Razão e proporção: o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

Razão é uma comparação por divisão entre duas grandezas, e proporção é uma igualdade entre duas razões. Se uma receita leva 3 xícaras de farinha para 5 xícaras de leite, a razão é \( \frac{3}{5} \); se outra receita mantém o mesmo sabor com 6 xícaras de farinha para 10 de leite, temos a proporção \( \frac{3}{5} = \frac{6}{10} \). É um tema 🔥 Quente no ENEM e nos vestibulares, porque aparece em escala de mapa, velocidade, densidade, porcentagem, regra de três e divisão proporcional. Esta matéria, pensada para a sala de estudo, traz definição, leitura, propriedade fundamental, termo desconhecido, grandezas direta e inversamente proporcionais, exemplos numéricos conferidos e questões inéditas no estilo ENEM.

A ideia central cabe em uma frase: razão compara, proporção iguala. A razão entre \( a \) e \( b \), com \( b \neq 0 \), é o quociente \( \frac{a}{b} \), e lê-se “a está para b”. Já a proporção \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) afirma que duas comparações têm o mesmo valor. Dominar essa diferença, e a propriedade que permite resolver proporções, destrava uma grande parte das questões de Matemática do ENEM, porque quase toda regra de três é, no fundo, uma proporção escondida.

O que é razão

Dados dois números \( a \) e \( b \), com \( b \neq 0 \), chama-se razão de \( a \) para \( b \) o quociente \( \frac{a}{b} \). Os termos têm nome: \( a \) é o antecedente e \( b \) é o consequente. A razão \( \frac{3}{5} \) lê-se “três está para cinco” e significa que, para cada 3 unidades do primeiro valor, há 5 unidades do segundo. Ela pode aparecer como fração, como número decimal ou como porcentagem: \( \frac{3}{5} = 0,6 = 60\% \). Por exemplo, em uma turma com 12 meninos e 20 meninas, a razão entre meninos e meninas é \( \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \), depois de simplificar dividindo numerador e denominador por 4. Atenção à ordem: a razão entre meninas e meninos seria \( \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \), um valor diferente. Trocar a ordem troca a razão.

Quando as duas grandezas têm a mesma unidade, a razão é um número puro, sem unidade. Quando têm unidades diferentes, a razão ganha um significado próprio, e é aí que nascem algumas das grandezas mais cobradas em prova, como velocidade e densidade, que veremos adiante. Um cuidado importante: razão não é soma nem diferença. Dizer que a razão é \( \frac{3}{5} \) não significa que o total seja 8 por acaso — significa que o todo está dividido em 3 + 5 = 8 partes proporcionais, das quais 3 correspondem ao primeiro valor e 5 ao segundo. Essa leitura por partes é a chave da divisão proporcional.

O que é proporção e a propriedade fundamental

Proporção é a igualdade entre duas razões: \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), com \( b \neq 0 \) e \( d \neq 0 \). Nessa igualdade, \( a \) e \( d \) são os extremos e \( b \) e \( c \) são os meios. A propriedade fundamental das proporções diz que, em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: \( a \times d = b \times c \). É ela que permite verificar se duas razões formam mesmo uma proporção e, principalmente, encontrar um termo desconhecido.

Exemplo conferido: \( \frac{2}{4} = \frac{3}{6} \) é uma proporção verdadeira, pois o produto dos extremos é \( 2 \times 6 = 12 \) e o produto dos meios é \( 4 \times 3 = 12 \). Como \( 12 = 12 \), a igualdade se confirma. Observe também que as duas frações simplificam para o mesmo valor: \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) e \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \). Sempre que duas razões têm o mesmo valor simplificado, elas formam uma proporção, e sempre que formam uma proporção, o produto cruzado dá igual. As duas verificações concordam, e o estudante pode usar a que for mais rápida na hora da prova.

Como achar o termo desconhecido

Para encontrar o termo desconhecido de uma proporção, aplique a propriedade fundamental e isole a incógnita. Exemplo: em \( \frac{x}{10} = \frac{3}{5} \), o produto dos extremos é \( 5x \) e o produto dos meios é \( 30 \); logo, \( 5x = 30 \) e \( x = 6 \). Conferência: \( \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \), pois ambas simplificam para \( 0,6 \). Outro exemplo: em \( \frac{4}{x} = \frac{8}{12} \), temos \( 8x = 4 \times 12 = 48 \), logo \( x = 6 \). Conferência: \( \frac{4}{6} = \frac{8}{12} \), pois ambas valem \( \frac{2}{3} \). Um terceiro caso, com o desconhecido em um extremo: \( \frac{9}{15} = \frac{x}{5} \) dá \( 15x = 45 \), logo \( x = 3 \), e de fato \( \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \).

