Funções trigonométricas: o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

As funções trigonométricas são as funções que transformam um ângulo em um número: o seno, o cosseno e a tangente desse ângulo. Se você já calculou \( \operatorname{sen} 30° = \frac{1}{2} \) ou \( \cos 60° = \frac{1}{2} \), já usou essas funções, mesmo sem chamá-las assim. A grande novidade do tema é que, ao contrário das funções afim, quadrática ou modular, que crescem ou decrescem sem voltar atrás, as funções trigonométricas se repetem para sempre: o gráfico do seno sobe e desce como uma onda, sem fim, e depois de uma volta completa no círculo trigonométrico tudo começa de novo. É por isso que elas são as funções dos fenômenos periódicos: o movimento de um pêndulo, a altura da maré, a vibração de uma corda, a corrente elétrica alternada e até o ritmo do dia e da noite podem ser descritos por senos e cossenos. No ENEM e nos vestibulares, o tema costuma aparecer de quatro jeitos: pedindo o valor de seno, cosseno ou tangente de um ângulo notável, pedindo a leitura de um gráfico de onda, pedindo o período ou a amplitude de uma função do tipo \( f(x) = a \cdot \operatorname{sen}(bx + c) + d \), ou pedindo a solução de uma equação trigonométrica simples dentro de um intervalo. Em todos os casos, o caminho é o mesmo: dominar o ciclo trigonométrico, saber os valores de 0°, 30°, 45°, 60° e 90° de cor, e reconhecer o formato da onda. Quem domina essa rotina resolve a questão em poucos minutos, sem precisar decorar fórmulas soltas.

Antes de entrar nos detalhes, vale fixar a intuição que vai guiar toda a matéria. Imagine um ponto andando sobre uma circunferência de raio 1, a chamada circunferência trigonométrica, começando no ponto \( (1, 0) \) e girando no sentido anti-horário. A cada posição desse ponto, o ângulo \( x \) é o quanto ele já girou, e as coordenadas do ponto são exatamente \( (\cos x, \operatorname{sen} x) \): o cosseno é a coordenada horizontal, o seno é a coordenada vertical. Quando o ponto completa uma volta, ele volta ao ponto de partida, e por isso \( \operatorname{sen}(x + 2\pi) = \operatorname{sen} x \) e \( \cos(x + 2\pi) = \cos x \): a função se repete a cada \( 2\pi \), que é o seu período. A tangente, definida como \( \operatorname{tg} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} \), repete-se mais depressa, a cada \( \pi \), porque, depois de meia volta, seno e cosseno trocam de sinal juntos e a divisão volta ao mesmo valor. Se você guardar essa imagem do ponto andando no círculo, quase tudo no tema passa a fazer sentido: o sinal de cada função em cada quadrante, os valores máximos e mínimos, e o porquê de o gráfico ser uma onda.

Nesta matéria, você vai aprender o que são o seno, o cosseno e a tangente no triângulo retângulo e no ciclo trigonométrico, como converter graus em radianos, a tabela completa dos ângulos notáveis com todos os valores exatos, os sinais em cada quadrante, a relação fundamental \( \operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1 \), os gráficos das três funções com período, amplitude, imagem e domínio, as transformações do tipo \( f(x) = a \cdot \operatorname{sen}(bx + c) + d \), e como resolver equações trigonométricas simples passo a passo. Ao final, há um mapa mental para revisar, perguntas e respostas rápidas, cinco questões comentadas originais no estilo ENEM, a dica do professor, os cuidados que mais derrubam nota e as conexões com outras áreas. Se você ainda não revisou o básico de funções, vale passar antes pela matéria de teoria geral de funções, mas não é obrigatório: cada conceito é apresentado do zero, com exemplos numéricos completos.

Do triângulo retângulo ao ciclo trigonométrico

No triângulo retângulo, as razões trigonométricas nascem de divisões entre lados. Para um ângulo agudo \( \alpha \), definem-se: \( \operatorname{sen} \alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} \), \( \cos \alpha = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} \) e \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} = \frac{\operatorname{sen} \alpha}{\cos \alpha} \). Por exemplo, em um triângulo retângulo com hipotenusa 10, cateto oposto a \( \alpha \) igual a 6 e cateto adjacente igual a 8, temos \( \operatorname{sen} \alpha = \frac{6}{10} = 0,6 \), \( \cos \alpha = \frac{8}{10} = 0,8 \) e \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{6}{8} = 0,75 \). Repare que o seno e o cosseno são sempre números entre 0 e 1 nesse contexto, porque um cateto é sempre menor do que a hipotenusa. Essa definição, porém, só funciona para ângulos entre 0° e 90°, e a Matemática precisava de algo mais geral, que funcionasse para qualquer ângulo, inclusive maiores do que 90° e negativos. A solução foi o ciclo trigonométrico.

