Função modular: o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

A função modular é a função que transforma qualquer número na sua distância até o zero. Essa ideia simples, que você já usa quando calcula \( |{-5}| = 5 \) ou \( |3| = 3 \), gera um dos gráficos mais reconhecíveis de toda a Matemática do ensino médio: um V perfeito, com o vértice apontando para baixo quando a função é \( f(x) = |x| \). No ENEM e nos vestibulares, a função modular costuma aparecer de três jeitos: pedindo o gráfico de uma função com módulo, pedindo a solução de uma equação ou inequação modular, ou escondida dentro de um problema de distância, de erro de medida, de temperatura ou de preço com tolerância. Em todos os casos, o caminho é o mesmo: lembrar que o módulo apaga o sinal, separar os casos em que a expressão dentro do módulo é positiva ou negativa, e conferir o resultado no final. Quem domina essa rotina resolve a questão em poucos minutos, sem susto, e ainda ganha uma ferramenta que reaparece em geometria analítica, em funções compostas e até em estatística, quando se fala em desvio absoluto.

Antes de entrar nos detalhes, vale fixar a intuição que vai guiar toda a matéria. O módulo de um número real \( x \), escrito \( |x| \), é a distância desse número até o zero na reta numérica. Distância nunca é negativa, e por isso o resultado do módulo nunca é negativo: \( |{-7}| = 7 \), \( |7| = 7 \) e \( |0| = 0 \). Quando escrevemos \( f(x) = |x| \), estamos dizendo que, para cada valor de \( x \) que entra na função, o valor que sai é a distância desse \( x \) até o zero. Se \( x = -4 \), a distância é 4; se \( x = 4 \), a distância também é 4. É por isso que o gráfico é simétrico: o lado esquerdo é o espelho do lado direito, e os dois se encontram no vértice, no ponto \( (0, 0) \). Essa simetria é a primeira coisa que você deve procurar em uma questão de função modular, porque ela quase sempre permite resolver o problema pela metade e espelhar o resultado.

Nesta matéria, você vai aprender a definição formal do módulo, a definição da função modular por partes, como montar a tabela de valores e desenhar o gráfico em V sem errar a posição do vértice, como deslocar e refletir esse gráfico, e como resolver equações e inequações modulares passo a passo, com todos os valores exatos e com a conferência final que evita a armadilha mais comum do tema: aceitar uma solução que não satisfaz a equação original. Ao final, há um mapa mental para revisar, perguntas e respostas rápidas, cinco questões comentadas originais no estilo ENEM, a dica do professor, os cuidados que mais derrubam nota e as conexões com outras áreas da Matemática. Se você já estudou função em geral, revisar o capítulo de Matemática antes de começar ajuda, mas não é obrigatório: cada conceito é apresentado do zero, com exemplos numéricos completos.

O que é o módulo de um número

O módulo, também chamado de valor absoluto, é uma das ideias mais intuitivas da Matemática, e justamente por isso ele aparece tanto em prova: a banca sabe que o estudante entende a ideia, mas quer testar se ele aplica a definição com rigor quando a expressão dentro do módulo deixa de ser um número pronto e passa a ser uma expressão com \( x \). A definição formal é a seguinte: para todo número real \( x \), tem-se \( |x| = x \) se \( x \geq 0 \), e \( |x| = -x \) se \( x < 0 \). Repare no detalhe que confunde muita gente: quando \( x \) é negativo, o módulo é \( -x \), e isso não significa que o resultado é negativo. Se \( x = -5 \), então \( -x = -(-5) = 5 \), que é positivo, como deve ser. O sinal de menos ali serve justamente para “virar” o número negativo e transformá-lo em positivo. É como se o módulo dissesse: “se o número já é positivo ou zero, deixe como está; se ele é negativo, troque o sinal”.

Algumas propriedades do módulo, reunidas nos tópicos de Matemática, valem a pena decorar, porque elas encurtam contas e aparecem em questões teóricas. Primeiro, \( |x| \geq 0 \) para todo \( x \), e \( |x| = 0 \) somente quando \( x = 0 \). Segundo, \( |{-x}| = |x| \): o sinal de entrada não muda a distância. Terceiro, \( |x \cdot y| = |x| \cdot |y| \) e, quando \( y \neq 0 \), \( \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} \). Quarto, a desigualdade triangular: \( |x + y| \leq |x| + |y| \), que diz, em linguagem de distância, que ir direto de um ponto a outro nunca é mais longo do que passar por um ponto intermediário. Quinto, e muito útil em equações, \( |x| = a \) com \( a \geq 0 \) significa \( x = a \) ou \( x = -a \). Sexto, \( \sqrt{x^2} = |x| \), e não simplesmente \( x \): essa é uma pegadinha clássica, porque \( \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |{-5}| \), e não \( -5 \). Sempre que você vir uma raiz quadrada de um quadrado, lembre-se do módulo.

