Relação e Função

Prof.Adriano

Relação

Observe, por exemplo, o diagrama das RELAÇÕES ao lado:

A RELAÇÃO acima NÃO É UMA FUNÇÃO, pois existe o elemento 1 no conjunto A, que não está associado a nenhum elemento do conjunto B. 

Vamos ver outro caso:

A RELAÇÃO acima também NÃO É UMA FUNÇÃO, pois existe o elemento 4 no conjunto A, que está associado a mais de um elemento do conjunto B. 

O que é uma função?

Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do 1° conjunto um único elemento do 2°, ocorre uma função.

Por exemplo: 
Na tabela de preços de uma loja, a cada produto corresponde um determinado preço.

Uma calça custa R$ 50,00
Duas calças custam R$ 100,00
Três calças custam R$ 150,00 
Quatro calças custam R$ 200,00 e assim por diante.

Agora preste atenção no próximo exemplo

A RELAÇÃO acima É UMA FUNÇÃO, pois TODO elemento do conjunto A está associado a somente UM elemento do conjunto B.

E se for em um gráfico?
Como saber se é função ou não?
Basta traçar uma reta paralela ao eixo y:
Se cortar o gráfico em 2 ou mais pontos, NÃO é uma função.
Se cortar em apenas 1 ponto, então temos uma função.

Exemplo 1
O gráfico abaixo é função ou não?

 
Traçando uma reta r (em vermelho) paralela ao eixo y. 

E percebemos que a reta r, corta o gráfico lilás em 2 pontos como mostra as flechas verdes, portanto, o gráfico em questão NÃO É FUNÇÃO.

Exemplo 2
O gráfico abaixo é função ou não?

Traçando uma reta r (em vermelho) paralela ao eixo y. 

E percebemos que a reta r, corta o gráfico lilás em 1 ponto como mostra a flecha verde, portanto, o gráfico em questão É FUNÇÃO.

Domínio Contradomínio e Imagem de uma função

Domínio (D): representado por todos os elementos do conjunto A. 
Contradomínio (CD): representado por todos os elementos do conjunto B. 
Imagem (I): representada pelos elementos do contradomínio (conjunto B) que possuem correspondência com o domínio (conjunto A).
O domínio de uma função de A em B é sempre o próprio conjunto de partida, ou seja, D = A. 
Observe o domínio e a imagem na função abaixo.

D = {1, 2, 3, 4}
I = {5, 6, 7, 8} 
CD = {5, 6, 7, 8, 9, 10}

Segundo o conceito de função, existem duas condições para que uma relação “f” seja uma função:

1º) O domínio deve sempre coincidir com o conjunto de partida, ou seja, todo elemento de “A” é ponto de partida de flecha.

2°) De cada elemento de A deve partir uma única flecha.

Observações:
Como “x” e “y” têm seus valores variando nos conjuntos “A” e “B”, recebem o nome de variáveis.

A variável “x” é chamada variável independente e a variável “y” é chamada de variável dependente, pois para obter o valor de y dependemos de um valor de x.
Uma função f fica definida quando são dados seu domínio (conjunto A), seu contradomínio (conjunto B) e a lei de associação y = f(x).

Obtenção do domínio de uma função
O domínio é o subconjunto de IR no qual todas as operações indicadas em y = f(x) são possíveis. 

Vamos ver alguns exemplos:
1) f(x) = √(2x-4)

Gabarito:
Como √(2x-4) , só é possível em IR se:
2x – 4 ≥ 0, ou seja, 
x ≥ 2, então:
D = {x ? IR / x ≥ 2}

2) f(x) = 5/(x+1)

Gabarito:
Como x + 1 é denominador, ele não poderá ser nulo (pois não existe divisão por zero).
Portanto:
x + 1 ≠ 0
x ≠ – 1

3) f(x) = √(x-2)/√(3-x) 

