e \( x \) é o logaritmo. As condições de existência são fundamentais e cobradas em prova: a base deve ser positiva e diferente de 1, e o logaritmando deve ser positivo. Não existe, nos números reais, logaritmo de número negativo ou zero, nem logaritmo em base negativa, zero ou 1. Por quê? Porque a função exponencial, que é a inversa do logaritmo, só assume valores positivos, e a base 1 dá sempre 1, sem variação.

Exemplos diretos, que devem virar reflexo: \( \log_2 8 = 3 \), pois \( 2^3 = 8 \); \( \log_3 81 = 4 \), pois \( 3^4 = 81 \); \( \log_{10} 1000 = 3 \), pois \( 10^3 = 1000 \); \( \log_5 1 = 0 \), pois \( 5^0 = 1 \); \( \log_7 7 = 1 \), pois \( 7^1 = 7 \). Os dois últimos são as consequências imediatas da definição, e valem para qualquer base válida: o logaritmo de 1 é sempre 0, e o logaritmo da própria base é sempre 1. Quando a base não aparece escrita, como em \( \log 100 \), subentende-se a base 10, o chamado logaritmo decimal. Quando aparece \( \ln x \), trata-se do logaritmo natural, de base \( e \), o número de Euler, aproximadamente 2,718.

A função logarítmica é a inversa da função exponencial: \( f(x) = \log_a x \) desfaz \( g(x) = a^x \), e vice-versa. Por isso, seus gráficos são simétricos em relação à reta \( y = x \), que é a bissetriz dos quadrantes ímpares. A função logarítmica é crescente quando a base é maior que 1, e decrescente quando a base está entre 0 e 1, exatamente como a exponencial. Seu domínio é os números positivos, sua imagem é todos os números reais, e ela passa sempre pelo ponto \( (1, 0) \), pois \( \log_a 1 = 0 \). Sua assíntota é vertical, no eixo \( y \): quando \( x \) se aproxima de zero, o logaritmo tende a menos infinito, se a base é maior que 1.

As quatro propriedades fundamentais

As propriedades dos logaritmos vêm das propriedades das potências, pois o logaritmo é o expoente. São quatro, e valem para base válida e logaritmandos positivos.

Primeira, logaritmo do produto: o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos dos fatores:

\[ \log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c \]

Exemplo numérico: \( \log_2 (4 \cdot 8) = \log_2 32 = 5 \), pois \( 2^5 = 32 \). Pela propriedade: \( \log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5 \), pois \( 2^2 = 4 \) e \( 2^3 = 8 \). Os dois caminhos dão 5, como esperado. A intuição é que, ao multiplicar potências da mesma base, somam-se os expoentes, e o logaritmo registra justamente os expoentes.

Segunda, logaritmo do quociente: o logaritmo de uma divisão é a diferença dos logaritmos:

\[ \log_a \left(\frac{b}{c}\right) = \log_a b – \log_a c \]

Exemplo numérico: \( \log_2 \left(\frac{32}{4}\right) = \log_2 8 = 3 \). Pela propriedade: \( \log_2 32 – \log_2 4 = 5 – 2 = 3 \), correto. É a versão logarítmica da subtração de expoentes na divisão de potências.

Terceira, logaritmo da potência: o expoente do logaritmando pode descer multiplicando o logaritmo:

\[ \log_a (b^c) = c \cdot \log_a b \]

Exemplo numérico: \( \log_2 (8^2) = \log_2 64 = 6 \), pois \( 2^6 = 64 \). Pela propriedade: \( 2 \cdot \log_2 8 = 2 \cdot 3 = 6 \), correto. Um caso especial muito útil é quando o expoente é uma raiz: \( \log_a \sqrt{b} = \frac{1}{2} \cdot \log_a b \), pois a raiz quadrada é a potência de expoente \( \frac{1}{2} \).

Quarta, mudança de base: permite trocar a base do logaritmo por outra mais conveniente:

\[ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \]

Em que \( c \) é qualquer base válida. Exemplo numérico: calcule \( \log_4 8 \) usando a base 2. Pela mudança de base: \( \log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2} \), pois \( 2^3 = 8 \) e \( 2^2 = 4 \). Conferência direta: \( 4^{\frac{3}{2}} = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8 \), correto. A mudança de base é essencial quando a calculadora só tem logaritmo decimal ou natural, e também quando a questão dá logaritmos em uma base e pede em outra.

