A probabilidade é um dos temas mais certos de Matemática no ENEM: quase todo ano caem uma ou duas questões — sorteios, urnas, dados, jogos e situações do cotidiano em que é preciso contar casos favoráveis e casos possíveis. A bateria de hoje reúne 10 questões REAIS, que já caíram no ENEM entre 2020 e 2023 (incluindo PPL e Digital), transcritas fielmente das provas oficiais, com a fonte visível (banca e ano), a figura original da prova quando a questão tem, o gabarito oficial da banca e uma resolução comentada nossa, passo a passo, no bloco recolhível depois de cada questão.
Antes de começar, revise a base: probabilidade clássica — P = casos favoráveis / casos possíveis; eventos independentes — as probabilidades se multiplicam; “pelo menos um” — calcule 1 − P(nenhum); e probabilidade condicional — o universo muda depois que uma condição é dada. Tente resolver antes de abrir cada resolução. Bom treino!
Questão 1 — O sorteio do colégio: 55 candidatos, duas urnas
Fonte: ENEM 2023 — Matemática
Em um colégio público, a admissão no primeiro ano se dá por sorteio. Neste ano há 55 candidatos, cujas inscrições são numeradas de 01 a 55. O sorteio de cada número de inscrição será realizado em etapas, utilizando-se duas urnas. Da primeira urna será sorteada uma bola, dentre bolas numeradas de 0 a 9, que representará o algarismo das unidades do número de inscrição a ser sorteado e, em seguida, da segunda urna, será sorteada uma bola para representar o algarismo das dezenas desse número. Depois do primeiro sorteio, e antes de se sortear o algarismo das dezenas, as bolas que estarão presentes na segunda urna serão apenas aquelas cujos números formam, com o algarismo já sorteado, um número de 01 a 55.
As probabilidades de os candidatos de inscrição número 50 e 02 serem sorteados são, respectivamente,
- A) 1/50 e 1/60
- B) 1/50 e 1/50
- C) 1/50 e 1/10
- D) 1/55 e 1/54
- E) 1/100 e 1/100
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Gabarito oficial: A. O sorteio acontece em duas etapas e a segunda urna muda conforme o algarismo das unidades sorteado. Para o candidato 50: o algarismo das unidades é 0, sorteado com probabilidade 1/10; com a unidade 0, as dezenas possíveis são 1, 2, 3, 4 e 5 (números 10, 20, 30, 40 e 50), então a dezena 5 sai com probabilidade 1/5. Logo, P(50) = 1/10 × 1/5 = 1/50. Para o candidato 02: a unidade 2 sai com probabilidade 1/10; com a unidade 2, as dezenas possíveis são 0, 1, 2, 3, 4 e 5 (números 02, 12, 22, 32, 42 e 52), então a dezena 0 sai com probabilidade 1/6. Logo, P(02) = 1/10 × 1/6 = 1/60. A alternativa B erra a dezena do 02 — com a unidade 2 são 6 dezenas possíveis, não 5; C supõe que a dezena do 02 seria certa; D ignora o sorteio em duas etapas e trata os 55 candidatos como se fossem equiprováveis de uma vez; E trata como se houvesse 100 números possíveis.
Questão 2 — O voucher da loja: quantas bolinhas brancas?
Fonte: ENEM 2023 — Matemática
Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher, o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A é igual a 20% e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25%. Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna.
Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso ajustar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1%. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.
Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B?
- A) 20
- B) 60
- C) 64
- D) 68
- E) 80
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Gabarito oficial: C. Primeiro, descubra quantas bolinhas há hoje na urna B: são 4 pretas e a probabilidade de tirar uma preta é 25%, então 4 é 25% do total — o total é 16 bolinhas (12 brancas). Os sorteios nas duas urnas são independentes, então P(ganhar o voucher) = P(preta em A) × P(preta em B) = 0,20 × 4/(16 + x), em que x é o número de bolinhas brancas adicionadas. Queremos 0,20 × 4/(16 + x) ≤ 0,01, ou seja, 0,8/(16 + x) ≤ 0,01. Resolvendo: 0,8 ≤ 0,16 + 0,01x, logo 0,64 ≤ 0,01x e x ≥ 64. O mínimo é 64 bolinhas brancas — conferindo: com 64 a mais, a urna B fica com 80 bolinhas, P(preta em B) = 4/80 = 5% e P(voucher) = 20% × 5% = 1%, exatamente o limite. A alternativa B (60) deixaria a probabilidade em 0,20 × 4/76 ≈ 1,05%, acima do limite; A (20) mal mudaria o cenário.
