Sólidos inscritos: o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

Um sólido está inscrito em outro quando cabe exatamente dentro dele, tocando sua fronteira nos pontos certos: os vértices do sólido de dentro ficam sobre a superfície do sólido de fora, ou as faces do sólido de fora tangenciam o sólido de dentro. O sólido de fora, por sua vez, está circunscrito ao de dentro. É um tema ⚡ Pode cair no ENEM e nos vestibulares, porque quase nunca pede uma fórmula nova: pede que você enxergue a relação escondida entre as medidas — uma diagonal, um raio, uma altura — e use as fórmulas que já conhece. Esta matéria, pensada para a sala de estudo, organiza os casos que mais aparecem, com as relações exatas e exemplos conferidos passo a passo.

A ideia central é simples e vale para todos os casos: o elemento que liga os dois sólidos é sempre uma medida comum. No cubo e na esfera, essa medida é a diagonal do cubo, que é o diâmetro da esfera circunscrita. No cilindro inscrito na esfera, é o triângulo retângulo formado pela metade da altura do cilindro, pelo raio da base e pelo raio da esfera. Encontrou a medida comum, o resto é conta conhecida.

Antes de começar, vale lembrar as fórmulas que vamos usar o tempo todo: volume da esfera \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \), área da superfície esférica \( A = 4\pi R^2 \), volume do cilindro \( V = \pi r^2 h \), volume do cone \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \) e volume do cubo \( V = a^3 \), em que \( a \) é a aresta. Se alguma delas ainda não estiver firme, revise os artigos de Esferas, Cones e Troncos de cones e Poliedros antes de seguir.

O que significa inscrito e circunscrito

Na geometria plana você já viu essa ideia: um círculo inscrito em um quadrado toca os quatro lados pelo centro de cada lado; um quadrado inscrito em um círculo tem os quatro vértices sobre a circunferência. No espaço, a ideia é a mesma, só que com uma dimensão a mais — e é aí que mora a confusão mais comum.

Inscrito é o sólido de dentro. Circunscrito é o sólido de fora. Portanto, “esfera inscrita no cubo” e “cubo circunscrito à esfera” descrevem a mesma figura, vista de dois lados. Da mesma forma, “cubo inscrito na esfera” é o mesmo que “esfera circunscrita ao cubo”. Na hora da prova, leia com calma qual sólido está dentro e qual está fora: trocar os dois inverte todas as contas.

Há dois tipos de contato que aparecem nas questões. O primeiro é por vértices: o sólido de dentro tem seus vértices sobre a superfície do sólido de fora — é o caso do cubo inscrito na esfera e do cilindro inscrito na esfera, em que as circunferências das bases tocam a esfera. O segundo é por tangência: o sólido de dentro toca o de fora pelo meio das faces — é o caso da esfera inscrita no cubo, que tangencia cada face exatamente no seu centro. Nos dois casos, o contato é exato: não sobra folga nem falta espaço.

Esfera inscrita no cubo e esfera circunscrita ao cubo

Começamos pelo par mais cobrado. Imagine um cubo de aresta \( a \). A maior esfera que cabe dentro dele toca as seis faces, uma em cada centro. O diâmetro dessa esfera é exatamente a aresta do cubo, porque a esfera vai de uma face até a face oposta. Logo, o raio da esfera inscrita é:

\[ r = \frac{a}{2} \]

Agora imagine o cubo dentro de uma esfera, com os oito vértices sobre a superfície esférica. A diagonal do cubo liga dois vértices opostos passando pelo centro, e é exatamente o diâmetro da esfera circunscrita. A diagonal do cubo mede \( d = a\sqrt{3} \). Logo, o raio da esfera circunscrita é:

\[ R = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]

Repare na diferença: a esfera inscrita depende só da aresta, e a circunscrita depende da diagonal. Confundir as duas é o erro mais frequente deste tema. Um truque para não errar: a esfera inscrita é sempre menor que a circunscrita, e \( \frac{a}{2} \) é sempre menor que \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \), já que \( \sqrt{3} \) é maior que 1. Se o seu resultado der o contrário, você trocou as fórmulas.