Exemplos resolvidos passo a passo

Problema 1: sabendo que \( \log_2 5 \) é aproximadamente 2,32, calcule \( \log_2 20 \). Passo 1: escreva 20 como produto: \( 20 = 4 \cdot 5 \). Passo 2: aplique o logaritmo do produto: \( \log_2 20 = \log_2 4 + \log_2 5 \). Passo 3: \( \log_2 4 = 2 \), pois \( 2^2 = 4 \). Passo 4: some: \( 2 + 2,32 = 4,32 \). Resposta: aproximadamente 4,32. Conferência: \( 2^{4,32} \) está entre \( 2^4 = 16 \) e \( 2^5 = 32 \), e 20 está de fato entre 16 e 32, mais perto de 16, o que combina com 4,32, mais perto de 4 que de 5.

Problema 2: simplifique \( \log_3 27 + \log_3 \frac{1}{9} \). Passo 1: \( \log_3 27 = 3 \), pois \( 3^3 = 27 \). Passo 2: \( \log_3 \frac{1}{9} = -2 \), pois \( 3^{-2} = \frac{1}{9} \). Passo 3: some: \( 3 + (-2) = 1 \). Resposta: 1. Conferência pela propriedade do produto: \( \log_3 \left(27 \cdot \frac{1}{9}\right) = \log_3 3 = 1 \), correto.

Problema 3: resolva a equação \( \log_2 (x – 1) = 3 \). Passo 1: aplique a definição: \( x – 1 = 2^3 = 8 \). Passo 2: \( x = 9 \). Passo 3, essencial: verifique a condição de existência: o logaritmando deve ser positivo, \( x – 1 > 0 \), ou seja, \( x > 1 \). Como 9 é maior que 1, a solução é válida. Resposta: \( x = 9 \). Se a solução encontrada não satisfizesse a condição, ela deveria ser descartada: equações logarítmicas podem gerar soluções estranhas, que não pertencem ao domínio, e a verificação final é obrigatória.

Problema 4: resolva \( 2^x = 10 \) usando logaritmo. Passo 1: aplique o logaritmo decimal dos dois lados: \( \log (2^x) = \log 10 \). Passo 2: desça o expoente: \( x \cdot \log 2 = 1 \), pois \( \log 10 = 1 \). Passo 3: \( x = \frac{1}{\log 2} \). Como \( \log 2 \) é aproximadamente 0,301, temos \( x \approx \frac{1}{0,301} \approx 3,32 \). Conferência: \( 2^3 = 8 \) e \( 2^4 = 16 \), e 10 está entre 8 e 16, o que combina com 3,32, entre 3 e 4. É assim que se resolve uma equação exponencial quando as bases não igualam: com logaritmo.

Em Matemática, os logaritmos aparecem também em escalas. A escala Richter, de terremotos, é logarítmica: um terremoto de magnitude 6 é 10 vezes mais forte em amplitude que um de magnitude 5, e 100 vezes mais forte que um de magnitude 4, pois cada unidade na escala multiplica a amplitude por 10. A escala de decibéis, do som, e o pH, da acidez, também são logarítmicos: o pH é definido como \( \text{pH} = -\log [H^+] \), em que \( [H^+] \) é a concentração de íons hidrogênio. Por isso, uma solução com pH 3 é 10 vezes mais ácida que uma com pH 4, e 100 vezes mais ácida que uma com pH 5. Questões do ENEM adoram essa ideia: uma diferença pequena na escala significa uma diferença multiplicativa grande na grandeza medida.

Tabela 1: as propriedades dos logaritmos

Tabela 2: erros comuns com logaritmos

Mapa mental

• Definição
  • \( \log_a b = x \) significa \( a^x = b \); base \( a > 0 \), \( a \neq 1 \); logaritmando \( b > 0 \)
  • \( \log_a 1 = 0 \); \( \log_a a = 1 \); função inversa da exponencial; passa por \( (1, 0) \)
• Propriedades
  • Produto: soma os logaritmos; quociente: subtrai os logaritmos
  • Potência: o expoente desce multiplicando; mudança de base: divide os logaritmos na nova base
  • Consequências: \( \log_b a = \frac{1}{\log_a b} \); \( a^{\log_a b} = b \)
• Aplicações
  • Equações exponenciais sem base comum; equações logarítmicas, com verificação do domínio
  • Escalas: Richter, decibéis e pH, em que cada unidade multiplica por 10

SAQ — Perguntas e respostas curtas

1. O que é o logaritmo?
É o expoente: \( \log_a b = x \) significa \( a^x = b \).

2. Quais são as condições de existência do logaritmo?
Base positiva e diferente de 1, e logaritmando positivo.

3. Quanto valem \( \log_a 1 \) e \( \log_a a \)?
\( \log_a 1 = 0 \) e \( \log_a a = 1 \), para qualquer base válida.

4. Qual é a propriedade do logaritmo do produto?
\( \log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c \).

5. Qual é a propriedade do logaritmo da potência?
\( \log_a (b^c) = c \cdot \log_a b \).

6. Como se faz mudança de base?
\( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \), para qualquer base válida \( c \).