Na prática, o módulo aparece sempre que o que importa é o tamanho de uma diferença, e não o seu sinal. A diferença entre a temperatura medida e a temperatura esperada, o erro de uma balança, a distância entre dois pontos na reta, a tolerância de uma peça fabricada: em todos esses casos, errar para mais ou para menos é um erro do mesmo tamanho, e o módulo captura exatamente isso. Por isso, quando um enunciado fala em “diferença em módulo”, “distância”, “afastamento”, “erro máximo” ou “tolerância”, desconfie: há grandes chances de a modelagem do problema usar um módulo. Reconhecer essa palavra-chave no enunciado já é meio caminho andado, porque ela indica qual ferramenta matemática a questão espera que você use.

A função modular e sua definição por partes

A função modular mais simples é \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) dada por \( f(x) = |x| \). O domínio é todo o conjunto dos números reais, porque qualquer número real tem módulo, e a imagem é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a zero, porque o módulo nunca devolve um valor negativo. Em símbolos, \( D(f) = \mathbb{R} \) e \( \operatorname{Im}(f) = [0, +\infty) \). A função é par, tema recorrente na lista de Matemática, pois \( f(-x) = |{-x}| = |x| = f(x) \), o que explica a simetria do gráfico em relação ao eixo \( y \). Ela é decrescente para \( x < 0 \) e crescente para \( x > 0 \), e tem um ponto de mínimo global em \( x = 0 \), onde \( f(0) = 0 \). Não existe ponto de máximo: quando \( x \) cresce sem limite, para a direita ou para a esquerda, \( f(x) \) cresce sem limite também.

A definição por partes é a ferramenta que transforma a função modular em duas funções afins, uma para cada lado do zero, e é ela que permite resolver equações e desenhar gráficos com segurança. Como \( |x| = x \) quando \( x \geq 0 \) e \( |x| = -x \) quando \( x < 0 \), podemos escrever:

\[ f(x) = |x| = \begin{cases} x, & \text{se } x \geq 0 \\ -x, & \text{se } x < 0 \end{cases} \]

Essa escrita mostra que, à direita do zero, a função modular é exatamente a função identidade, uma reta que sobe com inclinação 1 e passa pela origem; à esquerda do zero, ela é a função \( g(x) = -x \), uma reta que desce quando \( x \) cresce, mas que, como estamos apenas no lado negativo, produz valores positivos. As duas retas se encontram no ponto \( (0, 0) \), formando o vértice do V. Entender essa decomposição é essencial, porque toda função modular mais complicada, como \( f(x) = |x – 2| + 1 \) ou \( f(x) = |2x + 4| \), pode ser decomposta do mesmo jeito: basta descobrir onde a expressão dentro do módulo troca de sinal, e escrever uma parte para cada intervalo.

Veja como isso funciona em um exemplo completo. Considere \( f(x) = |x – 2| \). A expressão dentro do módulo é \( x – 2 \), que é maior ou igual a zero quando \( x \geq 2 \), e menor do que zero quando \( x < 2 \). Portanto, a definição por partes fica:

\[ f(x) = |x – 2| = \begin{cases} x – 2, & \text{se } x \geq 2 \\ -(x – 2) = -x + 2, & \text{se } x < 2 \end{cases} \]

Para \( x = 5 \), usamos a primeira parte: \( f(5) = 5 – 2 = 3 \), e de fato \( |5 – 2| = |3| = 3 \). Para \( x = 0 \), usamos a segunda parte: \( f(0) = -0 + 2 = 2 \), e de fato \( |0 – 2| = |{-2}| = 2 \). Para \( x = 2 \), as duas partes dão o mesmo valor, zero, que é o vértice do gráfico. O ponto em que a expressão dentro do módulo se anula, aqui \( x = 2 \), é sempre o ponto de “dobra” do gráfico: é ali que o V muda de direção. Em qualquer função modular, o primeiro passo é encontrar esse ponto, porque ele divide o domínio nos intervalos em que a função se comporta como uma reta só.

