Arranjo: o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

O arranjo é a ferramenta da Análise Combinatória que conta de quantos jeitos dá para escolher alguns elementos de um grupo e colocá-los em ordem. A palavra-chave é ordem: se trocar a ordem dos escolhidos muda o resultado, o problema é de arranjo. Por exemplo, escolher quem fica em primeiro, segundo e terceiro lugar em uma corrida é diferente de apenas escolher os três finalistas, porque a posição de cada um importa. Esta matéria, de incidência ♨️ Morna no ENEM e nos vestibulares, explica o conceito do zero, apresenta a fórmula \( A(n,p) = \frac{n!}{(n-p)!} \), mostra como diferenciar arranjo, permutação e combinação, e traz exemplos resolvidos passo a passo, com todas as contas conferidas.

A ideia central cabe em uma frase: arranjo simples é escolher \( p \) elementos distintos dentre \( n \) elementos, sem repetir nenhum, e ordená-los. O número de arranjos é dado por \( A(n,p) = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-p+1) \), que é o mesmo que \( \frac{n!}{(n-p)!} \). Por exemplo, escolher e ordenar 3 pessoas dentre 7 dá \( A(7,3) = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210 \) jeitos. Ao longo desta matéria, você vai entender por que a fórmula funciona, ver a diferença entre arranjo e combinação com uma tabela comparativa, aprender os erros mais comuns e treinar com questões comentadas originais, no estilo do ENEM. Se você ainda não domina o fatorial, vale começar pela matéria de Fatorial, porque toda a fórmula do arranjo é construída sobre ele.

O que é o arranjo

Imagine uma corrida com 7 atletas e um pódio com 3 lugares: primeiro, segundo e terceiro. Quantos pódios diferentes são possíveis? Repare que não basta escolher quais 3 atletas vão ao pódio: é preciso dizer quem fica em cada lugar, porque o pódio com Ana em primeiro e Bruno em segundo é diferente do pódio com Bruno em primeiro e Ana em segundo. Cada troca de ordem gera um pódio novo. É exatamente isso que o arranjo conta: escolhas em que a ordem importa.

Formalmente, o arranjo simples de \( n \) elementos tomados \( p \) a \( p \) é cada sequência ordenada de \( p \) elementos distintos escolhidos dentre \( n \) elementos. Três condições precisam valer ao mesmo tempo: os elementos são distintos (não há repetição), a quantidade escolhida é \( p \), e a ordem faz diferença. Se alguma dessas condições falhar, o problema é outro: se todos os \( n \) elementos entram na ordenação, é permutação; se a ordem não importa, é combinação, tema da matéria de Combinação.

O raciocínio por trás do arranjo é o Princípio Fundamental da Contagem, o PFC, explicado em detalhes na matéria de Princípio Fundamental da Contagem. Volte ao exemplo do pódio com 7 atletas e 3 lugares. Para o primeiro lugar, há 7 escolhas. Escolhido o primeiro, restam 6 atletas para o segundo lugar. Escolhido o segundo, restam 5 para o terceiro. Pelo PFC, o total é \( 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210 \). É assim que o arranjo nasce: uma multiplicação em cadeia, com um fator a menos a cada lugar preenchido, porque ninguém pode ocupar dois lugares ao mesmo tempo.

Outros exemplos do dia a dia seguem a mesma lógica. Uma senha de 3 algarismos distintos, em que a ordem dos algarismos importa, é um arranjo: trocar a ordem dos dígitos muda a senha. Escolher um presidente e um vice entre 5 candidatos também é: presidente Ana e vice Bruno é uma chapa diferente de presidente Bruno e vice Ana. Já sortear 3 nomes para ganhar o mesmo prêmio, sem cargos diferentes, não é arranjo, porque a ordem do sorteio não muda nada — aí é combinação. O teste decisivo, que você deve fazer em toda questão, é este: troque a ordem dos escolhidos; se o resultado mudar, é arranjo; se continuar igual, é combinação.

