Frações e dízimas periódicas: o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

Uma fração é uma forma de representar uma parte de um todo ou uma divisão: em \( \frac{a}{b} \), o número de cima é o numerador e o de baixo é o denominador, que nunca pode ser zero. Toda fração pode virar um número decimal ao dividir o numerador pelo denominador — e, quando essa divisão nunca termina, surge a dízima periódica, um decimal infinito em que um ou mais algarismos se repetem para sempre, como \( 0,777\ldots \) ou \( 0,1666\ldots \). A fração que gera essa dízima é a fração geratriz. Nesta matéria você vai aprender a reconhecer frações próprias, impróprias e aparentes, a somar e comparar frações, a identificar dízimas simples e compostas e a encontrar a fração geratriz de cada uma, com os cálculos passo a passo. É base de Matemática Básica que cai no ENEM e nos vestibulares, inclusive dentro de porcentagem, razão e problemas do dia a dia.

Incidência: ♨️ Morno. Não é o tema mais cobrado sozinho, mas aparece o tempo todo como ferramenta: em questões de porcentagem, proporção, probabilidade e interpretação de gráficos, quem tropeça em fração perde a questão inteira.

O que é uma fração

Escrever \( \frac{3}{4} \) é o mesmo que escrever \( 3 \div 4 \). O denominador diz em quantas partes iguais o todo foi dividido; o numerador diz quantas dessas partes foram tomadas. Assim, \( \frac{3}{4} \) de uma pizza significa uma pizza dividida em 4 fatias iguais, das quais foram comidas 3.

Uma fração é própria quando o numerador é menor que o denominador, como \( \frac{2}{5} \): ela vale menos que 1 inteiro. É imprópria quando o numerador é maior que o denominador, como \( \frac{7}{3} \): ela vale mais que 1 inteiro. E é aparente quando o numerador é múltiplo do denominador, como \( \frac{6}{3} = 2 \): o resultado é um número inteiro. Toda fração imprópria pode ser escrita como número misto: \( \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \), porque \( 7 \div 3 = 2 \) com resto 1.

Frações equivalentes representam o mesmo valor com números diferentes: basta multiplicar ou dividir numerador e denominador pelo mesmo número. Por exemplo, \( \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{5}{10} \). Simplificar é dividir os dois termos até não dar mais para dividir pelos dois ao mesmo tempo: \( \frac{12}{18} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \). Uma fração já simplificada ao máximo, como \( \frac{2}{3} \), é chamada de irredutível. Para revisar as operações que sustentam tudo isso, veja as quatro operações e expressões numéricas.

De fração para decimal — e quando a divisão não termina

Para transformar uma fração em decimal, divida o numerador pelo denominador. Algumas divisões terminam: \( \frac{1}{2} = 0,5 \), \( \frac{3}{4} = 0,75 \) e \( \frac{7}{20} = 0,35 \). São os decimais exatos. Outras nunca terminam: \( \frac{1}{3} = 0,333\ldots \), \( \frac{7}{9} = 0,777\ldots \) e \( \frac{5}{11} = 0,4545\ldots \). São as dízimas periódicas.

Na dízima, o bloco de algarismos que se repete é o período. Em \( 0,777\ldots \), o período é 7. Em \( 0,4545\ldots \), o período é 45. Quando há algarismos entre a vírgula e o período, eles formam o antiperíodo: em \( 0,1666\ldots \), o antiperíodo é 1 e o período é 6. Dízima sem antiperíodo é simples; com antiperíodo, é composta.

Um truque rápido para prever o resultado: simplifique a fração e olhe o denominador. Se ele tiver apenas os fatores 2 e 5, o decimal é exato. Se tiver qualquer outro fator primo, como 3 ou 11, o resultado é dízima periódica. Por isso \( \frac{1}{6} \) dá dízima (denominador \( 6 = 2 \times 3 \)) e \( \frac{3}{4} \) dá decimal exato (denominador \( 4 = 2 \times 2 \)).

Fração geratriz: o caminho de volta

A fração geratriz é a fração que, ao ser dividida, produz exatamente aquela dízima. Há dois jeitos de encontrá-la: pelo método prático, com a regra dos noves e zeros, ou por equação, que funciona sempre e é ótimo para conferir.

Dízima simples: o período vira numerador, e o denominador ganha um 9 por algarismo do período

Para \( 0,777\ldots \): o período é 7, com um algarismo, então o denominador é 9. Logo, \( 0,777\ldots = \frac{7}{9} \). Conferindo: \( 7 \div 9 = 0,777\ldots \). Para \( 0,4545\ldots \): o período é 45, com dois algarismos, então o denominador é 99. Logo, \( 0,4545\ldots = \frac{45}{99} = \frac{5}{11} \), simplificando por 9. Conferindo: \( 5 \div 11 = 0,4545\ldots \).

Quando há parte inteira, some-a depois: \( 2,333\ldots = 2 + 0,333\ldots = 2 + \frac{3}{9} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \). Conferindo: \( 7 \div 3 = 2,333\ldots \).