O passo a passo vale para qualquer posição da incógnita: primeiro monte a proporção com as grandezas correspondentes alinhadas (o que corresponde a quê, na mesma ordem, dos dois lados); depois multiplique em cruz; em seguida, resolva a equação do primeiro grau; por fim, confira substituindo o valor encontrado na proporção original. O erro mais comum aqui não é a conta, e sim a montagem: alinhar grandezas trocadas — por exemplo, colocar quilos de um lado e reais do outro sem manter a correspondência — produz um resultado errado mesmo com a multiplicação certa.

Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao multiplicar uma por um número, a outra fica multiplicada pelo mesmo número. Dobrou uma, dobrou a outra; triplicou uma, triplicou a outra. Nesse caso, a razão entre os valores correspondentes é constante. Exemplo conferido: se 1 kg de arroz custa R$ 8, então 2 kg custam R$ 16 e 3 kg custam R$ 24, porque \( \frac{8}{1} = \frac{16}{2} = \frac{24}{3} = 8 \), o preço por quilo, que não muda. O gráfico dessa relação é uma reta que passa pela origem: quando a quantidade é zero, o preço é zero, e cada quilo a mais soma sempre R$ 8.

Outro exemplo: um carro a 60 km/h percorre 60 km em 1 hora, 120 km em 2 horas e 180 km em 3 horas, mantendo a velocidade constante. A razão distância sobre tempo é sempre 60, e dobrar o tempo dobra a distância. Situações de receita, preço por quantidade, distância com velocidade constante e produção com ritmo constante são diretamente proporcionais. Na prática, resolve-se com regra de três simples direta: monte a proporção com as grandezas correspondentes e multiplique em cruz.

Grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao multiplicar uma por um número, a outra fica dividida pelo mesmo número. Dobrou uma, caiu à metade a outra; triplicou uma, a outra ficou um terço. Nesse caso, o produto dos valores correspondentes é constante. Exemplo conferido: para percorrer 120 km, a 60 km/h o tempo é de 2 horas, e a 120 km/h o tempo é de 1 hora. O produto é sempre o mesmo: \( 60 \times 2 = 120 \) e \( 120 \times 1 = 120 \), que é a distância total. O gráfico, nesse caso, é uma curva decrescente, e não uma reta.

Outro exemplo clássico: se 4 trabalhadores levam 6 dias para concluir um serviço, 8 trabalhadores, no mesmo ritmo, levam 3 dias, pois \( 4 \times 6 = 24 \) e \( 8 \times 3 = 24 \). O produto constante, 24, é a quantidade total de trabalho em trabalhadores-dia. Na regra de três inversa, o truque é inverter uma das frações antes de multiplicar em cruz: em vez de \( \frac{4}{8} = \frac{6}{x} \), escreve-se \( \frac{4}{8} = \frac{x}{6} \), o que dá \( 8x = 24 \) e \( x = 3 \). Esquecer essa inversão é o erro mais comum do tema, e transforma uma questão fácil em resposta errada.

Razão entre grandezas diferentes: velocidade, densidade e escala

Quando a razão compara grandezas de espécies diferentes, ela cria uma nova grandeza, com unidade própria. A velocidade média é a razão entre distância e tempo: \( v = \frac{\Delta s}{\Delta t} \). Um carro que percorre 240 km em 3 horas tem velocidade média de \( \frac{240}{3} = 80 \) km/h. A densidade é a razão entre massa e volume: \( d = \frac{m}{V} \). Um objeto de 200 g que ocupa 50 cm³ tem densidade de \( \frac{200}{50} = 4 \) g/cm³. Nos dois casos, a unidade do resultado conta a história da divisão: quilômetros por hora, gramas por centímetro cúbico.