Questão 3 — O quarto do alojamento: 200, 150 e 100 inscritos
Fonte: ENEM 2023 — Matemática
No alojamento de uma universidade, há alguns quartos com o padrão superior ao dos demais. Um desses quartos ficou disponível, e muitos estudantes se candidataram para morar no local. Para escolher quem ficará com o quarto, um sorteio será realizado. Para esse sorteio, cartões individuais com os nomes de todos os estudantes inscritos serão depositados em uma urna, sendo que, para cada estudante de primeiro ano, será depositado um único cartão com seu nome; para cada estudante de segundo ano, dois cartões com seu nome; e, para cada estudante de terceiro ano, três cartões com seu nome. Foram inscritos 200 estudantes de primeiro ano, 150 de segundo ano e 100 de terceiro ano. Todos os cartões têm a mesma probabilidade de serem sorteados.
Qual a probabilidade de o vencedor do sorteio ser um estudante de terceiro ano?
- A) 1/2
- B) 1/3
- C) 1/8
- D) 2/9
- E) 3/8
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Gabarito oficial: E. O erro clássico aqui é contar estudantes em vez de cartões — o sorteio é entre cartões, e cada estudante tem uma quantidade diferente deles. Total de cartões: 200 × 1 + 150 × 2 + 100 × 3 = 200 + 300 + 300 = 800 cartões. Os estudantes de terceiro ano têm 100 × 3 = 300 cartões. Logo, P(terceiro ano) = 300/800 = 3/8. A alternativa B (1/3) seria a resposta de quem dividisse 100 estudantes de terceiro ano por 300 “chances” erradas, e a C (1/8) de quem contasse só os 100 estudantes sobre os 800 cartões.
Questão 4 — World Series: quem venceu a primeira partida leva vantagem?
Fonte: ENEM 2022 — Matemática
A World Series é a decisão do campeonato norte-americano de beisebol. Os dois times que chegam a essa fase jogam, entre si, até sete partidas. O primeiro desses times que completar quatro vitórias é declarado campeão.
Considere que, em todas as partidas, a probabilidade de qualquer um dos dois times vencer é sempre 1/2.
Qual é a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series?
- A) 35/64
- B) 40/64
- C) 42/64
- D) 44/64
- E) 52/64
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Gabarito oficial: C. Quem venceu a primeira partida precisa de mais 3 vitórias nas 6 partidas restantes para fechar a série em 4. O número de sequências de 6 partidas em que ele vence pelo menos 3 é C(6,3) + C(6,4) + C(6,5) + C(6,6) = 20 + 15 + 6 + 1 = 42. Como cada sequência de 6 partidas tem probabilidade (1/2)^6 = 1/64, a probabilidade pedida é 42/64. Note que o outro time, que perdeu a primeira, teria probabilidade 22/64 de ser campeão — e 42/64 + 22/64 = 1, como deve ser. A alternativa A (35/64) conta só os casos em que ele vence exatamente 3 das 6 restantes somados de forma errada; E (52/64) superestima a vantagem.
Questão 5 — O bingo de Pedro: ganhar em uma das duas próximas rodadas
Fonte: ENEM 2022 — Matemática
Em um jogo de bingo, as cartelas contêm 16 quadrículas dispostas em linhas e colunas. Cada quadrícula tem impresso um número, dentre os inteiros de 1 a 50, sem repetição de número. Na primeira rodada, um número é sorteado, aleatoriamente, dentre os 50 possíveis. Em todas as rodadas, o número sorteado é descartado e não participa dos sorteios das rodadas seguintes. Caso o jogador tenha em sua cartela o número sorteado, ele o assinala na cartela. Ganha o jogador que primeiro conseguir preencher quatro quadrículas que formam uma linha, uma coluna ou uma diagonal, conforme os tipos de situações ilustradas na Figura 1.
O jogo inicia e, nas quatro primeiras rodadas, foram sorteados os seguintes números: 03, 27, 07 e 48. Ao final da quarta rodada, somente Pedro possuía uma cartela que continha esses quatro números sorteados, sendo que todos os demais jogadores conseguiram assinalar, no máximo, um desses números em suas cartelas. Observe na Figura 2 o cartão de Pedro após as quatro primeiras rodadas.