O gráfico em V: como montar sem errar

O gráfico da função \( f(x) = |x| \) é um V com vértice na origem, formado por duas semirretas: a semirreta da esquerda, que vem descendo da esquerda para a direita até a origem, e a semirreta da direita, que sobe a partir da origem. A maneira mais segura de desenhá-lo na prova do ENEM é montar uma tabela de valores com pelo menos cinco pontos, incluindo valores negativos, o zero e valores positivos. Para \( f(x) = |x| \), temos \( f(-3) = 3 \), \( f(-2) = 2 \), \( f(-1) = 1 \), \( f(0) = 0 \), \( f(1) = 1 \), \( f(2) = 2 \) e \( f(3) = 3 \). Marcando os pontos \( (-3, 3) \), \( (-2, 2) \), \( (-1, 1) \), \( (0, 0) \), \( (1, 1) \), \( (2, 2) \) e \( (3, 3) \) no plano cartesiano e ligando-os, o V aparece sozinho, sem que você precise decorar o formato. A tabela é o seu seguro contra o erro mais comum, que é desenhar uma parábola no lugar do V: a parábola é curva, o gráfico modular é formado por retas, e a tabela mostra isso com clareza, porque os valores crescem de um em um, em linha reta, e não aceleram como em uma função quadrática.

Repare ainda que o gráfico nunca desce abaixo do eixo \( x \), porque a imagem da função é \( [0, +\infty) \). Se o seu desenho mostrar algum ponto com \( y \) negativo, algo saiu errado na conta. Outra verificação útil: o gráfico é simétrico em relação ao eixo \( y \), então o ponto \( (-2, 2) \) deve ser o espelho do ponto \( (2, 2) \), e assim por diante. Se um lado do seu V não for o espelho do outro, revise os valores da tabela antes de continuar. Por fim, lembre-se de que o vértice é um ponto de “bico”: o gráfico não é suave ali, ele muda de direção de forma brusca. Em linguagem mais avançada, dizemos que a função modular não é derivável no vértice, mas para a prova do ensino médio basta lembrar que o V tem uma ponta, e não uma curva arredondada.

Para a função deslocada \( g(x) = |x – 2| + 1 \), a tabela de valores confirma o que veremos na próxima seção: o vértice sai da origem e vai para o ponto \( (2, 1) \). Calculando, \( g(0) = |0 – 2| + 1 = 2 + 1 = 3 \), \( g(1) = |1 – 2| + 1 = 1 + 1 = 2 \), \( g(2) = |2 – 2| + 1 = 0 + 1 = 1 \), \( g(3) = |3 – 2| + 1 = 1 + 1 = 2 \) e \( g(4) = |4 – 2| + 1 = 2 + 1 = 3 \). O menor valor é 1, atingido em \( x = 2 \), e o gráfico é o mesmo V de antes, apenas deslocado duas unidades para a direita e uma unidade para cima. Essa regularidade é ótima para a prova: se você sabe desenhar \( f(x) = |x| \), sabe desenhar qualquer função do tipo \( f(x) = |x – a| + b \), bastando mover o vértice para \( (a, b) \).

Translações, reflexões e mudanças de abertura

Uma vez dominado o gráfico básico, todas as variações da função modular passam a ser combinações de poucos movimentos, e a prova cobra justamente a leitura desses movimentos. A forma geral mais cobrada é \( f(x) = a|x – h| + k \), em que o vértice do gráfico é o ponto \( (h, k) \). O número \( h \) desloca o gráfico na horizontal: se \( h \) é positivo, o vértice vai para a direita; se \( h \) é negativo, o vértice vai para a esquerda, porque \( |x – (-3)| = |x + 3| \) tem vértice em \( x = -3 \). O número \( k \) desloca o gráfico na vertical: \( k \) positivo sobe, \( k \) negativo desce. O número \( a \) controla a abertura e a orientação: se \( a > 0 \), o V abre para cima; se \( a < 0 \), o V abre para baixo, como se o gráfico tivesse sido refletido em relação ao eixo \( x \). Se \( |a| > 1 \), o V fica mais fechado, mais íngreme; se \( 0 < |a| < 1 \), o V fica mais aberto, mais achatado. Por exemplo, \( f(x) = 2|x| \) sobe duas unidades em \( y \) para cada unidade em \( x \), enquanto \( f(x) = \frac{1}{2}|x| \) sobe apenas meia unidade, e \( f(x) = -|x| \) é o V invertido, com vértice na origem e valor máximo zero.

Também é preciso atenção com o coeficiente que multiplica o \( x \) dentro do módulo, porque ele muda o ponto de dobra e a inclinação ao mesmo tempo. Em \( f(x) = |2x – 4| \), a expressão dentro do módulo se anula quando \( 2x – 4 = 0 \), ou seja, quando \( x = 2 \), então o vértice está em \( x = 2 \), e não em \( x = 4 \). Uma forma segura de reescrever é colocar o coeficiente em evidência: \( |2x – 4| = 2\left|x – 2\right| \), o que mostra que o gráfico é o V de \( |x – 2| \) com abertura duas vezes mais fechada. Da mesma forma, \( |{-x}| = |x| \), porque o sinal de menos dentro do módulo não muda a distância, e \( |x + 5| \) tem vértice em \( x = -5 \). Quando a questão pede o gráfico, o erro mais frequente é ler o número dentro do módulo como se fosse diretamente a coordenada do vértice, sem resolver a equação que anula a expressão. Resolver \( 2x – 4 = 0 \), \( x + 5 = 0 \) ou \( x – 2 = 0 \) leva segundos e evita esse erro.