Gabarito:
Vamos analisar primeiro o numerador:
Como x – 2 está dentro da raiz, então devemos ter:
x – 2 ≥ 0, ou seja,
x ≥ 2 (condição 1)
Agora o denominador: 
Como 3 – x está dentro da raiz, devemos ter 3 – x ≥ 0. 
Mas além disso ele também está no denominador, portanto devemos ter 3 – x ≠ 0. 
Juntando as duas condições devemos ter: 
3 – x > 0, ou seja, 
– x > 0 – 3
– x > – 3 (multiplique por (– 1)
x < 3 (condição 2). 
Resolvendo o sistema formado pelas condições 1 e 2 temos:
Condição 1: x ≥ 2
Condição 2: x < 3
C1 ∩ C2 → 2 ≤ x < 3

Devemos considerar o intervalo que satisfaz as duas condições ao mesmo tempo. 
Portanto, D = {x ? IR | 2 ≤ x < 3}.

Construção do gráfico cartesiano de uma função
Para construir o gráfico de uma função “f”, basta atribuir valores do domínio à variável “x” e, usando a sentença matemática (Lei) que define a função, calcular os correspondentes valores da variável “y”.

Vamos construir o gráfico da função definida por y = x/2 
Escolhemos alguns valores para o domínio, como por exemplo D = {2, 4, 6, 8}. 
Assim temos:

y = x/2

x = 2 → y = 2/2 → y = 1

x = 4 → y = 4/2 → y = 2

x = 6 → y = 6/2 → y = 3

x = 8 → y = 8/2 → y = 4
 
Então, montamos a seguinte tabela:
 

Identificamos os pontos encontrados no plano cartesiano:

O gráfico da função será uma reta que passará pelos quatro pontos encontrados. 
Basta traçar a reta, e o gráfico estará construído.

Obs: para desenhar o gráfico de uma reta são necessários apenas dois pontos. 
No exemplo acima escolhemos 4 pontos, mas bastaria escolher dois elementos do domínio, encontrar suas imagens, e logo após traçar a reta que passa por esses 2 pontos.

Quadrantes

Raízes de uma função

Raiz ou zero da função é o instante em que a reta corta o eixo “x”.

Por exemplo:
Dada a função f(x) = – 6x + 12, determine a raiz dessa função.
f(x) = – 6x + 12 → Substitui o “f(x)” por “zero”, temos:
0 = – 6x + 12
– 6x + 12 = 0
– 6x = 0 – 12
– 6x = – 12
x = (-12)/(-6) 

x = 2

Tipos de Funções

Funções, Sobrejetora, Injetora e Bijetora.

Função Sobrejetora

Dizemos que uma função é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao contradomínio, isto é, se Im = B. 

Em outras palavras, não pode sobrar elementos no conjunto B sem receber flechas. 

Exemplo:
Seja f(x) = x² → (função quadrática)
É Sobrejetora, pois todos os elementos do contradomínio de f(x) são imagem de pelo menos um elemento do domínio de f(x).

Veja:
Se “x” for 0, temos:
f(x) = x² 
f(0) = 0² 
f(0) = 0 → temos o ponto: P(0,0) → onde x = 0 e y = 0

Se “x” for 1, temos:
f(x) = x² 
f(1) = 1² 
f(1) = 1 → temos o ponto: P(1,1) → onde x = 1 e y = 1

Se “x” for (- 1), temos:
f(x) = x² 
f(- 1) = (- 1)² 
f(- 1) = 1 → temos o ponto: P(- 1, 1) → onde x = (- 1) e y = 1

Função Injetora

A função é injetora se elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas, ou seja, dois elementos não podem ter a mesma imagem. 

Portanto, não pode haver nenhum elemento no conjunto B que receba duas flechas. 

Exemplo:
Seja f(x) = x + 2 → (função afim)
Essa função é Injetora, pois todo elemento do conjunto dos números reais é imagem de um elemento do contradomínio também dos números reais. 
Veja:
Se “x” for 3, temos:
f(x) = x + 2 
f(3) = 3 + 2 
f(3) = 5 → temos o ponto: P(3,5) → onde x = 3 e y = 5

Se “x” for 0, temos:
f(x) = x + 2 
f(0) = 0 + 2 
f(0) = 2 → temos o ponto: P(0,2) → onde x = 0 e y = 2

Função Bijetora

Uma função é bijetora quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. 