A escala de um mapa é outra razão famosa: escala 1:50.000 significa que 1 unidade no mapa corresponde a 50.000 unidades iguais na realidade. Assim, 2 cm no mapa correspondem a \( 2 \times 50.000 = 100.000 \) cm na realidade, e \( 100.000 \) cm equivalem a 1 km, pois 1 km tem 100.000 cm. Logo, 2 cm no mapa = 1 km real, nessa escala. Da mesma forma, 5 cm no mapa seriam \( 5 \times 50.000 = 250.000 \) cm, ou seja, 2,5 km. A regra é sempre a mesma: multiplique a medida do mapa pelo denominador da escala e depois converta a unidade, sem pular a conversão, que é onde a maioria erra.

Tabela 1: direta ou inversa? Como reconhecer e resolver

Tabela 2: razões entre grandezas diferentes que caem em prova

Mapa mental

• Razão
  • \( \frac{a}{b} \), com \( b \neq 0 \): antecedente sobre consequente; lê-se “a está para b”
  • Ordem importa: \( \frac{3}{5} \) é diferente de \( \frac{5}{3} \); pode virar decimal ou porcentagem
• Proporção
  • Igualdade de duas razões: \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \); extremos \( a \) e \( d \), meios \( b \) e \( c \)
  • Propriedade fundamental: \( a \times d = b \times c \); exemplo: \( \frac{2}{4} = \frac{3}{6} \), pois \( 2 \times 6 = 4 \times 3 = 12 \)
  • Termo desconhecido: multiplique em cruz, resolva a equação e confira substituindo
• Grandezas proporcionais
  • Direta: dobra uma, dobra a outra; razão constante; gráfico é reta pela origem
  • Inversa: dobra uma, cai à metade a outra; produto constante; inverta uma fração na regra de três
  • Razões diferentes: velocidade \( \frac{\Delta s}{\Delta t} \), densidade \( \frac{m}{V} \), escala 1:50.000

SAQ — Perguntas e respostas curtas

1. O que é razão?
É a comparação por divisão entre dois valores: \( \frac{a}{b} \), com \( b \neq 0 \), lida como “a está para b”.

2. O que é proporção?
É a igualdade entre duas razões, como \( \frac{2}{4} = \frac{3}{6} \).

3. Qual é a propriedade fundamental das proporções?
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos: em \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), vale \( a \times d = b \times c \).

4. Como se verifica se \( \frac{2}{4} = \frac{3}{6} \) é verdadeira?
Multiplicando em cruz: \( 2 \times 6 = 12 \) e \( 4 \times 3 = 12 \); como os produtos são iguais, a proporção é verdadeira.

5. Como se acha o termo desconhecido de \( \frac{x}{10} = \frac{3}{5} \)?
Multiplicando em cruz: \( 5x = 30 \), logo \( x = 6 \).

6. Quando duas grandezas são diretamente proporcionais?
Quando dobrar uma dobra a outra, mantendo a razão constante, como preço e quantidade: 1 kg = R$ 8, 2 kg = R$ 16.

7. Quando duas grandezas são inversamente proporcionais?
Quando dobrar uma reduz a outra à metade, mantendo o produto constante, como velocidade e tempo para uma mesma distância.

8. Na escala 1:50.000, quanto valem 2 cm no mapa?
Valem 100.000 cm na realidade, ou seja, 1 km, pois \( 2 \times 50.000 = 100.000 \) cm.

Questões comentadas

Questão 1. Uma receita de bolo usa 3 xícaras de farinha para 5 xícaras de leite. Mantendo a mesma proporção, quantas xícaras de leite são necessárias para 9 xícaras de farinha?
A) 12
B) 13
C) 15
D) 18
E) 20
Gabarito: C. Monte \( \frac{3}{5} = \frac{9}{x} \); multiplicando em cruz, \( 3x = 45 \), logo \( x = 15 \). Conferência: \( \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \), pois ambas simplificam para \( 0,6 \). A alternativa A erra ao somar 9 com 3 em vez de multiplicar em cruz.

Questão 2. Em um mapa de escala 1:50.000, a distância entre duas cidades mede 4 cm. Qual é a distância real entre elas?
A) 1 km
B) 2 km
C) 4 km
D) 20 km
E) 200 km
Gabarito: B. Cada centímetro no mapa vale 50.000 cm na realidade; 4 cm valem \( 4 \times 50.000 = 200.000 \) cm, e 200.000 cm equivalem a 2 km. Quem marca 4 km esquece que a escala multiplica, e quem marca 200 km esquece de converter centímetros em quilômetros.