Exemplo resolvido 1. Um cubo tem aresta 6 cm. Calcule o volume da esfera inscrita e o volume da esfera circunscrita a esse cubo.

Esfera inscrita: \( r = \frac{6}{2} = 3 \) cm. Volume: \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi \) cm³.

Esfera circunscrita: \( R = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \) cm. Volume: \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot (3\sqrt{3})^3 \). Como \( (3\sqrt{3})^3 = 27 \cdot 3\sqrt{3} = 81\sqrt{3} \), temos \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot 81\sqrt{3} = 108\sqrt{3}\pi \) cm³.

A esfera circunscrita tem volume \( 3\sqrt{3} \) vezes maior que a inscrita — um número que vale a pena guardar, porque aparece quando a questão pede a razão entre os dois volumes, sem pedir os valores separados.

Cubo inscrito na esfera

É o mesmo desenho do caso anterior, visto ao contrário, e é assim que a questão costuma apresentar: ela dá o raio da esfera e pede a aresta do cubo. Basta inverter a relação. Se a diagonal do cubo é o diâmetro da esfera, então \( a\sqrt{3} = 2R \), e:

\[ a = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2R\sqrt{3}}{3} \]

Exemplo resolvido 2. Um cubo está inscrito em uma esfera de raio 5 cm. Calcule a aresta e o volume do cubo.

Aresta: \( a = \frac{2 \cdot 5}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \) cm, aproximadamente 5,77 cm. Volume: \( V = a^3 = \left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{1000}{3\sqrt{3}} = \frac{1000\sqrt{3}}{9} \) cm³, aproximadamente 192,45 cm³.

Repare que o cubo inscrito ocupa menos da metade do volume da esfera: a esfera tem volume \( \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500\pi}{3} \) cm³, cerca de 523,60 cm³, e o cubo tem cerca de 192,45 cm³. Isso faz sentido: os “cantos” da esfera, longe do cubo, ficam vazios. Se a sua conta der um cubo maior que a esfera que o contém, algo saiu errado.

Cilindro inscrito na esfera

Agora o sólido de dentro é um cilindro, e o de fora é uma esfera. As duas bases do cilindro são círculos cujos pontos estão todos sobre a superfície esférica. O centro da esfera coincide com o centro do cilindro, no meio da sua altura. Corte a figura por um plano que passa pelo eixo do cilindro: aparece um retângulo inscrito em um círculo, e a diagonal desse retângulo é o diâmetro da esfera. Em forma de triângulo retângulo, com metade da altura do cilindro, raio da base e raio da esfera:

\[ \left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 = R^2 \]

Essa é a relação-mãe do cilindro inscrito. Dela sai tudo: dado \( R \) e \( h \), acha-se \( r \); dado \( R \) e \( r \), acha-se \( h \). O erro clássico aqui é usar a altura inteira no lugar da metade da altura. O triângulo retângulo vai do centro da esfera até a borda da base — por isso a altura entra dividida por 2.

Exemplo resolvido 3. Um cilindro está inscrito em uma esfera de raio 5 cm e tem altura 6 cm. Calcule o raio da base e o volume do cilindro.

Pela relação: \( \left(\frac{6}{2}\right)^2 + r^2 = 5^2 \), ou seja, \( 9 + r^2 = 25 \), logo \( r^2 = 16 \) e \( r = 4 \) cm. Volume: \( V = \pi \cdot 4^2 \cdot 6 = 96\pi \) cm³.

Para comparar: a esfera tem volume \( \frac{500\pi}{3} \) cm³. O cilindro ocupa \( \frac{96\pi}{500\pi/3} = \frac{288}{500} = 0,576 \), ou seja, 57,6% do volume da esfera. É um bom teste de sanidade: um cilindro inscrito bem “cheio” ocupa pouco mais da metade da esfera; se a conta der 90%, desconfie.