O domínio dessa função é o conjunto {- 1, 0, 1, 2}. 
O contradomínio reúne os elementos: {4, 0, – 4, – 8}. 
Já o conjunto imagem da função é definido por: Im(f) = {4, 0, – 4, – 8}.

Exemplo:
Seja f(x) = x → (função identidade) 
Essa função é bijetora.
Veja:
Se “x” for 0, temos:
f(x) = x 
f(0) = 0 → temos o ponto: P(0,0) → onde x = 0 e y = 0

Se “x” for 1, temos:
f(x) = x 
f(1) = 1 → temos o ponto: P(1,1) → onde x = 1 e y = 1

Função Par, Função Ímpar e Função Sem Paridade.

Função Par

A Função Par é simétrica em relação ao eixo vertical, ou seja, à ordenada y. 
Exemplo de gráfico da Função Par: f(x) = x2

 Como verificar se uma função é Par via gráfico?
No gráfico de f(x) = x²

Numeramos 1 no III quadrante e 2 no I quadrante, conforme figura.

Agora vamos dobrar o gráfico de forma que o lado esquerdo case com o lado direito, conforme figura.

Ficará assim:

Se o gráfico casar perfeitamente (conforme figura), temos uma função Par.

Função Ímpar

A função Ímpar é simétrica em relação ao eixo horizontal, ou seja, à abscissa x.
Exemplo de gráfico da função ímpar: f(x) = 3x

Como verificar se uma função é Impar via gráfico?
No gráfico de f(x) = 3x

Numeramos 1 no II quadrante e 2 no IV quadrante, conforme figura.

Agora vamos dobrar o gráfico de forma que a parte de cima case com a parte de baixo, conforme figura.

Ficará assim:

Se o gráfico refletir perfeitamente (conforme figura), temos uma função Impar.

Geralmente funções Pares e funções Impares passam pela origem, entretanto conforme o gráfico há funções muito difíceis de imaginá-los como sendo Pares ou Ímpares.

Nestes casos se você demonstrar algebricamente, nunca irá errar, veremos os próximos exemplos:

Para saber se uma função é PAR, basta substituir o “x” por “- x”, 
Se “f(x) = f(- x)”, então a função é PAR.
  f(x) = x² – 1
f(- x) = (- x)² – 1
f(- x) = x² – 1 ↔ substituindo x² – 1 por f(x), temos:
f(- x) = f(x) ↔ f(x) = f(- x)
Temos que “f(x) = f(- x)”, portanto a função é PAR

Para saber se uma função é ÍMPAR, basta substituir o “x” por “- x”, 
Se “f(- x) = – f(x)”, então a função é ÍMPAR.
  f(x) = 2x
f(- x) = 2(- x)
f(- x) = – 2x ↔ substituindo 2x por f(x), temos: 
f(- x) = – f(x)
Temos que “f(- x) = – f(x)”, portanto a função é ÍMPAR

Para saber se uma função é SEM PARIEDADE, basta substituir o “x” por “- x”. 
  f(x) = x² – 5x + 6
f(- x) = (- x)² – 5(- x) + 6
f(- x) = x² + 5x + 6
Como “f(x) ≠ f(- x)”, então “f” NÃO é PAR.
Temos também que “f(- x) ≠ – f(x)” logo “f” NÃO é ÍMPAR.
Por NÃO SER PAR nem ÍMPAR, concluímos que “f” é função SEM PARIEDADE.

Função Composta

A função composta, também chamada de função de função, é um tipo de função matemática que combina duas ou mais variáveis.

Sendo assim, ela envolve o conceito de proporcionalidade entre duas grandezas, e que ocorre por meio de uma só função.

Dada uma função f (f: A → B) e uma função g (g: B → C), a função composta de g com f é representada por gof. 
Já a função composta de f com g é representada por fog.
fog (x) = f(g(x))
gof (x) = g(f(x))

Note que nas funções compostas as operações entre as funções não são comutativas.