O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio 1, centrada na origem do plano cartesiano, orientada no sentido anti-horário a partir do ponto \( (1, 0) \). Cada ângulo \( x \) corresponde a um ponto \( P \) sobre essa circunferência, e definem-se \( \cos x \) como a abscissa de \( P \) e \( \operatorname{sen} x \) como a ordenada de \( P \). Como o raio é 1, as coordenadas de \( P \) já são diretamente o cosseno e o seno, sem divisão nenhuma. Se \( P = (0, 1) \), o ângulo é 90° e temos \( \cos 90° = 0 \) e \( \operatorname{sen} 90° = 1 \). Se \( P = (-1, 0) \), o ângulo é 180° e temos \( \cos 180° = -1 \) e \( \operatorname{sen} 180° = 0 \). Se \( P = (0, -1) \), o ângulo é 270° e temos \( \cos 270° = 0 \) e \( \operatorname{sen} 270° = -1 \). Com essa definição, o seno e o cosseno passam a existir para qualquer ângulo, e assumem valores entre \( -1 \) e \( 1 \), positivos ou negativos conforme o quadrante em que o ponto se encontra.

Os ângulos no ciclo podem ser medidos em graus ou em radianos, e a prova cobra a conversão entre as duas unidades com frequência. Um radiano é o ângulo cuja abertura corresponde a um arco de mesmo comprimento que o raio, e uma volta completa, 360°, corresponde a \( 2\pi \) radianos. A regra de conversão é uma regra de três simples: \( 180° \) correspondem a \( \pi \) radianos. Assim, \( 30° = \frac{\pi}{6} \), \( 45° = \frac{\pi}{4} \), \( 60° = \frac{\pi}{3} \), \( 90° = \frac{\pi}{2} \), \( 180° = \pi \) e \( 270° = \frac{3\pi}{2} \). Para converter um ângulo qualquer, basta multiplicar o valor em graus por \( \frac{\pi}{180°} \); por exemplo, \( 120° = 120 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \). Nas funções trigonométricas, o \( x \) de \( f(x) = \operatorname{sen} x \) é quase sempre dado em radianos, e é por isso que o gráfico do seno costuma aparecer com \( \pi \), \( 2\pi \) e \( \frac{\pi}{2} \) marcados no eixo horizontal, em vez de 90°, 180° e 360°.

Ângulos notáveis e sinais em cada quadrante

A tabela dos ângulos notáveis acima é o coração do tema, e vale a pena decorá-la com um truque simples, em vez de tentar memorizar número por número. Para o seno de 0°, 30°, 45°, 60° e 90°, os valores são, em ordem, \( \frac{\sqrt{0}}{2} \), \( \frac{\sqrt{1}}{2} \), \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) e \( \frac{\sqrt{4}}{2} \): basta lembrar da sequência 0, 1, 2, 3, 4 dentro da raiz, dividida por 2. Como \( \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2} \) e \( \frac{\sqrt{4}}{2} = 1 \), a tabela fica completa. Para o cosseno, a sequência é a mesma, mas na ordem inversa: \( \frac{\sqrt{4}}{2} \), \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \frac{\sqrt{1}}{2} \) e \( \frac{\sqrt{0}}{2} \). Isso não é coincidência: \( \cos x = \operatorname{sen}(90° – x) \), ou seja, o cosseno de um ângulo é o seno do seu complementar, e por isso as duas linhas da tabela são espelhos uma da outra. A tangente sai da divisão: \( \operatorname{tg} 30° = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \), \( \operatorname{tg} 45° = 1 \) e \( \operatorname{tg} 60° = \sqrt{3} \).

Fora do primeiro quadrante, o que muda é o sinal, e a regra é direta a partir das coordenadas do ponto no ciclo: no primeiro quadrante, \( x \) e \( y \) são positivos, então seno e cosseno são positivos; no segundo quadrante, \( x \) é negativo e \( y \) é positivo, então o cosseno é negativo e o seno é positivo; no terceiro quadrante, ambos são negativos; no quarto quadrante, o cosseno volta a ser positivo e o seno fica negativo. A tangente, que é a divisão dos dois, é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes, e negativa no segundo e no quarto. Um resumo popular, que ajuda na prova, é: no primeiro quadrante, todos são positivos; no segundo, só o seno; no terceiro, só a tangente; no quarto, só o cosseno. Para encontrar o valor de um ângulo fora do primeiro quadrante, usa-se a redução ao primeiro quadrante: por exemplo, \( \operatorname{sen} 150° = \operatorname{sen}(180° – 150°) = \operatorname{sen} 30° = \frac{1}{2} \), porque 150° está no segundo quadrante, onde o seno é positivo; já \( \cos 150° = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), porque no segundo quadrante o cosseno é negativo. Outro exemplo: \( \operatorname{sen} 210° = -\operatorname{sen} 30° = -\frac{1}{2} \) e \( \cos 210° = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), pois 210° está no terceiro quadrante, onde ambos são negativos.