Esfera inscrita no cilindro e cilindro equilátero

O caso inverso também aparece: uma esfera dentro de um cilindro, tangenciando as duas bases e a lateral. Para isso caber exatamente, a altura do cilindro precisa ser igual ao diâmetro da esfera, e o raio da base do cilindro precisa ser igual ao raio da esfera. Um cilindro nessas condições — altura igual ao diâmetro da base, \( h = 2r \) — chama-se cilindro equilátero, porque sua seção meridiana (o corte pelo eixo) é um quadrado.

Exemplo resolvido 4. Uma esfera de raio 3 cm está inscrita em um cilindro equilátero. Calcule o volume da esfera e o volume do cilindro, e a razão entre eles.

Esfera: \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi \) cm³. Cilindro: raio da base 3 cm e altura \( h = 2 \cdot 3 = 6 \) cm, logo \( V = \pi \cdot 9 \cdot 6 = 54\pi \) cm³. A razão entre o volume da esfera e o do cilindro é \( \frac{36\pi}{54\pi} = \frac{2}{3} \). Esse resultado — a esfera ocupa dois terços do cilindro que a circunscreve — é um fato clássico, e vale para qualquer tamanho, porque a razão não depende do raio.

Cone inscrito no cilindro e cone inscrito na esfera

Um cone inscrito em um cilindro com a mesma base e a mesma altura tem volume igual a um terço do volume do cilindro, pela própria fórmula do cone: \( V_{cone} = \frac{1}{3}\pi r^2 h \) contra \( V_{cilindro} = \pi r^2 h \). É uma relação que a prova adora cobrar sem dar a fórmula, esperando que você lembre do fator \( \frac{1}{3} \).

Exemplo resolvido 5. Um cone de raio da base 3 cm e altura 4 cm está inscrito em um cilindro de mesma base e mesma altura. Calcule os dois volumes.

Cone: \( V = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi \) cm³. Cilindro: \( V = \pi \cdot 9 \cdot 4 = 36\pi \) cm³. O cone ocupa exatamente um terço do cilindro, e o espaço que sobra no cilindro é \( 24\pi \) cm³.

Já o cone inscrito em uma esfera segue a mesma lógica do cilindro inscrito: o vértice do cone e a circunferência da base estão sobre a esfera. Se a altura do cone é \( h \) e o raio da esfera é \( R \), o centro da esfera divide a altura em duas partes, e a relação sai de novo de um triângulo retângulo: o raio da base do cone, a distância do centro da esfera ao plano da base e o raio da esfera formam \( r^2 + (h – R)^2 = R^2 \) quando o centro está dentro do cone. Na prática, as questões costumam dar números que formam trios pitagóricos — 3, 4, 5 é o mais comum —, então vale testar esses valores antes de apelar para a álgebra pesada.

Como o tema cai no ENEM e nos vestibulares

As questões de sólidos inscritos quase sempre contam uma história: uma bola dentro de uma caixa, um reservatório esférico, um copo, um sólido de vidro. O enunciado raramente usa as palavras “inscrito” e “circunscrito” de forma solta; ele descreve o contato — “a esfera tangencia todas as faces”, “os vértices do cubo pertencem à esfera”, “o cilindro está contido na esfera” — e espera que você traduza a descrição para a relação geométrica. Treine essa tradução: cada frase do enunciado vira uma igualdade.

Outro padrão frequente é pedir razão, porcentagem ou comparação, e não o valor absoluto. Nesses casos, muitas vezes nem é preciso calcular os volumes completos: basta comparar os fatores. Se a questão pede a razão entre o volume da esfera inscrita e o da circunscrita ao mesmo cubo, a resposta sai da razão entre os raios ao cubo: \( \left(\frac{a/2}{a\sqrt{3}/2}\right)^3 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{1}{3\sqrt{3}} \). Saber cortar caminho assim economiza minutos preciosos na prova.