Há ainda as funções modulares compostas, em que o módulo aparece duas vezes ou envolve outra função. Um exemplo clássico é \( f(x) = ||x| – 2| \), que tem um gráfico em forma de W: primeiro calcula-se \( |x| \), depois subtrai-se 2, depois aplica-se o módulo de novo, o que “dobra para cima” a parte do gráfico que ficaria abaixo do eixo \( x \). Outro exemplo é \( f(x) = |x^2 – 4| \), em que a parábola \( x^2 – 4 \) tem a parte negativa refletida para cima, gerando um gráfico com dois vales e um pico no meio. Essas versões aparecem menos no ENEM, mas são frequentes em vestibulares mais exigentes, e a estratégia é sempre a mesma: desenhe primeiro a função sem o módulo externo, identifique onde ela é negativa, e reflita essa parte para cima do eixo \( x \). Para revisar a leitura de gráficos em geral, vale a pena passar pela sala de estudo e pelos tópicos de funções da lista de Matemática.

Equações modulares resolvidas passo a passo

Resolver uma equação modular é, na essência, transformar um problema com módulo em dois problemas sem módulo, e depois conferir se as respostas encontradas realmente satisfazem a equação original — um procedimento que vale a pena treinar na sala de estudo. A regra central é: se \( |A| = b \) e \( b \geq 0 \), então \( A = b \) ou \( A = -b \). Se \( b < 0 \), a equação não tem solução, porque um módulo nunca é negativo. E se o módulo estiver igualado a uma expressão com \( x \), como em \( |x – 1| = 2x – 3 \), é preciso resolver os dois casos e, no final, testar cada candidato na equação original, porque a expressão do lado direito também precisa ser maior ou igual a zero. Vamos ver isso em exemplos completos, do mais simples ao mais trabalhoso, sempre com a conferência final.

Exemplo 1: resolver \( |x| = 7 \). Pela regra central, \( x = 7 \) ou \( x = -7 \). Conferindo: \( |7| = 7 \) e \( |{-7}| = 7 \). Conjunto solução: \( S = \{-7, 7\} \). Geometricamente, são os dois pontos da reta numérica que estão à distância 7 do zero, um à direita e outro à esquerda. Exemplo 2: resolver \( |x + 3| = 5 \). Aqui, \( A = x + 3 \) e \( b = 5 \), então \( x + 3 = 5 \), o que dá \( x = 2 \), ou \( x + 3 = -5 \), o que dá \( x = -8 \). Conferindo: \( |2 + 3| = |5| = 5 \) e \( |{-8} + 3| = |{-5}| = 5 \). Conjunto solução: \( S = \{-8, 2\} \). Note que as soluções são simétricas em relação ao ponto \( x = -3 \), que é o centro do V da função \( f(x) = |x + 3| \): de fato, \( -3 – 5 = -8 \) e \( -3 + 5 = 2 \), e essa simetria serve como verificação rápida.

Exemplo 3: resolver \( |2x – 1| = 9 \). Temos \( 2x – 1 = 9 \), o que dá \( 2x = 10 \) e \( x = 5 \), ou \( 2x – 1 = -9 \), o que dá \( 2x = -8 \) e \( x = -4 \). Conferindo: \( |2 \cdot 5 – 1| = |9| = 9 \) e \( |2 \cdot (-4) – 1| = |{-9}| = 9 \). Conjunto solução: \( S = \{-4, 5\} \). Exemplo 4, o que mais exige atenção: resolver \( |x – 1| = 2x – 3 \). Primeiro caso: \( x – 1 = 2x – 3 \). Passando os termos, \( -1 + 3 = 2x – x \), logo \( x = 2 \). Segundo caso: \( -(x – 1) = 2x – 3 \), ou seja, \( -x + 1 = 2x – 3 \), o que dá \( 1 + 3 = 2x + x \), logo \( 3x = 4 \) e \( x = \frac{4}{3} \). Agora a conferência, que é obrigatória: para \( x = 2 \), temos \( |2 – 1| = 1 \) e \( 2 \cdot 2 – 3 = 1 \), então \( x = 2 \) é solução. Para \( x = \frac{4}{3} \), temos \( \left|\frac{4}{3} – 1\right| = \left|\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3} \), mas \( 2 \cdot \frac{4}{3} – 3 = \frac{8}{3} – 3 = -\frac{1}{3} \), que é diferente de \( \frac{1}{3} \). Portanto, \( x = \frac{4}{3} \) deve ser descartado, e o conjunto solução é apenas \( S = \{2\} \). O motivo do descarte é claro: o lado direito da equação ficou negativo, e nenhum módulo pode ser igual a um número negativo.