Dízima composta: subtrair o antiperíodo e dividir por noves seguidos de zeros

Para \( 0,1666\ldots \): o antiperíodo é 1 e o período é 6. Junte antiperíodo e período (16) e subtraia o antiperíodo (1): \( 16 – 1 = 15 \). No denominador, ponha um 9 para cada algarismo do período e um 0 para cada algarismo do antiperíodo: um 9 e um 0, ou seja, 90. Logo, \( 0,1666\ldots = \frac{15}{90} = \frac{1}{6} \), simplificando por 15. Conferindo: \( 1 \div 6 = 0,1666\ldots \).

Conferindo por equação

Chame a dízima de \( x \). Para \( 0,777\ldots \): \( x = 0,777\ldots \) e \( 10x = 7,777\ldots \). Subtraindo, \( 10x – x = 7,777\ldots – 0,777\ldots \), ou seja, \( 9x = 7 \) e \( x = \frac{7}{9} \). Para \( 0,1666\ldots \): \( x = 0,1666\ldots \), \( 10x = 1,666\ldots \) e \( 100x = 16,666\ldots \). Subtraindo \( 100x – 10x \), temos \( 90x = 15 \), logo \( x = \frac{15}{90} = \frac{1}{6} \). Os dois métodos chegam ao mesmo resultado — use um para fazer e o outro para conferir.

Curiosidade que cai em questão de pegadinha: \( 0,999\ldots = \frac{9}{9} = 1 \). A dízima \( 0,999\ldots \) não é “quase 1”: ela é exatamente 1, pela mesma regra das dízimas simples.

Operações com frações: o passo a passo sem erro

Soma e subtração: com o mesmo denominador, some ou subtraia só os numeradores: \( \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8} \). Com denominadores diferentes, iguale-os pelo mínimo múltiplo comum (MMC). Exemplo conferido: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \). O MMC de 2 e 3 é 6, então \( \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \) e \( \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \), e a soma é \( \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \). Conferindo em decimal: \( 0,5 + 0,333\ldots = 0,8333\ldots \), e \( 5 \div 6 = 0,8333\ldots \). Bate.

Multiplicação: multiplique numerador com numerador e denominador com denominador, simplificando antes quando der: \( \frac{2}{3} \times \frac{9}{4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \). Divisão: conserve a primeira fração e multiplique pelo inverso da segunda: \( \frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \).

Comparação: para decidir qual fração é maior, iguale os denominadores ou transforme em decimal. Entre \( \frac{2}{3} \) e \( \frac{3}{4} \): com denominador 12, \( \frac{2}{3} = \frac{8}{12} \) e \( \frac{3}{4} = \frac{9}{12} \), logo \( \frac{3}{4} \) é maior. Em decimal dá o mesmo: \( 0,666\ldots \) contra \( 0,75 \). Frações também vivem dentro dos conjuntos numéricos: todo número racional pode ser escrito como fração de inteiros, como explica a matéria sobre conjuntos numéricos e intervalos reais. E quando a fração vira comparação entre duas grandezas, ela vira razão — tema da matéria sobre razão e proporção.

Mapa mental

• Fração \( \frac{a}{b} \): numerador = partes tomadas; denominador = partes do todo; denominador nunca é zero.
• Tipos: própria (menor que 1) · imprópria (maior que 1) · aparente (resultado inteiro) · equivalentes (mesmo valor, números diferentes).
• Decimal exato: divisão termina; denominador simplificado só com fatores 2 e 5.
• Dízima simples: período logo após a vírgula; geratriz = período sobre 9, 99, 999…
• Dízima composta: antiperíodo antes do período; geratriz = (antiperíodo + período − antiperíodo) sobre noves seguidos de zeros.
• Geratrizes-chave: \( 0,777\ldots = \frac{7}{9} \) · \( 0,4545\ldots = \frac{5}{11} \) · \( 2,333\ldots = \frac{7}{3} \) · \( 0,1666\ldots = \frac{1}{6} \).
• Operações: soma/subtração pelo MMC · multiplicação direta · divisão pelo inverso.

SAQ — Perguntas e respostas rápidas

1. O que é uma fração? É a representação de uma parte de um todo ou de uma divisão: em \( \frac{a}{b} \), \( a \) é o numerador e \( b \) é o denominador.

2. O denominador pode ser zero? Não. Divisão por zero não existe, então \( \frac{5}{0} \) não é uma fração válida.

3. O que é dízima periódica? É um decimal infinito em que um bloco de algarismos, o período, se repete para sempre, como em \( 0,333\ldots \).

4. Qual é a diferença entre dízima simples e composta? Na simples, o período começa logo após a vírgula; na composta, há um antiperíodo antes do período, como o 1 em \( 0,1666\ldots \).

5. Qual é a fração geratriz de \( 0,777\ldots \)? \( \frac{7}{9} \), pois o período 7, de um algarismo, vai sobre um 9.

6. Qual é a fração geratriz de \( 0,1666\ldots \)? \( \frac{1}{6} \), pois \( \frac{16 – 1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6} \).