A relação mais importante entre seno e cosseno é a relação fundamental da trigonometria: \( \operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1 \), válida para todo \( x \). Ela vem diretamente do teorema de Pitágoras aplicado ao ponto \( (\cos x, \operatorname{sen} x) \) do ciclo de raio 1: \( (\cos x)^2 + (\operatorname{sen} x)^2 = 1^2 \). Com ela, conhecendo o seno, encontramos o cosseno, e vice-versa, bastando cuidar do sinal conforme o quadrante. Exemplo: se \( \operatorname{sen} x = \frac{3}{5} \) e \( x \) está no primeiro quadrante, então \( \cos^2 x = 1 – \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \), logo \( \cos x = \frac{4}{5} \), positivo porque o ângulo está no primeiro quadrante. Se o mesmo seno aparecesse no segundo quadrante, o cosseno seria \( -\frac{4}{5} \). Outras relações úteis, que saem da fundamental por divisão, são \( 1 + \operatorname{tg}^2 x = \sec^2 x \) e \( 1 + \operatorname{cotg}^2 x = \operatorname{cossec}^2 x \), mas, para o ENEM, a fundamental e a definição da tangente resolvem a imensa maioria das questões.

Os gráficos: a onda do seno, do cosseno e da tangente

O gráfico da função \( f(x) = \operatorname{sen} x \) é uma onda que começa na origem, sobe até 1 em \( x = \frac{\pi}{2} \), volta a zero em \( x = \pi \), desce até \( -1 \) em \( x = \frac{3\pi}{2} \), volta a zero em \( x = 2\pi \), e repete esse desenho para sempre, para a direita e para a esquerda. O domínio é todo o conjunto dos números reais, a imagem é o intervalo \( [-1, 1] \), e o período, isto é, o comprimento de uma repetição completa, é \( 2\pi \). O gráfico da função \( f(x) = \cos x \) é a mesma onda, apenas deslocada: começa em 1 quando \( x = 0 \), desce até zero em \( x = \frac{\pi}{2} \), chega a \( -1 \) em \( x = \pi \), volta a zero em \( x = \frac{3\pi}{2} \) e retorna a 1 em \( x = 2\pi \). De fato, \( \cos x = \operatorname{sen}\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \): o cosseno é o seno adiantado de um quarto de volta. Por isso, quem sabe desenhar a onda do seno sabe desenhar a do cosseno, bastando começar no ponto mais alto em vez de começar na origem. Tanto o seno quanto o cosseno são funções limitadas: nunca passam de 1 nem descem abaixo de \( -1 \), e é esse comportamento limitado e repetitivo que as torna perfeitas para descrever oscilações.

O gráfico da função \( f(x) = \operatorname{tg} x \) é bem diferente. Como \( \operatorname{tg} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} \), ela não existe quando o cosseno é zero, ou seja, em \( x = \frac{\pi}{2} \), \( x = \frac{3\pi}{2} \) e, em geral, em \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), para \( k \) inteiro. Nesses pontos, o gráfico tem assíntotas verticais: a curva sobe sem limite de um lado e desce sem limite do outro, sem nunca tocar a reta vertical. Entre duas assíntotas consecutivas, a tangente cresce sem parar, de \( -\infty \) a \( +\infty \), passando por zero no meio do intervalo. O período da tangente é \( \pi \), metade do período do seno e do cosseno, e a imagem é todo o conjunto dos números reais, sem limite superior nem inferior. O domínio exclui os pontos das assíntotas. Na prova, a tangente aparece menos do que o seno e o cosseno, mas, quando aparece, a pergunta costuma ser justamente sobre o período \( \pi \) ou sobre as assíntotas, então vale guardar esses dois fatos.