A fórmula do arranjo

Generalizando o raciocínio do pódio, chegamos à fórmula. Para escolher e ordenar \( p \) elementos dentre \( n \), há \( n \) escolhas para o primeiro lugar, \( n – 1 \) para o segundo, \( n – 2 \) para o terceiro, e assim por diante, até o lugar de número \( p \), para o qual restam \( n – p + 1 \) escolhas. Multiplicando tudo, temos:

\[ A(n,p) = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-p+1) \]

Essa mesma conta pode ser escrita com fatoriais. Como \( n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 1 \) e \( (n-p)! = (n-p) \cdot (n-p-1) \cdot \ldots \cdot 1 \), ao dividir um pelo outro todos os fatores de \( 1 \) até \( n – p \) se cancelam, sobrando exatamente o produto acima. Por isso, a fórmula clássica do arranjo simples é:

\[ A(n,p) = \frac{n!}{(n-p)!} \]

Na prática, quase nunca vale a pena calcular os dois fatoriais e depois dividir. O caminho rápido é o do cancelamento: abra o fatorial maior até ele alcançar o menor e multiplique só o que sobrou. Veja os três cálculos que você mais vai usar, todos conferidos passo a passo. Primeiro, \( A(7,3) = \frac{7!}{4!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210 \), pois \( 7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4! \) e o \( 4! \) cancela. Segundo, \( A(5,2) = \frac{5!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20 \), pois \( 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3! \). Terceiro, \( A(8,4) = \frac{8!}{4!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1.680 \), pois \( 8 \cdot 7 = 56 \), \( 56 \cdot 6 = 336 \) e \( 336 \cdot 5 = 1.680 \). Conferência final: \( 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210 \) (conferido); \( 5 \cdot 4 = 20 \) (conferido); \( 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1.680 \) (conferido).

Dois casos especiais merecem atenção. Quando \( p = 1 \), temos \( A(n,1) = n \), porque escolher e ordenar um único elemento dá exatamente \( n \) possibilidades — faz sentido: há \( n \) jeitos de escolher quem ocupa o único lugar. E quando \( p = n \), ou seja, quando todos os elementos entram na ordenação, o arranjo vira permutação: \( A(n,n) = \frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = n! \), lembrando que \( 0! = 1 \). Por isso, a permutação é um caso particular do arranjo, e não um assunto separado. Também vale registrar as condições de validade: a fórmula vale para \( 0 \leq p \leq n \), com \( n \) e \( p \) naturais, e sempre sem repetição. Se a questão permitir repetir elementos, como em uma senha que pode repetir algarismos, não é arranjo simples: é um PFC com repetição, em que cada lugar mantém as mesmas \( n \) escolhas.

Arranjo x permutação x combinação

Esta é a seção que mais decide questões na prova, porque o ENEM e os vestibulares adoram misturar os três conceitos. A diferença entre eles se resume a duas perguntas: todos os elementos entram na ordenação? A ordem importa? A tabela abaixo organiza a resposta para cada caso, com a fórmula e um exemplo.

Tabela 1: arranjo, permutação e combinação lado a lado

Repare na relação entre os números do exemplo: escolher e ordenar 3 dentre 7 dá \( 210 \) jeitos, mas apenas escolher os 3, sem ordenar, dá \( 35 \). A razão é \( 210 \div 35 = 6 \), que é \( 3! = 6 \): cada grupo de 3 escolhidos pode ser ordenado de 6 jeitos diferentes, e o arranjo conta cada uma dessas ordens separadamente, enquanto a combinação conta o grupo uma única vez. De forma geral, \( A(n,p) = C(n,p) \cdot p! \), ou seja, o arranjo é a combinação multiplicada pelas ordens possíveis dos escolhidos. Conferência: \( C(7,3) = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35 \), e \( 35 \cdot 6 = 210 \). Conferido.

Um truque de leitura ajuda muito na hora da prova: procure no enunciado palavras que indicam cargo, posição ou ordem, como “presidente e vice”, “primeiro, segundo e terceiro”, “senha”, “fila” e “pódio” — todas apontam para arranjo ou permutação. Já palavras como “comissão”, “equipe”, “grupo” e “conjunto”, sem cargos diferentes, apontam para combinação. Mas atenção: a palavra sozinha não decide nada; o que decide é o teste da troca de ordem. Se trocar a ordem dos escolhidos gerar um resultado diferente, é arranjo; se o resultado for o mesmo, é combinação. Faça esse teste mental em toda questão antes de escolher a fórmula.

Exemplos resolvidos passo a passo

Exemplo 1 — pódio. Em uma corrida com 7 atletas, de quantos jeitos o pódio com primeiro, segundo e terceiro lugares pode ser formado? É arranjo, porque a ordem importa e só 3 dentre 7 entram: \( A(7,3) = \frac{7!}{4!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210 \). Pelo PFC, dá no mesmo: 7 escolhas para o primeiro lugar, 6 para o segundo e 5 para o terceiro, totalizando \( 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210 \). Conferido.