Questão 3. Um carro percorre 300 km em 4 horas, com velocidade constante. Mantendo essa velocidade, quantos quilômetros ele percorre em 6 horas?
A) 400 km
B) 450 km
C) 500 km
D) 600 km
E) 750 km
Gabarito: B. Distância e tempo são diretamente proporcionais: \( \frac{300}{4} = \frac{x}{6} \), logo \( 4x = 1.800 \) e \( x = 450 \) km. Conferência: a velocidade é \( \frac{300}{4} = 75 \) km/h, e \( 75 \times 6 = 450 \).

Questão 4. Seis operários, no mesmo ritmo, concluem um muro em 8 dias. Quantos dias 12 operários levariam para concluir o mesmo muro?
A) 2 dias
B) 4 dias
C) 6 dias
D) 12 dias
E) 16 dias
Gabarito: B. Operários e dias são inversamente proporcionais: dobrar os operários reduz o tempo à metade. O produto é constante: \( 6 \times 8 = 48 \); logo, \( 12x = 48 \) e \( x = 4 \) dias. Quem monta regra de três direta chega a 16 dias, o erro clássico de não inverter a fração.

Questão 5. Uma mistura tem álcool e água na razão de 2 para 7. Se a mistura tem 45 litros no total, quantos litros são de álcool?
A) 5 litros
B) 9 litros
C) 10 litros
D) 14 litros
E) 35 litros
Gabarito: C. O todo tem \( 2 + 7 = 9 \) partes; cada parte vale \( \frac{45}{9} = 5 \) litros; o álcool corresponde a 2 partes, ou seja, \( 2 \times 5 = 10 \) litros. A água, para conferir, é \( 7 \times 5 = 35 \) litros, e \( 10 + 35 = 45 \).

Questão 6. Um pacote de 500 g de café custa R$ 20. Mantendo o preço por grama, quanto custam 750 g do mesmo café?
A) R$ 25
B) R$ 28
C) R$ 30
D) R$ 35
E) R$ 40
Gabarito: C. Preço e massa são diretamente proporcionais: \( \frac{20}{500} = \frac{x}{750} \), logo \( 500x = 15.000 \) e \( x = 30 \) reais. Conferência: o preço por grama é \( \frac{20}{500} = 0,04 \) real, e \( 0,04 \times 750 = 30 \).

Dica do professor

Antes de qualquer conta, pergunte-se: “se uma grandeza cresce, a outra cresce junto ou diminui?” Se cresce junto, é direta e a regra de três vai reta; se diminui, é inversa e uma fração precisa ser invertida. Essa pergunta de cinco segundos evita o erro mais caro do tema. E sempre confira o resultado com bom senso: se dobraram os operários e o tempo aumentou na sua conta, alguma coisa está invertida.

Atenção / cuidado

Não some numeradores com numeradores e denominadores com denominadores: \( \frac{2}{4} + \frac{3}{6} \) não é \( \frac{5}{10} \), e proporção não se resolve somando termos. Também não confunda razão com diferença: dizer que a razão é \( \frac{3}{5} \) não significa que um valor é 2 unidades maior que o outro. Na proporção inversa, lembre-se de inverter uma das frações antes de multiplicar em cruz; sem a inversão, a conta sai ao contrário. E, em escala de mapa, nunca pule a conversão de unidades: centímetros viram quilômetros só depois de dividir por 100.000.

Conexão com outras áreas

Em Física, velocidade e densidade são razões, e a segunda lei de Ohm e as leis dos gases usam proporcionalidade direta e inversa o tempo todo. Em Química, a estequiometria é proporção aplicada: as quantidades de reagentes e produtos seguem a razão da equação balanceada. Em Geografia, a escala de mapa é o uso mais direto do tema, e em Biologia a proporção aparece em genética, nas razões fenotípicas. Em Matemática, razão e proporção são a base da porcentagem, da regra de três e da semelhança de triângulos. Dominar o tema aqui é ganhar velocidade em todas essas frentes.

Incidência

🔥 Quente — razão e proporção aparecem todos os anos no ENEM e nos vestibulares, quase sempre disfarçadas de regra de três, escala, velocidade ou porcentagem. É um dos temas com melhor custo-benefício de estudo da Matemática básica: poucas regras, muitos pontos.