Progressão geométrica (PG): o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

Uma progressão geométrica, ou PG, é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o termo anterior sempre pelo mesmo número. Esse número constante é a razão da PG, indicada pela letra \( q \). Por exemplo, a sequência \( 3, 6, 12, 24, 48, \dots \) é uma PG de razão \( q = 2 \), porque cada termo é o dobro do anterior. É um tema 🔥 Quente no ENEM e nos vestibulares, porque modela crescimentos e decréscimos multiplicativos: bactérias que se duplicam, juros compostos, desvalorização de um bem, decaimento radioativo e epidemias em fase inicial.

A diferença para a progressão aritmética é o ponto de partida de tudo: na PA, soma-se a razão; na PG, multiplica-se pela razão. Por isso, a PG cresce muito mais rápido que a PA quando a razão é maior que 1, e cai cada vez mais devagar quando a razão está entre 0 e 1. Esta matéria, pensada para a sala de estudo, traz as fórmulas do termo geral, da soma finita e da soma infinita, com exemplos numéricos resolvidos passo a passo e aritmética conferida, para ajudar o estudante a entender, e não apenas a decorar.

O que é uma progressão geométrica?

Em uma PG, a divisão entre um termo e o anterior é sempre a mesma. Em símbolos, para todo \( n \geq 2 \):

\[ \frac{a_n}{a_{n-1}} = q \]

Para verificar se uma sequência é PG, divida cada termo pelo anterior e veja se o resultado é constante. Na sequência \( 5, 15, 45, 135, \dots \), temos \( 15 \div 5 = 3 \), \( 45 \div 15 = 3 \) e \( 135 \div 45 = 3 \): é uma PG de razão \( q = 3 \). Já a sequência \( 2, 4, 8, 14, \dots \) não é PG, porque \( 4 \div 2 = 2 \), \( 8 \div 4 = 2 \), mas \( 14 \div 8 = 1,75 \): a divisão muda no último passo.

O comportamento da PG depende da razão e do sinal do primeiro termo. Se \( q > 1 \) e \( a_1 > 0 \), a PG é crescente e cresce cada vez mais rápido: é o caso da duplicação de bactérias. Se \( 0 < q < 1 \) e \( a_1 > 0 \), a PG é decrescente e se aproxima de zero, mas nunca chega a zero: é o caso de uma substância que perde metade da massa a cada período. Se \( q = 1 \), a PG é constante. Se \( q < 0 \), os termos alternam de sinal, positivo, negativo, positivo, negativo, como em \( 2, -6, 18, -54, \dots \), com \( q = -3 \): é uma PG alternante. E se \( q = 0 \), a PG vira \( a_1, 0, 0, 0, \dots \), um caso sem interesse prático, mas que pode aparecer em questões teóricas.

Termo geral: potências em vez de passos

O termo geral da PG usa potências, porque cada passo multiplica pela razão. A fórmula é:

\[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \]

A lógica é a mesma da PA, mas com multiplicação: para chegar ao termo de posição \( n \), você parte do primeiro termo e multiplica \( n – 1 \) vezes pela razão. Para chegar ao segundo termo, multiplica 1 vez; para chegar ao terceiro, multiplica 2 vezes; para chegar ao décimo, multiplica 9 vezes. O erro mais comum, de novo, é usar \( n \) em vez de \( n – 1 \) no expoente.

Exemplo resolvido passo a passo. Considere a PG \( 3, 6, 12, 24, \dots \). Passo 1: \( a_1 = 3 \). Passo 2: \( q = 6 \div 3 = 2 \). Passo 3: termo geral: \( a_n = 3 \cdot 2^{n-1} \). Passo 4: para o oitavo termo, substitua \( n = 8 \): \( a_8 = 3 \cdot 2^{7} \). Passo 5: calcule a potência: \( 2^{7} = 128 \). Passo 6: multiplique: \( 3 \cdot 128 = 384 \). Resposta: 384. Conferência: \( a_1 = 3 \cdot 2^{0} = 3 \), correto; \( a_2 = 3 \cdot 2^{1} = 6 \), correto; \( a_3 = 3 \cdot 2^{2} = 12 \), correto.