Para desenhar qualquer uma das três ondas na prova, o método da tabela de valores funciona tão bem quanto funciona para a função modular: escolha os pontos-chave de um período e ligue-os com uma curva suave, e não com retas. Para o seno, os pontos-chave de um período são \( (0, 0) \), \( \left(\frac{\pi}{2}, 1\right) \), \( (\pi, 0) \), \( \left(\frac{3\pi}{2}, -1\right) \) e \( (2\pi, 0) \). Para o cosseno, são \( (0, 1) \), \( \left(\frac{\pi}{2}, 0\right) \), \( (\pi, -1) \), \( \left(\frac{3\pi}{2}, 0\right) \) e \( (2\pi, 1) \). Para a tangente, em um período entre \( -\frac{\pi}{2} \) e \( \frac{\pi}{2} \), os pontos-chave são \( \left(-\frac{\pi}{4}, -1\right) \), \( (0, 0) \) e \( \left(\frac{\pi}{4}, 1\right) \), com assíntotas nas extremidades. Um erro comum é desenhar a onda do seno como uma sequência de Vs ou de arcos de parábola: a onda trigonométrica é suave, sem bicos, e passa pelos pontos-chave com inclinação que diminui perto dos picos e aumenta perto dos zeros. Se o seu desenho tiver bico no ponto mais alto, revise: ali vai uma curva arredondada, e não uma ponta.

Período, amplitude e transformações da onda

A forma geral mais cobrada em prova é \( f(x) = a \cdot \operatorname{sen}(bx + c) + d \), e cada letra tem um efeito claro sobre a onda, que vale a pena aprender separadamente antes de juntar tudo. O número \( a \) controla a amplitude, isto é, a altura da onda: a onda de \( \operatorname{sen} x \) vai de \( -1 \) a \( 1 \), e a onda de \( a \cdot \operatorname{sen} x \) vai de \( -|a| \) a \( |a| \); se \( a \) for negativo, a onda ainda é refletida em relação ao eixo \( x \), trocando picos por vales. O número \( d \) desloca a onda na vertical: a linha média da onda, que era o eixo \( x \), passa a ser a reta \( y = d \), e a imagem passa a ser \( [d – |a|, d + |a|] \). O número \( b \) controla o período: quanto maior \( |b| \), mais depressa a onda completa um ciclo, e o período passa a ser \( p = \frac{2\pi}{|b|} \). Por exemplo, \( f(x) = \operatorname{sen}(2x) \) completa um ciclo quando \( 2x \) vai de 0 a \( 2\pi \), ou seja, quando \( x \) vai de 0 a \( \pi \): o período cai de \( 2\pi \) para \( \pi \), e a onda fica “apertada”. Já \( f(x) = \operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right) \) tem período \( \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi \), e a onda fica “esticada”. O número \( c \) desloca a onda na horizontal, o chamado deslocamento de fase: \( f(x) = \operatorname{sen}(x + \pi) \) é a onda do seno deslocada, e vale \( \operatorname{sen}(x + \pi) = -\operatorname{sen} x \), ou seja, a onda invertida.

Veja um exemplo completo, do tipo que a prova adora, porque testa amplitude, período e imagem de uma só vez. Considere \( f(x) = 3 \cdot \operatorname{sen}(2x) + 1 \). A amplitude é \( |a| = 3 \), o deslocamento vertical é \( d = 1 \), então a imagem é \( [1 – 3, 1 + 3] = [-2, 4] \), e a linha média é \( y = 1 \). O período é \( p = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{2} = \pi \). Os valores máximo e mínimo são 4 e \( -2 \), atingidos quando \( \operatorname{sen}(2x) \) vale 1 e \( -1 \), respectivamente: o máximo ocorre quando \( 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \), ou seja, \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \), e o mínimo quando \( 2x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \), ou seja, \( x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \). Um segundo exemplo, com cosseno: \( g(x) = 2 \cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right) – 1 \) tem amplitude 2, linha média \( y = -1 \), imagem \( [-3, 1] \) e período \( \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi \). Repare que, nos dois exemplos, o período depende só de \( b \), a amplitude só de \( a \), e a imagem só de \( a \) e \( d \): separar os efeitos dessa forma evita a confusão mais comum do tema, que é misturar o coeficiente que aperta a onda com o que aumenta a sua altura.

Essas transformações são também a ponte para as aplicações, que aparecem com frequência em questões contextualizadas do ENEM. A altura da maré ao longo do dia, a temperatura ao longo do ano, a posição de um pêndulo e a intensidade de uma corrente alternada são fenômenos periódicos, e o modelo matemático deles é quase sempre uma função do tipo \( f(t) = a \cdot \operatorname{sen}(bt + c) + d \), em que \( t \) é o tempo. Nesse contexto, a amplitude \( a \) é o quanto o fenômeno varia em torno da sua média, o período \( \frac{2\pi}{|b|} \) é o tempo de um ciclo completo, e \( d \) é o valor médio do fenômeno. Por exemplo, se a altura da maré é modelada por \( h(t) = 1,5 \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{6} t\right) + 2 \), em metros, com \( t \) em horas, a altura média é 2 m, a variação é de 1,5 m para cima e para baixo, então a altura vai de 0,5 m a 3,5 m, e o período é \( \frac{2\pi}{\pi/6} = 12 \) horas, o que faz sentido: duas marés altas por dia. Quando o enunciado der um modelo desse tipo, a primeira coisa a fazer é identificar \( a \), \( b \) e \( d \), e traduzir cada um deles para a linguagem do problema, antes de qualquer conta.