Exemplo 5, com dois módulos: resolver \( |x – 2| + |x + 1| = 7 \). Aqui, os pontos de dobra são \( x = 2 \) e \( x = -1 \), que dividem a reta em três intervalos: \( x < -1 \), \( -1 \leq x < 2 \) e \( x \geq 2 \). No primeiro intervalo, os dois módulos trocam de sinal: \( -(x – 2) – (x + 1) = 7 \), ou seja, \( -x + 2 – x – 1 = 7 \), logo \( -2x + 1 = 7 \), \( -2x = 6 \) e \( x = -3 \), que de fato é menor do que \( -1 \), então vale. No segundo intervalo, \( -(x – 2) + (x + 1) = 3 \), que nunca é igual a 7, então não há solução nesse intervalo. No terceiro intervalo, \( (x – 2) + (x + 1) = 7 \), ou seja, \( 2x – 1 = 7 \), \( 2x = 8 \) e \( x = 4 \), que de fato é maior ou igual a 2, então vale. Conferindo: para \( x = -3 \), \( |{-5}| + |{-2}| = 5 + 2 = 7 \); para \( x = 4 \), \( |2| + |5| = 2 + 5 = 7 \). Conjunto solução: \( S = \{-3, 4\} \). Geometricamente, a soma \( |x – 2| + |x + 1| \) é a soma das distâncias de \( x \) até 2 e até \( -1 \); entre \( -1 \) e 2, essa soma é sempre 3, que é a distância entre os dois pontos, e fora desse intervalo ela cresce, atingindo 7 exatamente em \( -3 \) e em 4.

Inequações modulares: o intervalo e os dois lados

As inequações modulares, frequentes nos vestibulares, seguem a mesma lógica das equações, mas o resultado, em vez de pontos isolados, é um intervalo ou a união de dois intervalos. As duas regras básicas resolvem a maioria das questões. Primeira: \( |A| < b \), com \( b > 0 \), significa \( -b < A < b \), ou seja, \( A \) está entre \( -b \) e \( b \), a uma distância menor do que \( b \) do zero. A versão com \( \leq \) é análoga: \( |A| \leq b \) significa \( -b \leq A \leq b \). Segunda: \( |A| > b \), com \( b > 0 \), significa \( A > b \) ou \( A < -b \), ou seja, \( A \) está fora do intervalo \( [-b, b] \), a uma distância maior do que \( b \) do zero. A versão com \( \geq \) é análoga. Se você gravar essas duas regras e souber desenhar a reta numérica, consegue resolver qualquer inequação modular simples sem precisar decorar mais nada.

Vamos aos exemplos com valores exatos. Resolver \( |x| < 4 \) significa \( -4 < x < 4 \), ou seja, o intervalo aberto \( (-4, 4) \). Resolver \( |x| \geq 3 \) significa \( x \leq -3 \) ou \( x \geq 3 \), ou seja, \( (-\infty, -3] \cup [3, +\infty) \). Resolver \( |x – 2| \leq 5 \) significa \( -5 \leq x – 2 \leq 5 \); somando 2 em todas as partes, \( -3 \leq x \leq 7 \), ou seja, o intervalo fechado \( [-3, 7] \), que são exatamente os pontos cuja distância até 2 é no máximo 5. Resolver \( |2x + 1| > 7 \) significa \( 2x + 1 > 7 \) ou \( 2x + 1 < -7 \); no primeiro caso, \( 2x > 6 \) e \( x > 3 \); no segundo caso, \( 2x < -8 \) e \( x < -4 \); portanto, a solução é \( (-\infty, -4) \cup (3, +\infty) \). Em todos os casos, vale a pena testar um número de cada região na inequação original: por exemplo, em \( |2x + 1| > 7 \), o número \( x = 4 \) dá \( |9| = 9 > 7 \), certo; o número \( x = 0 \) dá \( |1| = 1 \), que não é maior do que 7, certo, pois 0 não está na solução; e o número \( x = -5 \) dá \( |{-9}| = 9 > 7 \), certo.

