Geradores elétricos: o que cai no ENEM e nos vestibulares

Resumo rápido

Todo circuito elétrico precisa de alguém que empurre as cargas. A lâmpada não acende sozinha, o celular não carrega sozinho e o motor não gira sozinho: em todos esses casos, existe um dispositivo que entrega energia elétrica às cargas e mantém a corrente circulando. Esse dispositivo é o gerador elétrico, e ele é um dos temas mais clássicos da Eletrodinâmica no ENEM e nos vestibulares, com incidência 😐 Morna — ou seja, não aparece em todas as provas, mas quando aparece, costuma valer pontos preciosos, porque muita gente confunde os conceitos e erra questões que são, na verdade, bastante diretas.

Um gerador elétrico é qualquer dispositivo capaz de transformar outra forma de energia em energia elétrica e de manter uma diferença de potencial entre os seus terminais, para que as cargas circulem pelo circuito. A pilha transforma energia química em energia elétrica. A bateria do celular faz o mesmo, só que é recarregável. O alternador do carro transforma energia mecânica em energia elétrica. A usina hidrelétrica transforma energia mecânica da água em energia elétrica, em escala gigantesca. O painel solar transforma energia luminosa em energia elétrica. O que todos esses dispositivos têm em comum é a função: eles fornecem energia às cargas elétricas, e é essa energia que depois se transforma em luz na lâmpada, em calor no chuveiro, em movimento no motor ou em som no alto-falante.

A grandeza que caracteriza o gerador é a força eletromotriz, representada pela letra \( E \) e medida em volt (V). Apesar do nome, a força eletromotriz não é uma força, no sentido de empurrão medido em newton: ela é uma energia por unidade de carga, isto é, a quantidade de energia que o gerador entrega a cada coulomb de carga que passa por ele. Uma pilha de \( E = 1,5 \, \text{V} \) entrega 1,5 joule de energia a cada coulomb que a atravessa. Uma bateria de \( E = 12 \, \text{V} \) entrega 12 joules a cada coulomb. E é aqui que mora a primeira distinção fundamental desta matéria: a força eletromotriz é uma característica do gerador, fixa, enquanto a tensão que realmente aparece nos terminais do gerador quando ele está funcionando, representada por \( U \), pode ser menor do que \( E \). Por quê? Porque todo gerador real tem uma resistência interna, que consome parte da energia antes que ela chegue ao circuito externo.

A relação entre essas grandezas é a equação do gerador, a fórmula mais importante desta matéria, e que você vai usar em praticamente todas as questões do tema: \( U = E – r \cdot i \), em que \( r \) é a resistência interna do gerador e \( i \) é a corrente que o atravessa. Em palavras: a tensão útil, disponível nos terminais, é igual à força eletromotriz menos a tensão perdida dentro do próprio gerador, que vale \( r \cdot i \). Quando não passa corrente, não há perda interna, e a tensão nos terminais é igual à força eletromotriz. Quando a corrente aumenta, a perda interna aumenta, e a tensão nos terminais diminui. Quando o gerador é curto-circuitado, isto é, quando seus terminais são ligados por um fio de resistência desprezível, a tensão nos terminais cai a zero e a corrente atinge o seu valor máximo, chamado de corrente de curto-circuito, \( i_{cc} = \frac{E}{r} \). Guardar essas três situações — circuito aberto, funcionamento normal e curto-circuito — é guardar metade da matéria.

Ao longo deste texto, vamos construir o tema passo a passo, sem pular etapas. Primeiro, vamos entender o que é um gerador, quais são os seus polos e como ele se comporta dentro do circuito. Depois, vamos definir com rigor a força eletromotriz, a resistência interna e a equação do gerador, com exemplos numéricos resolvidos passo a passo, incluindo o exemplo de referência desta matéria: um gerador de \( E = 12 \, \text{V} \) e \( r = 1 \, \Omega \), ligado a um resistor de \( 5 \, \Omega \), por onde passa uma corrente de \( 2 \, \text{A} \) e cuja tensão nos terminais é de \( 10 \, \text{V} \). Em seguida, vamos estudar as três potências do gerador — total, útil e dissipada —, o rendimento, o gráfico da tensão em função da corrente e a associação de geradores em série e em paralelo. Por fim, você encontra o mapa mental, as perguntas de autoavaliação (SAQ), seis questões comentadas originais no estilo ENEM, a dica do professor, os cuidados para não cair em pegadinha e as conexões com outras áreas. Se você já domina corrente, tensão e resistência, esta matéria vai encaixar como uma peça que faltava; se ainda não domina, vale revisar primeiro a matéria sobre corrente e potência elétrica, porque tudo o que vem a seguir usa essas três grandezas o tempo todo.

O que é um gerador elétrico

Imagine um circuito simples: uma pilha ligada por fios a uma lâmpada. Os elétrons livres do fio de cobre, ao passarem pela lâmpada, perdem energia, que se transforma em luz e calor. Se nada repusesse essa energia, os elétrons chegariam à pilha sem energia para continuar, e a corrente pararia em instantes. O papel da pilha é justamente repor essa energia: dentro dela, uma reação química entrega energia aos elétrons, que saem do polo negativo com energia renovada, percorrem o circuito, entregam a energia à lâmpada e voltam à pilha para receber energia de novo. O gerador é, portanto, o dispositivo que mantém a corrente circulando, fornecendo energia às cargas a cada volta completa pelo circuito.

Todo gerador tem dois terminais, chamados de polos: o polo positivo e o polo negativo. No circuito externo, fora do gerador, a corrente convencional vai do polo positivo para o polo negativo, atravessando a lâmpada, o resistor ou qualquer outro aparelho ligado ao gerador. Dentro do gerador, a corrente convencional vai do polo negativo para o polo positivo, porque é dentro do gerador que as cargas recebem energia, e não a entregam. Essa volta completa — fora do gerador, do positivo para o negativo, entregando energia; dentro do gerador, do negativo para o positivo, recebendo energia — é o que mantém a corrente em regime permanente. Se você desenhar o circuito e marcar as setas de corrente, vai perceber que a corrente forma um caminho fechado, sem começo nem fim, e que o gerador é o trecho do caminho em que a carga ganha energia.

É importante não confundir gerador com receptor. O receptor é o dispositivo que recebe energia elétrica e a transforma em outra forma de energia: a lâmpada transforma energia elétrica em luz e calor, o motor transforma energia elétrica em movimento, o resistor transforma energia elétrica em calor. O gerador faz o caminho inverso: transforma outra forma de energia em energia elétrica. No circuito, o gerador é a fonte, e o receptor é o consumo. Uma mesma pilha recarregável pode ser gerador quando está alimentando o celular e receptor quando está sendo carregada na tomada: o que define o papel é o sentido da corrente em relação aos polos e o sentido da transformação de energia, e não o objeto em si. As provas adoram essa inversão de papéis, especialmente com baterias recarregáveis e com motores que, ao serem girados, passam a funcionar como geradores.

Os exemplos de geradores estão por toda parte, e vale conhecer os principais. As pilhas e baterias químicas são os geradores mais comuns no dia a dia: a pilha comum, de zinco e dióxido de manganês, tem força eletromotriz de cerca de 1,5 V; a bateria de chumbo do carro tem 12 V, formada por seis elementos de 2 V associados em série; a bateria de íons de lítio do celular tem cerca de 3,7 V. Os geradores mecânicos, como o alternador do carro e os geradores das usinas hidrelétricas, termelétricas e eólicas, transformam energia mecânica em energia elétrica por indução eletromagnética, tema que você vai encontrar em Eletromagnetismo. As células fotovoltaicas dos painéis solares transformam energia luminosa em energia elétrica. E há ainda os geradores térmicos, como os termopares, que geram tensão a partir de uma diferença de temperatura. Para a prova, o modelo é sempre o mesmo, qualquer que seja a fonte de energia: um gerador caracterizado por uma força eletromotriz \( E \) e uma resistência interna \( r \), e o resto é circuito.

