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Produtos notáveis

Dicas de Produtos notáveis

Por Equipe Clique4 jan 20241 min de leitura
Direto ao assunto
  1. Quadrado da soma de dois termos
  2. Quadrado da diferença de dois termos
  3. Diferença de potências (ordem 2)
  4. Cubo da soma de dois termos
  5. Cubo da soma de dois termos na forma simplificada
  6. Cubo da diferença de dois termos
  7. Identidade de Fibonacci
  8. Identidade de Platão
  9. Identidade de Lagrange (4 termos)
  10. Identidade de Lagrange (6 termos)
  11. Identidade de Cauchy (n=3)
  12. Identidade de Cauchy (n=5)
  13. Quadrado da soma de n termos
  14. Cubo da soma de n termos
  15. Diferença entre os quadrados da soma e diferença
  16. Soma dos quadrados da soma e da diferença
  17. Soma de dois cubos
  18. Soma de dois cubos na forma fatorada
  19. Transformação do produto na diferença de quadrados
  20. Diferença de potências (ordem 4)
  21. Diferença de potências (ordem 6)
  22. Diferença de potências (ordem 8)
  23. Produto de três diferenças
  24. Produto de três somas
  25. Soma de cubos das diferenças de três termos
  26. Cubo da soma de três termos
  27. Soma nula de produtos de cubos por diferenças
  28. Soma de produtos de cubos com diferenças
  29. Produto de dois fatores homogêneos de grau dois
  30. Soma de quadrados de somas de dois termos
  31. Produto de quadrados de fatores especiais
  32. Soma de quadrados de express. homogêneas de grau 1
  33. Identidade de interpolação

  1. Quadrado da soma de dois termos

    (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab

    Exemplo: (3+4)2=32+42+2×3×4

  2. Quadrado da diferença de dois termos

    (a-b)2 = a2 + b2 – 2ab

    Exemplo: (7-5)2=72+52-2×7×5

  3. Diferença de potências (ordem 2)

    a2 – b2 = (a+b)(a-b)

    Exemplo: 72-52=(7+5)(7-5)

  4. Cubo da soma de dois termos

    (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

    Exemplo: (4+5)3=43+3×42×5+3×4×52+53

  5. Cubo da soma de dois termos na forma simplificada

    (a+b)3 = a(a-3b)2 + b(b-3a)2

    Exemplo: (4+5)3=4(4-3×5)2+5(5-3×4)2

  6. Cubo da diferença de dois termos

    (a-b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

    Exemplo: (4-5)3=43-3×42×5+3×4×52-53

  7. Identidade de Fibonacci

    (a2+b2)(p2+q2) = (ap-bq)2+(aq+bp)2

    Exemplo: (12+32)(52+72)=(1×5-3×7)2+(1×7+3×5)2

  8. Identidade de Platão

    (a2+b2)2 = (a2-b2)2+(2ab)2

    Exemplo: (32+82)2=(32-82)2+(2×3×8)2

  9. Identidade de Lagrange (4 termos)

    (a2+b2)(p2+q2)-(ap+bq)2 = (aq-bp)2

    Exemplo: (92+72)(52+32)-(9×5+7×3)2=(9×3-7×5)2

  10. Identidade de Lagrange (6 termos)

    (a2+b2+c2)(p2+q2+r2) – (ap+bq+cr)2
    = (aq-bp)2 + (ar-cp)2 + (br-cq)2

    Exemplo: (12+32+52)(72+82+92)-(1×7+3×8+5×9)2
    =(1×8-3×7)2+(1×9-5×7)2+(3×9-5×8)2

  11. Identidade de Cauchy (n=3)

    (a+b)3 – a3 – b3 = 3ab(a+b)

    Exemplo: (2+7)3-23-73=3×2×7×(2+7)

  12. Identidade de Cauchy (n=5)

    (a+b)5 – a5 – b5 = 5ab(a+b)(a2+ab+b2)

    Exemplo: (1+2)5-15-25=5×1×2×(1+2)(12+1×2+22)

  13. Quadrado da soma de n termos

    Produtos notáveissendo que i

    Exemplo: (a+b)2=a2+b2+2(ab)