Ou seja, fog ≠ gof.
Assim, para resolver uma função composta aplica-se uma função no domínio de outra função. 
E, substitui-se a variável x por uma função.
Exemplo
Determine o gof(x) das funções f(x) = 2x + 2 e g(x) = 5x.
gof(x) = 
= g[f(x)] 
= g(2x+2) 
= 5(2x+2) 
= 10x + 10

Determine o fog(x) das funções f(x) = 2x + 2 e g(x) = 5x.
fog(x) = 
= f[g(x)] 
= f(5x) 
= 2(5x) + 2 
= 10x + 2

Vamos analisar um exemplo para entender o que é uma função composta. 
Consideremos os conjuntos:
A = {- 2, – 1, 0, 1, 2}
B = {-2, 1, 4, 7, 10}
C = {3, 0, 15, 48, 99}
E as funções:
f:A → B definida por f(x) = 3x + 4
g:B → C definida por g(y) = y2 – 1

Como nos mostra o diagrama acima, para todo x ? A temos um único y ? B, tal que y = 3x + 4, e para todo y ? B existe um único z ? C tal que z = y2 – 1. 

Função Inversa

Consideremos os conjuntos

A = {0, 2, 4, 6, 8} e 
B = {1, 3, 5, 7, 9} e a função f:A → B definida por y = x + 1. 
A função f está representada no diagrama abaixo:

A função “f” é Bijetora. 
A cada elemento “x” de “A” está associado um único elemento “y” de “B”, de modo que y = x + 1 
Porém, como “f” é Bijetora, a cada elemento “y” de “B” está associado um único elemento “x” de “A”, de modo que x = y – 1; portanto temos uma outra função g:B → A, de modo que: 
y = x + 1 → Na função inversa, temos que isolar o “x”, logo:
y – x = 1
– x = – y + 1 (multiplicamos ou dividimos por [- 1])
x = y – 1 → ou g(y) = y – 1 ou f-1(y) = y – 1

Essa função está representada no diagrama abaixo:

Observação: 
Para que uma função “f” admita a inversa “f-1” é necessário que ela seja bijetora. 
Se “f” não for bijetora, ela não possuirá inversa.

Função Constante

Na Função Constante, todo valor do domínio “x” tem a mesma imagem “y”.
Fórmula geral da função constante:
f(x) = c
x = Domínio
f(x) = Imagem
c = constante, que pode ser qualquer número do conjunto dos reais.
Exemplo de gráfico da função constante: f(x) = 2

Função Afim ou polinomial do primeiro grau

Para saber se uma função é polinomial do primeiro grau, devemos observar o maior grau da variável x (termo desconhecido), que sempre deve ser igual a 1. 
Nessa função, o gráfico é uma reta. 
Além disso, ela possui: domínio x, imagem f(x) e coeficientes a e b.
Fórmula geral da função afim ou polinomial do primeiro grau
f(x) = ax + b
x = domínio
f(x) = imagem
a = coeficiente angular
b = coeficiente linear
Exemplo de gráfico da função polinomial do primeiro grau: f(x) = 4x + 1

Função Linear (Identidade)

A função linear tem sua origem na função do primeiro grau (f(x) = ax + b). 
Trata-se de um caso particular, pois “b” sempre será igual a zero.
Fórmula geral da função linear
f(x) = ax
x = domínio
f(x) = imagem
a = coeficiente angular
Exemplo de gráfico da função linear: f(x) = – x/3  

Função Crescente

A função polinomial do primeiro grau será Crescente quando o coeficiente a for diferente de zero e maior que um (a > 1).
Fórmula geral da função crescente
f(x) = + ax + b
x = domínio
f(x) = imagem
a = coeficiente angular sempre positivo
b = coeficiente
Exemplo de gráfico da função crescente: f(x) = 5x

Função Decrescente

Na função Decrescente, o coeficiente a da função do primeiro grau (f(x) = ax + b) é sempre negativo.
Fórmula geral da função decrescente
f(x) = – ax + b
x= domínio/ incógnita
f(x) = imagem
– a = coeficiente angular sempre negativo
b = coeficiente
Exemplo de gráfico da função decrescente: f(x) = – 5x
 