Força eletromotriz: o que o gerador promete entregar

A força eletromotriz, \( E \), é definida como a energia que o gerador entrega a cada unidade de carga que o atravessa. Se uma carga \( Q \) atravessa o gerador e recebe dele uma energia \( W \), a força eletromotriz é \( E = \frac{W}{Q} \). A unidade é o volt, e \( 1 \, \text{V} = 1 \, \text{J/C} \). Uma pilha de \( E = 1,5 \, \text{V} \) entrega 1,5 joule a cada coulomb. Uma bateria de \( E = 12 \, \text{V} \) entrega 12 joules a cada coulomb. Se uma carga de 2 C atravessar a bateria de 12 V, ela receberá \( 12 \times 2 = 24 \, \text{J} \) de energia. Essa definição é o ponto de partida de tudo: a força eletromotriz mede a energia por carga, e não a energia total, que depende também de quanta carga passa.

Por que o nome é “força eletromotriz” se não se trata de uma força? É uma herança histórica: nos primeiros estudos da eletricidade, chamava-se de força eletromotriz a causa do movimento das cargas, a “força” que as colocava em movimento. Hoje sabemos que se trata de uma energia por carga, medida em volt, e não de uma força medida em newton. Mas o nome ficou, e as provas gostam de testar exatamente isso: a força eletromotriz não é uma força, não se mede em newton e não se soma a forças mecânicas. Quando a questão perguntar pela unidade da força eletromotriz, a resposta é o volt; quando ela perguntar o que ela mede, a resposta é a energia entregue pelo gerador a cada unidade de carga.

A força eletromotriz é uma característica do gerador, determinada pela sua construção: pelos materiais da pilha, pela reação química que acontece dentro dela, pela velocidade de rotação do alternador ou pela intensidade da luz no painel solar. Ela não depende do circuito externo, isto é, não depende do resistor que você liga ao gerador nem da corrente que passa por ele. O que depende do circuito é a tensão nos terminais, \( U \), que é o que o circuito externo realmente recebe. Essa distinção — \( E \) é do gerador, \( U \) é o que sobra para o circuito — é a ideia central do tema, e é ela que explica por que uma pilha “fraca” acende mal a lâmpada mesmo tendo a mesma força eletromotriz de uma pilha nova: a pilha fraca tem resistência interna maior, perde mais tensão dentro de si, e entrega menos tensão ao circuito.

Um exemplo numérico simples ajuda a fixar a definição. Uma bateria de \( E = 12 \, \text{V} \) é atravessada por uma carga de 5 C. Quanta energia ela entrega a essa carga? Pela definição, \( W = E \cdot Q = 12 \times 5 = 60 \, \text{J} \). Se a mesma carga atravessasse uma pilha de 1,5 V, receberia apenas \( 1,5 \times 5 = 7,5 \, \text{J} \). Note que a energia total depende da carga: quanto mais carga passa, mais energia o gerador entrega, e é por isso que uma pilha se esgota: ela tem uma quantidade limitada de reagentes químicos, e quando eles acabam, ela não consegue mais entregar energia, mesmo que a sua força eletromotriz, enquanto dura, permaneça aproximadamente constante. Na prática, quando a pilha está no fim, a sua resistência interna aumenta muito, e é isso que faz a lâmpada apagar, e não uma queda brusca da força eletromotriz.

Resistência interna e gerador ideal versus gerador real

Na vida real, nenhum gerador é perfeito. Dentro de toda pilha, há eletrólitos, placas metálicas e conexões, e todos esses materiais oferecem uma certa oposição à passagem da corrente. Essa oposição é modelada como uma resistência, chamada de resistência interna, representada pela letra minúscula \( r \) e medida em ohm (Ω). O modelo do gerador real, usado em todas as questões, é, portanto, um gerador ideal, de força eletromotriz \( E \) e sem nenhuma perda, associado em série a um resistor de resistência \( r \), que representa as perdas internas. Quando a corrente atravessa o gerador real, ela atravessa também essa resistência interna, e uma parte da energia é dissipada ali, em forma de calor, antes de chegar ao circuito externo.

O gerador ideal é uma simplificação: é o gerador que não tem resistência interna, isto é, \( r = 0 \). Nesse caso, não há perda interna, e a tensão nos terminais é sempre igual à força eletromotriz, qualquer que seja a corrente: \( U = E \). O gerador ideal é útil como aproximação quando a resistência interna é muito pequena em comparação com a resistência do circuito externo, e muitas questões o adotam explicitamente, dizendo “considere o gerador ideal” ou “despreze a resistência interna”. Mas é preciso tomar cuidado: se a questão der o valor de \( r \), ela está falando de um gerador real, e você deve usar a equação completa, \( U = E – r \cdot i \). Ignorar a resistência interna quando ela foi dada é um dos erros mais frequentes do tema, e costuma custar a questão inteira.

O gerador real, por outro lado, é o gerador com resistência interna diferente de zero, e é ele que aparece na maioria das questões de geradores, justamente porque é ele que permite discutir a queda de tensão, o rendimento e o curto-circuito. No gerador real, a tensão nos terminais depende da corrente: quanto maior a corrente, maior a perda interna, e menor a tensão útil. É por isso que, quando você liga o motor de arranque do carro, que puxa uma corrente enorme, as luzes do painel dão uma enfraquecida: a corrente grande provoca uma queda de tensão grande na resistência interna da bateria, e a tensão disponível para as luzes cai. O mesmo acontece quando uma pilha fraca alimenta um brinquedo que exige muita corrente: a tensão nos terminais despenca, e o brinquedo funciona mal ou nem funciona.

Para entender o modelo do gerador real, vale desenhar o circuito equivalente: uma fonte ideal de força eletromotriz \( E \), em série com um resistor \( r \), e, em seguida, o resistor externo \( R \), que representa a lâmpada ou o aparelho alimentado. A corrente é a mesma em todos os elementos, porque estão em série, e a tensão total do circuito se distribui entre a resistência interna e a resistência externa. A primeira figura interna desta matéria mostra exatamente esse modelo, com os valores de referência: \( E = 12 \, \text{V} \), \( r = 1 \, \Omega \), resistor externo \( R = 5 \, \Omega \), corrente \( i = 2 \, \text{A} \) e tensão nos terminais \( U = 10 \, \text{V} \). Confira a coerência: a resistência total do circuito é \( R + r = 5 + 1 = 6 \, \Omega \), e a corrente é \( i = \frac{E}{R + r} = \frac{12}{6} = 2 \, \text{A} \). A queda de tensão na resistência interna é \( r \cdot i = 1 \times 2 = 2 \, \text{V} \), e a tensão nos terminais é \( U = 12 – 2 = 10 \, \text{V} \), que é também a tensão no resistor externo, \( U = R \cdot i = 5 \times 2 = 10 \, \text{V} \). Tudo fecha, e é esse fechamento que você deve buscar em cada questão: a tensão da fonte se divide entre o interno e o externo, e a soma das duas partes é sempre \( E \).

A equação do gerador: U = E − r·i

A equação do gerador é a tradução, em fórmula, do que acabamos de descrever. Quando uma carga atravessa o gerador real, ela recebe do gerador ideal uma energia \( E \) por unidade de carga, mas, ao atravessar a resistência interna, perde uma energia \( r \cdot i \) por unidade de carga, que se dissipa em calor. O que sobra para o circuito externo é, portanto, a diferença entre o que foi ganho e o que foi perdido:

\[ U = E – r \cdot i \]

Em que \( U \) é a tensão nos terminais do gerador, também chamada de tensão útil ou diferença de potencial útil, \( E \) é a força eletromotriz, \( r \) é a resistência interna e \( i \) é a corrente que atravessa o gerador. Todas as tensões estão em volt, a resistência em ohm e a corrente em ampère. A equação vale para o gerador real em funcionamento normal, isto é, quando ele está fornecendo energia ao circuito, com a corrente saindo pelo polo positivo. Se a questão disser que o gerador está sendo carregado, como uma bateria recarregável ligada ao carregador, o sinal muda, e a equação passa a ser \( U = E + r \cdot i \), porque, nesse caso, a tensão aplicada precisa vencer a força eletromotriz e ainda a queda na resistência interna. Mas, no caso padrão das provas, que é o gerador fornecendo energia, a equação é \( U = E – r \cdot i \), e é essa que você deve guardar.