7. Quanto é \( \log_2 8 \)?
3, pois \( 2^3 = 8 \).

8. Por que é preciso verificar o domínio em equações logarítmicas?
Porque soluções que tornam o logaritmando negativo ou zero devem ser descartadas.

Questões comentadas

As questões abaixo são inéditas, no estilo ENEM, criadas para esta matéria.

Questão 1. O valor de \( \log_3 81 \) é:
a) 3.
b) 4.
c) 9.
d) 27.
e) 81.
Gabarito: B. Como \( 3^4 = 81 \), o expoente é 4.

Questão 2. Sabendo que \( \log_2 5 \approx 2,32 \), o valor aproximado de \( \log_2 20 \) é:
a) 2,32.
b) 3,32.
c) 4,32.
d) 5,32.
e) 10,32.
Gabarito: C. Como \( 20 = 4 \cdot 5 \), temos \( \log_2 20 = \log_2 4 + \log_2 5 = 2 + 2,32 = 4,32 \).

Questão 3. A solução da equação \( \log_5 (x + 2) = 2 \) é:
a) 23.
b) 25.
c) 27.
d) 30.
e) 10.
Gabarito: A. Pela definição, \( x + 2 = 5^2 = 25 \), logo \( x = 23 \). A condição \( x + 2 > 0 \) é satisfeita.

Questão 4. O valor de \( \log_4 8 \) é:
a) \( \frac{1}{2} \).
b) \( \frac{3}{2} \).
c) 2.
d) 3.
e) 4.
Gabarito: B. Pela mudança de base para 2: \( \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2} \).

Questão 5. Um terremoto de magnitude 6 é, em amplitude, quantas vezes mais forte que um de magnitude 4?
a) 2 vezes.
b) 10 vezes.
c) 20 vezes.
d) 100 vezes.
e) 1.000 vezes.
Gabarito: D. Cada unidade na escala Richter multiplica a amplitude por 10; duas unidades multiplicam por \( 10^2 = 100 \).

Questão 6. A expressão \( \log_2 32 – \log_2 4 \) é igual a:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 5.
e) 8.
Gabarito: C. Pela propriedade do quociente, é \( \log_2 \left(\frac{32}{4}\right) = \log_2 8 = 3 \). Diretamente: \( 5 – 2 = 3 \).

Dica do professor

Para calcular um logaritmo, pergunte sempre: a que expoente devo elevar a base para obter o logaritmando? Essa pergunta transforma o logaritmo em uma potência, que é mais intuitiva. Depois, use as propriedades para quebrar números grandes em produtos de potências conhecidas, como 32 em \( 4 \cdot 8 \), e nunca aceite uma solução de equação logarítmica sem verificar se o logaritmando ficou positivo. Pratique também com questões do ENEM e dos vestibulares. Mais apoio como esse está na sala de estudo.

Atenção / cuidado

• Não aplique a propriedade do produto a somas: logaritmo de soma não se separa.
• Não multiplique logaritmos achando que é o logaritmo do produto: produto de logaritmos soma os logaritmos, e não os multiplica.
• Não esqueça as condições de existência: base positiva diferente de 1, logaritmando positivo.
• Não confunda \( \log_a b \) com \( \log_b a \): são inversos um do outro, e não iguais.
• Não esqueça de verificar o domínio ao resolver equações logarítmicas.

Conexão com outras áreas

Funções: logaritmo é a inversa da exponencial, tema da matéria de função exponencial. Química: pH, definido por logaritmo da concentração de íons hidrogênio. Geografia e Física: escala Richter de terremotos e escala de decibéis do som. Biologia: crescimento populacional e tempo de duplicação, resolvidos com logaritmos.

Incidência: 🔥 Quente — cai no ENEM e nos vestibulares. Matéria: Matemática 1 | Disciplina: Funções | Tema: Propriedades dos logaritmos.