Segundo exemplo, com razão fracionária. Uma substância tem 640 gramas e perde metade da massa a cada hora. Qual é a massa após 4 horas? Aqui, a massa inicial é \( a_1 = 640 \), e a razão é \( q = \frac{1}{2} \). Queremos o termo após 4 passos, ou seja, a posição 5, pois a posição 1 é o instante inicial: \( a_5 = 640 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4} \). Calculando: \( \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16} \), e \( 640 \div 16 = 40 \). Resposta: 40 gramas. Passo a passo, sem fórmula, o resultado confere: 640, 320, 160, 80, 40. Cuidado com a contagem: após 4 horas, são 4 multiplicações, e não 5.

Terceiro exemplo, invertendo a pergunta: em que posição está o termo 1.944 na PG \( 8, 24, 72, \dots \)? Passo 1: \( a_1 = 8 \), \( q = 24 \div 8 = 3 \). Passo 2: \( 1944 = 8 \cdot 3^{n-1} \). Passo 3: divida por 8: \( 243 = 3^{n-1} \). Passo 4: reconheça a potência: \( 3^{5} = 243 \). Passo 5: iguale os expoentes: \( n – 1 = 5 \), logo \( n = 6 \). Conferência: \( a_6 = 8 \cdot 3^{5} = 8 \cdot 243 = 1944 \), correto. O termo 1.944 é o sexto termo.

Como na PA, existe a forma que relaciona dois termos quaisquer: \( a_m = a_k \cdot q^{m-k} \). Se você conhece o terceiro termo e quer o sétimo, multiplica 4 vezes pela razão. Essa forma é especialmente útil quando a questão dá um termo do meio e pede outro, sem dar o primeiro.

Soma dos termos: finita e infinita

A soma dos \( n \) primeiros termos de uma PG, para \( q \neq 1 \), é dada por:

\[ S_n = \frac{a_1 \cdot (q^n – 1)}{q – 1} \]

Se \( q = 1 \), a PG é constante e a soma é simplesmente \( S_n = n \cdot a_1 \). A fórmula pode parecer intimidadora, mas o uso é mecânico: identifique \( a_1 \), \( q \) e \( n \), calcule \( q^n \), subtraia 1, multiplique por \( a_1 \) e divida por \( q – 1 \). O cuidado principal é com o sinal do denominador quando a razão é menor que 1: o numerador também fica negativo, e a divisão de dois negativos dá positivo, como deve ser para uma soma de termos positivos.

Exemplo resolvido passo a passo. Calcule a soma dos 6 primeiros termos da PG \( 2, 6, 18, \dots \). Passo 1: \( a_1 = 2 \), \( q = 3 \), \( n = 6 \). Passo 2: \( q^n = 3^{6} = 729 \). Passo 3: \( q^n – 1 = 728 \). Passo 4: \( a_1 \cdot 728 = 2 \cdot 728 = 1456 \). Passo 5: divida por \( q – 1 = 2 \): \( 1456 \div 2 = 728 \). Resposta: 728. Conferência por soma direta: \( 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728 \), correto, pois \( 2 + 6 = 8 \), \( 8 + 18 = 26 \), \( 26 + 54 = 80 \), \( 80 + 162 = 242 \) e \( 242 + 486 = 728 \).

Segundo exemplo, com razão fracionária: some os 4 primeiros termos da PG \( 32, 16, 8, \dots \). Passo 1: \( a_1 = 32 \), \( q = \frac{1}{2} \), \( n = 4 \). Passo 2: \( q^4 = \frac{1}{16} \). Passo 3: \( q^4 – 1 = \frac{1}{16} – 1 = -\frac{15}{16} \). Passo 4: \( a_1 \cdot \left(-\frac{15}{16}\right) = 32 \cdot \left(-\frac{15}{16}\right) = -30 \). Passo 5: divida por \( q – 1 = -\frac{1}{2} \): \( -30 \div \left(-\frac{1}{2}\right) = 60 \). Resposta: 60. Conferência: \( 32 + 16 + 8 + 4 = 60 \), correto.