Vamos aplicar a equação ao exemplo de referência desta matéria, passo a passo, para que não reste dúvida sobre onde cada número entra. Um gerador tem força eletromotriz \( E = 12 \, \text{V} \) e resistência interna \( r = 1 \, \Omega \), e está ligado a um resistor externo de \( R = 5 \, \Omega \). Primeiro, calculamos a corrente do circuito. Como o gerador real equivale a uma fonte ideal em série com \( r \), e o resistor externo está em série com o gerador, a resistência total do circuito é \( R + r = 5 + 1 = 6 \, \Omega \). Pela lei de Ohm aplicada ao circuito completo, a corrente é \( i = \frac{E}{R + r} = \frac{12}{6} = 2 \, \text{A} \). Segundo, calculamos a queda de tensão na resistência interna: \( r \cdot i = 1 \times 2 = 2 \, \text{V} \). Terceiro, aplicamos a equação do gerador: \( U = E – r \cdot i = 12 – 2 = 10 \, \text{V} \). E, como verificação, calculamos a tensão no resistor externo pela lei de Ohm: \( U = R \cdot i = 5 \times 2 = 10 \, \text{V} \). Os dois caminhos chegam ao mesmo resultado, como devem chegar sempre, porque a tensão nos terminais do gerador é exatamente a tensão aplicada ao resistor externo, já que eles estão ligados em paralelo entre si, pelos fios do circuito.

A equação do gerador também pode ser rearranjada para encontrar qualquer uma das grandezas, desde que as outras sejam conhecidas. Se a questão der \( U \), \( E \) e \( i \), e pedir \( r \), isole a resistência interna: \( r = \frac{E – U}{i} \). Se der \( U \), \( E \) e \( r \), e pedir \( i \), isole a corrente: \( i = \frac{E – U}{r} \). Se der \( r \), \( i \) e \( U \), e pedir \( E \), some as parcelas: \( E = U + r \cdot i \). Treinar esses rearranjos com números simples evita que você perca tempo na prova tentando lembrar uma fórmula decorada para cada caso: há uma única equação, e o resto é álgebra. Um exemplo: um gerador tem força eletromotriz de 9 V e, quando atravessado por uma corrente de 3 A, apresenta tensão nos terminais de 6 V. Qual é a sua resistência interna? Pela equação, \( 6 = 9 – r \times 3 \), logo \( 3r = 9 – 6 = 3 \), e \( r = 1 \, \Omega \). A queda interna foi de 3 V, e, dividida pela corrente de 3 A, dá a resistência interna de 1 Ω.

Outro rearranjo muito usado é o cálculo da corrente a partir da resistência total, que já usamos acima: \( i = \frac{E}{R + r} \). Essa fórmula é, na verdade, a lei de Ohm aplicada ao circuito completo, e é a forma mais rápida de achar a corrente quando a questão dá \( E \), \( r \) e \( R \). Mas atenção: ela só vale quando há um único resistor externo, ou quando \( R \) é a resistência equivalente de toda a parte externa do circuito. Se o circuito externo for uma associação de resistores, você precisa primeiro calcular a resistência equivalente externa, como se aprende na matéria sobre associação de resistores, e só então aplicar a fórmula com esse valor equivalente no lugar de \( R \). Esse é um ponto em que as provas combinam dois temas em uma única questão, e quem domina os dois resolve com tranquilidade, enquanto quem domina só um fica travado na metade.

As três situações: circuito aberto, funcionamento normal e curto-circuito

Existem três situações que você deve saber reconhecer de imediato, porque as questões as usam como casos extremos para testar a compreensão da equação do gerador. A primeira é o circuito aberto: o gerador está desligado do circuito externo, ou o interruptor está aberto, de modo que não passa corrente, \( i = 0 \). Nesse caso, não há queda de tensão na resistência interna, porque \( r \cdot i = r \times 0 = 0 \), e a equação do gerador dá \( U = E – 0 = E \). Ou seja, com o circuito aberto, a tensão medida nos terminais do gerador é exatamente a força eletromotriz. É por isso que o voltímetro, que tem resistência interna altíssima e praticamente não deixa passar corrente, mede a força eletromotriz quando ligado aos terminais de uma pilha fora do circuito: ele se aproxima da situação de circuito aberto. Se você medir uma pilha nova com um voltímetro e encontrar 1,5 V, está medindo a sua força eletromotriz, e não a tensão que ela entregaria a um circuito com corrente.

A segunda situação é o funcionamento normal: o gerador está ligado a um circuito externo, passa uma corrente \( i \) entre zero e o valor máximo, e a tensão nos terminais está entre zero e \( E \), dada por \( U = E – r \cdot i \). É a situação do dia a dia, e é nela que vivem a maior parte das questões. Nessa situação, quanto maior a corrente, menor a tensão nos terminais, e quanto menor a corrente, mais próxima de \( E \) fica a tensão nos terminais. Se o circuito externo tem resistência muito grande, a corrente é pequena, a perda interna é pequena, e a tensão nos terminais fica próxima de \( E \). Se o circuito externo tem resistência pequena, a corrente é grande, a perda interna é grande, e a tensão nos terminais cai bastante. Essa dependência é o que o gráfico da tensão em função da corrente mostra, e que vamos estudar em uma seção própria.

A terceira situação é o curto-circuito: os terminais do gerador são ligados diretamente por um fio de resistência desprezível, ou por um condutor de resistência muito pequena, de modo que a resistência externa é praticamente zero, \( R = 0 \). Nesse caso, a tensão nos terminais cai a zero, \( U = 0 \), porque não há nenhum resistor externo sobre o qual a tensão possa aparecer, e a corrente atinge o seu valor máximo, chamado de corrente de curto-circuito. Pela equação do gerador, com \( U = 0 \), temos \( 0 = E – r \cdot i_{cc} \), logo \( i_{cc} = \frac{E}{r} \). Essa é uma fórmula que as provas pedem com frequência, e vale a pena decorá-la junto com a equação do gerador. No exemplo de referência, \( i_{cc} = \frac{12}{1} = 12 \, \text{A} \), um valor seis vezes maior que a corrente de funcionamento normal, de 2 A. É por isso que o curto-circuito é perigoso: a corrente enorme dissipa uma potência enorme na resistência interna, \( P = r \cdot i_{cc}^2 \), o gerador esquenta muito depressa, pode vazar, inchar ou até explodir, e os fios podem derreter. É por isso também que os circuitos têm fusíveis e disjuntores: eles interrompem a corrente antes que ela chegue a valores de curto-circuito.

Um detalhe que confunde muita gente: no curto-circuito, a tensão nos terminais é zero, mas a força eletromotriz continua sendo \( E \). A força eletromotriz não some, nem vai a zero: ela continua empurrando as cargas, e toda a energia que ela entrega é dissipada na resistência interna, porque não há circuito externo para recebê-la. É como uma bomba d’água ligada a um cano fechado em curto: a bomba continua trabalhando, mas toda a energia se perde em atrito interno, e nada chega ao destino. Por isso, quando a questão perguntar pela tensão nos terminais em curto-circuito, a resposta é zero, e quando perguntar pela força eletromotriz na mesma situação, a resposta continua sendo \( E \). São grandezas diferentes, e o curto-circuito é justamente a situação em que a diferença entre elas fica mais evidente: \( E \) continua valendo 12 V, enquanto \( U \) cai a 0 V, e a diferença de 12 V é exatamente a queda interna, \( r \cdot i_{cc} = 1 \times 12 = 12 \, \text{V} \).