Um caso que exige cuidado extra é a inequação com expressão em \( x \) do lado direito, como \( |x – 1| < 2x \). Aqui, não basta aplicar a regra \( -2x < x – 1 < 2x \) sem pensar: essa regra só vale quando o lado direito é positivo, porque um módulo é sempre maior ou igual a zero, e se \( 2x \) fosse negativo, a desigualdade \( |x – 1| < 2x \) seria impossível. Resolvendo com esse cuidado, precisamos de \( 2x > 0 \), ou seja, \( x > 0 \), e das duas desigualdades: \( x – 1 < 2x \), que dá \( -1 < x \), e \( x – 1 > -2x \), que dá \( 3x > 1 \), ou seja, \( x > \frac{1}{3} \). Juntando as três condições, \( x > 0 \), \( x > -1 \) e \( x > \frac{1}{3} \), a mais restritiva é \( x > \frac{1}{3} \), então a solução é \( \left(\frac{1}{3}, +\infty\right) \). Testando \( x = 1 \): \( |0| = 0 < 2 \), certo. Testando \( x = 0 \): \( |{-1}| = 1 \), que não é menor do que 0, certo, pois 0 não está na solução. Esse tipo de verificação com um número de teste é rápido e pega a maioria dos erros de sinal antes que eles custem a questão.

Mapa mental

• Função modular: \( f(x) = |x| \)
  • Módulo é distância até o zero: \( |x| \geq 0 \) sempre
  • Definição por partes: \( |x| = x \) se \( x \geq 0 \); \( |x| = -x \) se \( x < 0 \)
  • Domínio \( \mathbb{R} \); imagem \( [0, +\infty) \); função par; simétrica em relação ao eixo \( y \)
• Gráfico em V
  • Vértice de \( f(x) = |x| \) em \( (0, 0) \); vértice de \( f(x) = a|x – h| + k \) em \( (h, k) \)
  • Duas semirretas; nunca desce abaixo do eixo \( x \) quando \( a > 0 \)
  • \( a < 0 \) inverte o V; \( |a| > 1 \) fecha; \( 0 < |a| < 1 \) abre
  • Ponto de dobra: onde a expressão dentro do módulo se anula
• Equações modulares
  • \( |A| = b \), \( b \geq 0 \): \( A = b \) ou \( A = -b \)
  • Se \( b < 0 \): sem solução; se o lado direito tem \( x \): conferir cada candidato
  • Dois módulos: dividir a reta nos pontos de dobra e resolver por intervalos
• Inequações modulares
  • \( |A| < b \): \( -b < A < b \) (intervalo central)
  • \( |A| > b \): \( A > b \) ou \( A < -b \) (fora do intervalo central)
  • Testar um número de cada região na inequação original
• Erros que mais custam ponto
  • Esquecer o segundo caso (o negativo) da equação
  • Aceitar solução com o lado direito negativo
  • Confundir o V com parábola; trocar o sinal do vértice em \( |x + 3| \)

SAQ: perguntas e respostas rápidas

1. O que é o módulo de um número? É a distância desse número até o zero na reta numérica. Por isso, \( |{-9}| = 9 \), \( |9| = 9 \) e \( |0| = 0 \), e o resultado nunca é negativo.

2. Como fica a definição por partes de \( f(x) = |x| \)? \( f(x) = x \) quando \( x \geq 0 \) e \( f(x) = -x \) quando \( x < 0 \). À direita do zero, o gráfico é a reta \( y = x \); à esquerda, é a reta \( y = -x \).

3. Qual é o gráfico da função modular? Um V, com vértice no ponto em que a expressão dentro do módulo se anula. Para \( f(x) = |x| \), o vértice é \( (0, 0) \); para \( f(x) = |x – 2| + 1 \), o vértice é \( (2, 1) \).

4. Como resolver \( |x| = a \)? Se \( a \geq 0 \), as soluções são \( x = a \) e \( x = -a \). Se \( a < 0 \), não há solução, porque um módulo nunca é negativo.

5. Como resolver \( |x| < a \) e \( |x| > a \)? \( |x| < a \) dá o intervalo central \( -a < x < a \). Já \( |x| > a \) dá os dois lados de fora: \( x > a \) ou \( x < -a \).

6. Onde está o vértice de \( f(x) = |x + 3| – 2 \)? Em \( (-3, -2) \). O sinal é o contrário do que aparece dentro do módulo: \( x + 3 \) se anula em \( x = -3 \), e o \( -2 \) desloca o gráfico duas unidades para baixo.

7. Por que é preciso conferir as soluções de uma equação modular? Porque, quando o lado direito da equação contém \( x \), um candidato encontrado na conta pode deixar esse lado negativo, e aí ele não satisfaz a equação original, devendo ser descartado, como aconteceu com \( x = \frac{4}{3} \) em \( |x – 1| = 2x – 3 \).

Questões comentadas

Questão 1. O gráfico da função \( f(x) = |x + 3| – 2 \) tem vértice no ponto: (A) \( (3, -2) \) (B) \( (-3, -2) \) (C) \( (3, 2) \) (D) \( (-3, 2) \) (E) \( (0, -2) \).