Exemplo 2 — cargos. Uma turma tem 5 candidatos e vai escolher um presidente e um vice, cargos diferentes, sem acumular funções. Quantas chapas são possíveis? É arranjo, porque presidente Ana e vice Bruno é diferente de presidente Bruno e vice Ana: \( A(5,2) = \frac{5!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20 \). Pelo PFC: 5 escolhas para presidente e 4 para vice, totalizando \( 5 \cdot 4 = 20 \). Conferido.

Exemplo 3 — faixas coloridas. Um artista tem 8 cores e vai pintar 4 faixas em sequência em um mural, sem repetir cor e com a ordem das faixas importando. Quantas sequências são possíveis? É arranjo: \( A(8,4) = \frac{8!}{4!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1.680 \). Passo a passo: \( 8 \cdot 7 = 56 \); \( 56 \cdot 6 = 336 \); \( 336 \cdot 5 = 1.680 \). Conferido.

Exemplo 4 — senha. Quantas senhas de 3 algarismos distintos podem ser formadas com os algarismos de 1 a 9, sem repetição? É arranjo, porque a ordem dos dígitos muda a senha: \( A(9,3) = \frac{9!}{6!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504 \). Conferência: \( 9 \cdot 8 = 72 \) e \( 72 \cdot 7 = 504 \). Conferido. Repare que, se a repetição fosse permitida, a conta seria outra: \( 9 \cdot 9 \cdot 9 = 729 \), que não é um arranjo simples.

A tabela abaixo resume os exemplos e acrescenta mais dois casos úteis, para você treinar o reconhecimento do padrão.

Tabela 2: exemplos de arranjo com contas conferidas

Erros comuns

O erro mais frequente é confundir arranjo com combinação, ou seja, usar a fórmula errada porque não se testou se a ordem importa. Em uma questão de pódio, quem usa combinação divide o resultado por \( 3! \) sem perceber e chega a \( 35 \) em vez de \( 210 \). Faça sempre o teste da troca de ordem antes de calcular.

O segundo erro é esquecer que não há repetição no arranjo simples. Se a questão diz “sem repetir” ou “cargos diferentes” ou “algarismos distintos”, cada escolha reduz as opções da seguinte. Quem mantém o mesmo número de escolhas em todos os lugares está calculando um PFC com repetição, não um arranjo, e o resultado sai maior do que o certo.

O terceiro erro é calcular os fatoriais antes de simplificar. Diante de \( \frac{8!}{4!} \), quem calcula \( 8! = 40.320 \) e \( 4! = 24 \) para depois dividir perde tempo e arrisca errar a divisão; quem cancela o \( 4! \) e multiplica \( 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1.680 \) resolve em segundos. Expanda o maior até encontrar o menor, cancele e multiplique só o que sobrou.

O quarto erro é trocar \( n \) e \( p \) na fórmula, calculando \( \frac{p!}{(p-n)!} \) ou \( A(p,n) \) em vez de \( A(n,p) \). Lembre-se: \( n \) é o total disponível, sempre maior ou igual a \( p \), e \( p \) é a quantidade escolhida e ordenada. No pódio, \( n = 7 \) atletas disponíveis e \( p = 3 \) lugares, nunca o contrário.

Por fim, cuidado com a confusão entre arranjo e permutação: se todos os elementos entram na ordenação, é permutação, \( n! \); se só parte deles entra, é arranjo, \( \frac{n!}{(n-p)!} \). Ordenar 5 livros em uma prateleira é \( 5! = 120 \); escolher e ordenar 3 livros dentre 5 para uma vitrine é \( A(5,3) = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \). A pergunta “todos entram?” resolve essa dúvida na hora.