Por fim, atenção às unidades e ao \( \pi \): muitas questões aceitam a resposta em função de \( \pi \), e as alternativas trazem \( \pi \) explícito. Não aproxime \( \pi \) por 3,14 antes da hora — só no fim, se a questão pedir um valor aproximado. E nunca confunda área com volume: a esfera inscrita tem área \( 4\pi r^2 \) e volume \( \frac{4}{3}\pi r^3 \); trocar um pelo outro é um erro bobo que custa a questão inteira.

Tabelas-resumo

Mapa mental

• Sólidos inscritos: o de dentro toca exatamente a fronteira do de fora; o de fora está circunscrito.
• Contato por vértices: cubo na esfera, cilindro na esfera — vértices e bordas sobre a superfície.
• Contato por tangência: esfera no cubo, esfera no cilindro — toca no centro das faces.
• Cubo ↔ esfera: inscrita \( r = \frac{a}{2} \); circunscrita \( R = \frac{a\sqrt{3}}{2} \); cubo na esfera \( a = \frac{2R\sqrt{3}}{3} \).
• Cilindro na esfera: \( \left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 = R^2 \) — atenção: é metade da altura.
• Cilindro equilátero: \( h = 2r \); esfera inscrita ocupa \( \frac{2}{3} \) do cilindro.
• Cone no cilindro: mesma base e altura → volume do cone é \( \frac{1}{3} \) do cilindro.
• Estratégia de prova: traduza a descrição do contato em igualdade; procure trios pitagóricos; compare razões antes de calcular volumes.

SAQ — Perguntas e respostas curtas

1. O que significa dizer que um sólido está inscrito em outro? Significa que ele está dentro do outro tocando exatamente sua fronteira, sem folga: por vértices sobre a superfície ou por tangência nas faces.

2. Qual é a diferença entre inscrito e circunscrito? Inscrito é o sólido de dentro; circunscrito é o de fora. “Esfera inscrita no cubo” e “cubo circunscrito à esfera” são a mesma figura.

3. Qual é o raio da esfera inscrita em um cubo de aresta a? \( r = \frac{a}{2} \), porque o diâmetro da esfera é a aresta do cubo.

4. Qual é o raio da esfera circunscrita a um cubo de aresta a? \( R = \frac{a\sqrt{3}}{2} \), porque a diagonal do cubo é o diâmetro da esfera.

5. Qual é a relação do cilindro inscrito em uma esfera? \( \left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 = R^2 \), em que h é a altura do cilindro, r o raio da base e R o raio da esfera.

6. O que é um cilindro equilátero? É o cilindro cuja altura é igual ao diâmetro da base, \( h = 2r \); sua seção meridiana é um quadrado.

7. Que fração do cilindro equilátero ocupa a esfera nele inscrita? Dois terços: \( V_{esfera} = \frac{2}{3} V_{cilindro} \).

8. Qual é a relação entre o volume de um cone e o de um cilindro de mesma base e mesma altura? O volume do cone é um terço do volume do cilindro.

Questões comentadas

Questão 1 (estilo ENEM). Uma bola de raio 3 cm é colocada em uma caixa cúbica, tocando todas as faces internas da caixa. Qual é a aresta da caixa?

a) 3 cm b) 6 cm c) 9 cm d) \( 3\sqrt{3} \) cm e) \( 6\sqrt{3} \) cm

Resposta: b) 6 cm. A bola é a esfera inscrita no cubo: seu diâmetro é a aresta da caixa. Diâmetro = 2 × 3 = 6 cm. A alternativa d) confunde com a esfera circunscrita, que usaria a diagonal.