Função Quadrática ou polinomial do segundo grau

Identificamos que uma função é do segundo grau quando o maior expoente que acompanha a variável “x” (termo desconhecido) é 2. O gráfico da função polinomial do segundo grau sempre será uma parábola. 
A sua concavidade muda de acordo com o valor do coeficiente “a”. 
Sendo assim, se “a” é positivo, a concavidade é para cima e, se for negativo, a concavidade é para baixo.
Fórmula geral da função quadrática ou polinomial do segundo grau
f(x) = ax² + bx + c
x = domínio
f(x) = imagem
a = coeficiente que determina a concavidade da parábola.
b = coeficiente.
c = coeficiente.
Exemplo de gráfico da função polinomial do segundo grau: f(x) = x²  – 6x + 5
 

f(x) = x² 
 

f(x) = – x² + 9

Função Modular

A Função Modular apresenta o módulo, que é considerado o valor absoluto de um número e é caracterizado por “| |”. 
Como o módulo sempre é positivo, esse valor pode ser obtido tanto negativo quanto positivo. 
O módulo presente na lei da função faz com que a parte do gráfico que se localiza abaixo do eixo x “reflita” no momento em que toca o eixo x. 
Mas por quê? 
Simples
A parte do gráfico abaixo do eixo x representa os valores negativos de y e, como o módulo de um número é sempre um valor positivo, o gráfico de f(x) = |– x| fica:

A parte do gráfico que está azul é parte que sofreu ação do módulo.

Exemplo 2. Construa o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x|
Solução: pela definição de módulo, temos que:
f(x) = x²  – 3x, se x≥ 0
e
f(x) = – (x²  – 3x), se x<0
Daí, segue que:
x²  – 3x = 0
x(x – 3) = 0
x’ = 0/((x-3)) 
x’ = 0
ou 
x” – 3 = 0,
x” = 3 
Logo:

Temos também que:
– (x²  – 3x) = 0 → (-1)
x² – 3x = 0
x = 0 ou x = 3
Daí, segue que:
 

Unindo as partes dos dois gráficos que se encontram acima do eixo x teremos o gráfico da função f(x) = |x²  – 3x|

Função exponencial

Uma função será considerada Exponencial quando a variável “x” estiver no expoente em relação à base de um termo numérico ou algébrico. 
Caso esse termo seja maior que “1”, o gráfico da função exponencial é crescente. 
Mas se o termo for um número entre “0” e “1”, o gráfico da função exponencial é decrescente.
Fórmula geral da função exponencial
f(x) = a^x
a > 1 ou 0 < a < 1
x = domínio
f(x) = imagem
a = Termo numérico ou algébrico
Exemplo de gráfico da função exponencial crescente: f(x) = (2)^x, para a = 2

Exemplo de gráfico da função exponencial decrescente: f(x) = (1/2)^x para a = ½

Função Logarítmica

Na Função Logarítmica, o domínio é o conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio é o conjunto dos elementos dependentes da função, sendo todos números reais.
Fórmula geral da função logarítmica
f(x) = log_a^x 
a = base do logaritmo
f(x) = Imagem/ logaritmando
x = Domínio/ logaritmo
Exemplo de gráfico da função logarítmica: f(x) = log10 ^{(5x – 6)}

Funções trigonométricas

As funções trigonométricas são consideradas funções angulares e são utilizadas para o estudo dos triângulos e em fenômenos periódicos. 
Podem ser caracterizadas como razão de coordenadas dos pontos de um círculo unitário. 
As funções consideradas elementares são:
– Seno: f(x) = sen x
– Cosseno: f(x) = cos x
– Tangente: f(x) = tg x
Exemplo de gráfico da função trigonométrica seno: f(x) = sen (x + 2)

Exemplo de gráfico da função trigonométrica cosseno: f(x) = cos (x + 2)

Exemplo de gráfico da função tangente: f(x) = tg (x + 2)

Função raiz

O que determina o domínio da função raiz é o termo n que faz parte do expoente. 
Se “n” for ímpar, o domínio (x) será o conjunto dos números reais; se n for par, o domínio (x) será somente os números reais positivos. 
Isso porque, quando o índice é par, o radicando (termo que fica dentro da raiz) não pode ser negativo.
Fórmula geral da função raiz
f(x) = x^(1/n)  
f(x) = Imagem
x = domínio/ base
1/n = expoente

Exemplo de gráfico da função raiz: f(x) = x^(1/n)