Potências do gerador: total, útil e dissipada

Assim como a tensão se divide entre o útil e o perdido, a potência do gerador também se divide. São três potências, e você precisa saber as três, porque as questões perguntam por cada uma delas, às vezes na mesma questão. A potência total, \( P_t \), é a potência total que o gerador fornece, isto é, a taxa com que ele entrega energia às cargas: \( P_t = E \cdot i \). A potência útil, \( P_u \), é a potência que realmente chega ao circuito externo, isto é, a taxa com que a energia é entregue ao resistor externo: \( P_u = U \cdot i \). E a potência dissipada, \( P_d \), é a potência perdida na resistência interna, transformada em calor dentro do próprio gerador: \( P_d = r \cdot i^2 \). Como a energia se conserva, a potência total é a soma da útil com a dissipada: \( P_t = P_u + P_d \). Essa conservação é um ótimo teste de coerência: se os seus três valores não somarem, alguma conta está errada.

Vamos calcular as três potências no exemplo de referência, para fixar os números. O gerador tem \( E = 12 \, \text{V} \), \( r = 1 \, \Omega \), e a corrente é \( i = 2 \, \text{A} \). A potência total é \( P_t = E \cdot i = 12 \times 2 = 24 \, \text{W} \). A potência útil é \( P_u = U \cdot i = 10 \times 2 = 20 \, \text{W} \), que também pode ser calculada como \( P_u = R \cdot i^2 = 5 \times 4 = 20 \, \text{W} \), já que toda a potência útil é dissipada no resistor externo. A potência dissipada é \( P_d = r \cdot i^2 = 1 \times 4 = 4 \, \text{W} \). E a soma confere: \( 20 + 4 = 24 \, \text{W} \). Ou seja, dos 24 W que o gerador fornece, 20 W chegam ao circuito externo e 4 W se perdem em calor dentro da própria pilha. Essa perda de 4 W é o motivo de pilhas e baterias esquentarem quando fornecem correntes altas: a potência dissipada cresce com o quadrado da corrente, de modo que dobrar a corrente quadruplica o calor gerado dentro do gerador.

As três potências também podem ser escritas de outras formas, combinando as fórmulas que já conhecemos. A potência útil, por exemplo, pode ser escrita como \( P_u = U \cdot i = (E – r \cdot i) \cdot i = E \cdot i – r \cdot i^2 \), o que mostra, de novo, que a potência útil é a total menos a dissipada. Se a questão der \( E \), \( r \) e \( R \), o caminho mais rápido costuma ser: primeiro ache a corrente, \( i = \frac{E}{R + r} \); depois, calcule as potências a partir da corrente. Se a questão der \( U \) e \( i \), calcule a potência útil diretamente, \( P_u = U \cdot i \), e a total, se souber \( E \), por \( P_t = E \cdot i \). E se a questão der apenas potências e pedir outra grandeza, lembre-se de que a potência útil no resistor externo também é \( P_u = \frac{U^2}{R} \), e a dissipada também é \( P_d = \frac{(r \cdot i)^2}{r} = r \cdot i^2 \). Ter várias formas para a mesma potência não é um peso extra de memorização: é uma rede de segurança, porque, se um caminho travar, outro caminho chega ao mesmo resultado.

Rendimento do gerador

O rendimento do gerador, representado pela letra grega eta, \( \eta \), mede a fração da potência total que é aproveitada como potência útil. Em outras palavras, ele diz quanto do que o gerador fornece realmente chega ao circuito, e quanto se perde no caminho. A definição é:

\[ \eta = \frac{P_u}{P_t} \]

Substituindo as expressões das potências, \( P_u = U \cdot i \) e \( P_t = E \cdot i \), a corrente se cancela, e chegamos à forma mais usada nas provas:

\[ \eta = \frac{U}{E} \]

O rendimento é um número sem unidade, entre 0 e 1, e costuma ser expresso em porcentagem, multiplicando por 100. No exemplo de referência, \( \eta = \frac{10}{12} \approx 0,833 \), ou seja, cerca de 83,3%. Dos 24 W fornecidos, 20 W são úteis, e \( \frac{20}{24} = 0,833 \), o mesmo resultado, como era de se esperar. Um rendimento de 100% só aconteceria em um gerador ideal, com \( r = 0 \) e \( U = E \), ou em circuito aberto, em que, no limite, não há corrente nem potência, e o conceito de rendimento perde o sentido prático. Na prática, todo gerador real tem rendimento menor que 100%, e quanto maior a corrente, menor o rendimento, porque a perda interna, que cresce com \( i^2 \), pesa cada vez mais em relação à potência útil.

Vale entender por que o rendimento cai com a corrente. Usando a equação do gerador na fórmula do rendimento, temos \( \eta = \frac{E – r \cdot i}{E} = 1 – \frac{r \cdot i}{E} \). Essa forma mostra claramente que o rendimento diminui linearmente com a corrente: quando \( i = 0 \), o rendimento tende a 1, ou 100%; quando \( i \) cresce, o termo \( \frac{r \cdot i}{E} \) cresce, e o rendimento cai; quando \( i = i_{cc} = \frac{E}{r} \), o rendimento vai a zero, porque toda a potência se dissipa internamente e nada chega ao circuito. É por isso que não adianta forçar um gerador a fornecer uma corrente muito alta: além do perigo do aquecimento, o rendimento despenca, e a maior parte da energia vira calor dentro do próprio gerador, em vez de chegar ao aparelho que você quer alimentar.

Um caso especial, que aparece em questões mais elaboradas, é o da máxima transferência de potência. Quando variamos a resistência externa \( R \), a potência útil, \( P_u = R \cdot i^2 = R \cdot \left(\frac{E}{R + r}\right)^2 \), primeiro cresce com \( R \), atinge um máximo e depois decresce. O máximo acontece quando a resistência externa é igual à resistência interna, \( R = r \). Nesse ponto, a corrente é \( i = \frac{E}{2r} \), a tensão nos terminais é \( U = \frac{E}{2} \), e o rendimento é de 50%, porque metade da potência se dissipa dentro do gerador e metade chega ao circuito. É um resultado curioso e contraintuitivo: a potência útil máxima vem acompanhada de um rendimento de apenas 50%. Por isso, em sistemas de potência, como nas usinas, trabalha-se longe dessa condição, com \( R \) muito maior que \( r \), para manter o rendimento alto, mesmo que a potência útil não seja a máxima teórica. Já em sistemas de sinal, como em áudio, a condição \( R = r \) é buscada, porque o que importa é transferir o máximo de sinal, e não a eficiência energética. Para a prova, guarde a regra: potência útil máxima quando \( R = r \), e, nesse ponto, \( \eta = 50\% \).

O gráfico U × i do gerador

A equação do gerador, \( U = E – r \cdot i \), tem a forma de uma função do primeiro grau: \( U \) em função de \( i \), com coeficiente linear \( E \) e coeficiente angular \( -r \). Por isso, o gráfico da tensão nos terminais em função da corrente é uma reta descendente, e a segunda figura interna desta matéria mostra exatamente essa reta, para o gerador de referência, com \( E = 12 \, \text{V} \) e \( r = 1 \, \Omega \). Ler esse gráfico é uma habilidade cobrada com frequência, porque ele condensa, em uma única imagem, todas as informações do gerador: a força eletromotriz, a resistência interna e a corrente de curto-circuito. Vamos aprender a extrair cada uma delas.

O ponto em que a reta corta o eixo vertical, isto é, o valor de \( U \) quando \( i = 0 \), é a força eletromotriz. Faz sentido: com corrente zero, estamos na situação de circuito aberto, e \( U = E \). No gráfico de referência, a reta começa em \( U = 12 \, \text{V} \) quando \( i = 0 \), e por isso sabemos que \( E = 12 \, \text{V} \), sem precisar de nenhuma outra informação. O ponto em que a reta corta o eixo horizontal, isto é, o valor de \( i \) quando \( U = 0 \), é a corrente de curto-circuito. Faz sentido também: com tensão zero nos terminais, estamos na situação de curto-circuito, e \( i = i_{cc} \). No gráfico de referência, a reta chega a \( U = 0 \) quando \( i = 12 \, \text{A} \), e por isso sabemos que \( i_{cc} = 12 \, \text{A} \). E a resistência interna vem da inclinação da reta: quanto mais inclinada, maior a resistência interna, porque uma resistência interna maior faz a tensão cair mais depressa quando a corrente aumenta. Matematicamente, a inclinação, em módulo, é \( r \), e pode ser calculada por \( r = \frac{E}{i_{cc}} \), que é a mesma fórmula do curto-circuito rearranjada. No gráfico de referência, \( r = \frac{12}{12} = 1 \, \Omega \), confirmando o valor do gerador.