A probabilidade de Pedro ganhar o jogo em uma das duas próximas rodadas é
- A) 1/46 + 1/45
- B) 1/46 + 2/(46 × 45)
- C) 1/46 + 8/(46 × 45)
- D) 1/46 + 43/(46 × 45)
- E) 1/46 + 49/(46 × 45)
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Gabarito oficial: E. Depois de 4 rodadas, restam 46 números no globo. Olhando o cartão de Pedro, só falta um número para fechar a primeira linha: o 12 (03, 48 e 27 já estão marcados). Então P(ganhar na 5ª rodada) = 1/46. Se o 12 não sair na 5ª, Pedro ainda pode ganhar na 6ª: aí valem o 12 e mais um detalhe — se a 5ª rodada sortear um dos números 11, 19, 05 ou 45, abre-se uma segunda chance, pois faltaria só o “parceiro” para fechar a diagonal (11–19) ou a quarta coluna (05–45). Ou seja, P(ganhar na 6ª) = (4/46) × (2/45) + (41/46) × (1/45) = 8/(46 × 45) + 41/(46 × 45) = 49/(46 × 45). Somando as duas rodadas: 1/46 + 49/(46 × 45). A alternativa A ignora essas segundas chances abertas na 5ª rodada; B e C contam menos parceiros do que os 4 reais; D conta 43 em vez de 49.
Questão 6 — Os dardos: quantos lançar para pontuar em 9 de cada 10 rodadas?
Fonte: ENEM 2021 — Matemática
O organizador de uma competição de lançamento de dardos pretende tornar o campeonato mais competitivo. Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo. O organizador considera que, em média, os jogadores têm, em cada lançamento, 1/2 de probabilidade de acertar um dardo no alvo.
A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a 9/10. Para isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada.
Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é
- A) 2.
- B) 4.
- C) 6.
- D) 9.
- E) 10.
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Gabarito oficial: B. “Pontuar” é acertar pelo menos um dardo — o caminho mais curto é calcular pelo complementar: P(pontuar) = 1 − P(errar todos). Com n dardos, P(errar todos) = (1/2)^n, então precisamos de 1 − (1/2)^n ≥ 9/10, isto é, (1/2)^n ≤ 1/10. Com n = 3 (a regra atual), (1/2)^3 = 1/8 = 0,125, maior que 0,1 — por isso a regra atual não basta: P(pontuar) = 7/8 = 87,5%. Com n = 4, (1/2)^4 = 1/16 = 0,0625 ≤ 0,1, e P(pontuar) = 15/16 = 93,75% ≥ 90%. Logo, o mínimo é 4 dardos. As alternativas C, D e E também atingiriam 90%, mas a questão pede a quantidade mínima.
Questão 7 — A senha do cofre: dois dígitos esquecidos
Fonte: ENEM PPL 2021 — Matemática
A senha de um cofre é uma sequência formada por oito dígitos, que são algarismos escolhidos de 0 a 9. Ao inseri-la, o usuário se esqueceu dos dois últimos dígitos que formam essa senha, lembrando somente que esses dígitos são distintos.
Digitando ao acaso os dois dígitos esquecidos, a probabilidade de que o usuário acerte a senha na primeira tentativa é
- A) 2/8
- B) 1/90
- C) 2/90
- D) 1/100
- E) 2/100
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Gabarito oficial: B. Para o penúltimo dígito há 10 possibilidades (0 a 9); para o último, como ele é distinto do penúltimo, restam 9. São 10 × 9 = 90 pares possíveis, todos igualmente prováveis, e só 1 deles é a senha certa: P = 1/90. A alternativa D (1/100) é a resposta de quem esquece que os dígitos são distintos e conta 10 × 10; C (2/90) conta 2 casos favoráveis, mas só há uma senha correta.
Questão 8 — O Estatuto do Idoso: João será o sétimo?
Fonte: ENEM 2020 — Matemática
O Estatuto do Idoso, no Brasil, prevê certos direitos às pessoas com idade avançada, concedendo a estas, entre outros benefícios, a restituição de imposto de renda antes dos demais contribuintes. A tabela informa os nomes e as idades de 12 idosos que aguardam suas restituições de imposto de renda. Considere que, entre os idosos, a restituição seja concedida em ordem decrescente de idade e que, em subgrupos de pessoas com a mesma idade, a ordem seja decidida por sorteio.