    Exemplo: (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)

    Exemplo: (a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)

  14. Cubo da soma de n termos

    Produtos notáveissendo que i

  15. Diferença entre os quadrados da soma e diferença

    (a+b)2 – (a-b)2 = 4ab

    Exemplo: (7+9)2-(7-9)2=4×7×9

  16. Soma dos quadrados da soma e da diferença

    (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2)

    Exemplo: (3+5)2+(3-5)2=2(32+52)

  17. Soma de dois cubos

    a3+b3 = (a+b)3 – 3ab(a+b)

    Exemplo: 23+43=(2+4)3-3×2×4×(2+4)

  18. Soma de dois cubos na forma fatorada

    a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)

    Exemplo: 53+73=(5+7) (52-5×7+72)

  19. Transformação do produto na diferença de quadrados

    ab = [½(a+b)]2 – [½(a-b)]2

    Exemplo: 3×5=[½(3+5)]2-[½(3-5)]2

  20. Diferença de potências (ordem 4)

    a4-b4 = (a-b)(a+b)(a2+b2)

    Exemplo: 54-14=(5-1)(5+1)(52+12)

  21. Diferença de potências (ordem 6)

    a6-b6 = (a-b)(a+b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)

    Exemplo: 56-16=(5-1)(5+1) (52+5×1+12)(52-5×1+12)

  22. Diferença de potências (ordem 8)

    a8 – b8 = (a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)

    Exemplo: 58-18=(5-1)(5+1)(52+12)(54+14)

  23. Produto de três diferenças

    (a-b)(a-c)(b-c) = ab(a-c) + bc(b-c) + ca(c-a)

    Exemplo: (1-3)(1-5)(3-5)=1×3×(1-5)+3×5×(3-5)+5×1×(5-1)

  24. Produto de três somas

    (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ac) – abc

    Exemplo: (1+3)(3+5)(5+1)=(1+3+5)(1×3+3×5+1×5)-1×3×5

  25. Soma de cubos das diferenças de três termos

    (a-b)3 + (b-c)3 + (c-a)3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)

    Exemplo: (1-3)3+(3-5)3+(5-1)3=3(1-3)(3-5)(5-1)

  26. Cubo da soma de três termos

    (a+b+c)3 = (a+b-c)3 + (b+c-a)3 + (a+c-b)3 + 24abc

    Exemplo: (7+8+9)3=(7+8-9)3+(8+9-7)3+(7+9-8)3+24×7×8×9

  27. Soma nula de produtos de cubos por diferenças

    a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)+(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c)=0

    Exemplo: 23(4-6)+43(6-2)+63(2-4)+(2+4+6)(2-4)(4-6)(2-6)=0

  28. Soma de produtos de cubos com diferenças

    a3(b-c)3 + b3(c-a)3 + c3(a-b)3 = 3abc(a-b)(b-c)(a-c)

    Exemplo: 73(8-9)3+83(9-7)3+93(7-8)3=3.7.8.9(7-8)(8-9)(7-9)

  29. Produto de dois fatores homogêneos de grau dois

    (a2+ab+b2) (a2-ab+b2)=a4+a2 b2+b4

    Exemplo: (52+5×7+72)(52-5×7+72)=54+52 72+74

  30. Soma de quadrados de somas de dois termos

    (a+b)2+(b+c)2+(a+c)2=(a+b+c)2+a2+b2+c2

    Exemplo: (1+3)2+(3+5)2+(1+5)2=(1+3+5)2+12+32+52

  31. Produto de quadrados de fatores especiais

    (a-b)2 (a+b)2 (a2+b2)2=(a4-b4)2

    Exemplo: (7-3)2 (7+3)2 (72+32)2=(74-34)2

  32. Soma de quadrados de express. homogêneas de grau 1

    (a+b+c)2+(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=3(a2+b2+c2)

    Exemplo: (7+8+9)2+(7-8)2+(8-9)2+(9-7)2=3(72+82+92)

  33. Identidade de interpolação

    Produtos notáveisExemplo: Com a=1, b=2 e c=3 na identidade, obtemos:

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