Na prática das questões, o gráfico pode vir com valores diferentes, e o raciocínio é sempre o mesmo: leia o corte no eixo de \( U \) para achar \( E \), leia o corte no eixo de \( i \) para achar \( i_{cc} \), e divida um pelo outro para achar \( r \). Um exemplo: suponha um gráfico em que a reta corta o eixo vertical em 9 V e o eixo horizontal em 3 A. Então \( E = 9 \, \text{V} \), \( i_{cc} = 3 \, \text{A} \), e \( r = \frac{9}{3} = 3 \, \Omega \). Se a questão pedir a tensão nos terminais quando a corrente é de 1 A, basta aplicar a equação: \( U = 9 – 3 \times 1 = 6 \, \text{V} \). E se pedir a potência útil nessa corrente, basta multiplicar: \( P_u = 6 \times 1 = 6 \, \text{W} \). Note que, a partir de um único gráfico, você pode responder a várias perguntas, e é por isso que as questões de gráfico costumam ter vários itens encadeados, cada um usando um resultado do anterior.

Outro detalhe do gráfico que vale atenção: a reta só tem sentido físico entre \( i = 0 \) e \( i = i_{cc} \), que é o intervalo de funcionamento do gerador como gerador. Fora desse intervalo, a reta é apenas uma extensão matemática. E, para um gerador ideal, com \( r = 0 \), a reta seria horizontal, em \( U = E \), porque a tensão não cairia com a corrente. Comparar a reta do gerador real com a reta horizontal do gerador ideal ajuda a visualizar o efeito da resistência interna: ela é a responsável pela inclinação, e quanto maior ela for, mais inclinada fica a reta, e mais depressa a tensão cai. Se duas retas de geradores diferentes forem desenhadas no mesmo gráfico, aquela que cai mais depressa tem maior resistência interna, e aquela que começa mais alto tem maior força eletromotriz. Essa comparação entre retas é outro formato clássico de questão.

Por fim, vale notar a relação entre o gráfico e a potência útil. Para cada ponto da reta, a potência útil é o produto \( U \cdot i \), que geometricamente corresponde à área do retângulo formado pelo ponto e os eixos. Quando a corrente é zero, a potência útil é zero, porque não há corrente. Quando a corrente é a de curto-circuito, a potência útil também é zero, porque a tensão é zero. No meio do caminho, a potência útil cresce, atinge um máximo e depois decresce, e o máximo acontece no ponto médio da reta, quando \( U = \frac{E}{2} \) e \( i = \frac{i_{cc}}{2} \), que é exatamente a condição de máxima transferência de potência que vimos na seção anterior, \( R = r \). É bonito perceber como o gráfico, a equação e a condição de potência máxima contam a mesma história, por caminhos diferentes, e quem enxerga essa unidade entre as representações resolve as questões com muito mais segurança.

Associação de geradores: em série e em paralelo

Assim como resistores podem ser associados, geradores também podem, e por motivos práticos muito claros. A bateria do carro, de 12 V, é formada por seis elementos de 2 V associados em série. A lanterna que usa duas pilhas de 1,5 V em série funciona com 3 V. O banco de baterias de um sistema de energia solar associa geradores para obter a tensão e a corrente desejadas. As duas associações básicas são em série e em paralelo, e cada uma tem um efeito diferente: a associação em série aumenta a tensão, e a associação em paralelo aumenta a capacidade de fornecer corrente, mantendo a tensão. Vamos estudar cada uma, com as suas fórmulas para o gerador equivalente.

Na associação em série, os geradores são ligados um após o outro, de modo que o polo positivo de um se liga ao polo negativo do seguinte, como as pilhas dentro da lanterna. A corrente que atravessa todos os geradores é a mesma, porque estão em série, e as forças eletromotrizes se somam, desde que os geradores estejam ligados no mesmo sentido, isto é, positivo com negativo, positivo com negativo. O gerador equivalente da associação em série tem força eletromotriz igual à soma das forças eletromotrizes, \( E_{eq} = E_1 + E_2 + \dots + E_n \), e resistência interna igual à soma das resistências internas, \( r_{eq} = r_1 + r_2 + \dots + r_n \). Um exemplo: três pilhas de 1,5 V, cada uma com resistência interna de 0,5 Ω, associadas em série, equivalem a um gerador de \( E_{eq} = 1,5 + 1,5 + 1,5 = 4,5 \, \text{V} \) e \( r_{eq} = 0,5 + 0,5 + 0,5 = 1,5 \, \Omega \). Se essa associação for ligada a um resistor de 3 Ω, a corrente será \( i = \frac{4,5}{3 + 1,5} = \frac{4,5}{4,5} = 1 \, \text{A} \).

Se os geradores em série forem ligados em sentidos opostos, isto é, positivo com positivo ou negativo com negativo, as forças eletromotrizes se subtraem, em vez de se somarem, porque um gerador “empurra” contra o outro. O gerador equivalente, nesse caso, tem força eletromotriz igual à diferença entre as forças eletromotrizes, \( E_{eq} = |E_1 – E_2| \), e resistência interna igual à soma das resistências internas, que sempre se somam, qualquer que seja o sentido. Um exemplo: duas pilhas de 1,5 V ligadas em oposição equivalem a um gerador de força eletromotriz zero, porque \( 1,5 – 1,5 = 0 \), e resistência interna de \( 0,5 + 0,5 = 1,0 \, \Omega \). Na prática, essa ligação não fornece tensão útil, e só dissipa energia nas resistências internas, o que é um desperdício e um aquecimento inútil. Por isso, ao montar uma associação em série, é preciso prestar atenção à polaridade: pilha invertida na lanterna não é apenas uma pilha que não funciona, é uma pilha que atrapalha as outras.

Na associação em paralelo, os geradores são ligados com os polos positivos juntos e os polos negativos juntos, de modo que todos têm a mesma tensão nos terminais. O caso mais importante, e o único que as provas costumam cobrar em profundidade, é o da associação de geradores idênticos em paralelo. Se associarmos \( n \) geradores idênticos, cada um com força eletromotriz \( E \) e resistência interna \( r \), em paralelo, o gerador equivalente tem a mesma força eletromotriz, \( E_{eq} = E \), e resistência interna dividida por \( n \), \( r_{eq} = \frac{r}{n} \). A tensão não aumenta, mas a resistência interna diminui, e, portanto, a corrente de curto-circuito aumenta, e a queda de tensão interna, para uma mesma corrente total, diminui, porque a corrente se divide entre os geradores. Um exemplo: duas pilhas idênticas de 1,5 V e 0,5 Ω, em paralelo, equivalem a um gerador de 1,5 V e 0,25 Ω. Ligada a um resistor de 1,25 Ω, essa associação fornece uma corrente de \( i = \frac{1,5}{1,25 + 0,25} = \frac{1,5}{1,5} = 1 \, \text{A} \), sendo 0,5 A fornecido por cada pilha. Cada pilha trabalha com metade da corrente, esquenta menos e dura mais, e é essa a vantagem prática do paralelo: dividir o esforço entre os geradores.

A associação em paralelo de geradores diferentes, com forças eletromotrizes diferentes, é um caso mais complicado, que envolve correntes circulando entre os próprios geradores, e as provas do ensino médio, em geral, não o cobram, ou o cobram apenas qualitativamente, alertando que ele deve ser evitado na prática, porque o gerador de maior força eletromotriz passa a carregar o de menor, dissipando energia inutilmente. A regra prática para guardar é simples: em série, somam-se as tensões; em paralelo, com geradores iguais, mantém-se a tensão e divide-se a resistência interna. E, em qualquer associação, depois de encontrar o gerador equivalente, o circuito se reduz ao caso de um único gerador, com \( E_{eq} \) e \( r_{eq} \), ligado ao resistor externo, e todas as fórmulas que aprendemos se aplicam normalmente, bastando trocar \( E \) por \( E_{eq} \) e \( r \) por \( r_{eq} \).