Gabarito: B. Comentário: o vértice de \( f(x) = |x – h| + k \) é \( (h, k) \). Aqui, \( x + 3 = x – (-3) \), então \( h = -3 \), e \( k = -2 \). Logo, o vértice é \( (-3, -2) \). A alternativa A é a pegadinha clássica: quem lê o 3 sem trocar o sinal erra o vértice. Conferindo pela tabela: \( f(-3) = |0| – 2 = -2 \), que é o menor valor da função, e \( f(-2) = |1| – 2 = -1 \), maior do que \( -2 \), confirmando que \( (-3, -2) \) é o ponto mais baixo do V.

Questão 2. O conjunto solução da equação \( |3x – 6| = 12 \) é: (A) \( \{6\} \) (B) \( \{-2\} \) (C) \( \{-2, 6\} \) (D) \( \{2, 6\} \) (E) \( \{-6, 2\} \).

Gabarito: C. Comentário: pela regra do módulo, \( 3x – 6 = 12 \) ou \( 3x – 6 = -12 \). No primeiro caso, \( 3x = 18 \) e \( x = 6 \). No segundo caso, \( 3x = -6 \) e \( x = -2 \). Conferindo: \( |3 \cdot 6 – 6| = |12| = 12 \) e \( |3 \cdot (-2) – 6| = |{-12}| = 12 \). As duas soluções são simétricas em relação a \( x = 2 \), o ponto em que \( 3x – 6 \) se anula, o que confirma o resultado.

Questão 3. A inequação \( |x – 5| < 3 \) é satisfeita por todos os valores de \( x \) tais que: (A) \( x < 2 \) (B) \( x > 8 \) (C) \( 2 < x < 8 \) (D) \( x \leq 2 \) ou \( x \geq 8 \) (E) \( -3 < x < 3 \).

Gabarito: C. Comentário: \( |x – 5| < 3 \) significa \( -3 < x – 5 < 3 \). Somando 5 em todas as partes, \( 2 < x < 8 \). Geometricamente, são os pontos cuja distância até 5 é menor do que 3, ou seja, o intervalo aberto \( (2, 8) \). A alternativa D corresponde à inequação contrária, \( |x – 5| \geq 3 \), e a alternativa E ignora o deslocamento do centro, que é 5, e não zero.

Questão 4. Um sensor de uma máquina deve manter a distância de uma peça ao centro de referência entre 35 cm e 45 cm. Se \( d \) é essa distância, em centímetros, a condição de funcionamento pode ser escrita como: (A) \( |d – 40| \leq 5 \) (B) \( |d – 5| \leq 40 \) (C) \( |d + 40| \leq 5 \) (D) \( |d – 40| > 5 \) (E) \( |d| \leq 5 \).

Gabarito: A. Comentário: o centro do intervalo \( [35, 45] \) é \( \frac{35 + 45}{2} = 40 \), e a tolerância, ou seja, a metade da largura do intervalo, é \( \frac{45 – 35}{2} = 5 \). A condição “a distância de \( d \) até 40 é no máximo 5” se escreve como \( |d – 40| \leq 5 \), que equivale a \( -5 \leq d – 40 \leq 5 \), ou seja, \( 35 \leq d \leq 45 \). Esse modelo de centro mais tolerância é o formato padrão de problemas de módulo com contexto, e vale a pena memorizá-lo.

Questão 5. Considere a função \( f(x) = |x – 1| + 2 \). É correto afirmar que: (A) o valor mínimo de \( f \) é 0, atingido em \( x = 0 \) (B) o valor mínimo de \( f \) é 2, atingido em \( x = 1 \) (C) \( f(4) = 1 \) (D) o gráfico de \( f \) é uma parábola com vértice em \( (1, 2) \) (E) \( f \) é decrescente para todo \( x \) real.

Gabarito: B. Comentário: o vértice de \( f(x) = |x – 1| + 2 \) é \( (1, 2) \), porque \( x – 1 \) se anula em \( x = 1 \) e o \( +2 \) desloca o gráfico duas unidades para cima. Como o coeficiente do módulo é positivo, o V abre para cima, então 2 é o valor mínimo, atingido em \( x = 1 \). Além disso, \( f(4) = |3| + 2 = 5 \), e não 1, o que elimina a alternativa C; o gráfico é um V, e não uma parábola, o que elimina a D; e a função é decrescente apenas para \( x < 1 \), crescendo para \( x > 1 \), o que elimina a E. Para aprofundar o estudo de funções, consulte os tópicos de Matemática na sala de estudo.