Equações trigonométricas simples

Resolver uma equação trigonométrica é encontrar os ângulos cujo seno, cosseno ou tangente é igual a um valor dado, e a chave é lembrar que, dentro de uma volta completa, quase sempre há duas soluções, e não uma só. A equação \( \operatorname{sen} x = \frac{1}{2} \), por exemplo, tem como soluções, no intervalo \( [0, 2\pi) \), os ângulos \( x = \frac{\pi}{6} \) (30°) e \( x = \frac{5\pi}{6} \) (150°): o primeiro está no primeiro quadrante, e o segundo é o seu simétrico no segundo quadrante, onde o seno também é positivo. A solução geral, para qualquer número de voltas, é \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) ou \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \), com \( k \) inteiro. A equação \( \cos x = \frac{1}{2} \) tem soluções \( x = \frac{\pi}{3} \) (60°) e \( x = \frac{5\pi}{3} \) (300°), simétricas em relação ao eixo \( x \), porque o cosseno é positivo no primeiro e no quarto quadrantes. A equação \( \operatorname{tg} x = 1 \) tem solução \( x = \frac{\pi}{4} \) (45°) no primeiro quadrante e \( x = \frac{5\pi}{4} \) (225°) no terceiro quadrante, onde a tangente também é positiva, e a solução geral pode ser escrita de forma compacta como \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \), porque o período da tangente é \( \pi \).

O procedimento seguro para resolver qualquer equação trigonométrica simples tem três passos. Primeiro, encontre a solução do primeiro quadrante, usando a tabela de ângulos notáveis ou a calculadora, quando o valor não for notável. Segundo, use o sinal da função para descobrir em quais quadrantes há solução: se o valor é positivo, o seno tem solução no primeiro e no segundo quadrantes, o cosseno no primeiro e no quarto, e a tangente no primeiro e no terceiro; se o valor é negativo, valem os quadrantes complementares. Terceiro, escreva as soluções dentro do intervalo pedido pelo enunciado, somando ou subtraindo voltas completas de \( 2\pi \) (ou de \( \pi \), para a tangente) conforme necessário. Um exemplo completo: resolver \( \operatorname{sen} x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) em \( [0, 2\pi) \). O valor absoluto \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) corresponde a 60° no primeiro quadrante; como o seno é negativo, as soluções estão no terceiro e no quarto quadrantes, e são \( x = 180° + 60° = 240° = \frac{4\pi}{3} \) e \( x = 360° – 60° = 300° = \frac{5\pi}{3} \). Conferindo: \( \operatorname{sen} 240° = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) e \( \operatorname{sen} 300° = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), exatamente o pedido. Outro exemplo: resolver \( \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) em \( [0, 2\pi) \). O valor absoluto corresponde a 45°; como o cosseno é negativo, as soluções estão no segundo e no terceiro quadrantes, e são \( x = 180° – 45° = 135° = \frac{3\pi}{4} \) e \( x = 180° + 45° = 225° = \frac{5\pi}{4} \).

Há ainda dois cuidados que evitam os erros mais comuns. O primeiro é não esquecer a segunda solução dentro do intervalo: a maioria das questões de equação trigonométrica é perdida não por erro de conta, mas porque o estudante encontra só a solução do primeiro quadrante e marca a alternativa que traz apenas ela. O segundo é respeitar o intervalo pedido: se o enunciado pede as soluções em \( [0, 2\pi) \), não adianta dar a solução geral com \( k \); e se pede a solução geral, não adianta dar só as soluções de uma volta. Por fim, lembre-se de que equações como \( \operatorname{sen} x = 2 \) ou \( \cos x = -1,5 \) não têm solução, porque o seno e o cosseno nunca passam de 1 em módulo: se o valor do lado direito estiver fora do intervalo \( [-1, 1] \), a resposta é “sem solução”, e essa é justamente a alternativa que a banca espera que você reconheça de imediato, sem tentar resolver nada. Para revisar funções em geral antes de treinar equações, a matéria de teoria geral de funções e a de função composta e função inversa ajudam a fixar domínio, imagem e período.