Para fixar a associação em série com um exemplo numérico completo, imagine duas baterias de 6 V, cada uma com resistência interna de 1 Ω, associadas em série no mesmo sentido, ligadas a um resistor de 10 Ω. O gerador equivalente tem \( E_{eq} = 6 + 6 = 12 \, \text{V} \) e \( r_{eq} = 1 + 1 = 2 \, \Omega \). A corrente do circuito é \( i = \frac{12}{10 + 2} = \frac{12}{12} = 1 \, \text{A} \). A tensão nos terminais da associação é \( U = E_{eq} – r_{eq} \cdot i = 12 – 2 \times 1 = 10 \, \text{V} \), que é também a tensão no resistor, \( U = 10 \times 1 = 10 \, \text{V} \). A potência útil é \( 10 \times 1 = 10 \, \text{W} \), a potência total é \( 12 \times 1 = 12 \, \text{W} \), e a potência dissipada nas resistências internas é \( 2 \times 1 = 2 \, \text{W} \). Tudo fecha, como no exemplo de referência, porque o método é o mesmo: reduza a associação ao gerador equivalente, e depois aplique as fórmulas do gerador único. Quem domina essa redução resolve qualquer associação, por mais que ela pareça complicada à primeira vista.

Gerador e receptor no mesmo circuito

Há uma situação que aparece em questões mais elaboradas e que vale a pena conhecer, ainda que brevemente: o circuito com um gerador e um receptor, como uma bateria sendo carregada por outra fonte, ou um motor ligado a uma bateria. O receptor, assim como o gerador, tem uma força contraeletromotriz, representada por \( E’ \), e uma resistência interna, \( r’ \), e a sua equação é \( U’ = E’ + r’ \cdot i \), com sinal positivo, porque, no receptor, a tensão aplicada precisa vencer a força contraeletromotriz e ainda a queda na sua resistência interna. Quando um gerador de força eletromotriz \( E \) e resistência interna \( r \) alimenta um receptor de força contraeletromotriz \( E’ \) e resistência interna \( r’ \), a corrente do circuito é dada pela diferença das forças eletromotrizes dividida pela soma das resistências: \( i = \frac{E – E’}{r + r’} \), desde que \( E > E’ \), para que a corrente tenha o sentido do gerador para o receptor. Se \( E < E’ \), os papéis se invertem, e quem era gerador passa a ser receptor, e vice-versa.

Um exemplo numérico ajuda a visualizar. Uma bateria de carro, com \( E = 12 \, \text{V} \) e \( r = 0,5 \, \Omega \), é usada para carregar uma bateria menor, com força contraeletromotriz \( E’ = 10 \, \text{V} \) e resistência interna \( r’ = 0,5 \, \Omega \). A corrente de carga é \( i = \frac{12 – 10}{0,5 + 0,5} = \frac{2}{1} = 2 \, \text{A} \). A tensão nos terminais da bateria que carrega, como gerador, é \( U = 12 – 0,5 \times 2 = 11 \, \text{V} \). A tensão nos terminais da bateria que está sendo carregada, como receptor, é \( U’ = 10 + 0,5 \times 2 = 11 \, \text{V} \). As duas tensões são iguais, como devem ser, porque as baterias estão ligadas em paralelo entre si pelos fios do circuito. Esse fechamento, de novo, é o teste de que o raciocínio está certo: a tensão é a mesma nos dois dispositivos, e a corrente é a mesma em todo o circuito, porque estão em série do ponto de vista da corrente. Para aprofundar a ideia de tensão e energia por carga, que está na base de tudo isso, vale revisitar a matéria sobre potencial elétrico, trabalho e energia.

Exemplos resolvidos passo a passo

Exemplo 1. Um gerador tem força eletromotriz de 12 V e resistência interna de 1 Ω, e está ligado a um resistor de 5 Ω. Calcule a corrente, a tensão nos terminais e as três potências.
Passo 1: resistência total: \( R + r = 5 + 1 = 6 \, \Omega \).
Passo 2: corrente: \( i = \frac{E}{R + r} = \frac{12}{6} = 2 \, \text{A} \).
Passo 3: tensão nos terminais: \( U = E – r \cdot i = 12 – 1 \times 2 = 10 \, \text{V} \).
Passo 4: potências: total \( 12 \times 2 = 24 \, \text{W} \); útil \( 10 \times 2 = 20 \, \text{W} \); dissipada \( 1 \times 2^2 = 4 \, \text{W} \).
Passo 5: verificação: \( 20 + 4 = 24 \, \text{W} \). Resposta: 2 A, 10 V, 24 W, 20 W e 4 W.

Exemplo 2. Um gerador tem força eletromotriz de 20 V e resistência interna de 2 Ω. Qual é a corrente de curto-circuito? E qual é a tensão nos terminais quando a corrente é de 4 A?
Passo 1: curto-circuito: \( i_{cc} = \frac{E}{r} = \frac{20}{2} = 10 \, \text{A} \).
Passo 2: tensão com 4 A: \( U = E – r \cdot i = 20 – 2 \times 4 = 20 – 8 = 12 \, \text{V} \).
Passo 3: verificação: com 10 A, \( U = 20 – 20 = 0 \), como deve ser no curto-circuito. Resposta: 10 A e 12 V.

Exemplo 3. Um gerador, quando atravessado por uma corrente de 2 A, apresenta tensão nos terminais de 8 V. Quando a corrente é de 4 A, a tensão cai para 6 V. Determine a força eletromotriz e a resistência interna.
Passo 1: escreva a equação para os dois casos: \( 8 = E – 2r \) e \( 6 = E – 4r \).
Passo 2: subtraia as equações: \( 8 – 6 = (E – 2r) – (E – 4r) = 2r \), logo \( 2 = 2r \) e \( r = 1 \, \Omega \).
Passo 3: substitua em uma das equações: \( 8 = E – 2 \times 1 \), logo \( E = 10 \, \text{V} \).
Passo 4: verificação: com 4 A, \( U = 10 – 4 = 6 \, \text{V} \). Resposta: \( E = 10 \, \text{V} \) e \( r = 1 \, \Omega \).

Exemplo 4. Um gerador de 12 V e resistência interna de 1 Ω alimenta um resistor externo. Qual deve ser o valor do resistor para que a potência útil seja máxima? Qual é essa potência máxima e qual é o rendimento nessa condição?
Passo 1: potência útil máxima quando \( R = r = 1 \, \Omega \).
Passo 2: corrente: \( i = \frac{12}{1 + 1} = 6 \, \text{A} \).
Passo 3: tensão nos terminais: \( U = 12 – 1 \times 6 = 6 \, \text{V} \).
Passo 4: potência útil máxima: \( P_u = U \cdot i = 6 \times 6 = 36 \, \text{W} \).
Passo 5: rendimento: \( \eta = \frac{U}{E} = \frac{6}{12} = 50\% \). Resposta: \( R = 1 \, \Omega \), 36 W e 50%.

Exemplo 5. Três pilhas idênticas, de 1,5 V e resistência interna de 0,5 Ω cada, são associadas em série e ligadas a um resistor de 3 Ω. Calcule a corrente e a tensão nos terminais da associação.
Passo 1: gerador equivalente: \( E_{eq} = 3 \times 1,5 = 4,5 \, \text{V} \); \( r_{eq} = 3 \times 0,5 = 1,5 \, \Omega \).
Passo 2: corrente: \( i = \frac{4,5}{3 + 1,5} = \frac{4,5}{4,5} = 1 \, \text{A} \).
Passo 3: tensão nos terminais: \( U = 4,5 – 1,5 \times 1 = 3 \, \text{V} \), que confere com \( U = 3 \times 1 = 3 \, \text{V} \) no resistor. Resposta: 1 A e 3 V.

