Quadrado da soma de dois termos
(a+b)2 = a2 + b2 + 2ab
Exemplo: (3+4)2=32+42+2×3×4
Quadrado da diferença de dois termos
(a-b)2 = a2 + b2 – 2ab
Exemplo: (7-5)2=72+52-2×7×5
Diferença de potências (ordem 2)
a2 – b2 = (a+b)(a-b)
Exemplo: 72-52=(7+5)(7-5)
Cubo da soma de dois termos
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Exemplo: (4+5)3=43+3×42×5+3×4×52+53
Cubo da soma de dois termos na forma simplificada
(a+b)3 = a(a-3b)2 + b(b-3a)2
Exemplo: (4+5)3=4(4-3×5)2+5(5-3×4)2
Cubo da diferença de dois termos
(a-b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Exemplo: (4-5)3=43-3×42×5+3×4×52-53
Identidade de Fibonacci
(a2+b2)(p2+q2) = (ap-bq)2+(aq+bp)2
Exemplo: (12+32)(52+72)=(1×5-3×7)2+(1×7+3×5)2
Identidade de Platão
(a2+b2)2 = (a2-b2)2+(2ab)2
Exemplo: (32+82)2=(32-82)2+(2×3×8)2
Identidade de Lagrange (4 termos)
(a2+b2)(p2+q2)-(ap+bq)2 = (aq-bp)2
Exemplo: (92+72)(52+32)-(9×5+7×3)2=(9×3-7×5)2
Identidade de Lagrange (6 termos)
(a2+b2+c2)(p2+q2+r2) – (ap+bq+cr)2
= (aq-bp)2 + (ar-cp)2 + (br-cq)2Exemplo: (12+32+52)(72+82+92)-(1×7+3×8+5×9)2
=(1×8-3×7)2+(1×9-5×7)2+(3×9-5×8)2Identidade de Cauchy (n=3)
(a+b)3 – a3 – b3 = 3ab(a+b)
Exemplo: (2+7)3-23-73=3×2×7×(2+7)
Identidade de Cauchy (n=5)
(a+b)5 – a5 – b5 = 5ab(a+b)(a2+ab+b2)
Exemplo: (1+2)5-15-25=5×1×2×(1+2)(12+1×2+22)
Quadrado da soma de n termos
sendo que iExemplo: (a+b)2=a2+b2+2(ab)
Exemplo: (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)
Exemplo: (a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
Cubo da soma de n termos
sendo que iDiferença entre os quadrados da soma e diferença
(a+b)2 – (a-b)2 = 4ab
Exemplo: (7+9)2-(7-9)2=4×7×9
Soma dos quadrados da soma e da diferença
(a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2)
Exemplo: (3+5)2+(3-5)2=2(32+52)
Soma de dois cubos
a3+b3 = (a+b)3 – 3ab(a+b)
Exemplo: 23+43=(2+4)3-3×2×4×(2+4)
Soma de dois cubos na forma fatorada
a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)
Exemplo: 53+73=(5+7) (52-5×7+72)
Transformação do produto na diferença de quadrados
ab = [½(a+b)]2 – [½(a-b)]2
Exemplo: 3×5=[½(3+5)]2-[½(3-5)]2
Diferença de potências (ordem 4)
a4-b4 = (a-b)(a+b)(a2+b2)
Exemplo: 54-14=(5-1)(5+1)(52+12)
Diferença de potências (ordem 6)
a6-b6 = (a-b)(a+b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)
Exemplo: 56-16=(5-1)(5+1) (52+5×1+12)(52-5×1+12)
Diferença de potências (ordem 8)
a8 – b8 = (a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)
Exemplo: 58-18=(5-1)(5+1)(52+12)(54+14)
Produto de três diferenças
(a-b)(a-c)(b-c) = ab(a-c) + bc(b-c) + ca(c-a)
Exemplo: (1-3)(1-5)(3-5)=1×3×(1-5)+3×5×(3-5)+5×1×(5-1)
Produto de três somas
(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ac) – abc
Exemplo: (1+3)(3+5)(5+1)=(1+3+5)(1×3+3×5+1×5)-1×3×5
Soma de cubos das diferenças de três termos
(a-b)3 + (b-c)3 + (c-a)3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)
Exemplo: (1-3)3+(3-5)3+(5-1)3=3(1-3)(3-5)(5-1)
Cubo da soma de três termos
(a+b+c)3 = (a+b-c)3 + (b+c-a)3 + (a+c-b)3 + 24abc
Exemplo: (7+8+9)3=(7+8-9)3+(8+9-7)3+(7+9-8)3+24×7×8×9
Soma nula de produtos de cubos por diferenças
a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)+(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c)=0
Exemplo: 23(4-6)+43(6-2)+63(2-4)+(2+4+6)(2-4)(4-6)(2-6)=0
Soma de produtos de cubos com diferenças
a3(b-c)3 + b3(c-a)3 + c3(a-b)3 = 3abc(a-b)(b-c)(a-c)
Exemplo: 73(8-9)3+83(9-7)3+93(7-8)3=3.7.8.9(7-8)(8-9)(7-9)
Produto de dois fatores homogêneos de grau dois
(a2+ab+b2) (a2-ab+b2)=a4+a2 b2+b4
Exemplo: (52+5×7+72)(52-5×7+72)=54+52 72+74
Soma de quadrados de somas de dois termos
(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2=(a+b+c)2+a2+b2+c2
Exemplo: (1+3)2+(3+5)2+(1+5)2=(1+3+5)2+12+32+52
Produto de quadrados de fatores especiais
(a-b)2 (a+b)2 (a2+b2)2=(a4-b4)2
Exemplo: (7-3)2 (7+3)2 (72+32)2=(74-34)2
Soma de quadrados de express. homogêneas de grau 1
(a+b+c)2+(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=3(a2+b2+c2)
Exemplo: (7+8+9)2+(7-8)2+(8-9)2+(9-7)2=3(72+82+92)
Identidade de interpolação
Exemplo: Com a=1, b=2 e c=3 na identidade, obtemos:
sendo que i
sendo que i
Exemplo: Com a=1, b=2 e c=3 na identidade, obtemos:
