Movimento harmônico simples (MHS): Movimentos periódicos: o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

Um balanço que vai e volta, um pêndulo de relógio, uma mola que oscila depois de puxada, a corda de um violão vibrando: todos esses movimentos têm algo em comum, e é exatamente isso que o ENEM e os vestibulares adoram cobrar. Eles se repetem em intervalos iguais de tempo, sempre do mesmo jeito, e por isso são chamados de movimentos periódicos. Quando esse vai e vem acontece sob uma força que puxa o corpo de volta para a posição de equilíbrio, com intensidade proporcional ao afastamento, temos o caso mais importante de todos: o movimento harmônico simples, o famoso MHS. É um tema de incidência ⚡ Pode cair em Física, porque aparece em pêndulos, molas, ondas, som, circuitos elétricos e até no movimento dos átomos em um sólido.

A ideia central do MHS cabe em poucas frases, e vale a pena guardá-la antes de qualquer fórmula. O corpo oscila em torno de uma posição de equilíbrio, indo até um afastamento máximo chamado amplitude, voltando, passando pelo centro, indo até o outro extremo e retornando. O tempo de uma oscilação completa é o período \( T \), medido em segundos, e o número de oscilações por segundo é a frequência \( f \), medida em hertz (Hz). As duas grandezas são inversas uma da outra: \( T = \frac{1}{f} \) e \( f = \frac{1}{T} \). A posição do corpo ao longo do tempo segue uma função cosseno, \( x = A \cos(\omega t + \varphi_0) \), em que \( A \) é a amplitude, \( \omega \) é a frequência angular, dada por \( \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f \), e \( \varphi_0 \) é a fase inicial, que diz onde o movimento começou. A velocidade máxima vale \( v_{\text{máx}} = \omega A \) e acontece na passagem pela posição de equilíbrio, enquanto a aceleração máxima vale \( a_{\text{máx}} = \omega^2 A \) e acontece nos extremos, onde o corpo para por um instante e volta. A energia mecânica total se conserva, trocando de forma entre cinética e potencial, sem mudar de valor. Se você entender esse retrato completo — posição, velocidade, aceleração e energia, cada uma no seu lugar —, resolve a imensa maioria das questões de MHS das provas.

O que é movimento periódico

Um movimento é periódico quando ele se repete, de forma idêntica, em intervalos iguais de tempo. Imagine um balanço de parquinho: ele sai de um lado, passa pelo ponto mais baixo, sobe do outro lado, volta, e repete exatamente o mesmo caminho, com a mesma duração, volta após volta. O movimento da Terra em torno do Sol também é periódico, com período de um ano, e o giro de um ventilador ligado é periódico, com cada volta durando o mesmo tempo. O que caracteriza o movimento periódico não é a forma do caminho, que pode ser uma reta, um círculo ou uma curva qualquer, mas a repetição regular no tempo: depois de um intervalo fixo, tudo volta a ser como era antes, posição, velocidade e aceleração incluídas.

Período, frequência, amplitude e fase

Período e frequência são as duas medidas básicas de qualquer movimento periódico, e elas andam sempre juntas, uma como o inverso da outra. O período \( T \) é o tempo de uma oscilação completa, medido em segundos. A frequência \( f \) é o número de oscilações completas por segundo, medida em hertz, em que \( 1 \, \text{Hz} = 1 \) oscilação por segundo. A relação entre elas é simples e precisa ser automática na hora da prova: \( f = \frac{1}{T} \) e \( T = \frac{1}{f} \). Se um corpo oscila 5 vezes por segundo, a frequência é 5 Hz e o período é \( T = \frac{1}{5} = 0,2 \, \text{s} \). Se o período é 0,5 s, a frequência é \( f = \frac{1}{0,5} = 2 \, \text{Hz} \). Período grande significa frequência pequena, e vice-versa: um pêndulo lento, de período longo, tem frequência baixa, enquanto uma corda de violão aguda, de período curtíssimo, tem frequência alta.

A amplitude \( A \) é o afastamento máximo do corpo em relação à posição de equilíbrio, medida em metros. No balanço, é a distância entre o ponto mais baixo, que é a posição de equilíbrio, e o ponto mais alto de um dos lados. Na massa presa à mola, é o quanto a mola foi esticada ou comprimida a partir do seu comprimento de equilíbrio. A amplitude nunca é negativa, porque é uma distância máxima, e ela define o tamanho da oscilação: quanto maior a amplitude, mais longe o corpo vai, maior a sua velocidade máxima e maior a sua energia, como veremos adiante. Mas atenção a um ponto que confunde muita gente: no MHS ideal, sem atrito, o período não depende da amplitude. Um pêndulo que balança pouco e um pêndulo igual que balança muito, ambos com pequenas oscilações, levam o mesmo tempo para completar um vai e vem. Essa independência, chamada de isocronismo, foi observada por Galileu e é uma das marcas registradas do MHS.

Além do período, da frequência e da amplitude, existe uma grandeza que diz onde o movimento começou: a fase inicial \( \varphi_0 \), medida em radianos. Ela aparece dentro do cosseno da equação horária e funciona como um ajuste do ponto de partida. Se o corpo começa a oscilar a partir de um extremo, com deslocamento máximo, a fase inicial é zero e a equação fica \( x = A \cos(\omega t) \), porque \( \cos 0 = 1 \). Se ele começa passando pela posição de equilíbrio, indo para o lado positivo, a fase inicial é \( -\frac{\pi}{2} \), e a equação vira uma função seno, \( x = A \, \text{sen}(\omega t) \). Se ele começa no outro extremo, a fase inicial é \( \pi \), e \( x = -A \cos(\omega t) \). Nas provas, muitas vezes a fase inicial já vem dada, ou o enunciado descreve a posição inicial de forma clara, e o seu trabalho é apenas traduzi-la para o valor correto. Quando a fase inicial não for dada, o caso mais comum é o corpo partindo de um extremo, com \( \varphi_0 = 0 \), que é o ponto de partida mais simples de todos.

A frequência angular \( \omega \), também chamada de pulsação, é a ponte entre o movimento periódico e o movimento circular, e vale a pena entendê-la bem. Ela mede quantos radianos o ângulo de fase avança por segundo, e é dada por \( \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f \), em radianos por segundo (rad/s). Como uma oscilação completa corresponde a uma volta completa, ou seja, a \( 2\pi \) radianos, faz sentido que, em um período \( T \), a fase avance \( 2\pi \) radianos, e por isso \( \omega = \frac{2\pi}{T} \). Se a frequência é 2 Hz, a frequência angular é \( \omega = 2\pi \times 2 = 4\pi \, \text{rad/s} \), aproximadamente \( 12,6 \, \text{rad/s} \). Não confunda frequência \( f \), em hertz, com frequência angular \( \omega \), em radianos por segundo: elas diferem por um fator de \( 2\pi \), e trocar uma pela outra é um dos erros mais comuns nas questões de MHS. Quando o enunciado der \( \omega \), use-o diretamente nas equações; quando der \( f \) ou \( T \), calcule \( \omega \) antes de qualquer outra coisa.

O MHS como projeção do movimento circular uniforme

A ideia mais bonita do MHS, e a que mais ajuda a entender as suas fórmulas, é a seguinte: o movimento harmônico simples é a projeção, ou a sombra, de um movimento circular uniforme sobre um diâmetro do círculo. Imagine um ponto girando com velocidade constante em um círculo de raio \( A \), como a ponta de um ventilador ou um carrinho em uma pista circular visto de cima. Agora imagine uma luz projetando a sombra desse ponto sobre uma parede, ou, de forma equivalente, observe apenas a coordenada horizontal do ponto, ignorando a vertical. Enquanto o ponto gira uniformemente, a sua sombra vai e volta ao longo de um segmento de reta, de um extremo ao outro, exatamente como um corpo em MHS. A sombra para nos extremos, onde a velocidade horizontal se anula, e passa voando pelo centro, onde a velocidade horizontal é máxima. É o MHS, nascido da geometria do círculo.

Essa construção explica de onde vem a função cosseno na equação horária. Se o ponto gira com frequência angular \( \omega \) e parte de um ângulo inicial \( \varphi_0 \), o seu ângulo em um instante \( t \) é \( \varphi = \omega t + \varphi_0 \). A coordenada horizontal do ponto, que é a posição da sombra, é a projeção do raio sobre o eixo horizontal, ou seja, \( x = A \cos\varphi \), e portanto \( x = A \cos(\omega t + \varphi_0) \). A coordenada vertical, por sua vez, seria \( y = A \, \text{sen}(\omega t + \varphi_0) \), que também é um MHS, só que defasado. Por isso dizemos que o MHS é a projeção do movimento circular uniforme: cada coordenada do movimento circular é, sozinha, um movimento harmônico simples. E é por isso também que a frequência angular do MHS é a mesma velocidade angular do movimento circular correspondente, \( \omega = \frac{2\pi}{T} \), com o mesmo período \( T \) nos dois movimentos.

Equações horárias da posição, da velocidade e da aceleração

\[ x = A \cos(\omega t + \varphi_0) \]

Nela, \( x \) é a posição do corpo em relação à posição de equilíbrio, em metros, \( A \) é a amplitude, em metros, \( \omega \) é a frequência angular, em radianos por segundo, \( t \) é o tempo, em segundos, e \( \varphi_0 \) é a fase inicial, em radianos. O valor de \( x \) varia entre \( -A \) e \( +A \): nos extremos, \( x = +A \) ou \( x = -A \); na posição de equilíbrio, \( x = 0 \). Note que a posição é medida a partir do equilíbrio, e não a partir de um extremo: essa origem é uma convenção que simplifica todas as fórmulas, e mudar a origem mudaria a fase inicial. Sempre que for montar a equação, confirme onde está o zero da posição.

A equação horária da velocidade é obtida derivando a posição em relação ao tempo, mas você não precisa dominar derivadas para usá-la: basta saber o resultado e o que ele significa. Derivando \( x = A \cos(\omega t + \varphi_0) \), chega-se a:

\[ v = -\omega A \, \text{sen}(\omega t + \varphi_0) \]

O sinal negativo indica que, quando a fase está no primeiro quadrante, a velocidade aponta para o lado negativo, o que é coerente com o cosseno diminuindo. O módulo da velocidade varia entre zero, nos extremos, e o valor máximo \( v_{\text{máx}} = \omega A \), na posição de equilíbrio. Repare que a velocidade é uma função seno, enquanto a posição é uma função cosseno: as duas estão defasadas de um quarto de período, o que significa que, quando a posição é máxima, a velocidade é zero, e quando a posição é zero, a velocidade é máxima em módulo. Essa defasagem é uma das perguntas favoritas das provas, muitas vezes apresentada na forma de gráficos.

Derivando a velocidade mais uma vez, chega-se à equação horária da aceleração:

\[ a = -\omega^2 A \cos(\omega t + \varphi_0) \]

Comparando com a equação da posição, surge uma relação preciosa, que é a própria definição do MHS: \( a = -\omega^2 x \). A aceleração é sempre proporcional à posição, mas com sinal contrário, ou seja, ela sempre aponta para a posição de equilíbrio, puxando o corpo de volta. É por isso que a força resultante no MHS também aponta para o equilíbrio e é proporcional ao deslocamento, \( F = -kx \), como veremos na seção de energia. O módulo da aceleração varia entre zero, na posição de equilíbrio, e o valor máximo \( a_{\text{máx}} = \omega^2 A \), nos extremos. Note ainda que a aceleração e a posição estão em oposição de fase: quando \( x \) é máximo positivo, \( a \) é máxima negativa, e vice-versa. Em um gráfico, as curvas de posição e de aceleração são espelhos uma da outra.

Energia no MHS

Se não houver atrito nem outras forças dissipativas, a energia mecânica total do sistema em MHS se conserva, e essa conservação é uma das ferramentas mais poderosas para resolver questões, porque ela permite achar a velocidade em qualquer posição sem passar pelo tempo. A energia mecânica é a soma da energia cinética com a energia potencial elástica, no caso da massa-mola, ou com a energia potencial gravitacional, no caso do pêndulo com pequenas oscilações. Em cada instante, uma parte da energia está na forma cinética e outra parte na forma potencial, mas a soma das duas não muda. Nos extremos, o corpo para por um instante, a energia cinética é zero e toda a energia está na forma potencial, no seu valor máximo. Na posição de equilíbrio, a energia potencial é mínima, tomada como zero na referência adotada, e toda a energia está na forma cinética, com a velocidade máxima. Entre esses pontos, as duas formas se repartem, uma crescendo enquanto a outra diminui, sempre somando o mesmo total.

No sistema massa-mola, a energia potencial elástica em uma posição \( x \) é \( E_p = \frac{kx^2}{2} \), em que \( k \) é a constante elástica da mola, e a energia cinética é \( E_c = \frac{mv^2}{2} \), em que \( m \) é a massa do corpo. A energia mecânica total é, portanto, \( E_m = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} \), e ela é constante. Nos extremos, \( x = \pm A \) e \( v = 0 \), então \( E_m = \frac{kA^2}{2} \). Na posição de equilíbrio, \( x = 0 \) e \( v = v_{\text{máx}} \), então \( E_m = \frac{mv_{\text{máx}}^2}{2} \). Igualando as duas expressões, chega-se a \( \frac{mv_{\text{máx}}^2}{2} = \frac{kA^2}{2} \), e portanto \( v_{\text{máx}} = A\sqrt{\frac{k}{m}} \). Como também sabemos que \( v_{\text{máx}} = \omega A \), conclui-se que \( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \), um resultado fundamental: a frequência angular do sistema massa-mola depende apenas da constante da mola e da massa, e não da amplitude. O período, então, é \( T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \), e a frequência é \( f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \). Mola mais dura, com \( k \) maior, oscila mais rápido; massa maior oscila mais devagar. E, mais uma vez, a amplitude não aparece no período: puxar a mola mais longe aumenta a energia e a velocidade máxima, mas não muda o tempo de cada oscilação.

Pêndulo simples e sistema massa-mola

Os dois sistemas mais cobrados em MHS são o pêndulo simples e o sistema massa-mola, e cada um tem a sua fórmula de período, que precisa ser conhecida de cor. O pêndulo simples é um corpo de massa \( m \) preso por um fio ideal, sem massa e inextensível, de comprimento \( L \), oscilando em torno da vertical. Para pequenas oscilações, em que o ângulo máximo é pequeno, tipicamente menor que 10°, o movimento é aproximadamente harmônico simples, e o período é:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]

Repare no que essa fórmula diz e, principalmente, no que ela não diz. O período do pêndulo depende do comprimento do fio e da aceleração da gravidade, e só disso. Ele não depende da massa do corpo: um pêndulo pesado e um leve, com o mesmo comprimento, oscilam juntos, no mesmo ritmo. Ele também não depende da amplitude, desde que as oscilações sejam pequenas. Dobrar o comprimento multiplica o período por \( \sqrt{2} \), aproximadamente 1,41, e quadruplicar o comprimento dobra o período. E levar o pêndulo para um lugar com gravidade menor, como a Lua, onde \( g \) é cerca de um sexto do valor terrestre, aumenta o período, deixando a oscilação mais lenta. Um exemplo conferido: um pêndulo de comprimento \( L = 1,0 \, \text{m} \), com \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \), tem período \( T = 2\pi\sqrt{\frac{1,0}{10}} = 2\pi\sqrt{0,1} \approx 2\pi \times 0,316 \approx 1,99 \, \text{s} \), ou seja, cerca de 2 segundos por oscilação completa, o que significa que ele leva cerca de 1 segundo para ir de um extremo ao outro. É por isso que pêndulos de aproximadamente um metro eram usados nos relógios antigos, marcando os segundos a cada passagem.

O sistema massa-mola, por sua vez, é um corpo de massa \( m \) preso a uma mola ideal de constante elástica \( k \), oscilando sem atrito sobre uma superfície horizontal, ou na vertical em torno da sua nova posição de equilíbrio. A força restauradora é a força elástica, \( F = -kx \), e o período, já deduzido pela energia, é:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]

Aqui, o período depende da massa e da constante da mola, e só disso. Dobrar a massa multiplica o período por \( \sqrt{2} \), e quadruplicar a massa dobra o período. Dobrar a constante elástica divide o período por \( \sqrt{2} \), deixando a oscilação mais rápida. Um exemplo conferido: uma massa de \( m = 0,5 \, \text{kg} \) presa a uma mola de \( k = 200 \, \text{N/m} \) tem período \( T = 2\pi\sqrt{\frac{0,5}{200}} = 2\pi\sqrt{0,0025} = 2\pi \times 0,05 = 0,1\pi \, \text{s} \), aproximadamente \( 0,31 \, \text{s} \), com frequência \( f = \frac{1}{0,31} \approx 3,2 \, \text{Hz} \) e frequência angular \( \omega = \sqrt{\frac{200}{0,5}} = \sqrt{400} = 20 \, \text{rad/s} \). Se a amplitude for \( A = 0,10 \, \text{m} \), a velocidade máxima é \( v_{\text{máx}} = \omega A = 20 \times 0,10 = 2,0 \, \text{m/s} \), e a energia total é \( E_m = \frac{kA^2}{2} = \frac{200 \times 0,01}{2} = 1,0 \, \text{J} \). Todos os números se encaixam, e conferir esse encaixe é a melhor forma de perceber um erro de conta antes de marcar a alternativa.

Exemplos resolvidos passo a passo

Exemplo 1 — Período e frequência a partir da contagem de oscilações. Um pêndulo completa 30 oscilações em 15 segundos. Quais são a frequência e o período?
Passo 1: a frequência é o número de oscilações por segundo: \( f = \frac{30}{15} = 2 \, \text{Hz} \).
Passo 2: o período é o inverso da frequência: \( T = \frac{1}{f} = \frac{1}{2} = 0,5 \, \text{s} \).
Passo 3: conferência: em 15 s, com período de 0,5 s, o número de oscilações é \( \frac{15}{0,5} = 30 \), como dado.
Resposta: \( f = 2 \, \text{Hz} \) e \( T = 0,5 \, \text{s} \).

Exemplo 2 — Equação horária e posição em um instante. Um corpo em MHS tem amplitude \( A = 0,40 \, \text{m} \), período \( T = 4,0 \, \text{s} \) e parte de um extremo positivo no instante inicial. Escreva a equação da posição e calcule a posição em \( t = 1,0 \, \text{s} \).
Passo 1: a frequência angular é \( \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4,0} = \frac{\pi}{2} \, \text{rad/s} \).
Passo 2: como parte de um extremo positivo, \( \varphi_0 = 0 \), e a equação é \( x = 0,40 \cos\left(\frac{\pi}{2} t\right) \), em metros.
Passo 3: em \( t = 1,0 \, \text{s} \), a fase é \( \frac{\pi}{2} \times 1,0 = \frac{\pi}{2} \), e \( x = 0,40 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \).
Resposta: \( x = 0,40 \cos\left(\frac{\pi}{2} t\right) \); em \( t = 1,0 \, \text{s} \), o corpo passa pela posição de equilíbrio, o que faz sentido, pois 1,0 s é um quarto do período.

Exemplo 3 — Velocidade e aceleração máximas. Um corpo em MHS tem amplitude \( A = 0,10 \, \text{m} \) e frequência angular \( \omega = 5,0 \, \text{rad/s} \). Quais são as velocidades e acelerações máximas, e onde elas acontecem?
Passo 1: a velocidade máxima é \( v_{\text{máx}} = \omega A = 5,0 \times 0,10 = 0,50 \, \text{m/s} \), na posição de equilíbrio.
Passo 2: a aceleração máxima é \( a_{\text{máx}} = \omega^2 A = 25 \times 0,10 = 2,5 \, \text{m/s}^2 \), nos extremos.
Passo 3: conferência pela relação \( a_{\text{máx}} = \omega v_{\text{máx}} = 5,0 \times 0,50 = 2,5 \, \text{m/s}^2 \).
Resposta: \( v_{\text{máx}} = 0,50 \, \text{m/s} \) no equilíbrio; \( a_{\text{máx}} = 2,5 \, \text{m/s}^2 \) nos extremos.

Exemplo 4 — Pêndulo simples: achar o comprimento. Um pêndulo simples tem período \( T = 2,0 \, \text{s} \) em um local com \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \). Qual é o seu comprimento?
Passo 1: a fórmula é \( T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \), então \( \frac{T}{2\pi} = \sqrt{\frac{L}{g}} \).
Passo 2: elevando ao quadrado: \( \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 = \frac{L}{g} \), logo \( L = g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 \).
Passo 3: com \( T = 2,0 \, \text{s} \), \( \frac{T}{2\pi} = \frac{1}{\pi} \), e \( L = 10 \times \frac{1}{\pi^2} \approx \frac{10}{9,87} \approx 1,0 \, \text{m} \).
Resposta: aproximadamente \( 1,0 \, \text{m} \), o comprimento clássico do pêndulo de segundos.

Exemplo 5 — Massa-mola: período, energia e velocidade máxima. Uma massa de \( m = 2,0 \, \text{kg} \) presa a uma mola de \( k = 50 \, \text{N/m} \) oscila com amplitude \( A = 0,20 \, \text{m} \). Calcule o período, a energia total e a velocidade máxima.
Passo 1: a frequência angular é \( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{50}{2,0}} = \sqrt{25} = 5,0 \, \text{rad/s} \).
Passo 2: o período é \( T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{5,0} = 0,4\pi \, \text{s} \), aproximadamente \( 1,26 \, \text{s} \).
Passo 3: a energia total é \( E_m = \frac{kA^2}{2} = \frac{50 \times 0,04}{2} = 1,0 \, \text{J} \).
Passo 4: a velocidade máxima é \( v_{\text{máx}} = \omega A = 5,0 \times 0,20 = 1,0 \, \text{m/s} \).
Passo 5: conferência pela energia: \( \frac{mv_{\text{máx}}^2}{2} = \frac{2,0 \times 1,0}{2} = 1,0 \, \text{J} \), igual à energia total.
Resposta: \( T \approx 1,26 \, \text{s} \), \( E_m = 1,0 \, \text{J} \), \( v_{\text{máx}} = 1,0 \, \text{m/s} \).

Exemplo 6 — Velocidade em uma posição intermediária. Um corpo em MHS tem amplitude \( A = 0,30 \, \text{m} \) e velocidade máxima \( v_{\text{máx}} = 1,5 \, \text{m/s} \). Qual é a velocidade quando ele está a \( x = 0,15 \, \text{m} \) do equilíbrio?
Passo 1: a frequência angular é \( \omega = \frac{v_{\text{máx}}}{A} = \frac{1,5}{0,30} = 5,0 \, \text{rad/s} \).
Passo 2: a velocidade em uma posição \( x \) é \( v = \pm\omega\sqrt{A^2 – x^2} \).
Passo 3: \( v = \pm 5,0\sqrt{0,09 – 0,0225} = \pm 5,0\sqrt{0,0675} = \pm 5,0 \times 0,26 = \pm 1,3 \, \text{m/s} \), aproximadamente.
Passo 4: conferência: \( x = \frac{A}{2} \), então \( v = \pm v_{\text{máx}}\frac{\sqrt{3}}{2} = \pm 1,5 \times 0,87 = \pm 1,3 \, \text{m/s} \).
Resposta: aproximadamente \( 1,3 \, \text{m/s} \) em módulo, para um lado ou para o outro, conforme o sentido do movimento.

Mapa mental

• Movimento harmônico simples (MHS)
  • Movimento periódico: repete-se, de forma idêntica, em intervalos iguais de tempo; período é o tempo de uma oscilação completa
  • Período \( T \), em segundos, e frequência \( f \), em hertz: \( T = \frac{1}{f} \) e \( f = \frac{1}{T} \); de um extremo ao outro é metade do período; do centro a um extremo é um quarto
  • Amplitude \( A \): afastamento máximo em relação à posição de equilíbrio, em metros; nunca negativa
  • Fase \( \varphi = \omega t + \varphi_0 \), em radianos; fase inicial \( \varphi_0 \) diz onde o movimento começou
  • Frequência angular \( \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f \), em radianos por segundo; não confundir com a frequência \( f \)
  • MHS como projeção do movimento circular uniforme sobre um diâmetro: a sombra do ponto que gira oscila como um MHS
  • Posição: \( x = A \cos(\omega t + \varphi_0) \); varia entre \( -A \) e \( +A \)
  • Velocidade: \( v = -\omega A \, \text{sen}(\omega t + \varphi_0) \); máxima \( v_{\text{máx}} = \omega A \) na posição de equilíbrio; zero nos extremos
  • Aceleração: \( a = -\omega^2 A \cos(\omega t + \varphi_0) \); máxima \( a_{\text{máx}} = \omega^2 A \) nos extremos; zero no equilíbrio; \( a = -\omega^2 x \), sempre para o equilíbrio
  • Energia: conserva-se sem atrito; \( E_m = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = \frac{kA^2}{2} \); nos extremos, toda potencial; no equilíbrio, toda cinética
  • Velocidade em qualquer posição: \( v = \pm\omega\sqrt{A^2 – x^2} \); na metade da amplitude, 75% da energia é cinética e 25% é potencial
  • Pêndulo simples, pequenas oscilações: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \); depende de \( L \) e \( g \); não depende da massa nem da amplitude
  • Sistema massa-mola: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \) e \( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \); depende de \( m \) e \( k \); não depende da amplitude
  • Amortecimento: com atrito, a amplitude diminui até parar; ressonância: amplitude cresce muito quando a força externa tem frequência próxima à natural

SAQ — Perguntas e respostas curtas

1. O que é um movimento periódico?
É um movimento que se repete, de forma idêntica, em intervalos iguais de tempo, como o balanço de um pêndulo ou o giro de um ventilador.

2. Qual é a relação entre período e frequência?
São inversos um do outro: \( T = \frac{1}{f} \) e \( f = \frac{1}{T} \); o período é medido em segundos e a frequência, em hertz.

3. O que é amplitude no MHS?
É o afastamento máximo do corpo em relação à posição de equilíbrio, medido em metros, e nunca é negativa.

4. Por que o MHS é chamado de projeção do movimento circular uniforme?
Porque a coordenada de um ponto em movimento circular uniforme, projetada sobre um diâmetro, oscila exatamente como um corpo em MHS, com a mesma frequência angular.

5. Quais são as equações horárias do MHS?
Posição: \( x = A \cos(\omega t + \varphi_0) \); velocidade: \( v = -\omega A \, \text{sen}(\omega t + \varphi_0) \); aceleração: \( a = -\omega^2 A \cos(\omega t + \varphi_0) \).

6. Onde são máximas a velocidade e a aceleração no MHS?
A velocidade máxima, \( v_{\text{máx}} = \omega A \), acontece na posição de equilíbrio; a aceleração máxima, \( a_{\text{máx}} = \omega^2 A \), acontece nos extremos.

7. Como a energia se reparte durante a oscilação?
Sem atrito, a energia total se conserva: nos extremos ela é toda potencial, no equilíbrio ela é toda cinética, e nas posições intermediárias ela se divide entre as duas formas.

8. De que depende o período do pêndulo simples e o do sistema massa-mola?
O pêndulo depende do comprimento e da gravidade, \( T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \); a massa-mola depende da massa e da constante elástica, \( T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \); nenhum dos dois depende da amplitude.

Questões comentadas

As questões abaixo são inéditas, criadas para esta matéria no estilo do ENEM, com situações do cotidiano e leitura de gráficos. Para continuar praticando, veja também as provas e as dicas da sala de estudo.

Questão 1. Uma criança em um balanço completa 10 vai e vens completos em 20 segundos. O período e a frequência desse movimento são, respectivamente:
a) 0,5 s e 2 Hz.
b) 2 s e 0,5 Hz.
c) 20 s e 10 Hz.
d) 10 s e 20 Hz.
e) 2 s e 2 Hz.
Gabarito: B. A frequência é \( f = \frac{10}{20} = 0,5 \, \text{Hz} \) e o período é \( T = \frac{1}{f} = \frac{1}{0,5} = 2 \, \text{s} \). Quem marcou a alternativa A inverteu período e frequência.

Questão 2. Um corpo em MHS tem amplitude de 0,30 m e frequência angular de 4,0 rad/s. A velocidade máxima desse corpo é de:
a) 0,075 m/s.
b) 0,30 m/s.
c) 1,2 m/s.
d) 4,8 m/s.
e) 12 m/s.
Gabarito: C. A velocidade máxima é \( v_{\text{máx}} = \omega A = 4,0 \times 0,30 = 1,2 \, \text{m/s} \), e ela acontece na passagem pela posição de equilíbrio. Quem marcou 4,8 m/s usou \( \omega^2 A \), que é a aceleração máxima, e não a velocidade.

Questão 3. Em um pêndulo simples que oscila com pequenas amplitudes, o que acontece com o período se o comprimento do fio for quadruplicado, mantendo-se o mesmo local?
a) O período fica quatro vezes maior.
b) O período fica duas vezes maior.
c) O período não muda.
d) O período fica duas vezes menor.
e) O período fica quatro vezes menor.
Gabarito: B. Como \( T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \), o período é proporcional à raiz quadrada do comprimento: quadruplicar \( L \) multiplica \( T \) por \( \sqrt{4} = 2 \). A massa do pêndulo não interfere no resultado.

Questão 4. Uma massa presa a uma mola oscila em MHS sem atrito. No instante em que ela passa pela posição de equilíbrio, é correto afirmar que:
a) A velocidade é nula e a aceleração é máxima.
b) A velocidade é máxima e a aceleração é nula.
c) A velocidade e a aceleração são máximas.
d) A velocidade e a aceleração são nulas.
e) A energia cinética é nula e a energia potencial é máxima.
Gabarito: B. Na posição de equilíbrio, a força restauradora é nula, logo a aceleração é zero, e a energia é toda cinética, logo a velocidade é máxima. Nos extremos acontece o contrário: velocidade zero e aceleração máxima.

Questão 5. Um sistema massa-mola tem massa de 1,0 kg e constante elástica de 100 N/m, oscilando com amplitude de 0,20 m. A energia mecânica total do sistema é de:
a) 0,5 J.
b) 1,0 J.
c) 2,0 J.
d) 10 J.
e) 20 J.
Gabarito: C. A energia total é \( E_m = \frac{kA^2}{2} = \frac{100 \times (0,20)^2}{2} = \frac{100 \times 0,04}{2} = 2,0 \, \text{J} \). Quem marcou 1,0 J esqueceu de dividir por dois, e quem marcou 20 J usou a amplitude sem elevá-la ao quadrado.