Quando a razão está entre \( -1 \) e \( 1 \), ou seja, \( |q| < 1 \), e o número de termos cresce sem parar, a soma converge para um valor finito, a soma infinita:

\[ S_{\infty} = \frac{a_1}{1 – q} \]

A ideia é que, com razão fracionária, os termos ficam cada vez menores e tendem a zero, e a soma para de crescer de forma significativa. Exemplo: a soma infinita da PG \( 32, 16, 8, 4, 2, 1, \dots \), com \( q = \frac{1}{2} \), é \( S_{\infty} = \frac{32}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{32}{\frac{1}{2}} = 64 \). Note que a soma dos 4 primeiros termos já era 60, bem perto de 64: os termos restantes somam apenas 4, e os seguintes somam cada vez menos. É por isso que a soma infinita existe: a cauda da sequência contribui cada vez menos.

Um problema clássico de soma infinita é o da bola que quica: uma bola cai de 10 metros e, a cada quique, sobe metade da altura anterior. A distância total percorrida envolve duas PGs, a das subidas e a das descidas, e a soma infinita aparece naturalmente. Em Matemática, esses problemas de soma infinita costumam vir disfarçados de situações cotidianas, e o primeiro passo é sempre identificar a razão e verificar se ela satisfaz \( |q| < 1 \).

Tabela 1: os elementos da PG

Tabela 2: PA versus PG

PG no gráfico e na vida real

No gráfico, com a posição no eixo horizontal e o termo no eixo vertical, os pontos de uma PG com \( q > 1 \) formam uma curva crescente cada vez mais inclinada, a marca do crescimento exponencial. Já os pontos de uma PG com \( 0 < q < 1 \) formam uma curva decrescente que se aproxima do eixo horizontal, sem nunca tocá-lo. Como na PA, o gráfico é formado por pontos isolados, pois a posição só assume valores inteiros.

Na vida real, a PG aparece nos juros compostos: um capital aplicado a uma taxa mensal fixa cresce em PG, pois cada mês o montante é o anterior multiplicado por \( 1 + \) taxa. Se um capital de 1.000 reais rende 10% ao mês, os montantes são 1.000, 1.100, 1.210, 1.331, e assim por diante, uma PG de razão 1,1. Conferindo: \( 1000 \cdot 1,1 = 1100 \); \( 1100 \cdot 1,1 = 1210 \); \( 1210 \cdot 1,1 = 1331 \). É por isso que juros compostos crescem mais rápido que juros simples, que crescem em PA: no juro simples, soma-se sempre o mesmo valor; no composto, multiplica-se sempre pelo mesmo fator.

Mapa mental

• Progressão geométrica
  • Definição: cada termo é o anterior multiplicado pela razão \( q \)
  • \( q > 1 \): crescimento acelerado; \( 0 < q < 1 \): decréscimo rumo a zero; \( q < 0 \): sinais alternados
  • Termo médio: o quadrado do termo do meio é o produto dos vizinhos
• Fórmulas
  • Termo geral: \( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \)
  • Soma finita: \( S_n = \frac{a_1 \cdot (q^n – 1)}{q – 1} \), para \( q \neq 1 \)
  • Soma infinita: \( S_{\infty} = \frac{a_1}{1 – q} \), se \( |q| < 1 \)
• Estratégia de prova
  • Identifique \( a_1 \), divida para achar \( q \), use \( n – 1 \) no expoente
  • Confira o sinal: razão negativa alterna os sinais dos termos
  • Soma infinita só existe quando \( |q| < 1 \)

SAQ — Perguntas e respostas curtas

1. O que é uma progressão geométrica?
É uma sequência em que cada termo é o anterior multiplicado por um valor constante, a razão.

2. Como se calcula a razão de uma PG?
Dividindo um termo pelo anterior: \( q = \frac{a_2}{a_1} \).

3. Qual é a fórmula do termo geral da PG?
\( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \).

4. Qual é a fórmula da soma finita de uma PG?
\( S_n = \frac{a_1 \cdot (q^n – 1)}{q – 1} \), para \( q \neq 1 \).

5. Quando existe soma infinita de uma PG?
Quando \( |q| < 1 \), e ela vale \( S_{\infty} = \frac{a_1}{1 - q} \).

6. O que acontece quando a razão é negativa?
Os termos alternam de sinal: positivo, negativo, positivo, negativo.

7. Qual é a diferença entre PA e PG?
Na PA soma-se a razão; na PG multiplica-se pela razão.

8. Por que juros compostos crescem em PG?
Porque a cada período o montante é o anterior multiplicado sempre pelo mesmo fator, \( 1 + \) taxa.