Dica do professor

Quando você encontrar uma questão de função modular, faça três gestos antes de qualquer conta, como se faz nas revisões da lista de Matemática: encontre o ponto de dobra, resolvendo a equação que anula a expressão dentro do módulo; desenhe um pequeno V marcando o vértice; e escreva os dois casos, o positivo e o negativo, lado a lado. Esses três gestos levam menos de um minuto e resolvem a maior parte das questões, porque transformam um problema que parece novo em um problema que você já sabe resolver: uma equação ou inequação de primeiro grau, duas vezes. Outro hábito que salva nota é testar a resposta: depois de encontrar um candidato, substitua-o na equação original, com calma, antes de marcar a alternativa. Em equações modulares com \( x \) do lado direito, essa conferência não é um luxo, é parte da resolução, porque é ela que descarta as soluções falsas. Por fim, quando o enunciado falar em distância, tolerância ou erro, traduza imediatamente para módulo: “distância de \( x \) até \( a \) menor do que \( b \)” é \( |x – a| < b \), e “distância de \( x \) até \( a \) maior do que \( b \)” é \( |x – a| > b \). Se você treinar essa tradução com cinco exemplos, ela vira automática na hora da prova.

Atenção/cuidado

O primeiro cuidado é não esquecer o segundo caso: \( |A| = b \) sempre gera duas equações, \( A = b \) e \( A = -b \), e quem resolve só a primeira perde metade das soluções. O segundo cuidado é não aceitar solução com o lado direito negativo: se, ao conferir, o lado direito da equação ficar negativo, o candidato deve ser descartado, sem discussão. O terceiro cuidado é o sinal do vértice: \( |x + 3| \) tem vértice em \( x = -3 \), e não em \( x = 3 \), porque o que importa é o valor que anula a expressão, e \( x + 3 = 0 \) dá \( x = -3 \). O quarto cuidado é não confundir o V com a parábola: o gráfico modular é formado por retas, tem um bico no vértice e cresce de forma linear, enquanto a parábola é curva e cresce de forma quadrática. O quinto cuidado é com o módulo de uma expressão, e não de um número: \( |x – 2| \) não é \( x – 2 \) nem \( 2 – x \) em geral, e sim uma coisa ou outra dependendo do intervalo, e é a definição por partes que decide qual delas vale. O sexto cuidado é com desigualdades: \( |x| < a \) dá um intervalo único e central, enquanto \( |x| > a \) dá dois intervalos, e trocar um pelo outro é um dos erros mais frequentes em inequações modulares. Se você revisar esses seis pontos antes de entregar a prova, boa parte dos erros do tema já estará evitada.

Conexão com outras áreas

A função modular conecta-se diretamente com a Matemática de vários capítulos. Com as funções afim e quadrática, porque a definição por partes da função modular é feita de retas, e a reflexão de uma parábola pelo módulo gera gráficos como o de \( |x^2 – 4| \). Com a geometria analítica, porque a distância entre dois pontos na reta é \( |x_2 – x_1| \), e a distância de um ponto a uma reta no plano usa a mesma ideia de valor absoluto no numerador da fórmula. Com as funções compostas, porque expressões como \( ||x| – 2| \) são composições de funções, e o estudo do domínio e da imagem passa por aplicar o módulo duas vezes. Com a estatística, porque o desvio absoluto médio mede o afastamento dos dados em relação à média usando módulo, e é uma alternativa robusta ao desvio padrão quando há valores extremos. Com a Física, porque erros de medida, tolerâncias de instrumentos e deslocamentos em módulo aparecem em laboratório e em problemas de cinemática, em que a distância percorrida, ao contrário do deslocamento, nunca é negativa. E com a vida prática, porque qualquer situação de “pode errar até tanto para mais ou para menos” é, matematicamente, um módulo. Dominar a função modular, portanto, não é decorar mais um gráfico: é ganhar uma linguagem para falar de distância, erro e tolerância em toda a Matemática.

Incidência

Incidência: ♨️ Morno. A função modular não é o tema mais frequente da prova de Matemática do ENEM, mas aparece com regularidade, quase sempre na forma de gráfico, de equação simples ou de problema de distância e tolerância, e é um tema clássico em vestibulares como Fuvest, Unicamp e UFRGS, que cobram também inequações e funções compostas com módulo. Por ser um conteúdo curto, com poucas regras e alto poder de resolução, ele tem um excelente custo-benefício de revisão: em uma ou duas horas de estudo focado, com a definição por partes, o gráfico em V e as duas regras de inequação, você cobre praticamente tudo o que a prova pode pedir. A recomendação é revisar a função modular junto com as funções afim e quadrática, na sala de estudo, e resolver pelo menos uma equação com \( x \) no lado direito e uma inequação de cada tipo antes da prova, porque são esses dois formatos que mais derrubam candidatos despreparados.