Questão 6. O gráfico da posição em função do tempo de um corpo em MHS mostra que ele leva 0,25 s para ir da posição de equilíbrio até um extremo, com amplitude de 0,40 m. O período desse movimento e a sua velocidade máxima são, respectivamente:
a) 0,25 s e 1,6 m/s.
b) 0,50 s e 3,2 m/s.
c) 1,0 s e 2,5 m/s.
d) 1,0 s e 0,40 m/s.
e) 2,0 s e 1,6 m/s.
Gabarito: C. Do equilíbrio a um extremo é um quarto do período, então \( \frac{T}{4} = 0,25 \, \text{s} \) e \( T = 1,0 \, \text{s} \). A frequência angular é \( \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi \, \text{rad/s} \), e a velocidade máxima é \( v_{\text{máx}} = \omega A = 2\pi \times 0,40 = 0,80\pi \, \text{m/s} \), aproximadamente \( 2,5 \, \text{m/s} \).

Dica do professor

Antes de qualquer conta em MHS, desenhe a oscilação e marque três pontos: os dois extremos e o centro. Em cada um deles, anote posição, velocidade e aceleração, com os valores zero ou máximo. Esse desenho de dez segundos resolve metade das questões conceituais sem nenhuma fórmula, porque a maioria delas pergunta justamente o que é zero e o que é máximo em cada ponto. Depois, se a questão pedir números, calcule a frequência angular antes de tudo, confira se a calculadora está em radianos e só então use as equações horárias. E sempre que possível, confira o resultado pela energia: a energia cinética máxima tem que ser igual à energia total, e a velocidade em uma posição intermediária nunca pode ser maior que a velocidade máxima. Mais dicas de estudo como essa estão na sala de estudo, junto com as outras matérias de Física e de Matemática.

Atenção / cuidado

• Não confunda período com frequência: período é o tempo de uma oscilação, em segundos; frequência é o número de oscilações por segundo, em hertz; um é o inverso do outro.
• Não confunda frequência \( f \), em hertz, com frequência angular \( \omega \), em radianos por segundo: elas diferem por um fator de \( 2\pi \).
• De um extremo ao outro é metade de uma oscilação, e não uma oscilação completa; do centro a um extremo é apenas um quarto do período.
• A velocidade é máxima no equilíbrio e zero nos extremos; a aceleração é zero no equilíbrio e máxima nos extremos — trocar esses dois é o erro mais comum do tema.
• A aceleração no MHS sempre aponta para a posição de equilíbrio, e não para o lado do movimento: ela freia o corpo quando ele se afasta e o acelera quando ele volta.
• O período do pêndulo simples não depende da massa, e o período da massa-mola não depende da amplitude; desconfie de qualquer alternativa que diga o contrário.
• Use radianos, e não graus, nas equações horárias do MHS, e confira o modo da calculadora antes de calcular cossenos e senos de fase.
• A energia depende do quadrado da posição e da velocidade: na metade da amplitude, a energia potencial é apenas um quarto do total, e não metade.

Conexão com outras áreas

Matemática: funções seno e cosseno, trigonometria do círculo, radianos, derivadas como taxa de variação e gráficos, que são a linguagem natural do MHS. Música e acústica: cordas vibrantes, tubos sonoros e a altura dos sons, que dependem da frequência da vibração, ligando o MHS ao estudo das ondas e do som. Biologia e saúde: o batimento cardíaco, a respiração e os ritmos biológicos, que são movimentos periódicos do corpo, medidos por frequência, como os batimentos por minuto. Engenharia e tecnologia: relógios de pêndulo, amortecedores de carro, pontes e prédios, em que a frequência natural e a ressonância decidem se uma estrutura vibra pouco ou entra em colapso. Astronomia: o movimento dos planetas e dos satélites, periódico por natureza, e a medida do tempo a partir de oscilações regulares, do pêndulo ao relógio atômico. Para continuar, explore as matérias de Física, de Matemática e as dicas da sala de estudo.

Incidência: ⚡ Pode cair — cai no ENEM e nos vestibulares. Matéria: Física 1 | Disciplina: Oscilações | Tema: Movimento harmônico simples (MHS): Movimentos periódicos.