Exemplo 6. O gráfico da tensão em função da corrente de um gerador é uma reta que corta o eixo da tensão em 9 V e o eixo da corrente em 3 A. Determine a força eletromotriz, a resistência interna, a tensão nos terminais quando a corrente é de 1 A e o rendimento nessa corrente.
Passo 1: força eletromotriz: corte no eixo de \( U \), \( E = 9 \, \text{V} \).
Passo 2: corrente de curto-circuito: corte no eixo de \( i \), \( i_{cc} = 3 \, \text{A} \).
Passo 3: resistência interna: \( r = \frac{E}{i_{cc}} = \frac{9}{3} = 3 \, \Omega \).
Passo 4: tensão com 1 A: \( U = 9 – 3 \times 1 = 6 \, \text{V} \).
Passo 5: rendimento: \( \eta = \frac{6}{9} \approx 66,7\% \). Resposta: 9 V, 3 Ω, 6 V e 66,7%.

Mapa mental

• Gerador elétrico
  • Definição: dispositivo que transforma outra forma de energia em energia elétrica
  • Exemplos: pilha, bateria, alternador, painel solar, usina
  • Polos: positivo e negativo; fora do gerador, a corrente vai do positivo para o negativo
  • Dentro do gerador, a corrente vai do negativo para o positivo, recebendo energia
• Força eletromotriz (E)
  • Energia entregue a cada unidade de carga: \( E = \frac{W}{Q} \)
  • Unidade: volt (V); não é uma força, não se mede em newton
  • Característica do gerador; não depende do circuito externo
• Gerador ideal versus gerador real
  • Ideal: \( r = 0 \), \( U = E \) sempre
  • Real: \( r > 0 \), modelo = fonte ideal em série com \( r \)
  • Perda interna em calor: \( r \cdot i^2 \)
• Equação do gerador
  • \( U = E – r \cdot i \)
  • Circuito aberto: \( i = 0 \), \( U = E \)
  • Funcionamento normal: \( 0 < i < i_{cc} \), \( U = E – r \cdot i \)
  • Curto-circuito: \( U = 0 \), \( i_{cc} = \frac{E}{r} \)
  • Corrente no circuito: \( i = \frac{E}{R + r} \)
• Potências e rendimento
  • Total: \( P_t = E \cdot i \)
  • Útil: \( P_u = U \cdot i = R \cdot i^2 \)
  • Dissipada: \( P_d = r \cdot i^2 \)
  • Conservação: \( P_t = P_u + P_d \)
  • Rendimento: \( \eta = \frac{P_u}{P_t} = \frac{U}{E} \)
  • Potência útil máxima quando \( R = r \); nesse ponto, \( \eta = 50\% \)
• Gráfico U × i
  • Reta descendente: \( U = E – r \cdot i \)
  • Corte no eixo de U: força eletromotriz \( E \)
  • Corte no eixo de i: corrente de curto-circuito \( i_{cc} \)
  • Inclinação, em módulo: resistência interna \( r = \frac{E}{i_{cc}} \)
  • Gerador ideal: reta horizontal em \( U = E \)
• Associação de geradores
  • Série, mesmo sentido: \( E_{eq} \) soma, \( r_{eq} \) soma; aumenta a tensão
  • Série, sentidos opostos: \( E_{eq} \) subtrai, \( r_{eq} \) soma; evitar
  • Paralelo, idênticos: \( E_{eq} = E \), \( r_{eq} = \frac{r}{n} \); divide a corrente
  • Depois de achar o equivalente, aplique as fórmulas do gerador único

SAQ — Perguntas de autoavaliação

1. O que é um gerador elétrico, e qual é a diferença entre ele e um receptor?
Resposta: O gerador transforma outra forma de energia em energia elétrica e fornece energia às cargas; o receptor faz o inverso, recebendo energia elétrica e transformando-a em luz, calor ou movimento. A pilha alimentando a lâmpada é gerador; a lâmpada é receptor.

2. O que é a força eletromotriz, qual é a sua unidade e por que ela não é uma força?
Resposta: É a energia que o gerador entrega a cada unidade de carga que o atravessa, \( E = \frac{W}{Q} \), medida em volt (V). Não é uma força porque não se mede em newton nem empurra mecanicamente: ela mede energia por carga, e o nome é uma herança histórica.

3. Qual é a diferença entre um gerador ideal e um gerador real, e quando se deve usar cada modelo?
Resposta: O ideal tem resistência interna zero e tensão nos terminais sempre igual à força eletromotriz; o real tem resistência interna maior que zero e perde parte da tensão dentro de si. Use o ideal quando a questão disser “ideal” ou “despreze r”; use o real quando a questão der o valor de r.

4. Um gerador tem \( E = 12 \, \text{V} \) e \( r = 1 \, \Omega \), ligado a um resistor de \( 5 \, \Omega \). Calcule a corrente e a tensão nos terminais.
Resposta: Corrente: \( i = \frac{12}{5 + 1} = 2 \, \text{A} \). Tensão: \( U = 12 – 1 \times 2 = 10 \, \text{V} \), que confere com \( U = 5 \times 2 = 10 \, \text{V} \) no resistor.

5. O que acontece com a tensão nos terminais de um gerador real quando a corrente aumenta? E no circuito aberto e no curto-circuito?
Resposta: Quando a corrente aumenta, a perda interna \( r \cdot i \) aumenta, e a tensão nos terminais diminui. No circuito aberto, \( i = 0 \) e \( U = E \). No curto-circuito, \( U = 0 \) e a corrente é máxima, \( i_{cc} = \frac{E}{r} \).

6. Um gerador fornece potência total de 24 W e potência útil de 20 W. Qual é a potência dissipada e qual é o rendimento?
Resposta: Potência dissipada: \( P_d = P_t – P_u = 24 – 20 = 4 \, \text{W} \). Rendimento: \( \eta = \frac{20}{24} \approx 83,3\% \).

7. No gráfico da tensão em função da corrente de um gerador, o que representam o corte no eixo da tensão, o corte no eixo da corrente e a inclinação da reta?
Resposta: O corte no eixo da tensão é a força eletromotriz; o corte no eixo da corrente é a corrente de curto-circuito; a inclinação, em módulo, é a resistência interna, \( r = \frac{E}{i_{cc}} \).

8. Três pilhas idênticas de 1,5 V são associadas em série e, depois, em paralelo. Qual é a força eletromotriz equivalente em cada caso, e qual associação aumenta a tensão?
Resposta: Em série, as forças eletromotrizes se somam: \( E_{eq} = 4,5 \, \text{V} \). Em paralelo, com geradores idênticos, a força eletromotriz se mantém: \( E_{eq} = 1,5 \, \text{V} \). Quem aumenta a tensão é a associação em série; o paralelo divide a corrente e a resistência interna.

Questões comentadas

Questão 1. Uma pilha tem força eletromotriz de 9 V e resistência interna de 1 Ω. Quando ligada a um resistor de 8 Ω, a corrente que atravessa o circuito e a tensão nos terminais da pilha são, respectivamente:
a) 0,5 A e 4,5 V.
b) 1 A e 8 V.
c) 1 A e 9 V.
d) 2 A e 7 V.
e) 3 A e 6 V.
Gabarito: B. A corrente é \( i = \frac{E}{R + r} = \frac{9}{8 + 1} = 1 \, \text{A} \). A tensão nos terminais é \( U = E – r \cdot i = 9 – 1 = 8 \, \text{V} \), que confere com \( U = 8 \times 1 = 8 \, \text{V} \) no resistor. A alternativa C confunde a tensão nos terminais com a força eletromotriz, esquecendo a perda interna.

Questão 2. Um gerador de força eletromotriz 12 V e resistência interna 2 Ω é ligado em curto-circuito. A corrente de curto-circuito e a tensão nos terminais nessa situação são, respectivamente:
a) 6 A e 12 V.
b) 6 A e 0 V.
c) 12 A e 6 V.
d) 24 A e 0 V.
e) 0 A e 12 V.
Gabarito: B. A corrente de curto-circuito é \( i_{cc} = \frac{E}{r} = \frac{12}{2} = 6 \, \text{A} \), e a tensão nos terminais é zero, porque não há resistor externo. Quem responde 12 V para a tensão confunde força eletromotriz, que continua valendo 12 V, com tensão nos terminais, que cai a zero.