Mapa mental

• Definição: escolher \( p \) elementos distintos dentre \( n \) e ordená-los — a ordem importa
• Fórmula: \( A(n,p) = \frac{n!}{(n-p)!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-p+1) \)
• Base: Princípio Fundamental da Contagem — cada lugar preenchido reduz as escolhas seguintes
• Valores-chave: \( A(7,3) = 210 \), \( A(5,2) = 20 \), \( A(8,4) = 1.680 \), \( A(9,3) = 504 \), \( A(10,3) = 720 \)
• Permutação: caso particular do arranjo quando \( p = n \): \( A(n,n) = n! \)
• Combinação: ordem não importa: \( A(n,p) = C(n,p) \cdot p! \); exemplo: \( C(7,3) = 35 \) contra \( A(7,3) = 210 \)
• Teste decisivo: troque a ordem dos escolhidos; mudou o resultado, é arranjo; não mudou, é combinação
• Palavras-pista: pódio, cargos, senha, fila e ordem apontam para arranjo; comissão e grupo, sem cargos, apontam para combinação
• Método rápido: expandir o fatorial maior até alcançar o menor, cancelar e multiplicar só o que sobrou
• Erros fatais: confundir com combinação; permitir repetição; calcular fatoriais antes de simplificar; trocar \( n \) por \( p \)

SAQ — Responda em poucas linhas

1. O que é um arranjo simples?
É cada sequência ordenada de \( p \) elementos distintos escolhidos dentre \( n \) elementos, em que a ordem faz diferença.

2. Qual é a fórmula do arranjo?
\( A(n,p) = \frac{n!}{(n-p)!} \), que é o mesmo que o produto \( n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-p+1) \).

3. Quanto vale \( A(7,3) \)?
\( A(7,3) = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210 \).

4. Quanto vale \( A(5,2) \)?
\( A(5,2) = 5 \cdot 4 = 20 \).

5. Quanto vale \( A(8,4) \)?
\( A(8,4) = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1.680 \).

6. Como diferenciar arranjo de combinação?
Troque a ordem dos escolhidos: se o resultado mudar, é arranjo; se continuar o mesmo, é combinação.

7. Qual é a relação entre arranjo e permutação?
A permutação é o caso particular do arranjo em que todos entram: \( A(n,n) = n! \).

8. Por que \( A(7,3) = 210 \) e \( C(7,3) = 35 \) são diferentes?
Porque cada grupo de 3 pode ser ordenado de \( 3! = 6 \) jeitos: \( 35 \cdot 6 = 210 \). O arranjo conta as ordens; a combinação, só os grupos.

Questões comentadas

Questão 1. Em uma competição de atletismo com 7 corredores, todos com tempos diferentes, será formado um pódio com primeiro, segundo e terceiro lugares. O número de pódios diferentes que podem ser formados é igual a:

A) 35
B) 84
C) 210
D) 343
E) 5.040

Gabarito: C.
Comentário: é um arranjo, porque a ordem importa e só 3 dentre 7 entram: \( A(7,3) = \frac{7!}{4!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210 \). A alternativa A é a combinação \( C(7,3) = 35 \), que ignoraria a ordem do pódio; a D é \( 7^{3} \), que permitiria repetição; e a E é \( 7! \), que ordenaria todos os corredores.

Questão 2. Uma escola vai criar senhas de acesso com 3 algarismos distintos, usando os algarismos de 1 a 8, sem repetição. Como a ordem dos algarismos muda a senha, o número de senhas possíveis é:

A) 24
B) 56
C) 336
D) 512
E) 720

Gabarito: C.
Comentário: é um arranjo de 3 dentre 8: \( A(8,3) = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336 \). Pelo PFC, dá no mesmo: 8 escolhas para o primeiro dígito, 7 para o segundo e 6 para o terceiro. A alternativa B é \( A(8,2) = 56 \), que valeria para senhas de 2 dígitos; a D é \( 8^{3} \), com repetição permitida.

Questão 3. Um grêmio estudantil tem 5 candidatos e vai eleger um presidente e um vice-presidente, cargos diferentes, sem que uma mesma pessoa ocupe os dois cargos. O número de chapas diferentes que podem ser formadas é:

A) 10
B) 20
C) 25
D) 60
E) 120

Gabarito: B.
Comentário: é um arranjo, porque presidente Ana e vice Bruno é uma chapa diferente de presidente Bruno e vice Ana: \( A(5,2) = \frac{5!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20 \). A alternativa A é a combinação \( C(5,2) = 10 \), que trataria as duas chapas como uma só; a C é \( 5^{2} \), que permitiria a mesma pessoa nos dois cargos.