Questões comentadas

As questões abaixo são inéditas, no estilo ENEM, criadas para esta matéria.

Questão 1. A sequência \( 4, 12, 36, 108, \dots \) é uma PG de razão:
a) 3.
b) 4.
c) 8.
d) 12.
e) 24.
Gabarito: A. A divisão entre termos consecutivos é \( 12 \div 4 = 3 \), e o mesmo vale para os demais pares.

Questão 2. O quinto termo da PG \( 2, 6, 18, \dots \) é:
a) 54.
b) 108.
c) 162.
d) 486.
e) 972.
Gabarito: C. Temos \( a_1 = 2 \) e \( q = 3 \). Então \( a_5 = 2 \cdot 3^{4} = 2 \cdot 81 = 162 \).

Questão 3. Uma cultura começa com 50 bactérias e duplica a cada hora. Após 5 horas, o número de bactérias é:
a) 800.
b) 1.600.
c) 3.200.
d) 6.400.
e) 12.800.
Gabarito: B. A posição inicial é 1, e após 5 horas são 5 multiplicações: \( 50 \cdot 2^{5} = 50 \cdot 32 = 1600 \).

Questão 4. A soma dos 4 primeiros termos da PG \( 5, 10, 20, \dots \) é:
a) 55.
b) 65.
c) 75.
d) 85.
e) 95.
Gabarito: C. Por soma direta: \( 5 + 10 + 20 + 40 = 75 \). Pela fórmula: \( \frac{5 \cdot (2^{4} – 1)}{2 – 1} = 5 \cdot 15 = 75 \).

Questão 5. A soma infinita da PG \( 12, 6, 3, \dots \) é:
a) 18.
b) 21.
c) 24.
d) 36.
e) 48.
Gabarito: C. Temos \( a_1 = 12 \) e \( q = \frac{1}{2} \). Então \( S_{\infty} = \frac{12}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{12}{\frac{1}{2}} = 24 \).

Questão 6. A sequência \( 3, -9, 27, -81, \dots \) é uma PG:
a) crescente, de razão 3.
b) decrescente, de razão 3.
c) alternante, de razão menos 3.
d) constante, de razão 1.
e) que não é progressão geométrica.
Gabarito: C. A divisão entre termos consecutivos é sempre \( -3 \), então os sinais alternam.

Dica do professor

Antes de resolver, escreva \( a_1 = \), \( q = \) e \( n = \), e pergunte: a questão quer um termo, uma soma finita ou uma soma infinita? Essa pergunta já escolhe a fórmula certa. Para conferir potências, escreva os primeiros termos à mão: se os três primeiros batem, o expoente está certo. E nunca confunda soma com multiplicação: na PG, o crescimento é multiplicativo, e os números crescem depressa. Pratique também com questões do ENEM e dos vestibulares. Mais apoio como esse está na sala de estudo.

Atenção / cuidado

• Não use \( n \) no lugar de \( n – 1 \) no expoente do termo geral.
• Não ache a razão por subtração: na PG, a razão vem da divisão.
• Não aplique a soma infinita quando \( |q| \geq 1 \): nesse caso, a soma não converge.
• Não esqueça que razão negativa alterna os sinais dos termos.
• Não confunda o termo após \( k \) passos com o termo de posição \( k \): a posição inicial conta como termo 1.

Conexão com outras áreas

Funções: o termo geral da PG é uma função exponencial, tema da matéria de função exponencial. Economia: juros compostos, financiamentos e desvalorização. Biologia: crescimento de populações, duplicação de bactérias e epidemias. Física: decaimento radioativo e atenuação de radiação, com meia-vida em PG.

Incidência: 🔥 Quente — cai no ENEM e nos vestibulares. Matéria: Matemática 1 | Disciplina: Sequências | Tema: Progressão geométrica (PG).