Questão 3. O gráfico da tensão nos terminais em função da corrente de um gerador é uma reta que passa pelos pontos (0 A, 20 V) e (10 A, 0 V). A resistência interna desse gerador é de:
a) 0,5 Ω.
b) 1 Ω.
c) 2 Ω.
d) 5 Ω.
e) 10 Ω.
Gabarito: C. O corte no eixo da tensão dá \( E = 20 \, \text{V} \); o corte no eixo da corrente dá \( i_{cc} = 10 \, \text{A} \). Logo, \( r = \frac{E}{i_{cc}} = \frac{20}{10} = 2 \, \Omega \). A reta descendente confirma que se trata de um gerador real, e não ideal.

Questão 4. Um gerador com força eletromotriz de 12 V e resistência interna de 1 Ω alimenta um resistor de 5 Ω. As potências total, útil e dissipada são, respectivamente:
a) 24 W, 20 W e 4 W.
b) 24 W, 24 W e 0 W.
c) 20 W, 24 W e 4 W.
d) 12 W, 10 W e 2 W.
e) 36 W, 30 W e 6 W.
Gabarito: A. A corrente é \( i = \frac{12}{6} = 2 \, \text{A} \). Potência total: \( 12 \times 2 = 24 \, \text{W} \). Potência útil: \( 10 \times 2 = 20 \, \text{W} \), com \( U = 12 – 2 = 10 \, \text{V} \). Potência dissipada: \( 1 \times 4 = 4 \, \text{W} \). A soma confere: \( 20 + 4 = 24 \, \text{W} \).

Questão 5. Quatro pilhas idênticas, de 1,5 V e resistência interna de 0,5 Ω cada, são associadas em série, no mesmo sentido. O gerador equivalente dessa associação tem força eletromotriz e resistência interna, respectivamente, de:
a) 1,5 V e 0,125 Ω.
b) 1,5 V e 2 Ω.
c) 6 V e 0,5 Ω.
d) 6 V e 2 Ω.
e) 6 V e 0,125 Ω.
Gabarito: D. Em série, no mesmo sentido, tanto as forças eletromotrizes quanto as resistências internas se somam: \( E_{eq} = 4 \times 1,5 = 6 \, \text{V} \) e \( r_{eq} = 4 \times 0,5 = 2 \, \Omega \). A alternativa A descreve a associação em paralelo, e não em série.

Questão 6. Um gerador real, quando atravessado por uma corrente de 1 A, apresenta tensão nos terminais de 10 V. Quando a corrente passa para 3 A, a tensão nos terminais cai para 6 V. A força eletromotriz e a resistência interna desse gerador são, respectivamente:
a) 8 V e 2 Ω.
b) 10 V e 4 Ω.
c) 12 V e 2 Ω.
d) 12 V e 4 Ω.
e) 14 V e 2 Ω.
Gabarito: C. Escrevendo a equação para os dois casos, \( 10 = E – r \) e \( 6 = E – 3r \). Subtraindo, \( 4 = 2r \), logo \( r = 2 \, \Omega \). Substituindo, \( E = 10 + 2 = 12 \, \text{V} \). A variação da tensão, de 4 V, dividida pela variação da corrente, de 2 A, dá diretamente a resistência interna.

Dica do professor

Antes de qualquer conta, desenhe o circuito equivalente do gerador real: uma fonte ideal \( E \) em série com a resistência interna \( r \), seguida do resistor externo \( R \). Depois, siga sempre a mesma ordem: primeiro, a resistência total, \( R + r \); segundo, a corrente, \( i = \frac{E}{R + r} \); terceiro, a tensão nos terminais, \( U = E – r \cdot i \); quarto, as potências, \( P_t = E \cdot i \), \( P_u = U \cdot i \) e \( P_d = r \cdot i^2 \); quinto, o rendimento, \( \eta = \frac{U}{E} \). Essa ordem fixa evita que você pule etapas e confunda as grandezas, e funciona para qualquer questão de gerador único. Se houver associação de geradores, acrescente um passo zero: reduza a associação ao gerador equivalente, \( E_{eq} \) e \( r_{eq} \), e depois siga a mesma ordem. E, ao terminar, faça sempre a verificação de coerência: \( P_u + P_d \) tem que ser igual a \( P_t \), e a tensão no resistor externo, \( R \cdot i \), tem que ser igual à tensão nos terminais, \( U \). Se alguma dessas igualdades falhar, volte e ache o erro antes de marcar a alternativa.

Atenção / cuidado

• Não confunda força eletromotriz com tensão nos terminais: \( E \) é fixa e característica do gerador; \( U \) depende da corrente e vale \( U = E – r \cdot i \). Só são iguais em circuito aberto ou no gerador ideal.
• Não confunda força eletromotriz com força: ela não se mede em newton, e sim em volt, porque mede energia por carga.
• Não ignore a resistência interna quando a questão a fornece: se \( r \) foi dado, o gerador é real, e a equação completa deve ser usada.
• Não use \( U = E \) em funcionamento normal: essa igualdade só vale com corrente zero ou com resistência interna zero.
• No curto-circuito, a tensão nos terminais é zero, mas a força eletromotriz continua sendo \( E \): não zere as duas grandezas.
• Não some as resistências internas em paralelo como se somam em série: em paralelo, com geradores idênticos, a resistência equivalente é \( \frac{r}{n} \), e não \( n \cdot r \).
• Não inverta a polaridade na associação em série: geradores em sentidos opostos subtraem as forças eletromotrizes, em vez de somá-las.
• Na potência útil máxima, o rendimento é de apenas 50%: potência máxima e rendimento máximo não acontecem juntos.
• No gráfico U × i, o corte no eixo da tensão é \( E \) e o corte no eixo da corrente é \( i_{cc} \): não troque os dois, nem leia a resistência interna diretamente no gráfico sem dividir \( E \) por \( i_{cc} \).
• Na fórmula da corrente, \( i = \frac{E}{R + r} \), não esqueça de somar a resistência interna à externa: usar só \( R \) no denominador é o mesmo que tratar o gerador como ideal.

Conexão com outras áreas

Química: as pilhas e baterias são o ponto de encontro entre Eletrodinâmica e Eletroquímica: as reações de oxirredução dentro da pilha são a origem da força eletromotriz, e a resistência interna tem a ver com os eletrólitos e os eletrodos. Para aprofundar esse lado, veja a matéria sobre pilhas. Biologia: as células nervosas funcionam com diferenças de potencial através da membrana, geradas por bombas iônicas que se comportam como pequenos geradores biológicos, e o coração pode ser estimulado por marca-passos, que são geradores implantáveis. Geografia e atualidade: a matriz elétrica brasileira, as usinas hidrelétricas, eólicas e solares, e o armazenamento de energia em baterias são temas de geografia e de atualidade que dependem diretamente do conceito de gerador. Matemática: a equação do gerador é uma função do primeiro grau, e o gráfico U × i é a sua representação, com coeficiente linear, coeficiente angular e zeros da função — o mesmo conteúdo de função afim, agora com significado físico. Tecnologia e engenharia: o dimensionamento de baterias, a proteção contra curto-circuito com fusíveis e disjuntores, e a associação de células em bancos de baterias são aplicações diretas do que você aprendeu aqui. Para continuar o estudo da Eletrodinâmica, revise corrente e potência elétrica e associação de resistores, explore a Física na sala de estudo do cliquevestibular, e, para a base eletrostática, veja processos de eletrização, força elétrica e lei de Coulomb e campo elétrico e linhas de força.

Incidência: 😐 Morna — cai no ENEM e nos vestibulares, com frequência moderada. Matéria: Física 3 | Subdisciplina: Eletrodinâmica | Tema: Geradores elétricos.