Matrizes

Elementos básicos para a construção de matrizes

Aqui tomaremos o conjunto N dos números naturais, como:

N={1,2,3,4,5,6,7,…}

O produto cartesiano N×N indicará o conjunto de todos os pares ordenados da forma (a,b), onde a e b são números naturais, isto é:

N×N={(a,b): a e b são números naturais }

Uma relação importante em N×N é:

S_mn={(i,j): 1<i<m, 1<j<n}

Definição de matriz

Uma matriz real (ou complexa) é uma função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto S_mn associa um número real (ou complexo).

Uma forma comum e prática para representar uma matriz definida na forma acima é através de uma tabela contendo m×n números reais (ou complexos). Identificaremos a matriz abaixo com a letra A.

Definições básicas sobre matrizes

1. Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m×n.

2. Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de cada elemento a_ij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j).

3. Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)].

4. Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.

5. Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n.

6. A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos:

   a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), …, a(n-1,2), a(n,1)

7. Matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal.

8. Matriz real é aquela que tem números reais como elementos.

9. Matriz complexa é aquela que tem números complexos como elementos.

10. Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais a zero.

11. Matriz identidade, denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal.

12. Matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos.

Exemplos de matrizes

Matriz 4×4 de números reais:

Matriz 4×4 de números complexos:

Matriz nula com duas linhas e duas colunas:

Matriz nula com três linhas e duas colunas:

Matriz identidade com três linhas e três colunas:

Matriz diagonal com quatro linhas e quatro colunas:

Matrizes iguais

Duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)], de mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondentes elementos são iguais, isto é:

a(i,j) = b(i,j)

para todo par ordenado (i,j) em S_mn.

Exercício: Determinar os valores de x e y para que sejam iguais as matrizes abaixo, isto é:

Soma de matrizes e suas propriedades

A soma (adição) de duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)] de mesma ordem m×n, é uma outra matriz C=[c(i,j)], definida por:

c(i,j) = a(i,j) + b(i,j)

para todo par ordenado (i,j) em S_mn.

Exemplo: A soma das matrizes A e B é a terceira matriz indicada abaixo.

Propriedades da soma de matrizes

A1: Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:

(A + B) + C = A + (B + C)

A2: Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:

A + B = B + A

A3: Elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem, fornecerá a própria matriz A, isto é:

0 + A = A

A4: Elemento oposto: Para cada matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é:

A + (-A) = 0

Multiplicação de escalar por matriz e suas propriedades

Seja k um escalar e A=[a(i,j)] uma matriz. Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outra matriz C=k.A, definida por:

c(i,j) = k. a(i,j)

para todo par ordenado (i,j) em S_mn.

Exemplo: A multiplicação do escalar -4 pela matriz A, definida por:

Propriedades da multiplicação de escalar por matriz

E1: Multiplicação pelo escalar 1: A multiplicação do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz A, isto é:

1.A = A

E2: Multiplicação pelo escalar zero: A multiplicação do escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula, isto é:

0.A = 0

E3: Distributividade das matrizes: Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se:

k (A+B) = k A + k B

E4: Distributividade dos escalares: Para qualquer matriz A e para quaisquer escalares p e q, tem-se:

(p + q) A = p A + q A

Multiplicação de matrizes

Seja a matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n e a matriz B=(b(k,l)) de ordem nxr. Definimos o produto das matrizes A e B como uma outra matriz C=A.B, definida por:

c(u,v) = a(u,1) b(1,v) + a(u,2) b(2,v) + … + a(u,m) b(m,v)

para todo par (u,v) em S_mr.

Para obter o elemento da 2a. linha e 3a. coluna da matriz produto C=A.B, isto é, o elemento c(2,3), devemos:

1. multiplicar os primeiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;

2. multiplicar os segundos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;

3. multiplicar os terceiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;

4. multiplicar os quartos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;

5. somar os quatro produtos obtidos anteriomente.

Assim:

c₂₃ = a₂₁ b₁₃ + a₂₂ b₂₃ + a₂₃ b₃₃ + a₂₄ b₄₃

Podemos visualizar esta operação através das matrizes seguintes. Basta observar a linha em azul na primeira matriz, a coluna em azul na segunda matriz e o elemento em azul na terceira matriz.

Observação: Somente podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda.

Propriedades da multiplicação de matrizes

Para todas as matrizes A, B e C que podem ser multiplicadas, temos algumas propriedades:

M1: Nem sempre vale a comutatividade: Em geral, A×B é diferente de B×A, como é o caso do produto que segue, onde A está cor vermelha e B em cor preta:

M2: Distributividade da soma à direita

A (B+C) = A B + A C

M3: Distributividade da soma à esquerda

(A + B) C = A C + B C

M4: Associatividade

A (B C) = (A B) C

M5: Nulidade do produto: Pode acontecer que o produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto é: AB=0, embora nem A nem B sejam matrizes nulas, como é o caso do produto:

M6: Nem sempre vale o cancelamento: Se ocorrer a igualdade AC=BC, então nem sempre será verdadeiro que A=B, pois existem exemplos de matrizes como as apresentadas abaixo, tal que:

mas as matrizes A e B são diferentes.

Matrizes com propriedades especiais

1. Uma matriz A é nilpotente de índice k natural, se:

   A^k = 0

2. Uma matriz A é periódica de índice k natural, se:

   A^k+1= A

3. Uma matriz A é idempotente, se:

   A² = A

4. As matrizes A e B são comutativas, se:

   A B = B A

5. As matrizes A e B são anti-comutativas, se:

   A B = – B A

6. A matriz identidade I_d multiplicada por toda matriz A, fornecerá a própria matriz A, quando o produto fizer sentido.

   I_d A = A

7. A matriz A será a inversa da matriz B, se:

   A B = I_d  e  B A = I_d

A transposta de uma matriz e suas propriedades

Dada uma matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n, definimos a transposta da matriz A como a matriz

A^t = [a(j,i)]

e segue que as linhas de A se transformam nas colunas de A^t.

Propriedades das matrizes transpostas

T1: A transposta da transposta da matriz é a própria matriz.

(A^t)^t = A

T2: A transposta da multiplicação de um escalar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela transposta da matriz.

(kA)^t = k (A^t)

T3: A transposta da soma de duas matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes.

(A + B)^t = A^t + B^t

T4: A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas das matrizes na ordem trocada.

(A B)^t = B^t A^t

Matrizes simétricas e anti-simétricas e suas propriedades

Uma matriz A é simétrica se é uma matriz quadrada tal que:

A^t = A

Uma matriz A é anti-simétrica se é uma matriz quadrada tal que:

A^t = -A

Propriedades das matrizes simétricas e anti-simétricas

S1: Se A é uma matriz simétrica de ordem n, então para todo escalar k, a matriz k.A é simétrica.

S2: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B=A+A^t é simétrica.

S3: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B=A-A^t é anti-simétrica.

S4: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então A sempre pode ser decomposta como a soma de uma matriz simétrica S com uma matriz anti-simétrica T, isto é, A=S+T, e neste caso:

S =(1/2)(A + A^t)  e  T =(1/2)(A – A^t)