7. Qual é a fração geratriz de \( 2,333\ldots \)? \( \frac{7}{3} \), pois \( 2 + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \).

8. Como somar frações com denominadores diferentes? Igualando os denominadores pelo MMC e somando os numeradores: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \).

Questões comentadas

Questão 1. Uma lanchonete vendeu, em um dia, \( \frac{3}{8} \) de uma torta no almoço e \( \frac{1}{4} \) da mesma torta no jantar. Que fração da torta foi vendida no total?

A) \( \frac{4}{12} \)   B) \( \frac{5}{8} \)   C) \( \frac{3}{4} \)   D) \( \frac{1}{2} \)   E) \( \frac{7}{8} \)

Gabarito: B. O MMC de 8 e 4 é 8: \( \frac{1}{4} = \frac{2}{8} \). Então \( \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8} \). Quem soma numerador com numerador e denominador com denominador chega a \( \frac{4}{12} \), que é o erro clássico.

Questão 2. Um número decimal é escrito como \( 0,4545\ldots \). Sua fração geratriz, na forma irredutível, é:

A) \( \frac{45}{100} \)   B) \( \frac{9}{20} \)   C) \( \frac{5}{11} \)   D) \( \frac{4}{9} \)   E) \( \frac{45}{99} \) sem simplificar

Gabarito: C. O período é 45, com dois algarismos, então a geratriz é \( \frac{45}{99} \). Simplificando por 9, \( \frac{45}{99} = \frac{5}{11} \). Conferindo: \( 5 \div 11 = 0,4545\ldots \).

Questão 3. Em uma pesquisa, \( \frac{2}{5} \) dos entrevistados preferem estudar pela manhã e \( \frac{1}{3} \) preferem estudar à tarde. A fração dos entrevistados que prefere um desses dois turnos é:

A) \( \frac{3}{8} \)   B) \( \frac{11}{15} \)   C) \( \frac{1}{2} \)   D) \( \frac{7}{15} \)   E) \( \frac{3}{5} \)

Gabarito: B. O MMC de 5 e 3 é 15: \( \frac{2}{5} = \frac{6}{15} \) e \( \frac{1}{3} = \frac{5}{15} \). Somando, \( \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15} \).

Questão 4. A dízima \( 0,1666\ldots \) corresponde a que fração irredutível?

A) \( \frac{1}{6} \)   B) \( \frac{16}{90} \)   C) \( \frac{1}{9} \)   D) \( \frac{5}{30} \) sem simplificar   E) \( \frac{2}{12} \) sem simplificar

Gabarito: A. É dízima composta: antiperíodo 1, período 6. A geratriz é \( \frac{16 – 1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6} \). As alternativas D e E até valem o mesmo número, mas não estão na forma irredutível pedida.

Questão 5. Um reservatório tem capacidade de 900 litros e está com \( \frac{2}{3} \) cheio. Depois de retirarem 150 litros, que fração da capacidade resta no reservatório?

A) \( \frac{1}{2} \)   B) \( \frac{1}{3} \)   C) \( \frac{2}{3} \)   D) \( \frac{5}{6} \)   E) \( \frac{3}{4} \)

Gabarito: A. Inicialmente há \( \frac{2}{3} \times 900 = 600 \) litros. Retirando 150, restam 450 litros. Como fração da capacidade: \( \frac{450}{900} = \frac{1}{2} \). Também dá para fazer direto em fração: 150 litros são \( \frac{150}{900} = \frac{1}{6} \) da capacidade, e \( \frac{2}{3} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} – \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).

Dica do professor

Sempre que uma questão der um decimal infinito, transforme-o em fração antes de operar. Somar \( 0,333\ldots + 0,1666\ldots \) em decimal é confuso; em fração é imediato: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \). E, no fim de qualquer conta com geratriz, faça a divisão de volta para conferir: se \( 7 \div 9 \) não der \( 0,777\ldots \), a conta está errada.

Atenção / cuidado

Não some numerador com numerador e denominador com denominador: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \) não é \( \frac{2}{5} \), é \( \frac{5}{6} \). Não confunda período com antiperíodo na dízima composta: em \( 0,1666\ldots \), o período é só o 6, e o 1 não se repete — é ele que faz a conta ser \( \frac{16 – 1}{90} \), e não \( \frac{16}{99} \). E nunca deixe a fração geratriz sem simplificar quando a questão pede a forma irredutível: \( \frac{45}{99} \) está certo como valor, mas a resposta esperada é \( \frac{5}{11} \).

Conexão com outras áreas

Frações e dízimas aparecem em porcentagem (50% é \( \frac{1}{2} \)), em razão e proporção, em probabilidade (a chance de um evento é uma fração dos casos possíveis) e em escalas de mapas e maquetes em Geografia. Em Ciências, concentrações e diluições usam frações; em Física, velocidades médias e densidades são razões entre grandezas. Dominar a fração geratriz também ajuda a entender por que alguns números são racionais e outros, como \( \sqrt{2} \), não podem ser escritos como fração — a porta de entrada para os números irracionais.