Mapa mental

• Funções trigonométricas: seno, cosseno e tangente
  • No ciclo de raio 1: ponto \( (\cos x, \operatorname{sen} x) \); \( \operatorname{tg} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} \)
  • Conversão: \( 180° = \pi \) radianos; \( 30° = \frac{\pi}{6} \), \( 45° = \frac{\pi}{4} \), \( 60° = \frac{\pi}{3} \), \( 90° = \frac{\pi}{2} \)
  • Relação fundamental: \( \operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1 \)
• Ângulos notáveis
  • Seno: \( 0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 \) para 0°, 30°, 45°, 60°, 90°
  • Cosseno: a mesma sequência ao contrário; tangente: \( 0, \frac{\sqrt{3}}{3}, 1, \sqrt{3} \), sem existir em 90°
  • Sinais: 1º todos positivos; 2º só seno; 3º só tangente; 4º só cosseno
• Gráficos
  • Seno e cosseno: ondas entre \( -1 \) e 1, período \( 2\pi \); cosseno é o seno adiantado de \( \frac{\pi}{2} \)
  • Tangente: período \( \pi \), imagem \( \mathbb{R} \), assíntotas em \( \frac{\pi}{2} + k\pi \)
  • Desenhar pelos pontos-chave, com curva suave, sem bicos
• Transformações: \( f(x) = a \cdot \operatorname{sen}(bx + c) + d \)
  • \( a \): amplitude; \( d \): linha média e imagem \( [d – |a|, d + |a|] \)
  • \( b \): período \( p = \frac{2\pi}{|b|} \); \( c \): deslocamento de fase
• Equações trigonométricas
  • Quase sempre duas soluções por volta; usar o sinal para achar os quadrantes
  • Intervalo pedido manda: \( [0, 2\pi) \) ou solução geral com \( k \)
  • Se \( |\text{valor}| > 1 \) para seno ou cosseno: sem solução
• Erros que mais custam ponto
  • Confundir graus com radianos; esquecer a segunda solução
  • Trocar o sinal no 2º, 3º e 4º quadrantes; esquecer as assíntotas da tangente
  • Confundir amplitude com período em \( a \cdot \operatorname{sen}(bx + c) + d \)

SAQ: perguntas e respostas rápidas

1. O que são as funções seno, cosseno e tangente? São as funções que associam a cada ângulo \( x \) um número: no ciclo trigonométrico de raio 1, o ponto correspondente a \( x \) tem coordenadas \( (\cos x, \operatorname{sen} x) \), e a tangente é \( \operatorname{tg} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} \).

2. Quanto valem \( \operatorname{sen} 30° \), \( \cos 45° \) e \( \operatorname{tg} 60° \)? \( \operatorname{sen} 30° = \frac{1}{2} \), \( \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \) e \( \operatorname{tg} 60° = \sqrt{3} \). São valores da tabela de ângulos notáveis, que vale a pena decorar com o truque da sequência 0, 1, 2, 3, 4 dentro da raiz, dividida por 2.

3. Qual é o período do seno, do cosseno e da tangente? Seno e cosseno têm período \( 2\pi \), porque se repetem a cada volta completa no ciclo. A tangente tem período \( \pi \), porque, depois de meia volta, seno e cosseno trocam de sinal juntos e a divisão volta ao mesmo valor.

4. Qual é a imagem da função seno? O intervalo \( [-1, 1] \): o seno nunca passa de 1 nem desce abaixo de \( -1 \), porque é a ordenada de um ponto sobre uma circunferência de raio 1. O mesmo vale para o cosseno; já a tangente tem imagem \( \mathbb{R} \).

5. Em \( f(x) = 3 \cdot \operatorname{sen}(2x) + 1 \), qual é a amplitude, o período e a imagem? Amplitude 3, período \( p = \frac{2\pi}{2} = \pi \), e imagem \( [1 – 3, 1 + 3] = [-2, 4] \), com linha média \( y = 1 \).

6. Por que a tangente não existe em 90°? Porque \( \operatorname{tg} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} \) e \( \cos 90° = 0 \): a divisão por zero não existe. No gráfico, esses pontos são assíntotas verticais, em \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \).

7. Quantas soluções tem \( \operatorname{sen} x = \frac{1}{2} \) em \( [0, 2\pi) \)? Duas: \( x = \frac{\pi}{6} \) (30°, primeiro quadrante) e \( x = \frac{5\pi}{6} \) (150°, segundo quadrante), porque o seno é positivo nos dois quadrantes.

8. O que diz a relação fundamental da trigonometria? Que \( \operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1 \) para todo \( x \). Ela permite encontrar o cosseno conhecendo o seno, e vice-versa, bastando cuidar do sinal conforme o quadrante.

Questões comentadas

Questão 1. O valor de \( \operatorname{sen} 150° + \cos 210° \) é: (A) \( \frac{1 – \sqrt{3}}{2} \) (B) \( \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \) (C) 0 (D) 1 (E) \( -\frac{1}{2} \).