| Nome | Idade (em anos) |
|---|---|
| Orlando | 89 |
| Gustavo | 86 |
| Luana | 86 |
| Teresa | 85 |
| Márcia | 84 |
| Roberto | 82 |
| Heloísa | 75 |
| Marisa | 75 |
| Pedro | 75 |
| João | 75 |
| Antônio | 72 |
| Fernanda | 70 |
Nessas condições, a probabilidade de João ser a sétima pessoa do grupo a receber sua restituição é igual a
- A) 1/12
- B) 7/12
- C) 1/8
- D) 5/6
- E) 1/4
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Gabarito oficial: E. Ordenando por idade decrescente, os seis primeiros a receber são os mais velhos: Orlando (89), Gustavo (86), Luana (86), Teresa (85), Márcia (84) e Roberto (82). Depois deles vêm os quatro idosos de 75 anos — Heloísa, Marisa, Pedro e João — que ocupam as posições 7, 8, 9 e 10, em ordem decidida por sorteio. João será o sétimo se for sorteado em primeiro lugar entre os quatro de 75 anos: P = 1/4. A alternativa A (1/12) é a resposta de quem trata todos os 12 idosos como se disputassem a 7ª posição; C (1/8) erra a contagem do grupo de mesma idade.
Questão 9 — Amigo secreto: o casal abre e fecha a brincadeira?
Fonte: ENEM 2020 — Matemática
Amigo secreto é uma brincadeira tradicional nas festas de fim de ano. Um grupo de amigos se reúne e cada um deles sorteia o nome da pessoa que irá presentear. No dia da troca de presentes, uma primeira pessoa presenteia seu amigo secreto. Em seguida, o presenteado revela seu amigo secreto e o presenteia. A brincadeira continua até que todos sejam presenteados, mesmo no caso em que o ciclo se fecha. Dez funcionários de uma empresa, entre eles um casal, participarão de um amigo secreto. A primeira pessoa a revelar será definida por sorteio.
Qual é a probabilidade de que a primeira pessoa a revelar o seu amigo secreto e a última presenteada sejam as duas pessoas do casal?
- A) 1/5
- B) 1/45
- C) 1/50
- D) 1/90
- E) 1/100
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Gabarito oficial: B. São dois eventos em sequência. Primeiro, a pessoa sorteada para revelar precisa ser uma das duas do casal: P = 2/10 = 1/5. Depois, a última pessoa a ser presenteada precisa ser a outra metade do casal: entre as 9 restantes, P = 1/9. Como os eventos são independentes na contagem, multiplicamos: (2/10) × (1/9) = 2/90 = 1/45. Outra forma de ver: são 10! ordens possíveis e 2! × 8! ordens favoráveis (o casal nas pontas, em qualquer ordem, e os demais 8 no meio em qualquer ordem): (2! × 8!)/10! = 2/(10 × 9) = 1/45. A alternativa A (1/5) conta só o primeiro evento; D (1/90) esquece que o casal pode aparecer nas pontas em duas ordens.
Questão 10 — As cinco moedas: qual a chance de sair cara?
Fonte: ENEM Digital 2020 — Matemática
Um apostador deve escolher uma entre cinco moedas ao acaso e lançá-la sobre uma mesa, tentando acertar qual resultado (cara ou coroa) sairá na face superior da moeda.
Suponha que as cinco moedas que ele pode escolher sejam diferentes:
- duas delas têm “cara” nas duas faces;
- uma delas tem “coroa” nas duas faces;
- duas delas são normais (cara em uma face e coroa na outra).
Nesse jogo, qual é a probabilidade de o apostador obter uma face “cara” no lado superior da moeda lançada por ele?
- A) 1/8
- B) 2/5
- C) 3/5
- D) 3/4
- E) 4/5
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Gabarito oficial: C. É uma probabilidade total: some a chance de cada tipo de moeda, ponderada pela chance de escolhê-la. Moeda com duas caras: P(escolher) = 2/5 e P(cara) = 1, contribuindo 2/5. Moeda com duas coroas: P(escolher) = 1/5 e P(cara) = 0, contribuindo 0. Moeda normal: P(escolher) = 2/5 e P(cara) = 1/2, contribuindo (2/5) × (1/2) = 1/5. Somando: 2/5 + 0 + 1/5 = 3/5. A alternativa B (2/5) conta só as moedas de duas caras; E (4/5) soma as moedas de duas caras com as normais inteiras, sem o fator 1/2.
Gostou do treino? A probabilidade aparece em praticamente toda prova do ENEM — e o segredo é sempre o mesmo: identificar os casos favoráveis, os casos possíveis e se os eventos são independentes ou condicionados. Amanhã tem mais: a próxima matéria do ciclo é Química. Até lá!