Questão 2 (estilo ENEM). Um cubo está inscrito em uma esfera de raio 6 cm. Qual é a aresta do cubo?

a) \( 4\sqrt{3} \) cm b) \( 6\sqrt{3} \) cm c) \( 2\sqrt{3} \) cm d) 12 cm e) 6 cm

Resposta: a) \( 4\sqrt{3} \) cm. A diagonal do cubo é o diâmetro da esfera: \( a\sqrt{3} = 12 \), logo \( a = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \) cm. Quem confunde a diagonal do cubo com a diagonal da face usa \( a\sqrt{2} = 12 \) e erra; quem toma o raio como diâmetro chega a 6 cm.

Questão 3 (estilo ENEM). Um cilindro de altura 8 cm está inscrito em uma esfera de raio 5 cm. Qual é o raio da base do cilindro?

a) 2 cm b) 3 cm c) 4 cm d) 6 cm e) 8 cm

Resposta: b) 3 cm. Pela relação do cilindro inscrito: \( \left(\frac{8}{2}\right)^2 + r^2 = 5^2 \), ou seja, \( 16 + r^2 = 25 \), logo \( r^2 = 9 \) e \( r = 3 \) cm. Quem usa a altura inteira (8) no lugar da metade chega a um valor impossível, pois \( 8^2 \) já passa de \( 5^2 \).

Questão 4 (estilo ENEM). Uma esfera está inscrita em um cilindro equilátero de raio da base 4 cm. Qual é o volume da esfera?

a) \( 64\pi \) cm³ b) \( \frac{256\pi}{3} \) cm³ c) \( 128\pi \) cm³ d) \( 256\pi \) cm³ e) \( \frac{128\pi}{3} \) cm³

Resposta: b) \( \frac{256\pi}{3} \) cm³. A esfera tem o mesmo raio do cilindro: 4 cm. Volume: \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 = \frac{256\pi}{3} \) cm³. A altura do cilindro (8 cm) é só uma confirmação de que ele é equilátero; não entra na conta do volume da esfera.

Questão 5 (estilo ENEM). Um cone e um cilindro têm a mesma base e a mesma altura. Se o volume do cilindro é 90 cm³, qual é o volume do cone?

a) 15 cm³ b) 30 cm³ c) 45 cm³ d) 60 cm³ e) 270 cm³

Resposta: b) 30 cm³. O volume do cone é um terço do volume do cilindro de mesma base e mesma altura: \( 90 \div 3 = 30 \) cm³.

Dica do professor

Desenhe sempre o corte da figura. Quase todo problema de sólido inscrito vira um problema plano quando você corta pelo eixo ou pela diagonal: um retângulo inscrito em um círculo, um triângulo retângulo com o raio da esfera como hipotenusa. Se você não consegue enxergar a relação no sólido, corte-o no papel — a relação aparece no corte. E guarde os trios pitagóricos 3-4-5 e 5-12-13: as questões adoram números que fecham exato.

Atenção / cuidado

Não troque inscrito por circunscrito: o erro inverte a fórmula e a questão inteira. Não use a altura inteira do cilindro na relação com a esfera — é a metade da altura que forma o triângulo retângulo. Não confunda a diagonal da face do cubo (\( a\sqrt{2} \)) com a diagonal do cubo (\( a\sqrt{3} \)): na esfera circunscrita, quem vale é a diagonal do espaço, \( a\sqrt{3} \). E não aproxime \( \sqrt{3} \) nem \( \pi \) no meio da conta: carregue os símbolos até o fim e só aproxime se a questão pedir.

Conexão com outras áreas

Sólidos inscritos aparecem no design de embalagens (a maior esfera que cabe em uma caixa, o maior cilindro que cabe em uma esfera), na engenharia (rolamentos, reservatórios e tanques esféricos), na arquitetura (cúpulas e estruturas geodésicas) e na física (o volume ocupado por átomos em estruturas cristalinas, como o empacotamento cúbico). Na biologia, a relação entre volume e área de esferas ajuda a entender por que células grandes precisam de dobras e vilosidades: o volume cresce mais rápido que a superfície. É geometria espacial servindo de ferramenta para o mundo real — e é exatamente esse olhar que o ENEM costuma cobrar.