Gabarito: A. Comentário: 150° está no segundo quadrante, onde o seno é positivo, então \( \operatorname{sen} 150° = \operatorname{sen}(180° – 150°) = \operatorname{sen} 30° = \frac{1}{2} \). Já 210° está no terceiro quadrante, onde o cosseno é negativo, então \( \cos 210° = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2} \). Somando, \( \frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 – \sqrt{3}}{2} \). Quem esquece o sinal do cosseno no terceiro quadrante chega à alternativa B, que é a pegadinha da questão.

Questão 2. A função \( f(x) = 2 \cdot \cos(3x) – 1 \) tem período e imagem, respectivamente: (A) \( 2\pi \) e \( [-3, 1] \) (B) \( \frac{2\pi}{3} \) e \( [-3, 1] \) (C) \( \frac{2\pi}{3} \) e \( [-1, 3] \) (D) \( 6\pi \) e \( [-3, 1] \) (E) \( \pi \) e \( [-2, 2] \).

Gabarito: B. Comentário: o período depende só de \( b = 3 \): \( p = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{3} \). A amplitude é \( |a| = 2 \) e o deslocamento vertical é \( d = -1 \), então a imagem é \( [-1 – 2, -1 + 2] = [-3, 1] \). A alternativa A usa o período do cosseno sem transformação, e a C troca o deslocamento vertical, colocando a imagem em torno de 1 em vez de \( -1 \).

Questão 3. Em um parque, a altura da maré, em metros, é modelada por \( h(t) = 1,2 \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{6} t\right) + 2,4 \), com \( t \) em horas. A altura máxima da maré e o tempo de um ciclo completo são, respectivamente: (A) 3,6 m e 6 h (B) 3,6 m e 12 h (C) 2,4 m e 12 h (D) 1,2 m e 6 h (E) 3,6 m e 24 h.

Gabarito: B. Comentário: a altura máxima ocorre quando o seno vale 1, então \( h_{\text{máx}} = 1,2 \cdot 1 + 2,4 = 3,6 \) m. O período é \( p = \frac{2\pi}{\pi/6} = 2\pi \cdot \frac{6}{\pi} = 12 \) horas. A alternativa A confunde o período, usando \( \pi \) em vez de \( 2\pi \) na fórmula, e a C confunde a altura máxima com a altura média, que é 2,4 m.

Questão 4. As soluções da equação \( \cos x = -\frac{1}{2} \) no intervalo \( [0, 2\pi) \) são: (A) \( \frac{\pi}{3} \) e \( \frac{5\pi}{3} \) (B) \( \frac{2\pi}{3} \) e \( \frac{4\pi}{3} \) (C) \( \frac{\pi}{6} \) e \( \frac{5\pi}{6} \) (D) \( \frac{2\pi}{3} \) apenas (E) \( \frac{5\pi}{6} \) e \( \frac{7\pi}{6} \).

Gabarito: B. Comentário: o valor absoluto \( \frac{1}{2} \) corresponde a 60°, ou \( \frac{\pi}{3} \), no primeiro quadrante. Como o cosseno é negativo, as soluções estão no segundo e no terceiro quadrantes: \( 180° – 60° = 120° = \frac{2\pi}{3} \) e \( 180° + 60° = 240° = \frac{4\pi}{3} \). Conferindo: \( \cos 120° = -\frac{1}{2} \) e \( \cos 240° = -\frac{1}{2} \). A alternativa A traz as soluções do cosseno positivo, e a D traz só metade das soluções.

Questão 5. Sobre a função \( f(x) = \operatorname{tg} x \), é correto afirmar que: (A) seu período é \( 2\pi \) e sua imagem é \( [-1, 1] \) (B) ela é definida para todo número real (C) seu gráfico tem assíntotas verticais em \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), com \( k \) inteiro, e seu período é \( \pi \) (D) ela é sempre positiva (E) seu valor máximo é 1.

Gabarito: C. Comentário: a tangente não existe quando o cosseno é zero, ou seja, em \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), e nesses pontos o gráfico tem assíntotas verticais. Seu período é \( \pi \), e sua imagem é todo o conjunto dos números reais, sem máximo nem mínimo, o que elimina as alternativas A, B, D e E. Para aprofundar, consulte os tópicos de Matemática na sala de estudo e a matéria de conjuntos numéricos e intervalos reais.