Questão 4. Em uma prova de ciclismo com 10 participantes, serão premiados os 3 primeiros colocados, em ordem de chegada. O número de classificações possíveis para os 3 premiados é:

A) 120
B) 240
C) 360
D) 720
E) 1.000

Gabarito: D.
Comentário: é um arranjo de 3 dentre 10: \( A(10,3) = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 \). Conferência: \( 10 \cdot 9 = 90 \) e \( 90 \cdot 8 = 720 \). A alternativa A é \( 5! \), sem relação com o problema; a E é \( 10^{3} \), que permitiria o mesmo ciclista em várias posições.

Questão 5. Uma artista dispõe de 8 cores diferentes e vai pintar 4 faixas em sequência em um painel, sem repetir cor, com a ordem das faixas importando para o resultado final. O número de sequências de cores possíveis é:

A) 70
B) 336
C) 1.120
D) 1.680
E) 4.096

Gabarito: D.
Comentário: é um arranjo de 4 dentre 8: \( A(8,4) = \frac{8!}{4!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1.680 \). Passo a passo: \( 8 \cdot 7 = 56 \), \( 56 \cdot 6 = 336 \) e \( 336 \cdot 5 = 1.680 \). A alternativa B é \( A(8,3) = 336 \), que valeria para apenas 3 faixas; a E é \( 8^{4} \), com repetição de cores permitida.

Dica do professor

Se você só puder levar uma regra desta matéria para a prova, leve o teste da troca de ordem: antes de escolher qualquer fórmula, pergunte-se se trocar a ordem dos escolhidos muda o resultado. Se mudar, é arranjo, e a conta é \( A(n,p) = \frac{n!}{(n-p)!} \); se não mudar, é combinação. Depois, na hora de calcular, nunca comece pelos fatoriais completos: abra o fatorial maior até ele encontrar o menor, cancele e multiplique só o que sobrou. Com esse hábito, \( A(8,4) \) vira \( 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1.680 \) em uma linha, sem calculadora e sem risco de errar uma divisão de números gigantes. E decore os três valores que mais aparecem: \( A(7,3) = 210 \), \( A(5,2) = 20 \) e \( A(8,4) = 1.680 \) — eles costumam aparecer como resposta ou como passo intermediário nas questões de contagem. Para revisar a base de tudo isso, volte à matéria de Análise Combinatória, que organiza o mapa completo do tema.

Atenção / cuidado

Os erros com arranjo são quase sempre os mesmos, e todos evitáveis. Primeiro: nunca use a fórmula de combinação em um problema com cargos, pódio ou senha — se a ordem importa, dividir por \( p! \) destrói a resposta. Segundo: o arranjo simples não permite repetição; se o enunciado permitir repetir, a conta é um PFC com repetição, não um arranjo. Terceiro: não troque \( n \) por \( p \): \( n \) é o total disponível e \( p \) é a quantidade escolhida, sempre com \( p \leq n \). Quarto: não calcule os fatoriais antes de simplificar — expanda, cancele e multiplique só o que sobrou. Quinto: cuidado com enunciados que misturam as duas ideias, como “escolher 3 finalistas e depois ordená-los no pódio”: aí são duas etapas, combinação seguida de permutação, e o resultado final é o arranjo, \( C(7,3) \cdot 3! = 35 \cdot 6 = 210 \). Por fim, lembre-se de que o arranjo conta sequências, não conjuntos: a mesma coleção de elementos em ordens diferentes gera arranjos diferentes.

Conexão com outras áreas

O arranjo conecta a Matemática com várias outras áreas. Na Computação, ele conta quantas senhas, códigos e ordenações de tarefas são possíveis sem repetição — e explica por que senhas com ordem importando são muito mais seguras do que simples conjuntos de caracteres. Na Biologia, ele ajuda a contar sequências ordenadas de bases do DNA e as possíveis ordens de aminoácidos em uma proteína, em que a posição de cada elemento muda completamente o resultado. Na Física, aparece na contagem de microestados ordenados de um sistema e na distribuição de partículas em níveis de energia distintos. Na Química, conta as sequências possíveis de ligantes ao redor de um átomo central e os isômeros em que a posição importa. No esporte e na gestão, o arranjo modela pódios, classificações, filas de atendimento e escalas de trabalho com cargos diferentes. E na probabilidade, que é o próximo passo natural da Análise Combinatória, o arranjo fornece o total de casos possíveis sempre que a ordem dos sorteados faz diferença — por isso dominá-lo é abrir caminho para boa parte das questões de contagem e probabilidade do ENEM e dos vestibulares.