Dica do professor

Quando você encontrar uma questão de funções trigonométricas, faça três gestos antes de qualquer conta: desenhe um pequeno ciclo trigonométrico marcando o quadrante do ângulo, escreva a tabela de ângulos notáveis ao lado, e marque no gráfico se a questão fala de período, de amplitude ou de imagem. Esses três gestos levam menos de um minuto e resolvem a maior parte das questões, porque transformam um problema que parece novo em um problema que você já sabe resolver: olhar o sinal no quadrante certo, ou aplicar \( p = \frac{2\pi}{|b|} \) e a imagem \( [d – |a|, d + |a|] \). Outro hábito que salva nota é nunca dar só a primeira solução de uma equação trigonométrica: pergunte-se sempre “em que outro quadrante essa função tem o mesmo sinal?”, e só então marque a alternativa. Por fim, quando o enunciado trouxer um modelo do tipo \( f(t) = a \cdot \operatorname{sen}(bt + c) + d \) para maré, temperatura ou pêndulo, traduza cada letra antes de calcular: \( a \) é a variação, \( d \) é a média, e o período é o tempo de um ciclo. Se você treinar essa tradução com cinco exemplos, ela vira automática na hora da prova.

Atenção/cuidado

O primeiro cuidado é não confundir graus com radianos: se o enunciado usa \( \pi \) no eixo horizontal, o \( x \) está em radianos, e misturar as unidades quebra todas as contas de período. O segundo cuidado é não esquecer a segunda solução da equação trigonométrica: dentro de uma volta, seno, cosseno e tangente quase sempre têm duas soluções, e quem entrega só a primeira perde a questão. O terceiro cuidado é o sinal em cada quadrante: no segundo quadrante, só o seno é positivo; no terceiro, só a tangente; no quarto, só o cosseno, e ignorar isso inverte o sinal da resposta. O quarto cuidado é não esquecer as assíntotas da tangente: ela não existe em \( \frac{\pi}{2} + k\pi \), não tem máximo nem mínimo, e seu período é \( \pi \), e não \( 2\pi \). O quinto cuidado é não trocar amplitude com período: em \( a \cdot \operatorname{sen}(bx + c) + d \), quem aperta ou estica a onda na horizontal é \( b \), e quem aumenta a altura é \( a \). O sexto cuidado é com a relação fundamental: \( \operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1 \) dá \( \cos x = \pm\sqrt{1 – \operatorname{sen}^2 x} \), e o sinal certo depende do quadrante, nunca da conta sozinha. Se você revisar esses seis pontos antes de entregar a prova, boa parte dos erros do tema já estará evitada.

Conexão com outras áreas

As funções trigonométricas conectam-se diretamente com vários capítulos da Matemática e com outras ciências. Com a geometria, porque o seno, o cosseno e a tangente nascem no triângulo retângulo e se estendem ao ciclo trigonométrico, e porque a lei dos senos e a lei dos cossenos resolvem triângulos quaisquer. Com as funções em geral, porque o estudo de domínio, imagem e período das funções trigonométricas usa exatamente as ferramentas da teoria geral de funções, e porque as transformações da onda são o mesmo tipo de translação e mudança de escala que aparece na função modular. Com a Física, porque o movimento harmônico simples, as ondas sonoras, a corrente alternada e o movimento circular uniforme são todos descritos por senos e cossenos, e a velocidade e a aceleração de um pêndulo, por exemplo, são funções trigonométricas do tempo. Com a Geografia e as ciências da Terra, porque a altura das marés e a variação da temperatura ao longo do ano seguem modelos senoidais. E com a música e a engenharia, porque qualquer som pode ser decomposto em senos e cossenos, na chamada análise de Fourier, que está por trás de equalizadores, compressão de áudio e processamento de sinais. Dominar as funções trigonométricas, portanto, não é decorar mais uma tabela: é ganhar a linguagem matemática de tudo o que oscila, vibra e se repete na natureza.

Incidência

Incidência: ♨️ Morno. As funções trigonométricas não são o tema mais frequente da prova de Matemática do ENEM, mas aparecem com regularidade, quase sempre na forma de leitura de gráfico de onda, de período e amplitude de um modelo periódico, ou de valor de ângulo notável, e são um tema clássico em vestibulares como Fuvest, Unicamp e UFRGS, que cobram também equações trigonométricas e redução ao primeiro quadrante. Por ser um conteúdo com poucas regras e alto poder de resolução, ele tem um excelente custo-benefício de revisão: em poucas horas de estudo focado, com a tabela de ângulos notáveis, os sinais por quadrante e as fórmulas de período e imagem, você cobre praticamente tudo o que a prova pode pedir. A recomendação é revisar as funções trigonométricas junto com a trigonometria no triângulo retângulo e com as funções em geral, na sala de estudo, e resolver pelo menos uma equação de cada função e um problema de período e amplitude antes da prova, porque são esses dois formatos que mais aparecem.